資源簡介

§1　直線與直線的方程
1.1　一次函數的圖象與直線的方程
1.2　直線的傾斜角、斜率及其關系
學習目標 1.在平面直角坐標系中，結合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素，培養直觀想象的核心素養.　2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，提升數學抽象的核心素養.　3.經歷用代數方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線斜率的計算公式，提升數學運算的核心素養.　4.理解直線的斜率與傾斜角、方向向量的關系，并會應用斜率公式求直線的斜率，提升數學抽象、數學運算的核心素養.
任務一　直線的傾斜角
問題1.在平面中，怎樣才能確定一條直線？
提示：兩點確定一條直線，一點和一個方向也可以確定一條直線.
問題2.在平面直角坐標系中，規定水平直線的方向向右，其他直線向上的方向為這條直線的方向，圖中過點P的直線有什么區別？
提示：直線的方向不同，相對于x軸的傾斜程度不同.
傾斜角的概念
定義 在平面直角坐標系中，對于一條與x軸相交的直線l，把x軸(正方向)按逆時針方向繞著交點旋轉到和直線l首次重合時所成的角，稱為直線l的傾斜角
規定 當直線l和x軸平行或重合時，直線l的傾斜角為0
記法 α
圖示
范圍 [0，π)
具體如下：
傾斜角 α＝0 0＜α＜ α＝ ＜α＜π
直線 與x軸平行(重合) 由左向右上升 與x軸垂直 由左向右下降
微提醒(1)從運動變化的觀點來看，當直線l與x軸相交時，直線l的傾斜角是由x軸繞直線l與x軸的交點按逆時針方向旋轉到與直線l重合時所得到的最小正角.(2)傾斜角從“形”的方面直觀地體現了直線對x軸正向的傾斜程度.
[微思考]　任何一條直線都有傾斜角嗎？不同的直線其傾斜角一定不相同嗎？
提示：由傾斜角的定義可以知道，任何一條直線都有傾斜角；不同的直線其傾斜角有可能相同，如平行的直線其傾斜角是相同的.
求圖中各直線的傾斜角：
解：(1)如圖①，可知∠OAB為直線l1的傾斜角.
易知∠ABO＝，
所以∠OAB＝，即直線l1的傾斜角為.
(2)如圖②，可知∠xAB為直線l2的傾斜角，易知∠OBA＝，所以∠OAB＝，
所以∠xAB＝，即直線l2的傾斜角為.
(3)如圖③，可知∠OAC為直線l3的傾斜角，易知∠ABO＝，所以∠BAO＝，
所以∠OAC＝，即直線l3的傾斜角為.
求直線傾斜角的關鍵及兩點注意 1.關鍵：依據平面幾何知識判斷直線向上的方向與x軸正方向之間所成的角. 2.注意：(1)當直線與x軸平行或重合時，傾斜角為0；當直線與x軸垂直時，傾斜角為.(2)直線傾斜角的取值范圍是[0，π).
對點練1.(1)若直線l經過第二、四象限，則直線l的傾斜角范圍是(　　)
A.0°≤α＜90° B.90°≤α＜180°
C.90°＜α＜180° D.0°＜α＜180°
(2)已知直線l向上的方向與y軸正向所成的角為30°，則直線l的傾斜角為　　　　.
答案：(1)C(2)60°或120°
解析：(1)直線傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°，又直線l經過第二、四象限，所以直線l的傾斜角范圍是90°＜α＜180°.故選C.
(2)有兩種情況：如圖①所示，直線l向上的方向與x軸正向所成的角為60°，即直線l的傾斜角為60°.
如圖②所示，直線l向上的方向與x軸正向所成的角為120°，即直線l的傾斜角為120°.
任務二　直線的斜率
問題3.日常生活中，常用坡度(坡度＝)表示傾斜程度，例如，“進2升3”與“進2升2”比較，前者更陡一些，因為坡度＞.在平面直角坐標系中，我們能否用“坡度”的計算方法來刻畫直線的傾斜程度？
提示：結合“坡度”的計算方法可以利用傾斜角的正切值來刻畫直線的傾斜程度.
問題4.(1)直線l的斜率k和它的傾斜角α的取值范圍分別是什么？
(2)如圖，A(x1，y1)，B(x2，y2)是傾斜角為α的直線l上的兩點，則該直線的斜率k與傾斜角有什么關系？
提示：(1)k∈(－∞，＋∞)，α∈[0，π).
(2)過A作直線平行于x軸，過B作直線垂直于x軸，交于一點C，如圖，則△ABC是直角三角形，故有tan α＝，而BC＝y2－y1，AC＝x2－x1，所以tan α＝，即k＝tan α.
問題5.當直線的傾斜角由0逐漸增大到π，其斜率如何變化？為什么？
提示：如圖所示，
根據正切函數的圖象變化可知，當傾斜角為銳角時，斜率為正，斜率隨著傾斜角的增大而增大；當傾斜角為鈍角時，斜率為負，斜率隨著傾斜角的增大而增大.當α＝時，直線l與x軸垂直，此時直線l的斜率不存在.
1.直線的斜率
(1)稱k＝(其中x1≠x2)為經過不同兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線l的斜率.
(2)若直線l垂直于x軸，則它的斜率不存在；若直線l不與x軸垂直，則它的斜率存在且唯一.因此我們常用斜率表示直線的傾斜程度.
2.直線的斜率與傾斜角的關系
(1)傾斜角不是的直線，它的斜率k和它的傾斜角α滿足k＝tan α.
(2)從函數角度看，k是α的函數，其中k＝tan α，圖象如圖所示.
①當α∈時，斜率k≥0，且k隨傾斜角α的增大而增大；
②當α∈時，斜率k＜0，且k隨傾斜角α的增大而增大；
③當α＝時，直線l與x軸垂直，此時直線l的斜率不存在.
微提醒　k的大小與兩點P1，P2的位置無關.
(鏈教材P4例1，P6例3)(1)已知兩條直線的傾斜角分別為，，求這兩條直線的斜率；
(2)已知A(3，2)，B(－4，1)，求直線AB的斜率；
(3)求經過兩點A(2，3)，B(m，4)的直線的斜率；
(4)若≤α≤，求斜率k的取值范圍.
解：(1)直線的斜率分別為k1＝tan ＝，k2＝tan ＝－1.
(2)直線AB的斜率kAB＝＝.
(3)當m＝2時，直線AB的斜率不存在；
當m≠2時，直線AB的斜率為kAB＝＝.
(4)由正切函數的性質，可得當≤α＜時，k＝tan α≥1；當＜α≤時，k＝tan α≤－；當α＝時，斜率k不存在.
綜上，斜率k的取值范圍是{k｜k≤－，或k≥1}.特別地，當α＝時，斜率k不存在.
求直線斜率的兩種類型 1.已知直線的傾斜角α( α≠)求直線斜率時，可利用斜率與傾斜角的關系，即k＝tan α求得. 2.已知直線上兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，代入斜率公式k＝求得. 注意：(1)x1≠x2，當x1＝x2時斜率不存在.(2)公式中的x1與x2，y1與y2可以同時交換位置.
對點練2.若－≤k≤1，則傾斜角α的取值范圍為　　　　.
答案：
解析：由－≤k≤1，可得－≤tan α≤1.又0≤α＜π，所以由正切函數的性質，得傾斜角α的取值范圍是.
任務三　直線的斜率與方向向量的關系
問題6.(1)什么是直線的方向向量？
(2)已知直線l上兩點A(1，2)，B(－1，3)，你能寫出直線l的一個方向向量嗎？若A(1，2)，B(1，3)呢？
提示：(1)直線上的向量及與之平行的非零向量.
(2)＝(－1－1，3－2)＝(－2，1).
＝(1－1，3－2)＝(0，1).
1.直線的方向向量
如圖，在直線l上任取兩個不同的點P1(x1，y1)，P2(x2，y2).由平面向量的知識可知，向量是直線l的方向向量，它的坐標是(x2－x1，y2－y1)，直線的傾斜角α、斜率k、方向向量分別從不同角度刻畫一條直線相對于平面直角坐標系中x軸的傾斜程度.它們之間的關系是k＝＝tan α(其中x1≠x2).
2.直線的斜率與方向向量的坐標之間的關系
若k是直線l的斜率，則v＝(1，k)是它的一個方向向量；若直線l的一個方向向量的坐標為(x，y)，其中x≠0，則它的斜率k＝.
微提醒(1)任意斜率不存在的直線的單位方向向量為a＝(0，±1). (2)任意直線的方向向量可表示為a＝(cos θ，sin θ)(θ為傾斜角).
(1)已知直線l經過點P(1，2)和點Q(－2，－2)，則直線l的單位方向向量為(　　)
A.(－3，－4) B.( －，－)
C.( ±，±) D.±( ，)
(2)已知直線l的一個方向向量為(5，8)，且該直線過點(1，2)，則直線l過點(　　)
A.(6，10) B.(4，8)
C.(2，4) D.
答案：(1)D(2)A
解析：(1)由題意得，直線l的一個方向向量為＝(－3，－4)，所以直線l的單位方向向量為±＝±(－3，－4)＝±( ，).故選D.
(2)因為直線l的一個方向向量為(5，8)，所以直線l的斜率為，設直線l上一點為(x，y)，則＝(x≠1)，將選項對應點的坐標代入此式，選項A能使等式成立.故選A.
直線的方向向量的求法 1.在直線上任找兩個不同的點P1，P2，則(或)為直線l的一個方向向量. 2.已知直線的斜率為k，則v＝(1，k)為直線的一個方向向量. 3.a＝(t，0)(t≠0)表示與x軸平行或重合的直線的方向向量，a＝(0，t)(t≠0)表示與y軸平行或重合的直線的方向向量.
對點練3.已知直線l的斜率為－，求直線l的模長為1的方向向量.
解：設直線l的方向向量為b＝(x，y)，
則＝－.①
因為｜b｜＝1，所以x2＋y2＝1.②
由①②得
所以b＝，或b＝.
任務四　三點共線問題
(鏈教材P5例2)已知三點A(a，2)，B(3，7)，C(－2，－9a).
(1)若A，B，C三點在同一直線上，求實數a的值；
(2)若點A不在直線BC上，求實數a的取值范圍.
解：(1)因為A，B，C三點共線，
所以kAB＝kBC，即＝，
所以a＝2，或a＝.
(2)當A，B，C三點共線時，a＝2，或a＝，
那么當A，B，C三點不共線，即點A不在直線BC上時，a≠2，且a≠.
所以實數a的取值范圍為.
用斜率公式解決三點共線的方法
對點練4.已知A(a＋2，a)，B(1，－a)，C(a－4，a－1)三點構成一個三角形，求實數a的取值范圍.
解：因為A(a＋2，a)，B(1，－a)，C(a－4，a－1)，
所以kAC＝＝.
當a＋2＝1，即a＝－1，此時A(1，－1)，B(1，1)，C(－5，－2)，則AB的斜率不存在，
此時A，B，C三點能構成一個三角形；
當a＋2≠1，即a≠－1時，kAB＝，要使A，B，C三點能構成一個三角形，則kAB≠kAC，即≠，解得a≠.
綜上可得，實數a的取值范圍為( －∞，)∪( ，＋∞).
任務五　數形結合法求傾斜角或斜率范圍
已知兩點A(－3，4)，B(3，2)，過點P(1，0)的直線l與線段AB有公共點.求直線l的斜率k的取值范圍.
解：如圖所示，由題意知kPA＝＝－1，kPB＝＝1.
要使直線l與線段AB有公共點，則直線l的斜率k的取值范圍是(－∞，－1]∪[1，＋∞).
[變式探究]
1.(變條件)本例條件中“與線段AB有公共點”改為“與線段AB無公共點”.求直線l的斜率k的取值范圍.
解：由本例知與線段AB有公共點時，
斜率k滿足k≤－1或k≥1.
則與線段AB無公共點時斜率k的取值范圍為(－1，1).
2.(變條件，變結論)本例條件改為點(x，y)在線段AB上，求的取值范圍.
解：表示連接兩點(x，y)和(1，0)的直線的斜率，與本例題解題過程一樣.
解決取值范圍問題的基本方法——數形結合 　　斜率k的大小與正切函數之間的關系是用傾斜角α來聯系的，因此，可以由傾斜角的變化得出斜率的變化.如圖所示，過點P的直線l與線段AB相交時，因為過點P且與x軸垂直的直線PC的斜率不存在，而直線PC與線段AB不相交，所以直線l的斜率k的取值范圍是kPA≤k≤kPB.解決這類問題時，可利用數形結合思想直觀地判斷直線的位置.
對點練5.已知過點(0，－2)的直線l與以點A(3，1)和B(－2，4)為端點的線段AB相交，求直線l的斜率的取值范圍.
解：設點P(0，－2)，由題意作出圖形，如圖所示，
因為kPA＝＝1，kPB＝＝－，
若要使直線l與線段AB相交，
則kl≥kPA或kl≤kPB，
所以直線l的斜率的取值范圍為(－∞，－]∪[1，＋∞).
任務再現 1.直線的傾斜角及其范圍.2.直線斜率的定義和斜率公式.3.直線的傾斜角與斜率的關系.4.直線的斜率與方向向量的關系.5.三點共線問題.6.數形結合法求傾斜角或斜率范圍
方法提煉 數形結合思想、分類討論思想
易錯警示 忽視傾斜角范圍、圖形理解不清、由于對正切函數性質理解不到位而造成求解斜率范圍出現錯誤
1.下列圖中，α能表示直線l的傾斜角的是(　　 )
A.① B.①② C.①③ D.②④
答案：A
解析：由傾斜角的定義可得.
2.已知直線過點A(0，4)和點B(1，2)，則直線AB的斜率為(　　 )
A.3 B.－2 C.2 D.不存在
答案：B
解析：由題意可得AB的斜率為k＝＝－2.故選B.
3.已知經過A(1－a，1＋a)，B(3，2a)兩點的直線l的方向向量為(1，－2)，則實數a的值為　　　　.
答案：－1
解析：由已知可得，＝(2＋a，a－1).又直線l的方向向量為(1，－2)，所以＝(2＋a，a－1)與(1，－2)共線，所以有－2(2＋a)－1×(a－1)＝0，解得a＝－1.
4.已知直線l的傾斜角的范圍是，則直線l的斜率的取值范圍是　 　
　　　　　　.
答案：(－∞，－1]∪[1，＋∞)
解析：當傾斜角α＝時，l的斜率不存在；當α∈時，l的斜率k＝tan α∈[1，＋∞)；當α∈時，l的斜率k＝tan α∈(－∞，－1].
課時分層評價1　一次函數的圖象與直線的方程
直線的傾斜角、斜率及其關系
(時間：60分鐘　滿分：110分)
(1—9，每小題5分，共45分)
1.以下兩點確定的直線的斜率不存在的是(　　 )
A.(4，1)與(－4，－1) B.(0，1)與(1，0)
C.(1，4)與(－1，4) D.(－4，1)與(－4，－1)
答案：D
解析：選項A、B、C、D中，只有D選項的橫坐標相同，所以這兩點確定的直線與x軸垂直，即它們確定的直線的斜率不存在.故選D.
2.若圖中的直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則(　　 )
A.k1＜k2＜k3
B.k3＜k1＜k2
C.k3＜k2＜k1
D.k1＜k3＜k2
答案：D
解析：直線l1的傾斜角α1是鈍角，故k1＜0.直線l2與l3的傾斜角α2與α3均為銳角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2.故選D.
3.(多選題)給出下列結論，其中說法正確的是(　　 )
A.若(1，k)是直線l的一個方向向量，則k是該直線的斜率
B.若直線l的斜率是k，則是該直線的一個方向向量
C.任一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率
D.任一條直線都有斜率，但不一定有傾斜角
答案：ABC
4.過點M(－2，m)，N(m，4)的直線的斜率等于1，則m的值為(　　 )
A.1 B.4
C.1或3 D.1或4
答案：A
解析：因為kMN＝＝1，所以m＝1.故選A.
5.(多選題)已知點A(2，－1)，若在坐標軸上存在一點P，使直線PA的傾斜角為，則點P的坐標為(　　 )
A.(0，1) B.(－1，0)
C.(3，0) D.(0，－3)
答案：CD
解析：若點P在x軸上，設P(x，0)，則k＝＝tan ＝1，所以x＝3，即P(3，0).若點P在y軸上，設P(0，y)，則k＝＝tan＝1，所以y＝－3，即P(0，－3).故選CD.
6.(一題多解)直線l的傾斜角是斜率為的直線的傾斜角的2倍，則l的斜率為(　　 )
A.1 B.
C. D.－
答案：B
解析：法一：設斜率為的直線的傾斜角為α，則tan α＝，0≤α＜π，所以α＝，所以2α＝，所以l的斜率k＝tan 2α＝.故選B.
法二：設斜率為的直線的傾斜角為α，則tan α＝，所以l的斜率k＝tan 2α＝＝.故選B.
7.已知直線l過點A(1，2)，且不過第四象限，則直線l的斜率k的最大值是　　　　.
答案：2
解析：如圖所示，kOA＝2，＝0，只有當直線落在圖中所示位置時才符合題意，故k∈[0，2].故直線l的斜率k的最大值為2.
8.若直線l的斜率k的取值范圍是，則該直線的傾斜角α的取值范圍是　　　　　　　.
答案：
解析：當0≤k＜時，即0≤tan α＜，又α∈，所以α∈.
9.(開放題)已知點A(1，0)，B(2，)，C(m，2m)，若直線AC的傾斜角是直線AB的傾斜角的2倍，則實數m的值為　　　　，直線AC的一個方向向量為　　　　.
答案：2－3(1，－)(答案不唯一)
解析：因為kAB＝＝，所以直線AB的傾斜角為，則直線AC的傾斜角為.kAC＝＝tan ，即＝－，得m＝2－3，直線AC的一個方向向量為(1，－).
10.(13分)已知坐標平面內三點P(3，－1)，M(6，2)，N(－，)，直線l過點P.若直線l與線段MN相交，求直線l的傾斜角的取值范圍.
解：如圖所示，考慮臨界狀態，令直線PM的傾斜角為α1，直線PN的傾斜角為α2，
由題意知，tan α1＝＝1，
tan α2＝＝－，
故直線PM的傾斜角為，直線PN的傾斜角為.
結合圖形，根據傾斜角的定義知，符合條件的直線l的傾斜角α的取值范圍是.
(11—13，每小題5分，共15分)
11.若經過兩點A(2，1)，B(1，m2)的直線l的傾斜角為銳角，則實數m的取值范圍是(　　 )
A.(－∞，1) B.(－1，＋∞)
C.(－1，1) D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
答案：C
解析：因為直線l的傾斜角為銳角，所以斜率k＝＞0，所以－1＜m＜1.故選C.
12.(雙空題)已知點A(3，1)，B(－2，k)，C(8，1).則直線AC的傾斜角為　　　　；若這三點能構成三角形，則實數k的取值范圍為　　　　　　　.
答案：0(－∞，1)∪(1，＋∞)
解析：因為kAC＝＝＝0，所以直線AC的傾斜角為0，又kAB＝＝，要使A，B，C三點能構成三角形，需三點不共線，即kAB≠kAC，所以≠0，所以k≠1.
13.已知直線l的方向向量n＝(2，4)且與x軸交于點A，直線l繞點A逆時針旋轉60°得到直線l'，則直線l'的斜率為　　　　.
答案：－
解析：設直線l，l'的傾斜角分別為α，β，由直線l的方向向量n＝(2，4)可得直線l的斜率為2，即tan α＝2＞0，α為銳角，又因為直線l繞點A逆時針旋轉60°得到直線l'，所以β＝α＋60°，所以直線l'的斜率為k＝tan β＝tan(α＋60°)＝＝＝－.
14.(15分)已知A(3，1)，B(2，4)，C(m，2)三點.
(1)若直線BC的傾斜角為135°，求m的值；
(2)是否存在m，使得A，B，C三點共線？若存在，求m的值；若不存在，說明理由.
解：(1)因為B(2，4)，C(m，2)，直線BC的傾斜角為135°，
所以kBC＝－1＝，解得m＝4，故m的值為4.
(2)已知A(3，1)，B(2，4)，C(m，2)三點，
當A，B，C三點共線時，kAB＝kBC，即＝，解得m＝.
所以存在m使得A，B，C三點共線，此時m＝.
15.(5分)(新情境)函數y＝f(x)的圖象如圖，在區間[a，b]上可找到n(n≥2)個不同的數x1，x2，…，xn，使得＝＝…＝，則n的取值集合為(　　)
A.{3，4} B.{2，3，4}
C.{3，4，5} D.{2，3}
答案：B
解析：如圖所示，＝＝…＝的幾何意義是：曲線上存在n個點與坐標原點連線的斜率相等，即n指的是過原點的直線與曲線的交點個數，由圖可得n的值可以為2，3，4.故選B.
16.(17分)已知點M(x，y)在函數y＝2x＋8的圖象上，當x∈時，求：
(1)的取值范圍；
(2)的取值范圍.
解：(1)因為點M在函數y＝2x＋8的圖象上，且x∈，記點A(－3，2)，B(5，18).
由題意可知點M(x，y)在線段AB上移動.記點N(－1，－1)，
則可看作過點M(x，y)與點N(－1，－1)的直線的斜率.
又因為kNA＝－，kNB＝，
由于－1∈，可知線段AB上存在點與N點連線的斜率不存在，
所以的取值范圍為( －∞，－］∪［，＋∞).
(2)因為＝2×，記點P，
則可看作過點M(x，y)與點P的直線的斜率.
又因為kPA＝－，kPB＝－，所以.
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第一章　§1　直線與直線的方程
1.1　一次函數的圖象與直線的方程
1.2　直線的傾斜角、斜率及其關系
學習目標
1.在平面直角坐標系中，結合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素，培養直觀想象的核心素養.　
2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，提升數學抽象的核心
素養.　
3.經歷用代數方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線斜率的計算公式，提升數學運算的核心素養.　
4.理解直線的斜率與傾斜角、方向向量的關系，并會應用斜率公式求直線的斜率，提升數學抽象、數學運算的核心
素養.
任務一　直線的傾斜角
問題導思
問題1.在平面中，怎樣才能確定一條直線？
提示：兩點確定一條直線，一點和一個方向也可以確定一條直線.
問題2.在平面直角坐標系中，規定水平直線的方向向右，其他直線向上的方向為這條直線的方向，圖中過點P的直線有什么區別？
提示：直線的方向不同，相對于x軸的傾斜程度不同.
新知構建
傾斜角的概念
定義 在平面直角坐標系中，對于一條與x軸相交的直線l，把_____(正方向)按逆時針方向繞著交點旋轉到和直線l__________時所成的角，稱為直線l的傾斜角
規定 當直線l和x軸平行或重合時，直線l的傾斜角為___
記法 α
圖示
范圍 __________
x軸
首次重合
0
[0，π)
具體如下：
傾斜角 α＝0
直線 與x軸平行(重合)
由左向右上升 與x軸垂直 由左向右下降
(1)從運動變化的觀點來看，當直線l與x軸相交時，直線l的傾斜角是由x軸繞直線l與x軸的交點按逆時針方向旋轉到與直線l重合時所得到的最小正角.(2)傾斜角從“形”的方面直觀地體現了直線對x軸正向的傾斜程度.
微提醒
任何一條直線都有傾斜角嗎？不同的直線其傾斜角一定不相同嗎？
提示：由傾斜角的定義可以知道，任何一條直線都有傾斜角；不同的直線其傾斜角有可能相同，如平行的直線其傾斜角是相同的.
微思考
求圖中各直線的傾斜角：
典例
1
規律方法
直線傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°，又直線l經過第二、四象限，所以直線l的傾斜角范圍是90°＜α＜180°.故選C.
√
對點練1.(1)若直線l經過第二、四象限，則直線l的傾斜角范圍是
A.0°≤α＜90°
B.90°≤α＜180°
C.90°＜α＜180°
D.0°＜α＜180°
(2)已知直線l向上的方向與y軸正向所成的角為30°，則直線l的傾斜角為______________.
有兩種情況：如圖①所示，直線l向上的方向與x軸正向所成的角為60°，即直線l的傾斜角為60°.
如圖②所示，直線l向上的方向與x軸正向所成的角為120°，即直線l的傾斜角為120°.
60°或120°
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任務二　直線的斜率
問題導思
新知構建
不存在
存在且唯一
傾斜程度
tan

增大
增大
不存在
微提醒
k的大小與兩點P1，P2的位置無關.
典例
2
規律方法

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任務三　直線的斜率與方向向量的關系
問題導思
新知構建
方向向量
tan α

2.直線的斜率與方向向量的坐標之間的關系
若k是直線l的斜率，則v＝(1，k)是它的一個__________；若直線l的一個方
向向量的坐標為(x，y)，其中x≠0，則它的斜率k＝____.
方向向量

(1)任意斜率不存在的直線的單位方向向量為a＝(0，±1). (2)任意直線的方向向量可表示為a＝(cos θ，sin θ)(θ為傾斜角).
微提醒
典例
3
√

√

規律方法
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任務四 三點共線問題
典例
4
規律方法
用斜率公式解決三點共線的方法
返回
任務五 數形結合法求傾斜角或斜率范圍
典例
5
規律方法
解決取值范圍問題的基本方法——數形結合
斜率k的大小與正切函數之間的關系是用傾斜角α來聯系的，因此，可以由傾斜角的變化得出斜率的變化.如圖所示，過點P的直線l與線段AB相交時，因為過點P且與x軸垂直的直線PC的斜率不存在，而直線PC與線段AB不相交，所以直線l的斜率k的取值范圍是kPA≤k≤kPB.解決這類問題時，可利用數形結合思想直觀地判斷直線的位置.
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課堂小結
任務再現 1.直線的傾斜角及其范圍.2.直線斜率的定義和斜率公式.3.直線的傾斜角與斜率的關系.4.直線的斜率與方向向量的關系.5.三點共線問題.6.數形結合法求傾斜角或斜率范圍
方法提煉 數形結合思想、分類討論思想
易錯警示 忽視傾斜角范圍、圖形理解不清、由于對正切函數性質理解不到位而造成求解斜率范圍出現錯誤
隨堂評價
√
1.下列圖中，α能表示直線l的傾斜角的是
A.① B.①② C.①③ D.②④
由傾斜角的定義可得.
√
2.已知直線過點A(0，4)和點B(1，2)，則直線AB的斜率為
A.3 B.－2
C.2 D.不存在
3.已知經過A(1－a，1＋a)，B(3，2a)兩點的直線l的方向向量為(1，－2)，則實數a的值為________.
－1
(－∞，－1]∪[1，＋∞)
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課時分層評價
選項A、B、C、D中，只有D選項的橫坐標相同，所以這兩點確定的直線與x軸垂直，即它們確定的直線的斜率不存在.故選D.
√
1.以下兩點確定的直線的斜率不存在的是
A.(4，1)與(－4，－1) B.(0，1)與(1，0)
C.(1，4)與(－1，4) D.(－4，1)與(－4，－1)
√
2.若圖中的直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則
A.k1＜k2＜k3
B.k3＜k1＜k2
C.k3＜k2＜k1
D.k1＜k3＜k2
直線l1的傾斜角α1是鈍角，故k1＜0.直線l2與l3的傾斜角α2與α3均為銳角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2.故選D.
√
√
√
√
4.過點M(－2，m)，N(m，4)的直線的斜率等于1，則m的值為
A.1 B.4
C.1或3 D.1或4
√
√
√

7.已知直線l過點A(1，2)，且不過第四象限，則直線l的斜率k的最大值是_______.
2


√
11.若經過兩點A(2，1)，B(1，m2)的直線l的傾斜角為銳角，則實數m的取值范圍是
A.(－∞，1) B.(－1，＋∞)
C.(－1，1) D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
12.(雙空題)已知點A(3，1)，B(－2，k)，C(8，1).則直線AC的傾斜角為________；若這三點能構成三角形，則實數k的取值范圍為_____________
_________.
0
(－∞，1)∪
(1，＋∞)
13.已知直線l的方向向量n＝(2，4)且與x軸交于點A，直線l繞點A逆時針旋轉60°得到直線l'，則直線l'的斜率為__________.

√

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