資源簡介

蘇科版·九年級上冊
2.5.2 直線與圓的位置關系
——三角形的內切圓與內心
第二章
對稱圖形——圓
章節導讀
學 習 目 標
1
2
理解三角形的內切圓與內心的概念，并與三角形的外接圓與外心的概念進行對比
掌握三角形內切圓與內心的有關性質與角度結論
3
掌握三角形內切圓半徑的計算公式
新知探究
思
考
1. 要從一塊三角形鐵皮余料中剪一個圓，如何使剪得的圓面積最大？
觀察上圖可知：
要使剪得的圓面積最大，這個圓應與三角形的各邊都相切。
新知探究
思
考
2. 如何作一個圖，使它與已知三角形的各邊都相切？
相切
圓心到三角形的三邊的距離相等
角平分線上的點到角兩邊的距離相等
圓心在三角形的內角平分線上
新知探究
知識要點
尺規作圖——三角形的內切圓：已知△ABC，根據下列作法，用直尺和圓規作?O，使它與△ABC的各邊都相切。
{00A15C55-8517-42AA-B614-E9B94910E393}作法
圖形
A
B
C
M
N
O
D
1. 分別作∠ABC、∠ACB的平分線BM、CN，BM與CN的交點為O；
2. 過點O，作OD⊥BC，垂足為D；
3. 以點O為圓心，為半徑作?O，
?O就是所求作的圓。
新知探究
三角形的內切圓與內心：
與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，
內切圓的圓心叫做三角形的內心。
這個三角形叫做圓的外切三角形。
eg：如圖，?O是△ABC的內切圓，△ABC是?O的外切三角形。
知識要點
A
B
C
O
新知探究
知識要點
三角形的內心的性質：
三角形的內心到三角形三邊的距離相等。
注意：內心到三角形三邊的距離相等，
不是到三角形三個頂點的距離相等。
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}三角形的內心
定義
三角形內接圓的圓心
作圖
三角形三條內角平分線的交點
性質
到三角形三邊的距離相等
A
B
C
O
新知探究
探
究
1. 三角形的內心一定在三角形內部嗎？
O
O
O
三角形的內心一定在三角形內部。
新知探究
探
究
2. 一個三角形的內切圓有多少個？
解：∵三角形內切圓的圓心是三角形三條內角平分線的交點，
有且只有一個，
∴一個三角形的內切圓有且只有1個。
3. 一個圓的外切三角形有幾個？
解：如圖，一個圓的外切三角形有無數個。
O
新知探究
知識要點
{00A15C55-8517-42AA-B614-E9B94910E393}名稱
外心 ( 三角形_______的圓心 )
內心 ( 三角形_______的圓心 )
作圖
三角形三邊___________的交點
三角形三條___________的交點
性質
三角形的外心到三角形_________的距離相等
三角形的外心到三角形_____的距離相等
位置
外心_______在三角形內部
內心_____在三角形內部
A
B
C
O
A
B
C
O
外接圓
內切圓
垂直平分線
內角平分線
三個頂點
三邊
不一定
一定
典例分析
典例1 如圖，O是△ABC的內心，探究∠BOC與∠A之間的數量關系。
解：∵O是△ABC的內心，
∴OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分線，
∴∠ABC = 2∠OBC，∠ACB = 2∠OCB，
又∵∠A + ∠ABC + ∠ACB = 180°，
∴∠A + 2∠OBC + 2∠OCB = 180°，
即∠OBC + ∠OCB = 90° - 12∠A，
∵∠BOC + ∠OBC + ∠OCB=180°，
∴∠BOC = 90° + 12∠A。
?
A
B
C
O
典例分析
方法技巧
三角形的內心有關的角度結論：
已知：如圖，O是△ABC的內心。
結論：∠BOC = 90° + 12∠A。
?
A
B
C
O
典例分析
典例2 如圖，點I和O是△ABC的內心和外心，若∠AIB = 125°，
則∠AOB = _______。
解：∵I是△ABC的內心，
∴由結論可得：∠AIB = 90° + 12∠C，
即125° = 90°+ 12∠C，解得：∠C = 70°；
如圖，畫出△ABC的外接圓，連接OC，
∵O是△ABC的外心，???????? = ????????，
∴∠AOB = 2∠C = 140°。
?
140°
C
A
B
O
I
新知探究
知識要點
{00A15C55-8517-42AA-B614-E9B94910E393}名稱
外心 ( 三角形外接圓的圓心 )
內心 ( 三角形內切圓的圓心 )
作圖
角度結論
∠BOC = 2∠A
∠BOC = 90° + 12∠A
{00A15C55-8517-42AA-B614-E9B94910E393}名稱
外心 ( 三角形外接圓的圓心 )
內心 ( 三角形內切圓的圓心 )
作圖
角度結論
∠BOC = 2∠A
A
B
C
O
A
B
C
O
新知探究
思
考
解：直線l與圓O相切，理由如下：
∵l⊥OD，
∴OD為圓心到直線的距離，
∵OD為半徑，
∴圓心到直線的距離 = 半徑，
∴直線l與?O相切。
O
D
l
如圖，經過?O的半徑OD的外端點D，作直線l⊥OD，
直線l與?O有怎樣的位置關系？為什么？
題型探究
三角形的內心有關的角度計算
題型一
【例1】如圖，O是△ABC的內心，∠BOC = 100°，則∠A = _______。
解：常規解法：
∵O是△ABC的內心，
∴OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分線，
∴∠ABC = 2∠OBC，∠ACB = 2∠OCB，
又∵∠BOC = 100°，
∴∠OBC + ∠OCB = 80°，
∴∠ABC + ∠ACB = 160°，
∴∠A = 20°。
A
B
C
O
題型探究
三角形的內心有關的角度計算
題型一
【例1】如圖，O是△ABC的內心，∠BOC = 100°，則∠A = _______。
解：結論法：
∵O是△ABC的內心，
∴∠BOC = 90° + 12∠A，
即100° = 90° + 12∠A，解得：∠A = 20°。
?
A
B
C
O
20°
題型探究
求三角形內切圓的半徑
題型二
【例2】若三角形的三邊長分別為3、4、5，求三角形內切圓的半徑。
解：法一：
如圖，設AC = 3，AB = 4，BC = 5，
?O與△ABC分別切于點D、E、F，
OD = OE = OF = r，
由勾股定理的逆定理可知：
△ABC為直角三角形，∠BAC = 90°，
∴S△ABC = 12AB·AC = 6；
?
等面積法
A
B
C
O
D
E
F
又∵S△ABC = S△AOB + S△BOC + S△AOC
= 12AB·OF + 12BC·OD + 12AC·OE
= 12 ( AB + BC + AC )·r = 12 × 12·r，
∴6r = 6，解得：r = 1。
?
題型探究
求三角形的內切圓的半徑
題型二
【例2】若三角形的三邊長分別為3、4、5，求三角形內切圓的半徑。
解：法二：
∵∠AFO = ∠AEO = 90° = ∠BAC，且OE = OF，
∴四邊形AFOE是正方形，AF = AE = r，
∴BF = 4 - r，CE = 3 - r，
又∵△BOD ≌ △BOF ( HL )，△COD ≌ △COE ( HL )，
∴BD = BF = 4 - r，CD = CE = 3 - r，
∴BC = BD + CD = 4 - r + 3 - r = 7 - 2r = 5，解得：r = 1。
A
B
C
O
D
E
F
題型探究
求三角形的內切圓的半徑
題型二
【例3】若三角形的面積為S，周長為C，求三角形內切圓的半徑。
解：如圖，設?O與△ABC分別切于點D、E、F，
OD = OE = OF = r，
∵S = S△AOB + S△BOC + S△AOC
= 12AB·OF + 12BC·OD + 12AC·OE
= 12 ( AB + BC + AC )·r = 12C·r，
∴r = 2????????。
?
A
B
C
O
D
E
F
題型探究
求三角形的內切圓的半徑
題型二
方法技巧
三角形的內切圓的半徑有關的結論1：
已知：三角形的面積為S，周長為C。
結論：r = 2????????。
?
題型探究
求三角形的內切圓的半徑
題型二
【方法小試】若三角形的三邊長分別為12、12、10，求三角形內切圓的半徑。
解：如圖，設AB = AC = 12，BC = 10，
過點A作AD⊥BC交于點D，
由題意可知：C△ABC=AB+AC+BC=34；
∵AB = AC，BC = 10，∴BD = 12BC = 5，
在Rt△ABD中，AD = ????????2?????????2 = 119，
∴S△ABC = 12BC·AD = 5119；
由結論1可得：r=2????△????????????????△???????????? = 1011934 = 511917。
?
A
B
C
D
題型探究
求三角形內切圓的半徑
題型二
【例4】若直角三角形的的三邊長分別為a、b、c，求三角形內切圓的半徑。
解：如圖，設?O與△ABC分別切于點D、E、F，
OD = OE = OF = r，AB = c，BC = a，CA = b，
∵∠AFO = ∠AEO = 90° = ∠BAC，且OE = OF，
∴四邊形AFOE是正方形，AF = AE = r，
∴BF = c - r，CE = b - r，
又∵△BDO ≌ △BFO ( HL )，△DCO ≌ △ECO ( HL )，
∴BD = BF = c - r，CD = CE = 3-r，
∴BC = BD + CD = c - r + b - r = b + c - 2r = a，∴r = 12 ( b + c - a )。
?
A
B
C
O
D
E
F
題型探究
求三角形的內切圓的半徑
題型二
方法技巧
三角形的內切圓的半徑有關的結論2：
已知：直角三角形的的三邊長分別為a、b、c，
其中，b、c為直角邊長，a為斜邊長。
結論：r = 12 ( b + c - a )。
?
題型探究
求三角形的內切圓的半徑
題型二
【方法小試】若三角形的三邊長分別為5、12、13，求三角形內切圓的半徑。
解：由勾股定理的逆定理可知：
三角形為直角三角形，5和12為直角邊，13為斜邊，
由結論2可得：r = 12 ( b + c - a ) = 1 2 × ( 5 + 12 - 13 ) = 2。
?
課堂小結
{00A15C55-8517-42AA-B614-E9B94910E393}名稱
外心 ( 三角形外接圓的圓心 )
內心 ( 三角形內切圓的圓心 )
作圖
三角形三邊垂直平分線的交點
三角形三條內角平分線的交點
性質
三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等
三角形的外心到三角形三邊
的距離相等
位置
外心不一定在三角形內部
內心一定在三角形內部
角度
結論
∠BOC = 2∠A
∠BOC = 90°+12∠A
{00A15C55-8517-42AA-B614-E9B94910E393}名稱
外心 ( 三角形外接圓的圓心 )
內心 ( 三角形內切圓的圓心 )
作圖
三角形三邊垂直平分線的交點
三角形三條內角平分線的交點
性質
三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等
三角形的外心到三角形三邊
的距離相等
位置
外心不一定在三角形內部
內心一定在三角形內部
角度
結論
∠BOC = 2∠A
三角形的內切圓與內心：
與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，內切圓的圓心叫做三角形的內心。
這個三角形叫做圓的外切三角形。
感謝聆聽!

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