資源簡介

北師大版·九年級上冊
1.2 矩形的性質與判定
第3課時
第一章 特殊平行四邊形
學 習 目 標
1.進一步理解矩形的性質及判定，并能靈活運用矩形的性質和判定進行相關的計算和證明;（重點）
2.能應用矩形的性質和判定解決綜合問題.（難點）
知識回顧
矩形的性質：
邊
角
對角線
對稱性
對邊平行且相等.
矩形的四個角都是直角.
矩形的對角線互相平分且相等.
既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形(2條對稱軸).
知識回顧
矩形的判定：
有三個角是 .
對角線 .
有一個角是 .
A
B
C
D
□ABCD
四邊形ABCD
A
B
C
D
直角
直角
相等
A
B
C
D
∟
矩形ABCD
A
B
D
C
矩形ABCD
A
B
C
D
矩形ABCD
情境引入
問題：某學校要修建一個矩形花壇，工人師傅已經測量出花壇的兩條相鄰邊的長度分別為3 米和 4 米，對角線的長度為 5 米，你能幫助工人師傅判斷這個花壇是否為矩形嗎？
你能用所學的矩形知識來解決這個問題嗎？
新知探究
探究：矩形性質與判定的綜合應用
分析：由在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，BE：ED=1：3，易證得△OAB是等邊三角形，繼而求得∠BAE的度數，由△OAB是等邊三角形，求出∠ADE的度數，又由AD=6，即可求得AE的長.
例1：如圖，在矩形ABCD中，AD=6，對角線AC與BD相交于點O，AE⊥BD，垂足為E，ED=3BE，求AE的長.
新知探究
解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°(矩形的四個角都是直角)，
AC=BD(矩形的對角線相等)，
AO=CO=????????????????, BO=DO=????????????????(矩形的對角線互相平分).
∴AO=BO=????????BD.
∵ED=3BE，
∴BE=OE，
又∵AE⊥BD，
∴AB=AO，
∴AB=AO=BO，
即 △ABO是等邊三角形，
?
∴∠ABO=60°，
∴∠ADB=90°-∠ABO=90°-60°=30°,
∴AE= ????????AD=????????×????=3.
?
新知探究
矩形性質的應用：
知識歸納
應用矩形的性質解決問題時，常與勾股定理、等腰三角形性質等結合，求解邊長、對角線長、角度等。例如，利用矩形對角線將矩形分成四個等腰三角形，通過等腰三角形邊角關系計算線段長度；借助矩形的直角，在關聯三角形中推導角的度數。
新知探究
1.如圖，在矩形ABCD中，兩條對角線AC與BD相交于點O，AB＝6，OA＝5，則BD＝ ，AD＝ ?.
10　
8　
新知探究
例2：已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一條角平分線，AN為△ABC的外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為E．
求證：四邊形ADCE為矩形.
分析：由在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊的中線，可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，又由AN為△ABC的外角∠CAM的平分線，可得∠DAE=90°，又由CE⊥AN，即可證得四邊形ADCE為矩形.
新知探究
證明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，
∴∠CAD=????????∠BAC，∠CAN=????????∠CAM.
∴∠DAE=∠CAD+∠CAN
=????????（∠BAC+∠CAM）
=????????×180°=90°.
在△ABC中，∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC.
∴∠ADC=90°.
又∵CE⊥AN，
∴∠CEA=90°，
∴四邊形ADCE是矩形(有三個角是直角的四邊形是矩形).
?
新知探究
知識歸納
需證明一個圖形是矩形時，若已知為平行四邊形，可通過 “一個角是直角” 或 “對角線相等” 判定；若為一般四邊形，可通過 “三個角是直角” 判定。?
矩形判定的應用：
新知探究
2.下列說法中，不正確的是（?? ?）
A．有一個角是直角的四邊形是矩形
B．有一組鄰角相等的平行四邊形是矩形
C．有一組對角互補的平行四邊形是矩形
D．有三個角是直角的四邊形是矩形
A
新知探究
想一想
在例2中，連接DE，交AC于點F（如圖）．
求證：四邊形ADCE為矩形；
（1）試判斷四邊形ABDE的形狀，并證明你的結論；
（2）線段DF與AB有怎樣的關系？請證明你的結論.
解：（1）四邊形ABDE是平行四邊形，理由如下：
由例2知，四邊形ADCE為矩形，
則AE=CD，AC=DE．
又∵AB=AC，BD=CD，
∴AB=DE，AE=BD，
∴四邊形ABDE是平行四邊形.
分析：(1)利用例2中矩形的對角線相等推知：AC=DE；結合已知條件可以推知AB∥DE，又AE=BD，則易判定四邊形ABDE是平行四邊形.
新知探究
解：DF∥AB，DF=????????AB．理由如下：
∵四邊形ADCE為矩形，
∴AF=CF.
∵BD=CD，
∴DF是△ABC的中位線，
∴DF∥AB，DF=????????AB.
?
分析：(2)由四邊形ADCE為矩形，可得AF=CF，又由AD是BC邊的中線，即可得DF是△ABC的中位線，則可得DF∥AB，DF=????????AB.
?
如圖，所示，在△ABC中，D為BC邊上的一點，E是AD的中點，過A點作BC的平行線交CE的延長線于點F，且AF＝BD.連接BF.
(1)BD與DC有什么數量關系？請說明理由；
(2)當△ABC滿足什么條件時，四邊形AFBD是矩形？并說明理由．
例1
典例分析
解：(1)BD＝CD.理由如下：
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE.
∵E是AD的中點，
∴AE＝DE.
在△AEF和△DEC中，
∵∠AFE=∠DCE,∠AEF=∠DEC,AE=DE,
∴△AEF≌△DEC(AAS)，
∴AF＝DC.
∵AF＝BD，
∴BD＝DC.
典例分析
(2)當△ABC滿足什么條件時，四邊形AFBD是矩形？并說明理由．
(2)當△ABC滿足AB＝AC時，四邊形AFBD是矩形．理由如下：
∵AF∥BD，AF＝BD，
∴四邊形AFBD是平行四邊形．
∴AB＝AC，BD＝DC，
∴∠ADB＝90°.
∴四邊形AFBD是矩形．
如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，將矩形沿AC折疊，點D落在點D'處，則重疊部分△AFC的面積為（　C　）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
例2
典例分析
C
解析：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠DCA＝∠BAC. 由折疊的性質可知，∠DCA＝∠D'CA，
∴∠CAF＝∠D'CA，
∴FA＝FC. 在Rt△BFC中，BF2＋BC2＝CF2，即（8－AF）2＋42＝AF2，
解得AF＝5，則△AFC的面積為???????? AF·BC＝???????? ×5×4＝10.
?
2．如圖，在△ABC中，點D，E，F分別是AB，AC，BC的中點，AH⊥BC于點H，連接EH，若DF＝10 cm，則EH等于(　　)
A．8 cm　B．10 cm　　C．16 cm　　D．24 cm
1.如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFC是兩個矩形，點B在EF邊上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面積分別是S1,S2，則S1,S2的大小關系是(　 　)
A．S1>S2　B．S1＝S2 C．S1鞏固練習
基礎鞏固題
B
B
3.如圖，矩形ABCD的對角線相交于點O，AE平分∠BAD交BC于點E，若∠CAE＝15°，則∠BOE＝ °.
鞏固練習
基礎鞏固題
75
4.如圖，矩形ABCD中，AB＝1，E，F分別為AD，CD的中點，沿BE將△ABE折疊，若點A恰好落在BF上，則AD＝???? ???.
????
?
5.如圖,點D是△ABC的邊AB上一點,CN∥AB,DN交AC于點M,MA＝MC.
(1)求證：CD＝AN；
(2)若∠AMD＝2∠MCD,求證:四邊形ADCN是矩形．　
鞏固練習
基礎鞏固題
證明：(1)證△AMD≌△CMN得AD＝CN，
又∵AD∥CN，
∴四邊形ADCN是平行四邊形，
∴CD＝AN.　
鞏固練習
基礎鞏固題
（2）證明：∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，
∴∠MCD＝∠MDC，
∴MD＝MC，
由(1)知四邊形ADCN是平行四邊形，
∴MD＝MN＝MA＝MC，
∴AC＝DN，
∴四邊形ADCN是矩形.　
6.如圖，菱形ABCD的對角線交于點O，BE∥AC，AE∥BD，EO與AB交于點F.
（1）求證：四邊形AEBO是矩形；
鞏固練習
基礎鞏固題
（1）證明：∵BE∥AC，AE∥BD，
∴四邊形AOBE是平行四邊形.
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴平行四邊形AOBE是矩形.
鞏固練習
基礎鞏固題
（2）若OE＝10，AE＝8，求菱形ABCD的面積.
（2）∵四邊形AOBE是矩形，
∴BO＝AE＝8，∠EAO＝90°，
∴AO＝????????????????????????? ＝????????????????????? ＝6.
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC＝2AO＝12，BD＝2BO＝16，
∴菱形ABCD的面積為???????? AC·BD＝???????? ×12×16＝96.
?
課堂小結
矩形的性質與判定3-矩形性質與判定的綜合應用
矩形性質的應用
應用矩形的性質解決問題時，常與勾股定理、等腰三角形性質等結合，求解邊長、對角線長、角度等。例如，利用矩形對角線將矩形分成四個等腰三角形，通過等腰三角形邊角關系計算線段長度；借助矩形的直角，在關聯三角形中推導角的度數。
矩形判定的應用
需證明一個圖形是矩形時，若已知為平行四邊形，可通過 “一個角是直角” 或 “對角線相等” 判定；若為一般四邊形，可通過 “三個角是直角” 判定。
作業布置
1.必做題：習題1.6第1-3題。
2.探究性作業：習題1.6第4-5題。
感謝聆聽!

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