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(共14張PPT)
第三章
函數(shù)的概念與性質(zhì)
3.3 冪函數(shù)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
課堂導(dǎo)入
探究新知
課堂練習(xí)
知識(shí)總結(jié)
課后作業(yè)
考點(diǎn) 學(xué)習(xí)目標(biāo) 重、難點(diǎn) 核心素養(yǎng)
冪函數(shù)的概念、圖象及性質(zhì) 理解冪函數(shù)的概念，圖象和性質(zhì) 重點(diǎn) 數(shù)學(xué)抽象
邏輯推理
冪函數(shù)的單調(diào)性 結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)和圖象證明其單調(diào)性 難點(diǎn) 數(shù)據(jù)分析
應(yīng)用冪函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)解決比大小的問題 數(shù)學(xué)運(yùn)算
比較兩個(gè)冪值的大小
課前思考
學(xué)習(xí)目標(biāo)
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知識(shí)總結(jié)
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1
前面學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念，利用函數(shù)的概念和對(duì)圖象的觀察，研究了函數(shù)的一些性質(zhì)。本節(jié)我們利用這些知識(shí)研究一類新函數(shù)，先看幾個(gè)實(shí)例。
問題1：下列各式運(yùn)算運(yùn)用哪種法則？
問題2：運(yùn)算結(jié)果有什么特征？
(42)3=
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2
觀察：下列函數(shù)解析式有什么共同特征？
(1)如果張紅以1元/kg的價(jià)格購(gòu)買了某種蔬菜w kg，那么她需要支付p=w元，這里p是w的函數(shù)；
(2)如果正方形的邊長(zhǎng)為a，那么正方形的面積S=a2，這里S是a的函數(shù)；
(3)如果立方體的棱長(zhǎng)為b，那么立方體的體積V=b3，這里V是b的函數(shù)；
(4)如果一個(gè)正方形場(chǎng)地面積為S，那么正方形的邊長(zhǎng)c=，這里c是S的函數(shù)；
(5)如果某人t s內(nèi)騎車行進(jìn)了1km，那么他騎車的平均速度v=km/s，即v=t -1，
這里v是t的函數(shù).
y=x
y=x2
y=x3
y=
y=x-1
自變量換x,函數(shù)值換y
上述問題中涉及的函數(shù)，都是形如y=xα的函數(shù).
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3
一般地，函數(shù) 叫做冪函數(shù)，其中 是自變量， 是常數(shù).
知識(shí)點(diǎn)1 冪函數(shù)的概念
1.定義：
（1）冪的形式中，系數(shù)是 。
（2）指數(shù)是 ，底數(shù)是 。
（3）項(xiàng)數(shù)是 項(xiàng)。
2.特征：
1
1
例1.拖動(dòng)選項(xiàng)，判斷哪個(gè)是冪函數(shù)
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4
對(duì)于冪函數(shù)，我們只研究α=1,2,3， ，-1時(shí)圖象的性質(zhì).
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你還能從表格和圖像中得出其他的性質(zhì)嗎？
定義域
值域
奇偶性
單調(diào)性
公共點(diǎn)
奇函數(shù)
（1，1）
非奇非偶函數(shù)
增函數(shù)
奇函數(shù)
增函數(shù)
R
R
R
偶函數(shù)
R
R
奇函數(shù)
增函數(shù)
①只有α =1時(shí)圖象才是直線；
②圖象一般都會(huì)出現(xiàn)在第一象限，一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限；
③第一象限內(nèi)α由上到下遞減.
④α＞0時(shí)，圖象在定義域內(nèi)上升；
⑤α ＜0時(shí)，圖象在第一象限下降；
⑥只有α ＞0時(shí)，圖象才與坐標(biāo)軸相交，且交點(diǎn)一定為原點(diǎn)；
你能總結(jié)冪函數(shù)的一般性質(zhì)嗎？
5
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6
知識(shí)點(diǎn)2 冪函數(shù)的性質(zhì)
(1)所有的冪函數(shù)在(0，＋∞)都有定義，并且圖象都過點(diǎn)(1,1)；
(2)α>0時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間[0，＋∞)上是增函數(shù)，
特別地，當(dāng)α>1時(shí)，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)0<α<1時(shí)，冪函數(shù)的圖象上凸；
（3）α<0時(shí)，冪函數(shù)的圖象不過原點(diǎn)，冪函數(shù)圖象在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù).
例1. 證明冪函數(shù) f(x)=是增函數(shù).
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7
證明：函數(shù)的定義域是[0,+∞）.
且 有
=
因?yàn)?br/>所以
題型一 冪函數(shù)的概念
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2.若f(x)=(m2-4m-4)xm是冪函數(shù),則m= .
解析:f(x)=(m2-4m-4)xm是冪函數(shù),m2-4m-4=1,即m2-4m-5=0,解得m=5或m=-1.
1.已知冪函數(shù)y=mxn(m,n∈R)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4,2),則m-n= .
解析:由函數(shù)y=mxn(m,n∈R)為冪函數(shù),得m=1.又因?yàn)楹瘮?shù)y=mxn的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4,2),所以4n=2,解得n=,所以m-n=1-=
5或-1
1.冪函數(shù)的判斷方法
(1)冪函數(shù)是一種“形式定義”的函數(shù),也就是說必須完全具備形如y=xα(α∈R)的函數(shù)才是冪函數(shù).
(2)如果函數(shù)以根式的形式給出,則要注意先把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式進(jìn)行化簡(jiǎn)整理,再對(duì)照冪函數(shù)的定義進(jìn)行判斷.
2.用待定系數(shù)法求冪函數(shù)解析式
若已知待求函數(shù)是冪函數(shù),則可根據(jù)待定系數(shù)法,設(shè)函數(shù)為f(x)=xα,根據(jù)條件求出α即可.
題型二 利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小
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9
利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小的三種方法

題型三 利用函數(shù)奇偶性的定義求值
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10
1.冪函數(shù)y=x-1與直線y=x,y=1,x=1將平面直角坐標(biāo)系的第一象限分成八個(gè)“卦限”:①,②,③,④,⑤,⑥,⑦,⑧(如圖所示),那么冪函數(shù)y=的圖象經(jīng)過的“卦限”是 (　　)
A.④⑦ B.④⑧ C.③⑧ D.①⑤
D
2.冪函數(shù)y=xα在第一象限的大致圖象如圖所示,已知α取-2,,,2四個(gè)值,則曲線C1,C2,C3,C4對(duì)應(yīng)的α的值依次為 (　　)
A.-2,,,2 B.2,-2 C.-2,2, D.2,,-2
B
課堂小結(jié)
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11
課后作業(yè)
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知識(shí)總結(jié)
課后作業(yè)
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1.完成本節(jié)練習(xí)第1、2、3題
2.完成習(xí)題3.2 第12、13題

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