資源簡介

(共22張PPT)
華東師大版·九年級上冊
22.2一元二次方程的解法
22.2.4一元二次方程根的判別式
第22章 一元二次方程
學 習 目 標
1
2
3
經歷一元二次方程根的情況的探究過程，歸納出一元二次方程根的判別式.
能運用根的判別式，判斷一元二次方程根的情況.
會運用根的判別式求一元二次方程中字母系數的取值范圍.
回顧舊知
1.一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)的求根公式是什么？
2.還記得用配方法推導一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 求根公式的過程嗎？
整理
移項
配方
開平方
思考探究
開平方
問題1 在求根公式的推導過程中，我們知道只有當b2 － 4ac ≥ 0 時，才
能直接開平方。如果b2 － 4ac < 0，結果會怎樣呢？
負數
無意義
思考探究
開平方
也就是說，只有當一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)的系數a、b、c滿足條件b2 － 4ac ≥ 0時才有實數根。因此，我們可以根據一元二次方程的系數直接判定根的情況。
問題1 在求根公式的推導過程中，我們知道只有當b2 － 4ac ≥ 0 時，才
能直接開平方。如果b2 － 4ac < 0，結果會怎樣呢？
思考探究
問題2 思考一元二次方程的根有幾種情況？每種情況的結果是怎樣的？
情況1
當b2 － 4ac > 0時，上式右邊是一個正數，它有兩個不相等的平方根，因此方程有兩個不相等的實數根：
情況2
配方3
當b2 － 4ac = 0時，上式右邊為0，因此方程有兩個相等的實數根：
當b2 － 4ac < 0時，上式右邊是一個負數，左邊是大于等于0的數，因此方程沒有實數根。
課堂新知
一元二次方程根的判別式：
這里的b2 － 4ac叫做一元二次方程根的判別式，通常用符號“Δ”來表示，用它可以直接判斷一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)的實數根的情況：
當Δ > 0時，方程有兩個不相等的實數根；
當Δ = 0時，方程有兩個相等的實數根；
當Δ < 0時，方程沒有實數根。
典例分析
不解方程，判斷下列方程的根的情況：
【解】
（1）原方程可變形為
所以方程有兩個不相等的實數根
典例分析
不解方程，判斷下列方程的根的情況：
【解】
所以方程有兩個相等的實數根
典例分析
不解方程，判斷下列方程的根的情況：
【解】
（1）原方程可變形為
所以方程沒有實數根
思考探究
問題3 結合上述典例，歸納總結利用根的判別式判定一元二次方程根
的情況的步驟。
整理
確定
計算
判斷
將方程整理成一般形式ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)
確定系數a、b、c 的值
將a、b、c的值代入計算Δ = b2 － 4ac 的值
根據Δ的值與0的大小，判斷一元二次方程根的情況
典例分析
已知關于x的方程2x2 － (3 + 4k)x + 2k2 + k = 0.
(1)當k取何值時，方程有兩個不相等的實數根？
(2)當k取何值時，方程有兩個相等的實數根？
(3)當k取何值時，方程沒有實數根？
【解】
(1)因為方程有兩個不相等的實數根，所以Δ > 0，
典例分析
已知關于x的方程2x2 － (3 + 4k)x + 2k2 + k = 0.
(1)當k取何值時，方程有兩個不相等的實數根？
(2)當k取何值時，方程有兩個相等的實數根？
(3)當k取何值時，方程沒有實數根？
【解】
(2)因為方程有兩個相等的實數根，所以Δ = 0，
(3)因為方程沒有實數根，所以Δ < 0，
運用根的判別式求一元二次方程中字母系數取值范圍的步驟：
確定判別式
解不等式并考慮二次項系數
根據條件列不等式
當堂反饋
1. 不解方程，判斷下列方程的根的情況：
【解】
（1）原方程可變形為
所以方程有兩個不相等的實數根
當堂反饋
1. 不解方程，判斷下列方程的根的情況：
【解】
所以方程有兩個不相等的實數根
當堂反饋
1. 不解方程，判斷下列方程的根的情況：
【解】
（3）原方程可變形為
所以方程有兩個相等的實數根
當堂反饋
1. 不解方程，判斷下列方程的根的情況：
【解】
（4）原方程可變形為
所以方程沒有實數根
當堂反饋
2. 小明告訴同學，他發現了一類判斷方程有無實數根的簡易方法：若一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)的系數a、c異號(即兩數為一正一負)，那么這個方程有兩個不相等的實數根。他的說法正確嗎？為什么？
【解】
一元二次方程根的判別式為
所以方程有兩個不相等的實數根
因為a、c異號
所以
所以
小明的說法正確，理由如下：
當堂反饋
3. 已知關于x的一元二次方程(m－1)x2 + 4x + 3 = 0，有兩個不相等的實數根，求m的取值范圍。
【解】
因為方程有兩個不相等的實數根
因為方程為一元二次方程
綜上所述
課堂小結
學完這節課，你有哪些收獲與體會？
知識
運用
感悟
根的判別式
①判定一元二次方程根的情況
②根據根的情況求字母系數取值范圍
？
布置作業
習題22.2 第7題、第8題
感謝聆聽!

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