資源簡介

1.3　直線的方程
第1課時　直線方程的點斜式
學習目標 1.根據確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的點斜式與斜截式，培養直觀想象、邏輯推理的核心素養.　2.會利用直線的點斜式方程與斜截式方程解決有關的問題，提升數學運算的核心素養.
任務一　直線方程的點斜式
問題1.過點P0(x0，y0)的直線在平面內有多少條？過點P0(x0，y0)且斜率為k的直線有多少條？由此得到什么結論？
提示：無數條和一條，結論是：平面內一個點和斜率確定一條直線.
問題2.已知直線過P0(x0，y0)且斜率為k，直線上任意一點P(x，y)和它們有怎樣的關系？試建立它們的代數關系式.
提示：如圖所示，當P與P0不重合時，由斜率公式k＝得y－y0＝k(x－x0).當P與P0重合，即x＝x0，y＝y0時，同樣滿足上式，這說明任意P(x，y)均滿足：y－y0＝k(x－x0).
1.直線l的方程
一般地，如果一條直線l上的每一點的坐標都是一個方程的解，并且以這個方程的解為坐標的點都在直線l上，那么這個方程稱為直線l的方程.
2.直線方程的點斜式
名稱 點斜式方程
已知條件 直線l經過點P(x0，y0)，且斜率為k
示意圖
方程形式 y－y0＝k(x－x0)
適用范圍 斜率存在
3.特殊的直線方程
直線l經過點P(x0，y0)，
(1)當直線l的斜率為0，即k＝0時，直線l與x軸平行(或重合)，直線方程為y＝y0，特別地，x軸的方程是 y＝0.
(2)當直線l的斜率不存在，即直線l傾斜角為時，直線l與y軸平行(或重合)，直線方程為x＝x0，特別地，y軸的方程是 x＝0.
微提醒(1)點斜式應用的前提是直線的斜率存在，若斜率不存在，則不能應用此式.(2)過某點P，可設直線方程的點斜式，注意討論斜率不存在的情況.
(鏈教材P10例7)根據條件寫出下列直線的方程，并畫出直線：
(1)經過點A(－1，4)，斜率k＝－3；
(2)經過坐標原點，傾斜角為；
(3)經過點B(3，－5)，傾斜角為；
(4)經過點C(2，8)，D(－3，－2).
解：(1)y－4＝－3[x－(－1)]，即y＝－3x＋1.如圖①所示.
(2)因為k＝tan＝1，所以y－0＝x－0，即y＝x.如圖②所示.
(3)因為傾斜角為，所以直線的斜率k不存在，所以直線方程為x＝3.如圖③所示.
(4)因為k＝＝2，所以y－8＝2(x－2)，
即y＝2x＋4.如圖④所示.
求直線方程的點斜式的步驟
對點練1.求滿足下列條件的直線方程：
(1)經過點(2，－3)，傾斜角是直線y＝x的傾斜角的2倍；
(2)經過點P(5，－2)，且與y軸平行；
(3)過P(－2，3)，Q(5，－4)兩點.
解：(1)因為直線y＝x的斜率為，
所以直線y＝x的傾斜角為.
所以所求直線的傾斜角為，故其斜率為.
所以所求直線方程為y＋3＝(x－2)，
即x－y－2－3＝0.
(2)與y軸平行的直線，其斜率k不存在，不能用點斜式方程表示.但直線上點的橫坐標均為5，
故直線方程可記為x＝5.
(3)過P(－2，3)，Q(5，－4)兩點的直線斜率
kPQ＝＝＝－1.
因為直線過點P(－2，3)，
所以由直線的點斜式方程可得直線方程為
y－3＝－(x＋2)，即x＋y－1＝0.
任務二　直線方程的斜截式
問題3.考慮一種特殊情形：如果直線l的斜率為k且過P0(0，b)，那么此時直線的方程如何表示？
提示：由y－b＝k(x－0)，得y＝kx＋b.
直線方程的斜截式
名稱 斜截式方程
已知條件 斜率k和直線在y軸上的截距b
示意圖
方程形式 y＝kx＋b
適用范圍 斜率存在
微提醒(1)直線的斜截式方程是直線的點斜式方程的特殊情況.(2)截距是一個實數，它是直線與坐標軸交點的橫坐標或縱坐標，可以為正數、負數和0.當直線過原點時，它的橫截距和縱截距都為0.(3)由直線的斜截式方程可直接得到直線的斜率和縱截距，如直線y＝2x－3的斜率k＝2，縱截距為－3.
寫出下列直線的斜截式方程：
(1)斜率為2，在y軸上的截距為－1；
(2)傾斜角為直線y＝x＋1的傾斜角的一半，在y軸上的截距為－2；
(3)傾斜角為60°，在y軸上的截距為3.
解：(1)由題意得k＝2，b＝－1，由斜截式得直線方程為y＝2x－1.
(2)因為直線y＝x＋1的斜率為，
所以其傾斜角為60°，
故所求直線的傾斜角為30°，所以k＝tan 30°＝.
又b＝－2，所以直線方程為y＝x－2.
(3)因為直線的傾斜角為60°，
所以其斜率k＝tan 60°＝.
因為在y軸上的截距為3，
所以直線在y軸上的截距b＝3.
所以所求直線方程為y＝x＋3.
[變式探究]
(變條件)若本例(3)變為：傾斜角為60°，與y軸的交點到坐標原點的距離為3.求直線的斜截式方程.
解：因為直線的傾斜角為60°，
所以其斜率k＝tan 60°＝.
因為直線與y軸的交點到坐標原點的距離為3，
所以直線在y軸上的截距b＝3或b＝－3.
所以所求直線方程為y＝x＋3或y＝x－3.
求直線的斜截式方程的策略 1.直線的斜截式方程是點斜式方程的特殊形式，其適用前提是直線的斜率存在，只要點斜式中的點在y軸上，就可以直接用斜截式表示. 2.直線的斜截式方程y＝kx＋b中只有兩個參數，因此要確定直線方程，只需知道參數k，b的值即可.
對點練2.(1)(多選題)關于直線l：y＝x－1，下列說法正確的是(　　)
A.過點(，－2) B.斜率為
C.傾斜角為60° D.在y軸上的截距為1
(2)(雙空題)直線l過點(2，－1)，且斜率為3，則直線l的斜截式方程為　　　　
　　；在y軸上的截距為　　　　.
答案：(1)BC(2)y＝3x－7　－7
解析：(1)對于A，將點(，－2)代入y＝x－1，可知不滿足方程，故A不正確；易知B正確；對于C，由k＝，即tan α＝，可得直線的傾斜角為60°，故C正確；對于D，由y＝x－1，知直線在y軸上的截距為－1，故D不正確.故選BC.
(2)直線l過點(2，－1)，且l的斜率為3，由直線的點斜式方程得：y＋1＝3(x－2)，即y＝3x－7，當x＝0時，y＝－7，則l在y軸上的截距為－7.
任務三　點斜式(斜截式)方程的應用
過點P(2，1)作直線l與x軸和y軸的正半軸分別交于A，B兩點，求：
(1)△AOB面積的最小值及此時直線l的方程；
(2)直線l在兩坐標軸上截距之和的最小值及此時直線l的方程.
解：(1)設直線l的方程為y－1＝k(x－2)，
則可得A，B(0，1－2k).
因為與x軸、y軸正半軸分別交于A，B兩點，
所以 k＜0.
于是S△AOB＝｜OA｜｜OB｜＝··(1－2k)
＝≥＝4，
當且僅當－＝－4k，即k＝－時，△AOB面積有最小值為4，此時直線l的方程為
y－1＝－(x－2)，即y＝－x＋2.
(2)因為A，B(0，1－2k)(k＜0)，
所以截距之和為＋1－2k＝3－2k－≥
3＋2＝3＋2，
當且僅當－2k＝－，即k＝－時，等號成立.
故截距之和的最小值為3＋2，此時直線l的方程為
y－1＝－(x－2)，即y＝－x＋＋1.
直線點斜式與基本不等式綜合的3個關鍵點 1.一般地，已知直線上某點時，常設出其點斜式，且注意斜率是否存在. 2.構建函數解析式后，應注明變量的取值范圍. 3.運用基本不等式求最值，應注意“等號”是否取到.如果取不到，可用函數單調性求最值.
對點練3.已知直線l過點(1，2)且在x，y軸上的截距相等.
(1)求直線l的方程；
(2)若直線l在x，y軸上的截距不為0，點P(a，b)在直線l上，求3a＋3b的最小值.
解：(1)①截距為0時，l：y＝2x；
②截距不為0時，k＝－1，l：y－2＝－(x－1)，
所以y＝－x＋3.
綜上，l的方程為y＝2x，或y＝－x＋3.
(2)由題意得l：x＋y－3＝0，所以a＋b＝3，
所以3a＋3b≥2＝2＝6，
當且僅當a＝b＝時，等號成立，
所以3a＋3b的最小值為6.
任務再現 1.直線方程的點斜式.2.直線方程的斜截式.3.點斜式(斜截式)方程的應用
方法提煉 待定系數法、數形結合思想
易錯警示 求直線方程時忽視斜率不存在的情況；混淆截距與距離
1.方程y＝k(x－1)(k∈R)表示(　　 )
A.過點(－1，0)的一切直線
B.過點(1，0)的一切直線
C.過點(1，0)且不垂直于x軸的一切直線
D.過點(1，0)且除x軸外的一切直線
答案：C
解析：y＝k(x－1)表示過點(1，0)且不垂直于x軸的一切直線.故選C.
2.斜率為4，且過點(2，－3)的直線的點斜式方程是(　　)
A.y＋3＝4(x－2) B.y－3＝4(x－2)
C.y－3＝4(x＋2) D.y＋3＝4(x＋2)
答案：A
3.直線y＝kx＋b通過第一、三、四象限，則有(　　 )
A.k＞0，b＞0 B.k＞0，b＜0
C.k＜0，b＞0 D.k＜0，b＜0
答案：B
解析：因為直線通過第一、三、四象限，所以圖象如圖所示，由圖知，k＞0，b＜0.故選B.
4.經過點A(1，2)，傾斜角為的直線的斜截式方程為　　　　　　.
答案：y＝x＋1
解析：因為傾斜角為，則斜率k＝tan ＝1，且過點A(1，2)，所以y－2＝1×(x－1)，即y＝x＋1.
課時分層評價2　直線方程的點斜式
(時間：60分鐘　滿分：110分)
(1—9，每小題5分，共45分)
1.直線l經過點P(2，－3)，且傾斜角α＝，則直線的點斜式方程是(　　 )
A.y＋3＝x－2 B.y－3＝x＋2
C.y＋2＝x－3 D.y－2＝x＋3
答案：A
解析：因為直線l的斜率k＝tan ＝1，所以直線l的點斜式方程為y＋3＝x－2.故選A.
2.直線y＝kx＋1恒過點(　　 )
A.(1，0) B.(－1，0)
C.(0，1) D.(0，－1)
答案：C
解析：當x＝0時，y＝1，所以直線y＝kx＋1恒過點.故選C.
3.直線y＝ax－的圖象可能是(　　 )
答案：B
解析：直線y＝ax－的斜率與在y軸上的截距異號.故選B.
4.直線l1：y＝k1x＋b1與l2：y＝k2x＋b2的位置關系如圖所示，則有(　　)
A.k1＜k2，且b1＜b2
B.k1＜k2，且b1＞b2
C.k1＞k2，且b1＞b2
D.k1＞k2，且b1＜b2
答案：A
解析：設直線l1，l2的傾斜角分別為α1，α2.由題圖可知，＜α1＜α2＜π，所以k1＜k2，又b1＜0，b2＞0，所以b1＜b2.故選A.
5.已知直線kx－y＋1－3k＝0，當k變化時，所有的直線恒過定點(　　 )
A.(1，3) B.(－1，－3)
C.(3，1) D.(－3，－1)
答案：C
解析：直線kx－y＋1－3k＝0變形為y－1＝k(x－3)，所以恒過定點(3，1).故選C.
6.(多選題)經過點(2，1)，且與兩坐標軸圍成等腰直角三角形的直線方程為(　　 )
A.y＝x＋3 B.y＝x－1
C.y＝－x＋3 D.y＝－x－1
答案：BC
解析：由題意可知直線的斜率為k＝±1，當直線的斜率為1時，直線方程為y－1＝x－2，化簡得y＝x－1；當直線的斜率為－1時，直線方程為y－1＝－(x－2)，化簡得y＝－x＋3.故選BC.
7.直線y＝x－4在y軸上的截距是　　　　.
答案：－4
解析：在y＝x－4中，令x＝0，得y＝－4.
8.在y軸上的截距為－6，且與y軸相交成角的直線的斜截式是　　　　　　　　
　　.
答案：y＝x－6或y＝－x－6
解析：因為直線與y軸相交成角，所以直線的傾斜角為，所以直線的斜率為或－，又因為直線在y軸上的截距為－6，所以直線的斜截式為y＝x－6或y＝－x－6.
9.已知直線y＝(3－2k)x－6不經過第一象限，則實數k的取值范圍為　　　　.
答案：
解析：由題意知，需滿足它在y軸上的截距不大于零，且斜率不大于零，則得k≥.
10.(13分)求斜率為，且與兩坐標軸所圍成的三角形的周長是20的直線的方程.
解：設所求直線的方程為y＝x＋b，
令x＝0，得y＝b；
令y＝0，得x＝－b.
由已知，得｜b｜＋＋ ＝20，
即｜b｜＋｜b｜＋｜b｜＝20，解得b＝±5.
故所求直線的方程為y＝x±5.
(11—13，每小題5分，共15分)
11.已知直線l1：y＝x＋2，直線l2是直線l1繞點P(－2，1)逆時針旋轉45°得到的直線，則直線l2的方程是(　　)
A.y＝x＋3 B.y＝－2x－3
C.y＝4x＋9 D.y＝3x＋7
答案：D
解析：設直線l1，l2的傾斜角分別為α，β，則tan α，β＝α＋45°，故tan β＝tan(α＋45°)＝＝3，又點P在直線l2上，故直線l2的方程為y－1＝3(x＋2)，整理得y＝3x＋7.故選D.
12.(新情境)若光線沿傾斜角為120°的直線射向y軸上的點A(0，－4)，則經y軸反射后，反射光線所在的直線方程為(　　)
A.y＝x－4 B.y＝－x－4
C.y＝－x－4 D.y＝x－4
答案：A
解析：光線沿傾斜角為120°的直線射向y軸上的點A(0，－4)，經y軸反射后反射光線所在的直線的傾斜角為60°，則反射光線斜率k＝tan 60°＝，且反射光線過點A(0，－4)，故反射光線所在的直線方程為y＝x－4.故選A.
13.(多選題)設點A(－1，0)，B(1，0)，直線y＝－2x＋b與線段AB相交，則實數b可取的值有(　　)
A.－1 B.0
C.2 D.3
答案：ABC
解析：b為直線y＝－2x＋b在y軸上的截距，如圖所示，當直線y＝－2x＋b過點A(－1，0)和點B(1，0)時，b分別取得最小值和最大值，當直線y＝－2x＋b過點A(－1，0)時，0＝－2×(－1)＋b，解得b＝－2，當直線y＝－2x＋b過點B(1，0)時，0＝－2×1＋b，解得b＝2，所以實數b的取值范圍是[－2，2].故選ABC.
14.(15分)已知直線l經過點P(－1，2).
(1)若l不過原點且在兩坐標軸上截距和為零，求l的點斜式方程；
(2)設l的斜率k＞0，l與兩坐標軸的交點分別為A，B，當△AOB的面積最小時，求l的斜截式方程.
解：(1)由l不過原點且在兩坐標軸上截距和為0，可得截距互為相反數，則斜率k＝1，
所以l的點斜式方程為y－2＝1·[x－(－1)].
(2)設直線l的方程為y－2＝k(x＋1)，
可得A(0，k＋2)，B( －－1，0)，
所以△AOB的面積S＝·｜k＋2｜＝＝＋2＋≥2＋2＝4，
當且僅當＝，k＞0，即k＝2時等號成立，
l的點斜式方程為y－2＝2(x＋1)，即y＝2x＋4，
所以l的斜截式方程為y＝2x＋4.
15.(5分)若△ABC的頂點坐標分別為A(3，4)，B(6，0)，C(－5，－2)，則角A的平分線所在的直線方程為　　　　.
答案：y＝7x－17
解析：因為A(3，4)，B(6，0)，C(－5，－2)，所以kAB＝＝－，kAC＝＝，則kABkAC＝－1.所以∠BAC＝90°.如圖所示，設角A的平分線所在直線的傾斜角為α，則tan α＝－tan(45°＋∠ABO)＝－＝7.所以角A的平分線所在直線的斜率為7，因此所求的直線方程為y－4＝7(x－3)，即y＝7x－17.
16.(17分)如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的長為2，寬為1，邊AB，AD分別在x軸，y軸的正半軸上，點A與坐標原點重合.將矩形折疊，使點A落在線段DC上.若折痕所在直線的斜率為k，試寫出折痕所在的直線方程.
解：當k＝0時，A與D重合，
折痕所在直線方程為y＝；
當k≠0時，點A關于折痕EF的對稱點G在DC上.
設點G的坐標為(t，1)，A(0，0)，則由AG⊥EF，得·k＝－1，所以t＝－k，所以G(－k，1)，
所以M，代入點斜式，
得直線EF的方程為y－＝k，
即y＝k＋＝kx＋＋，
當k＝0時也滿足上式.
綜上所述，直線EF的方程為y＝kx＋＋.
所以折痕所在的直線方程為y＝kx＋＋.
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1.3　直線的方程
　
第一章　§1　直線與直線的方程
第1課時　直線方程的點斜式
學習目標
1.根據確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的點斜式與斜截式，培養直觀想象、邏輯推理的核心素養.　
2.會利用直線的點斜式方程與斜截式方程解決有關的問題，提升數學運算的核心素養.
任務一　直線方程的點斜式
問題導思
新知構建
1.直線l的方程
一般地，如果一條直線l上的每一點的坐標都是一個方程的解，并且以這個方程的解為坐標的點都在直線l上，那么這個方程稱為_____________.
2.直線方程的點斜式
名稱 點斜式方程
已知條件 直線l經過點P(x0，y0)，且斜率為k
示意圖
方程形式 _________________
適用范圍 斜率存在
直線l的方程
y－y0＝k(x－x0)
y＝y0
y＝0
x＝x0
x＝0
(1)點斜式應用的前提是直線的斜率存在，若斜率不存在，則不能應用此式.(2)過某點P，可設直線方程的點斜式，注意討論斜率不存在的情況.
微提醒
典例
1
規律方法
求直線方程的點斜式的步驟
返回
任務二　直線方程的斜截式
問題導思
問題3.考慮一種特殊情形：如果直線l的斜率為k且過P0(0，b)，那么此時直線的方程如何表示？
提示：由y－b＝k(x－0)，得y＝kx＋b.
新知構建
直線方程的斜截式
名稱 斜截式方程
已知條件 斜率k和直線在y軸上的截距b
示意圖
方程形式 __________
適用范圍 斜率存在
y＝kx＋b
微提醒
(1)直線的斜截式方程是直線的點斜式方程的特殊情況.(2)截距是一個實數，它是直線與坐標軸交點的橫坐標或縱坐標，可以為正數、負數和0.當直線過原點時，它的橫截距和縱截距都為0.(3)由直線的斜截式方程可直接得到直線的斜率和縱截距，如直線y＝2x－3的斜率k＝2，縱截距為－3.
典例
2
規律方法
求直線的斜截式方程的策略
1.直線的斜截式方程是點斜式方程的特殊形式，其適用前提是直線的斜率存在，只要點斜式中的點在y軸上，就可以直接用斜截式
表示.
2.直線的斜截式方程y＝kx＋b中只有兩個參數，因此要確定直線方程，只需知道參數k，b的值即可.
√
√
(2)(雙空題)直線l過點(2，－1)，且斜率為3，則直線l的斜截式方程為____________；在y軸上的截距為________.
－7
y＝3x－7
直線l過點(2，－1)，且l的斜率為3，由直線的點斜式方程得：y＋1＝3(x－2)，即y＝3x－7，當x＝0時，y＝－7，則l在y軸上的截距為－7.
返回
任務三　點斜式(斜截式)方程的應用
典例
3
規律方法
直線點斜式與基本不等式綜合的3個關鍵點
1.一般地，已知直線上某點時，常設出其點斜式，且注意斜率是否存在.
2.構建函數解析式后，應注明變量的取值范圍.
3.運用基本不等式求最值，應注意“等號”是否取到.如果取不到，可用函數單調性求最值.
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課堂小結
任務再現 1.直線方程的點斜式.2.直線方程的斜截式.3.點斜式(斜截式)方程的應用
方法提煉 待定系數法、數形結合思想
易錯警示 求直線方程時忽視斜率不存在的情況；混淆截距與距離
隨堂評價
√
1.方程y＝k(x－1)(k∈R)表示
A.過點(－1，0)的一切直線
B.過點(1，0)的一切直線
C.過點(1，0)且不垂直于x軸的一切直線
D.過點(1，0)且除x軸外的一切直線
y＝k(x－1)表示過點(1，0)且不垂直于x軸的一切直線.故選C.
2.斜率為4，且過點(2，－3)的直線的點斜式方程是
A.y＋3＝4(x－2)
B.y－3＝4(x－2)
C.y－3＝4(x＋2)
D.y＋3＝4(x＋2)
√
3.直線y＝kx＋b通過第一、三、四象限，則有
A.k＞0，b＞0
B.k＞0，b＜0
C.k＜0，b＞0
D.k＜0，b＜0
解析：因為直線通過第一、三、四象限，所以圖象如圖所示，由圖知，k＞0，b＜0.故選B.
√
y＝x＋1
返回
課時分層評價
√
√
2.直線y＝kx＋1恒過點
A.(1，0) B.(－1，0)
C.(0，1) D.(0，－1)
√
√
4.直線l1：y＝k1x＋b1與l2：y＝k2x＋b2的位置關系如圖所示，則有
A.k1＜k2，且b1＜b2
B.k1＜k2，且b1＞b2
C.k1＞k2，且b1＞b2
D.k1＞k2，且b1＜b2
√
5.已知直線kx－y＋1－3k＝0，當k變化時，所有的直線恒過定點
A.(1，3)
B.(－1，－3)
C.(3，1)
D.(－3，－1)
直線kx－y＋1－3k＝0變形為y－1＝k(x－3)，所以恒過定點(3，1).故
選C.
√
√
6.(多選題)經過點(2，1)，且與兩坐標軸圍成等腰直角三角形的直線方
程為
A.y＝x＋3
B.y＝x－1
C.y＝－x＋3
D.y＝－x－1
由題意可知直線的斜率為k＝±1，當直線的斜率為1時，直線方程為
y－1＝x－2，化簡得y＝x－1；當直線的斜率為－1時，直線方程為y－1＝－(x－2)，化簡得y＝－x＋3.故選BC.
－4
9.已知直線y＝(3－2k)x－6不經過第一象限，則實數k的取值范圍為
_____________.

√
√
13.(多選題)設點A(－1，0)，B(1，0)，直線y＝－2x＋b與線段AB相交，則實數b可取的值有
A.－1 B.0
C.2 D.3
√
√
√
b為直線y＝－2x＋b在y軸上的截距，如圖所示，當直線
y＝－2x＋b過點A(－1，0)和點B(1，0)時，b分別取得最
小值和最大值，當直線y＝－2x＋b過點A(－1，0)時，0
＝－2×(－1)＋b，解得b＝－2，當直線y＝－2x＋b過點B(1，0)時，0＝－2×1＋b，解得b＝2，所以實數b的取值范圍是[－2，2].故選ABC.
14.(15分)已知直線l經過點P(－1，2).
(1)若l不過原點且在兩坐標軸上截距和為零，求l的點斜式方程；
解：由l不過原點且在兩坐標軸上截距和為0，可得截距互為相反數，則斜率k＝1，
所以l的點斜式方程為y－2＝1·[x－(－1)].
15.(5分)若△ABC的頂點坐標分別為A(3，4)，B(6，0)，C(－5，－2)，則角A的平分線所在的直線方程為__________.
y＝7x－17
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