資源簡介

1.6　平面直角坐標系中的距離公式
第1課時　兩點間的距離公式
學習目標 1.探索并掌握平面上兩點間的距離公式，提升直觀想象、數學運算的核心素養.　2.會利用兩點間的距離公式解決一些相關的問題，提升邏輯推理、數學運算的核心素養.
任務一　兩點間的距離公式
問題1.在數軸上已知兩點A，B，如何求A，B兩點間的距離？
提示：｜AB｜＝｜xB－xA｜.
問題2.在平面直角坐標系中，若兩點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎樣求這兩點間的距離｜AB｜？
提示：(1)當AB與x軸平行時，｜AB｜＝｜x2－x1｜；
(2)當AB與y軸平行時，｜AB｜＝｜y2－y1｜；
(3)當AB與坐標軸不平行時，如圖所示，在Rt△ABC中，
｜AB｜2＝｜AC｜2＋｜BC｜2，
所以｜AB｜
＝.
即A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點間的距離為｜AB｜＝.
1.兩點間的距離公式
平面上A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點間的距離公式｜AB｜＝.
2.兩點間距離的特殊情況
(1)原點O(0，0)與任一點A(x，y)間的距離｜OA｜＝.
(2)當AB∥x軸(y1＝y2)時，｜AB｜＝｜x2－x1｜.
(3)當AB∥y軸(x1＝x2)時，｜AB｜＝｜y2－y1｜.
[微思考]　A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點間的距離公式是否可以寫成｜AB｜＝的形式？
提示：可以，原因是＝，也就是說公式中A，B兩點的位置沒有先后之分，與兩點的先后順序無關.
(1)已知A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)，則的值為(　　)
A. B.
C.3 D.2
答案：D
解析：由兩點間的距離公式，得｜AC｜＝＝4，｜CB｜＝＝2，所以＝＝2.故選D.
(2)已知點A(－3，4)，B(2，)，在x軸上找一點P，使｜PA｜＝｜PB｜，并求｜PA｜的值.
解：設點P的坐標為(x，0)，則有
｜PA｜＝＝，
｜PB｜＝＝.
由｜PA｜＝｜PB｜，得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，
解得x＝－.
故所求點P的坐標為.
｜PA｜＝＝.
計算兩點間的距離的方法
1.對于任意兩點A(x1，y1)和B(x2，y2)，則｜AB｜＝.
2.對于兩點的橫坐標或縱坐標相等的情況，可直接利用距離公式的特殊情況｜y2－y1｜或｜x2－x1｜求解.
對點練1.求下列兩點間的距離：
(1)A(3，1)，B(－2，5)；
(2)A(3，0)，B(－1，0)；
(3)A(a，5)，B(a，－2).
解：(1)｜AB｜＝＝.
(2)由于點A，B均在x軸上，
所以｜AB｜＝｜－1－3｜＝4.
(3)由于直線AB⊥x軸，
所以｜AB｜＝｜－2－5｜＝7.
任務二　兩點間的距離公式的應用
角度1　由兩點間的距離求參數的值
若點M到x軸和到點N(－4，2)的距離都等于10，則點M的坐標為　　　　　　.
答案：(2，10)或(－10，10)
解析：由點M到x軸的距離等于10可知，其縱坐標為±10.設點M的坐標為(xM，±10).由兩點間的距離公式，得｜MN｜＝＝10或｜MN｜＝＝10，解得xM＝－10或xM＝2，所以點M的坐標為(2，10)或(－10，10).
[變式探究]
(變條件)將本例中“點M到x軸”改為“點M到y軸”，其他條件不變，求點M的坐標.
解：由點M到y軸的距離等于10可知，其橫坐標為±10.
設點M的坐標為(±10，yM)，
由兩點間的距離公式得
｜MN｜＝＝10，
或｜MN｜＝＝10，
解得yM＝－6或10.
所以點M的坐標為(－10，－6)或(－10，10).
根據兩點間的距離公式得到所求參數的方程，注意含有根號需要平方，方能求解.
對點練2.已知A(a，3)，B(3，3a＋3)的距離為5，求a的值.
解：｜AB｜＝
＝＝5，
即(a－3)2＋(3a)2＝25，
即5a2－3a－8＝0，
解得a＝－1，或a＝，
因此a的值為－1或.
角度2　判斷三角形的形狀
(一題多解)已知△ABC三頂點坐標為A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，試判斷△ABC的形狀.
解：法一：根據兩點間的距離公式，
得｜AB｜＝＝2，
｜AC｜＝＝2，
又｜BC｜＝＝2，
所以｜AB｜2＋｜AC｜2＝｜BC｜2，且｜AB｜＝｜AC｜，
所以△ABC是等腰直角三角形.
法二：因為kAC＝＝，
kAB＝＝－，
則kAC·kAB＝－1，所以AC⊥AB.
又｜AC｜＝＝2，
｜AB｜＝＝2，
所以｜AC｜＝｜AB｜.
所以△ABC是等腰直角三角形.
1.判斷三角形的形狀，要采用數形結合的方法，大致明確三角形的形狀，以確定證明的方向.
2.在分析三角形的形狀時，要從兩方面考慮：一是要考慮角的特征，主要考查是否為直角或等角；二是要考慮三角形的長度特征，主要考查邊是否相等或是否滿足勾股定理.
對點練3.已知點A(5，1)關于x軸的對稱點為B(x1，y1)，關于原點的對稱點為C(x2，y2).
(1)試判斷△ABC的形狀；
(2)求△ABC的面積.
解：(1)依題意得，點A(5，1)關于x軸的對稱點為B(5，－1)，關于原點的對稱點為C(－5，－1)，
根據兩點間的距離公式，
得｜AB｜＝＝，
｜BC｜＝＝，
｜AC｜＝＝，
所以｜AB｜2＋｜BC｜2＝｜AC｜2，
所以△ABC是直角三角形.
(2)S△ABC＝·＝×2×10＝10.
角度3　坐標法在平面幾何中的應用
如圖，在△ABC中，｜AB｜＝｜AC｜，D是BC邊上異于B，C的任意一點.求證：｜AB｜2＝｜AD｜2＋｜BD｜·｜DC｜.
證明：如圖所示，以BC的中點為原點O，
BC所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系.設A(0，a)，B(－b，0)，C(b，0)，D(m，0)，－b＜m＜b，
則｜AB｜2＝(－b－0)2＋(0－a)2＝a2＋b2，
｜AD｜2＝(m－0)2＋(0－a)2＝m2＋a2，
｜BD｜·｜DC｜＝｜m＋b｜·｜b－m｜＝(b＋m)(b－m)＝b2－m2，
所以｜AD｜2＋｜BD｜·｜DC｜＝a2＋b2，
所以｜AB｜2＝｜AD｜2＋｜BD｜·｜DC｜.
利用坐標法解決平面幾何問題的基本步驟
第一步：建立坐標系，用坐標表示有關的量；
第二步：進行有關代數運算；
第三步：把代數運算的結果“翻譯”成幾何結論.
注意：建系的原則主要有兩點：①讓盡可能多的點落在坐標軸上，這樣便于運算；②如果條件中有互相垂直的兩條線，要考慮將它們作為坐標軸；如果圖形為中心對稱圖形，可考慮將中心作為原點；如果有軸對稱性，可考慮將對稱軸作為坐標軸.
對點練4.如圖，正方形ABCD中，在BC上任取一點P(點P不與B，C重合)，過點P作AP的垂線PQ交∠C的外角平分線于點Q.用坐標法證明：｜AP｜＝｜PQ｜.
證明：以B為原點，射線BC，BA分別為x軸、y軸的正半軸建立平面直角坐標系.如圖所示，
設正方形邊長為a，
則A(0，a)，C(a，0)，
設點P的坐標為(t，0)(0＜t＜a).
kAP＝－，lPQ：y＝(x－t)，①
lCQ：y＝x－a.②
聯立①②可得Q(a＋t，t)(或利用三角形相似求得點Q坐標).
因為｜AP｜＝，｜PQ｜＝，
所以｜AP｜＝｜PQ｜.
任務再現 1.兩點間的距離公式.2.兩點間的距離公式的應用
方法提煉 待定系數法、坐標法、設而不求、整體代入、整體消元
易錯警示 1.依據距離公式求參數易漏解.2.坐標系建立不恰當
1.已知點A(－2，－1)，B(a，3)，且｜AB｜＝5，則a的值為(　　)
A.1 B.－5
C.1或－5 D.－1或5
答案：C
解析：因為｜AB｜＝＝5，所以a2＋4a－5＝0，解得a＝1或－5.故選C.
2.已知△ABC三個頂點的坐標分別為A(－4，－4)，B(2，2)，C(4，－2)，則AB邊上的中線長為(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
解析：AB中點的坐標為D(－1，－1)，所以｜CD｜＝＝.故選B.
3.已知A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)，則△ABC是(　　)
A.直角三角形 B.銳角三角形
C.鈍角三角形 D.等腰三角形
答案：A
解析：因為A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)，所以｜AB｜＝＝2，｜AC｜＝5，｜BC｜＝，所以｜AB｜2＋｜BC｜2＝｜AC｜2，所以△ABC是直角三角形.故選A.
4.在平面直角坐標系xOy中，已知A(4，3)，B(5，2)，C(1，0)，平面內的點P滿足｜PA｜＝｜PB｜＝｜PC｜，則點P的坐標為　　　　　　.
答案：(3，1)
解析：設點P的坐標為(x，y)，由因此點P的坐標為(3，1).
課時分層評價7　兩點間的距離公式
(時間：60分鐘　滿分：110分)
(1—9，每小題5分，共45分)
1.已知點A，B是直線x＋2y－1＝0與坐標軸的交點，則｜AB｜＝(　　)
A. B.
C.1 D.2
答案：A
解析：由x＋2y－1＝0，令x＝0，得y＝，設A(0，)；令y＝0，得x＝1，設B(1，0).所以｜AB｜＝＝.故選A.
2.在直線2x－3y＋5＝0上求一點P，使點P到點A(2，3)的距離為，則點P的坐標是(　　)
A.(5，5) B.(－1，1)
C.(5，5)或(－1，1) D.(5，5)或(1，－1)
答案：C
解析：設點P(x，y)，則y＝.由｜PA｜＝，得(x－2)2＋＝13，即(x－2)2＝9，解得x＝－1，或x＝5.當x＝－1時，y＝1；當x＝5時，y＝5，所以P(－1，1)或(5，5).故選C.
3.(多選題)對于，下列說法正確的是(　　)
A.可看作點(x，0)與點(1，2)的距離
B.可看作點(x，0)與點(－1，－2)的距離
C.可看作點(x，0)與點(－1，2)的距離
D.可看作點(x，－1)與點(－1，1)的距離
答案：BCD
解析：由題意，可得＝＝＝，可看作點(x，0)與點(－1，－2)的距離，可看作點(x，0)與點(－1，2)的距離，可看作點(x，－1)與點(－1，1)的距離，故A不正確，BCD正確.故選BCD.
4.已知△ABC的頂點A(2，3)，B(－1，0)，C(2，0)，則△ABC的周長是(　　)
A.2 B.3＋2
C.6＋3 D.6＋
答案：C
解析：由兩點間的距離公式及題意得｜AB｜＝＝3，｜BC｜＝＝3，｜CA｜＝＝3.從而△ABC的周長為3＋3＋3＝6＋3.故選C.
5.若兩直線3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分別過定點A，B，則｜AB｜的值為(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：直線3ax－y－2＝0過定點A(0，－2)，直線(2a－1)x＋5ay－1＝0過定點B，由兩點間的距離公式，得｜AB｜＝.故選C.
6.已知點A(2，3)，B(－2，6)，C(6，6)，D(10，3)，則以A，B，C，D為頂點的四邊形是(　　)
A.平行四邊形 B.菱形
C.矩形 D.梯形
答案：A
解析：由題意可得lAD：y＝3，lBC：y＝6，｜AD｜＝＝8＝｜BC｜＝，即lAD∥lBC，｜AD｜＝｜BC｜，又kAB＝＝－，即AB，AD不垂直，｜AB｜＝＝5≠｜AD｜，所以以A，B，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形.故選A.
7.過點A(a，4)和點B(b，2)的直線與直線x＋y＋m＝0垂直，則｜AB｜＝　　　　　.
答案：2
解析：因為過點A(a，4)和點B(b，2)的直線與直線x＋y＋m＝0垂直，所以kAB＝＝1，即a－b＝2，所以｜AB｜＝ ＝＝2.
8.在x軸上找一點Q，使點Q與A(5，12)間的距離為13，則點Q的坐標為　　　　.
答案：(10，0)或(0，0)
解析：設Q(x0，0)，則有13＝，得x0＝0，或x0＝10，即點Q的坐標為(10，0)或(0，0).
9.(雙空題)點P在直線l：x－y＋4＝0上，且到點M(－2，－4)，N(4，6)的距離相等，則點P的坐標為　　　；經過點P且垂直于l的直線方程為　　　　　　　　　　.
答案：　x＋y－1＝0
解析：設點P的坐標是(a，a＋4)，由題意可知｜PM｜＝｜PN｜，即＝，解得a＝－，故點P的坐標是.所以經過點P且垂直于l的直線方程為y－＝－(x＋)，即x＋y－1＝0.
10.(13分)已知直線l1：2x＋y－6＝0和點A(1，－1)，過點A作直線l與已知直線l1相交于點B，且使｜AB｜＝5，求直線l的方程.
解：當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為
y＋1＝k(x－1)，
解方程組
即B.
由｜AB｜＝＝5，
解得k＝－，
所以直線l的方程為y＋1＝－(x－1)，
即3x＋4y＋1＝0.
當過點A的直線l的斜率不存在時，方程為x＝1.
此時，與l1的交點為(1，4)，也滿足題意.
綜上所述，直線l的方程為3x＋4y＋1＝0或x＝1.
(11—13，每小題5分，共15分)
11.已知A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，當｜AB｜取最小值時，實數a的值是(　　)
A.－ B.－
C. D.
答案：C
解析：因為A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，所以｜AB｜＝
＝＝
＝，所以當a＝時，｜AB｜取得最小值.故選C.
12.設m∈R，過定點A的直線x＋my－m＝0和過定點B的直線mx－y－m＋3＝0交于點P，則｜PA｜2＋｜PB｜2的值為(　　)
A.5 B.
C. D.與m的取值有關
答案：A
解析：直線x＋my－m＝0過定點A(0，1)，直線mx－y－m＋3＝0過定點B(1，3)，且直線x＋my－m＝0和直線mx－y－m＋3＝0滿足1×m－m×1＝0，故兩直線垂直，故｜PA｜2＋｜PB｜2＝｜AB｜2＝12＋22＝5.故選A.
13.在Rt△ABC中，點D是斜邊AB的中點，點P為線段CD的中點，則＝　　　　.
答案：10
解析：以C為原點，AC，BC所在直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標系(圖略)，設A(4a，0)，B(0，4b)，則D(2a，2b)，P(a，b)，所以｜PA｜2＝9a2＋b2，｜PB｜2＝a2＋9b2，｜PC｜2＝a2＋b2，于是｜PA｜2＋｜PB｜2＝10(a2＋b2)＝10｜PC｜2，即＝10.
14.(15分)已知正三角形ABC的邊長為a，在平面ABC上求一點P，使｜PA｜2＋｜PB｜2＋｜PC｜2最小，并求此最小值.
解：以BC所在直線為x軸，以線段BC的中點為原點，建立平面直角坐標系，如圖所示.
因為正三角形ABC的邊長為a，
所以B，C，A.
設P(x，y)，由兩點間的距離公式，
得｜PA｜2＋｜PB｜2＋｜PC｜2＝x2＋＋＋y2＋＋y2＝3x2＋3y2－ay＋＝3x2＋3＋a2≥a2，
當且僅當x＝0，y＝a時，等號成立，
故所求最小值為a2，此時點P的坐標為.
15.(5分)在平面直角坐標系內有四點A(－1，0)，B(2，1)，C(1，5)，D(－2，2)，P為該平面內的動點，則P到A，B，C，D四點的距離之和的最小值為(　　)
A.10 B.＋
C.14 D.＋
答案：D
解析：依題意可知，四點A(－1，0)，B(2，1)，C(1，5)，D(－2，2)構成一個四邊形ABCD，因為｜PA｜＋｜PC｜≥｜AC｜，當且僅當P在對角線AC上時取得等號，因為｜PB｜＋｜PD｜≥｜BD｜，當且僅當P在對角線BD上時取得等號，所以｜PA｜＋｜PC｜＋｜PB｜＋｜PD｜≥｜AC｜＋｜BD｜＝＋＝＋，當且僅當P為兩條對角線的交點時取得等號.故P到A，B，C，D四點的距離之和的最小值為＋.故選D.
16.(17分)若不等式＋＋＋≥m對任意的實數x，y恒成立，求m的最大值.
解：設坐標原點為O，建立如圖所示的平面直角坐標系，
設P(x，y)，A(6，8)，B(3，0)，C(3，8)，則四邊形ACOB為平行四邊形，則＋＋＋＝｜OP｜＋｜PA｜＋｜PB｜＋｜PC｜，而｜OP｜＋｜PA｜＋｜PB｜＋｜PC｜≥｜AO｜＋｜BC｜＝10＋8＝18，當且僅當P在平行四邊形ACOB的對角線的交點E處時等號成立，此時P(3，4).故｜OP｜＋｜PA｜＋｜PB｜＋｜PC｜的最小值為18.因為不等式＋＋＋≥m對任意的實數x，y恒成立，所以m≤18，即m的最大值為18，此時x＝3，y＝4.
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1.6　平面直角坐標系中的距離公式
第1課時　兩點間的距離公式
　
第一章　§1　直線與直線的方程
學習目標
1.探索并掌握平面上兩點間的距離公式，提升直觀想象、數 學運算的核心素養.
2.會利用兩點間的距離公式解決一些相關的問題，提升邏輯 推理、數學運算的核心素養.
任務一　兩點間的距離公式
問題導思
問題1.在數軸上已知兩點A，B，如何求A，B兩點間的距離？
提示：｜AB｜＝｜xB－xA｜.
問題2.在平面直角坐標系中，若兩點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎樣求這兩點間的距離｜AB｜？
提示：(1)當AB與x軸平行時，｜AB｜＝｜x2－x1｜；
(2)當AB與y軸平行時，｜AB｜＝｜y2－y1｜；
新知構建
微思考
典例
1
√

規律方法
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任務二　兩點間的距離公式的應用
問題導思
角度1　由兩點間的距離求參數的值
若點M到x軸和到點N(－4，2)的距離都等于10，則點M的坐標為___________________.
典例
2
(2，10)或(－10，10)
規律方法
根據兩點間的距離公式得到所求參數的方程，注意含有根號需要平方，方能求解.
典例
3
規律方法
1.判斷三角形的形狀，要采用數形結合的方法，大致明確三角形的形狀，以確定證明的方向.
2.在分析三角形的形狀時，要從兩方面考慮：一是要考慮角的特征，主要考查是否為直角或等角；二是要考慮三角形的長度特征，主要考查邊是否相等或是否滿足勾股定理.
角度3　坐標法在平面幾何中的應用
如圖，在△ABC中，｜AB｜＝｜AC｜，D是BC邊上異于B，C的任意一點.求證：｜AB｜2＝｜AD｜2＋｜BD｜·｜DC｜.
證明：如圖所示，以BC的中點為原點O，
BC所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系.設
A(0，a)，B(－b，0)，C(b，0)，D(m，0)，－b＜m＜b，
則｜AB｜2＝(－b－0)2＋(0－a)2＝a2＋b2，
｜AD｜2＝(m－0)2＋(0－a)2＝m2＋a2，
｜BD｜·｜DC｜＝｜m＋b｜·｜b－m｜＝(b＋m)(b－m)
＝b2－m2，
所以｜AD｜2＋｜BD｜·｜DC｜＝a2＋b2，
所以｜AB｜2＝｜AD｜2＋｜BD｜·｜DC｜.
典例
4
規律方法
利用坐標法解決平面幾何問題的基本步驟
第一步：建立坐標系，用坐標表示有關的量；
第二步：進行有關代數運算；
第三步：把代數運算的結果“翻譯”成幾何結論.
注意：建系的原則主要有兩點：①讓盡可能多的點落在坐標軸上，這樣便于運算；②如果條件中有互相垂直的兩條線，要考慮將它們作為坐標軸；如果圖形為中心對稱圖形，可考慮將中心作為原點；如果有軸對稱性，可考慮將對稱軸作為坐標軸.
對點練4.如圖，正方形ABCD中，在BC上任取一點P(點P不與B，C重合)，過點P作AP的垂線PQ交∠C的外角平分線于點Q.用坐標法證明：｜AP｜＝｜PQ｜.
證明：以B為原點，射線BC，BA分別為x軸、y軸的
正半軸建立平面直角坐標系.如圖所示，
設正方形邊長為a，
則A(0，a)，C(a，0)，
設點P的坐標為(t，0)(0＜t＜a).
課堂小結
任務再現 1.兩點間的距離公式.2.兩點間的距離公式的應用
方法提煉 待定系數法、坐標法、設而不求、整體代入、整體消元
易錯警示 1.依據距離公式求參數易漏解.2.坐標系建立不恰當
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隨堂評價
√
1.已知點A(－2，－1)，B(a，3)，且｜AB｜＝5，則a的值為
A.1 B.－5
C.1或－5 D.－1或5
√
√
3.已知A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)，則△ABC是
A.直角三角形 B.銳角三角形
C.鈍角三角形 D.等腰三角形

4.在平面直角坐標系xOy中，已知A(4，3)，B(5，2)，C(1，0)，平面內的點P滿足｜PA｜＝｜PB｜＝｜PC｜，則點P的坐標為_______.
(3，1)

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課時分層評價
√

√
√
√
√
√
√
√
6.已知點A(2，3)，B(－2，6)，C(6，6)，D(10，3)，則以A，B，C，D為頂點的四邊形是
A.平行四邊形 B.菱形
C.矩形 D.梯形
7.過點A(a，4)和點B(b，2)的直線與直線x＋y＋m＝0垂直，則｜AB｜＝______.
8.在x軸上找一點Q，使點Q與A(5，12)間的距離為13，則點Q的坐標為_______________.
(10，0)或(0，0)
9.(雙空題)點P在直線l：x－y＋4＝0上，且到點M(－2，－4)，N(4，6)的
距離相等，則點P的坐標為____________；經過點P且垂直于l的直線方程為____________.

x＋y－1＝0

√

√
直線x＋my－m＝0過定點A(0，1)，直線mx－y－m＋3＝0過定點B(1，3)，且直線x＋my－m＝0和直線mx－y－m＋3＝0滿足1×m－m×1＝0，故兩直線垂直，故｜PA｜2＋｜PB｜2＝｜AB｜2＝12＋22＝5.故選A.
10

√
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