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第 4 章 指數函數與對數函數
4.1.1 n次方根與分數指數冪
人教A版2019必修第一冊
分數指數冪的運算
3
n次方根
1
分數指數冪
2
目錄
教學目標
1. 理解n次方根、根式的概念與分數指數冪的概念;
2. 掌握分數指數冪和根式之間的互化、化簡、求值；
3. 掌握分數指數冪的運算性質。
情景導入
01
情景導入

有一則神話,講的是茅山老道有“穿墻之術”,該法術可以讓人視墻壁為無物而隨意進出,門窗就成了擺設.讀了這則故事的人未免會心生遐想:如果我有了穿墻術,就會……
數學中也有“穿墻術”的例子,如:-(a+b)=-a-b.這里我們可以認為負號穿過了括號分別與a,b作用,在根式中也有穿墻的例子,如
思考：已知這個式子能“穿墻”去掉根號嗎？
情景導入

為了研究指數函數，我們需要把指數范圍拓展到全體實數。初中已經學過整數指數冪．
在學習冪函數時，我們把正方形場地的邊長c關于面積S的函數 . 記作，像 這樣以分數為指數的冪，其意義是什么呢？
下面從已知的平方根、立方根的意義入手展開研究．
n次方根
02
概念講解
我們知道：
如果，那么x叫做a的平方根．例如,±2就是4的平方根．
如果，那么x叫做a的立方根．例如，2就是8的立方根．
類似地，由于，我們把±2叫做16的4次方根；
由于，2叫做32的5次方根．
概念講解
n次方根
一般地，如果那么x叫做a的n次方根，其中n>1且
定義
（1）當n是奇數時，正數的n次方根是一個正數，負數的n次方根是一個負數．這時a的n次方根用符號表示 .例如
（2） 當n是偶數時，正數的n次方根有兩個，這兩個數互為相反數.正的n次方根用表示，負的n次方根用表示. 兩者也可以合并成(a>0).
n次方根的性質
概念講解
n次方根的性質
（3）負數沒有偶次方根.
（4） 0的任何次方根都是0.記作：
思考：為什么負數沒有偶次方根？
因為在實數的定義里，任意實數的偶次方是非負數. 因此負數沒有偶次方根.
概念講解
根式
式子叫做根式，這里n叫做根指數 ，a叫做被開方數．
定義
根指數
被開方數
根據n次方根的定義，可得：，
注意：
（1）一般讀作“n次根號a”
（2） 當a＜0且n為偶數時，在實數范圍內沒有意義.
（3）當有意義時， 是一個實數，且它的n次方等于a.
概念講解
探究：表示的n次方根，一定成立嗎？如果不一定成立，那么等于什么？
不一定成立。例如但是
可以得到
①當n為奇數時，
②當n為偶數時，
概念辨析
√
×
×
概念辨析
A
概念講解
例1.求下列各式的值：
(1) ；(2) ；(3) ；(4) .
解：(1) ；
(2) ；
(3)
(4)
概念講解
分數指數冪
03
概念講解
牛頓是大家所熟悉的物理學家,你知道他在數學上的貢獻嗎 他在1676年6月13日寫給萊布尼茨的信里面說:“因為數學家將aa,aaa,aaaa等寫成a2,a3,a4等,所以可將…寫成…;將…寫成…
牛頓的這一發現，使得正整數指數冪推廣到了任意有理數指數冪。
概念講解
事實上，任何一個根式都可以表示為分數指數冪的形式，例如：
, .
一般地
概念講解
分數指數冪
規定正數的正分數指數冪的意義是：
規定正數的負分數指數冪的意義是：
0的正分數指數冪等于0,0的負分數指數冪沒有意義。
定義
概念講解
思考：分數指數冪中，為什么規定底數a>0？
提示：當a=0時，a0及a的負分數指數冪沒有意義；
當a<0時，若n為偶數，m為奇數，則， 無意義.
概念辨析
×
×
×
注意：分數指數冪不可以隨意約分。
概念講解
例2.求值：（1） ；（2） .
解：
（1）法一；
（2）法一.
法二；
法二.
法三.
概念講解
歸納小結
利用指數冪的運算性質化簡求值的方法
(1)進行指數冪的運算時，一般化負指數為正指數，化根式為分數指數冪，化小數為分數，同時兼顧運算的順序．
(2)在明確根指數的奇偶(或具體次數)時，若能明確被開方數的符號，則可以對根式進行化簡運算．
(3)對于含有字母的化簡求值的結果，一般用分數指數冪的形式表示．
概念講解
有理數指數冪的運算性質
有理數指數冪的運算性質()
(1)
(2)
(3)
拓展：
概念講解
解：
例3.用分數指數冪的形式表示并計算下列各式( 其中a>0).
； .
(1) ；
(2) .
概念講解
課堂小結
05
課堂小結

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