資源簡介

§3　拋物線
3.1　拋物線及其標準方程
學習目標 1.了解拋物線的定義、幾何圖形和標準方程，培養數學抽象、直觀想象的核心素養.　2.掌握拋物線定義的應用，體會數形結合思想和提升直觀想象的核心素養.　3.會求拋物線的標準方程，并能應用它解決有關問題，提升數學運算的核心素養.
任務一　拋物線的定義
問題1.如圖所示，先將一把直尺固定在畫板上，再把一個三角板的一條直角邊緊靠在直尺的邊緣(記作直線l)，然后取一根細繩，它的長度與另一條直角邊AB相等，細繩的一端固定在三角板頂點A處，另一端固定在畫板上的點F處.用鉛筆尖(記作點P)扣緊繩子，并靠住三角板，然后將三角板沿著直尺上下滑動，可以發現鉛筆尖就在畫板上描出了一段曲線，即點P的軌跡.你能發現點P滿足的幾何條件嗎？它的軌跡是什么形狀？
提示：點P運動的過程中，始終有｜PF｜＝｜PB｜，即點P與定點F的距離等于它到定直線l的距離，點P的軌跡形狀與二次函數的圖象相似.
拋物線的定義
定義 平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)的距離相等的點的集合(或軌跡)叫作拋物線
焦點 定點F叫作拋物線的焦點
準線 定直線l叫作拋物線的準線
集合表示 P＝{M｜｜MF｜＝d}，d為點M到直線l的距離
[微提醒]　(1)“一動三定”：一動點M；一定點F(即焦點)；一定直線l(即準線)；一定值1(即動點M到定點F的距離與到定直線l的距離之比為1).(2)若點F在直線l上，點的軌跡是過點F且垂直于直線l的直線.
(1)在平面直角坐標系內，到點A(1，1)和直線y＝1的距離相等的點的軌跡是(　　)
A.直線 B.拋物線
C.橢圓 D.雙曲線
(2)已知動點M(x，y)的坐標滿足方程5＝，則動點M的軌跡是(　　)
A.橢圓 B.雙曲線
C.拋物線 D.以上都不對
答案：(1)A　(2)C
解析：(1)設到點A(1，1)和直線y＝1的距離相等的點為P(x，y)，由題意得＝，兩邊平方化簡得(x－1)2＝0，即x＝1，即到點A(1，1)和直線y＝1的距離相等的點的軌跡方程為x＝1，為一條直線.故選A.
(2)等式5＝＝，因此該等式表示動點M(x，y)到原點O(0，0)的距離等于到定直線3x＋4y－12＝0的距離，而直線3x＋4y－12＝0不過原點O(0，0)，所以動點M的軌跡是拋物線.故選C.
利用拋物線的定義處理與之相關的軌跡或軌跡方程問題，處理過程中要注意定點是否在定直線上.
對點練1.設圓C與圓x2＋(y－3)2＝1外切，與直線y＝－2相切，則圓C的圓心的軌跡為(　　)
A.拋物線 B.雙曲線
C.橢圓 D.圓
答案：A
解析：設C的坐標為(x，y)，圓C的半徑為r，圓x2＋(y－3)2＝1的圓心為A.因為圓C與圓x2＋(y－3)2＝1外切，與直線y＝－2相切，所以｜CA｜＝r＋1，C到直線y＝－2的距離d＝r，所以｜CA｜＝d＋1，即動點C到定點A的距離等于到定直線y＝－3的距離，由拋物線的定義知：C的軌跡為拋物線.故選A.
任務二　拋物線的標準方程
問題2.類比橢圓、雙曲線標準方程的建立過程，你認為如何建立平面直角坐標系，使所建立的拋物線的方程簡單？
提示：我們取經過焦點F且垂直于準線l的直線為x軸，x軸與準線l相交于點K，以線段KF的垂直平分線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系.
設拋物線的焦點到準線的距離為p(p＞0)，則｜KF｜＝p(p＞0)，焦點F，準線l的方程為x＝－.設點M(x，y)是拋物線上任意一點，點M到準線l的距離為d.由拋物線的定義可知，拋物線上的點M滿足｜MF｜＝d.因為｜MF｜＝，d＝，所以＝，將上式兩邊平方并化簡，得y2＝2px(p＞0).
拋物線的標準方程
圖形
標準方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0)
焦點坐標
準線方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
[微提醒]　(1)p的幾何意義是焦點到準線的距離.(2)拋物線的開口方向：拋物線的開口方向取決于一次項變量(x或y)及其系數的符號.(3)解題時首先把方程化為標準方程.
角度1　求拋物線的標準方程
(鏈教材P70例1)根據下列條件，求拋物線的標準方程：
(1)準線方程為2y＋4＝0；
(2)過點(3，－4)；
(3)焦點在直線x＋3y＋15＝0上.
解：(1)準線方程為2y＋4＝0，即y＝－2，所以拋物線焦點在y軸的正半軸上，
設拋物線的標準方程為x2＝2py(p＞0).又＝2，所以2p＝8，
所以所求拋物線的標準方程為x2＝8y.
(2)因為點(3，－4)在第四象限，所以拋物線開口向右或向下，
設拋物線的標準方程為y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0).
把點(3，－4)的坐標分別代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，即2p＝，2p1＝.
所以所求拋物線的標準方程為y2＝x或x2＝－y.
(3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.
所以拋物線的焦點為(0，－5)或(－15，0).
所以所求拋物線的標準方程為x2＝－20y或y2＝－60x.
1.拋物線標準方程的求法
(1)定義法：建立適當的坐標系，利用拋物線的定義列出動點滿足的條件，列出方程，進行化簡，根據定義求出p，最后寫出標準方程.
(2)待定系數法：由于標準方程有四種形式，因而在求方程時應首先確定焦點在哪一個半軸上，進而確定方程的形式，然后再利用已知條件確定p的值.
2.求拋物線標準方程時應注意的問題
(1)把握開口方向與方程一次項系數的對應關系.
(2)當拋物線的位置沒有確定時，可設方程為y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，這樣可以減少討論不同情況的次數.
(3)注意p與的幾何意義.
對點練2.根據下列條件，求拋物線的標準方程：
(1)焦點為F(0，－4)；
(2)焦點到準線的距離為.
解：(1)因為焦點在y軸的負半軸上，并且－＝－4，即p＝8.
所以所求拋物線的標準方程為x2＝－16y.
(2)由焦點到準線的距離為，所以p＝，
所以所求拋物線的標準方程為y2＝2x或y2＝－2x或x2＝2y或x2＝－2y.
角度2　根據拋物線的方程求焦點坐標和準線方程
(鏈教材P71例2)求下列拋物線的焦點坐標、準線方程：
(1)y2＝x；(2)x2＝－y；
(3)x2＋12y＝0；(4)y2＝ax(a≠0).
解：(1)對于y2＝x，焦點在x軸正半軸上，
焦點坐標為，準線方程為x＝－.
(2)對于x2＝－y，焦點在y軸負半軸上，
焦點坐標為，準線方程為y＝.
(3)對于x2＋12y＝0，即x2＝－12y，
焦點在y軸負半軸上，
焦點坐標為(0，－3)，準線方程為y＝3.
(4)當a＞0時，拋物線開口向右，焦點在x軸的正半軸上，2p＝a，所以p＝，＝，因此焦點坐標為(，0)，準線方程為x＝－.
當a＜0時，拋物線開口向左，焦點在x軸的負半軸上，2p＝－a，所以p＝－，＝－，因此焦點坐標為(，0)，準線方程為x＝－.
綜上可得，當a≠0時，拋物線的焦點坐標為(，0)，準線方程為x＝－.
由拋物線方程求焦點坐標和準線方程的基本方法
已知拋物線方程求焦點坐標和準線方程時，一般先將所給方程化為標準形式，由標準方程得到參數p，從而得焦點坐標和準線方程，要注意p＞0，焦點所在坐標軸由標準方程的一次項確定，系數為正，焦點在正半軸，系數為負，焦點在負半軸.
對點練3.(雙空題)若拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點坐標為(1，0)，則p＝　　　　，準線方程為　　　　.
答案：2　x＝－1
解析：因為拋物線的焦點坐標為(1，0)，所以＝1，p＝2，準線方程為x＝－＝－1.
任務三　拋物線定義的應用
已知點P是拋物線y2＝2x上的一個動點，求點P到點(0，2)的距離與P到該拋物線準線的距離之和的最小值.
解：由拋物線的定義可知，拋物線上的點到準線的距離等于它到焦點的距離.由圖可知，點P，點(0，2)和拋物線的焦點F三點共線時距離之和最小，
所以距離之和的最小值為＝.
[變式探究]
1.(變條件，變設問)若將本例中的“點(0，2)”改為“點A(3，2)”，求｜PA｜＋｜PF｜的最小值.
解：將x＝3代入y2＝2x，得y＝±.
所以點A在拋物線y2＝2x的內部.
設點P為其上一點，點P到準線(設為l)x＝－的距離為d，
則｜PA｜＋｜PF｜＝｜PA｜＋d.
由圖可知，
當PA⊥l時，｜PA｜＋d最小，最小值是.
即｜PA｜＋｜PF｜的最小值是.
2.(變條件，變設問)若將本例中的“點(0，2)”換成“直線l1：3x－4y＋＝0”，求點P到直線3x－4y＋＝0的距離與P到該拋物線的準線的距離之和的最小值.
解：如圖所示，
作PA1垂直于直線l1于點A1，作PQ垂直于準線l于點Q，｜PA1｜＋｜PQ｜＝｜PA1｜＋｜PF｜≥｜A1F｜.
｜A1F｜的最小值為點F到直線3x－4y＋＝0的距離d＝＝1.即所求最小值為1.
1.拋物線定義的兩種應用
實現距離轉化 根據拋物線的定義，拋物線上任意一點到焦點的距離等于它到準線的距離，因此，由拋物線定義可以實現點點距與點線距的相互轉化，從而簡化某些問題
續表
解決最值問題 在拋物線中求解與焦點有關的兩點間距離和的最小值時，往往用拋物線的定義進行轉化，即化折線為直線解決最值問題
2.標準方程下的焦半徑公式
拋物線 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0)
焦半徑公式 x0＋ －x0 y0＋ －y0
由拋物線的焦半徑公式可知，拋物線上的點到其焦點的距離的最小值為，此時該點為坐標原點.
對點練4.已知拋物線的方程為y2＝－4x，直線l的方程為2x＋y－4＝0，在拋物線上有一動點A，點A到y軸的距離為m，點A到直線l的距離為n，則m＋n的最小值為　　　　.
答案：－1
解析：由拋物線的方程為y2＝－4x，得其焦點F(－1，0)，準線方程為x＝1.如圖所示，過點A作直線l的垂線，垂足為H，則｜AH｜＝n.過點A作準線的垂線，垂足為C，交y軸于點B，則｜AB｜＝m，｜AC｜＝m＋1.根據拋物線的定義可知，｜AF｜＝｜AC｜＝m＋1，所以m＋n＝｜AF｜＋｜AH｜－1.過點F作直線l的垂線，垂足為H1，則｜FH1｜＝＝.當點A為垂線段FH1與拋物線的交點時，｜AF｜＋｜AH｜最小，最小值為｜FH1｜＝，此時m＋n取得最小值－1.
任務再現 1.拋物線的定義.2.拋物線的標準方程.3.拋物線定義的應用
方法提煉 待定系數法、定義法、分類討論思想、數形結合思想、轉化與化歸思想
易錯警示 混淆拋物線的焦點位置和方程形式；錯誤理解p的含義
1.拋物線y＝－x2的準線方程是(　　)
A.x＝ B.x＝
C.y＝2 D.y＝4
答案：C
解析：將y＝－x2化為標準方程x2＝－8y，由此可知準線方程為y＝2.故選C.
2.已知拋物線的焦點坐標是(0，－3)，則拋物線的標準方程是(　　)
A.x2＝－12y B.x2＝12y
C.y2＝－12x D.y2＝12x
答案：A
解析：因為＝3，所以p＝6，所以x2＝－12y.故選A.
3.若拋物線y2＝－2px(p＞0)上有一點M，其橫坐標為－9，它到焦點的距離為10，則點M的坐標為　　　　　　　　.
答案：(－9，6)或(－9，－6)
解析：設點M到準線的距離為d，則d＝｜MF｜＝10，即－(－9)＝10，得p＝2，故拋物線方程為y2＝－4x.由點M(－9，y)在拋物線上，得y＝±6，故點M的坐標為(－9，6)或(－9，－6).
4.已知點F(0，4)是拋物線C：x2＝2py(p＞0)的焦點，點P(2，3)，且點M為拋物線C上任意一點，則｜MF｜＋｜MP｜的最小值為　　　　.
答案：7
解析：因為點F(0，4)是拋物線C：x2＝2py(p＞0)的焦點，所以＝4，解得p＝8，所以拋物線C的方程為x2＝16y.由拋物線的定義知：點M到點F(0，4)的距離等于點M到準線y＝－4的距離，結合點P(2，3)與拋物線C的位置關系可知，｜MF｜＋｜MP｜的最小值是點P(2，3)到準線y＝－4的距離，故｜MF｜＋｜MP｜的最小值為7.
課時分層評價17　拋物線及其標準方程
(時間：60分鐘　滿分：110分)
(1—9，每小題5分，共45分)
1.若拋物線x2＝ay的焦點坐標為(0，1)，則其準線方程為(　　)
A.x＝－1 B.x＝1
C.y＝－1 D.y＝1
答案：C
解析：由題意可知該拋物線開口向上，又焦點坐標為(0，1)，所以準線方程為y＝－1.故選C.
2.過點A(3，0)且與y軸相切的圓的圓心軌跡為(　　)
A.圓 B.橢圓
C.直線 D.拋物線
答案：D
解析：由題意可知，動圓的圓心到點A的距離與到y軸的距離相等，滿足拋物線的定義.
3.已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，點P在C上，若點Q(6，3)，則△PQF周長的最小值為(　　)
A.13 B.12
C.10 D.8
答案：A
解析：y2＝2×4x，故F(2，0)，記拋物線C的準線為l，則l：x＝－2，記點P到l的距離為d，點Q(6，3)到l的距離為d'，如圖所示，則＋＋＝＋d＋≥d'＋5＝8＋5＝13.故選A.
4.(多選題)經過點P(4，－2)的拋物線的標準方程可以為(　　)
A.y2＝x B.x2＝8y
C.x2＝－8y D.y2＝－8x
答案：AC
解析：若拋物線的焦點在x軸上，設拋物線的方程為y2＝2px(p＞0).又因為拋物線經過點P(4，－2)，所以(－2)2＝2p×4，解得p＝，所以拋物線的方程為y2＝x.若拋物線的焦點在y軸上，設拋物線的方程為x2＝－2py(p＞0)，又因為拋物線經過點P(4，－2)，所以42＝－2p×(－2)，解得p＝4，所以拋物線的方程為x2＝－8y.故選AC.
5.已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)是拋物線y2＝2px(p＞0)上的三點，點F是拋物線y2＝2px的焦點，且｜P1F｜＋｜P3F｜＝2｜P2F｜，則(　　)
A.x1＋x3＞2x2
B.x1＋x3＝2x2
C.x1＋x3＜2x2
D.x1＋x3與2x2的大小關系不確定
答案：B
解析：由｜P1F｜＋｜P3F｜＝2｜P2F｜，得＋＝2，即x1＋x3＝2x2.故選B.
6.(多選題)如圖，點F是拋物線y2＝8x的焦點，點A，B分別在拋物線y2＝8x及圓(x－2)2＋y2＝16的實線部分上運動，且AB總是平行于x軸，則△FAB的周長可以為(　　)
A.8 B.9
C.10 D.12
答案：BC
解析：由題意知拋物線的準線l：x＝－2，焦點F(2，0)，根據拋物線的定義可得｜AF｜＝xA＋2.又圓(x－2)2＋y2＝16的圓心為(2，0)，半徑為4，所以△FAB的周長＝｜AF｜＋｜AB｜＋｜BF｜＝xA＋2＋(xB－xA)＋4＝6＋xB.由拋物線y2＝8x及圓(x－2)2＋y2＝16可得交點的橫坐標為2，所以xB∈(2，6)，所以6＋xB∈(8，12).故選BC.
7.已知拋物線y2＝4x的弦AB的中點的橫坐標為2，則｜AB｜的最大值為　　　　.
答案：6
解析：拋物線y2＝4x的焦點為F(1，0)，利用拋物線的定義可知，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝4，那么｜AF｜＋｜BF｜＝x1＋x2＋2，由圖可知｜AF｜＋｜BF｜≥｜AB｜ ｜AB｜≤6，當AB過焦點F時取最大值為6.
8.若拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點到直線y＝x＋1的距離為，則p＝　　　　.
答案：2
解析：拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點坐標為，它到直線y＝x＋1的距離為d＝＝ p＝2.
9.在平面直角坐標系xOy中，已知點A(2，2)，記拋物線C：y2＝4x上的動點P到準線的距離為d，則d－的最大值為　　　　.
答案：
解析：如圖所示，F為拋物線C的焦點，F(1，0)，由拋物線的定義知，d＝｜PF｜，所以d－＝｜PF｜－≤＝＝，當點P為射線FA與拋物線C的交點時，取最大值.
10.(13分)已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸上，拋物線上一點M(m，－3)到焦點的距離為5，求m的值、拋物線方程和準線方程.
解：如圖所示，設拋物線的方程為x2＝－2py(p＞0)，則焦點F，準線l：y＝，作MN⊥l，垂足為N，
則｜MN｜＝｜MF｜＝5，
而｜MN｜＝3＋＝5，即p＝4.
所以拋物線方程為x2＝－8y，準線方程為y＝2.
由m2＝－8×(－3)＝24，得m＝±2.
(11—13，每小題5分，共15分)
11.已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－2，拋物線y2＝4x上一動點P到直線l1和l2距離之和的最小值是(　　)
A.2 B.3
C. D.＋1
答案：B
解析：由題可知x＝－1是拋物線y2＝4x的準線，如圖所示，設拋物線的焦點為F，則F(1，0)，所以動點P到l2的距離等于P到x＝－1的距離加1，即動點P到l2的距離等于｜PF｜＋1.所以動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值為焦點F到直線l1：4x－3y＋6＝0的距離加1，即其最小值是＋1＝3.故選B.
12.(多選題)對標準形式的拋物線，給出下列條件，其中滿足拋物線方程為y2＝10x的是(　　)
A.焦點在y軸上
B.焦點在x軸上
C.拋物線上橫坐標為1的點到焦點的距離等于6
D.由原點向過焦點的某直線作垂線，垂足坐標為(2，1)
答案：BD
解析：拋物線y2＝10x的焦點在x軸上，故B滿足，A不滿足；設M(1，y0)是y2＝10x上一點，則｜MF｜＝1＋＝1＋＝≠6，故C不滿足；由于拋物線y2＝10x的焦點為，設過該焦點的直線的斜率存在，方程為y＝k，若由原點向該直線作垂線，垂足為(2，1)時，則k＝－2，此時存在，故D滿足.故選BD.
13.(雙空題)已知拋物線Z：x2＝4y的焦點為F，圓F：x2＋(y－1)2＝4與拋物線Z在第一象限的交點為P，直線l：x＝t(0＜t＜m)與拋物線Z的交點為A，直線l與圓F相交，記上方的交點為B，則m＝　　　　；△FAB周長的取值范圍為　　　　　　　.
答案：2　(4，6)
解析：如圖所示，設直線l與拋物線Z的準線交于點C，由
解得所以m＝2.由所以A，
由所以B(t，1＋)，由拋物線的定義得｜AF｜＝｜AC｜，所以△FAB周長＝｜FA｜＋｜FB｜＋｜AB｜＝｜AC｜＋｜AB｜＋｜BF｜＝｜BC｜＋2＝＋4.因為t∈(0，2)，所以＋4∈(4，6).
14.(15分)已知拋物線y2＝4ax(a＞0)的焦點為A，以B(a＋4，0)為圓心，｜BA｜為半徑，在x軸上方畫半圓，設拋物線與半圓交于不同的兩點M，N，點P為線段MN的中點.
(1)求｜AM｜＋｜AN｜的值；
(2)是否存在這樣的a，使2｜AP｜＝｜AM｜＋｜AN｜？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由.
解：(1)設M(xM，yM)，N(xN，yN)，由拋物線的定義，得｜AM｜＋｜AN｜＝xM＋xN＋2a.又圓的方程為[x－(a＋4)]2＋y2＝16，將y2＝4ax代入，得x2－2(4－a)x＋a2＋8a＝0，所以xM＋xN＝2(4－a)，所以｜AM｜＋｜AN｜＝8.
(2)不存在.假設存在這樣的a，使得2｜AP｜＝｜AM｜＋｜AN｜.
過點P作PP'垂直于拋物線的準線，垂足為P'(圖略).
因為｜AM｜＋｜AN｜＝2｜PP'｜，所以｜AP｜＝｜PP'｜.
由拋物線的定義知點P必在拋物線上，這與點P是線段MN的中點矛盾，所以這樣的a不存在.
15.(5分)如圖，在正方體ABCD -A1B1C1D1中，P是側面BB1C1C內一動點，若P到直線BC與直線C1D1的距離相等，則動點P的軌跡所在的曲線是(　　)
A.直線 B.圓
C.橢圓 D.拋物線
答案：D
解析：連接PC1(圖略)，因為幾何體ABCD -A1B1C1D1是正方體，所以直線C1D1⊥側面BB1C1C，所以C1D1⊥PC1，則｜PC1｜為點P到直線C1D1的距離.又點P到直線C1D1的距離等于點P到直線BC的距離，即點P到點C1的距離等于點P到直線BC的距離，所以動點P的軌跡所在的曲線是拋物線.故選D.
16.(17分)如圖，A地在B地北偏東45°方向，相距2 km處，B地與東西走向的高鐵線(近似看成直線)l相距4 km.已知曲線形公路PQ上任意一點到B地的距離等于此點到高鐵線l的距離.現要在公路旁建造一個變電房M(變電房與公路之間的距離忽略不計)，分別向A地、B地送電.
(1)試建立適當的平面直角坐標系，求曲線形公路PQ所在的曲線方程；
(2)變電房M應建在相對于A地的什么位置(方向和距離)才能使得架設電路所用電線長度最短？求出最短長度.
解：(1)如圖所示，以經過點B且垂直于l(垂足為K)的直線為y軸，線段BK的中點O為原點，建立平面直角坐標系，則B(0，2)，A(2，4).
因為曲線形公路PQ上任意一點到B地的距離等于此點到高鐵線l的距離，所以PQ所在的曲線是以B(0，2)為焦點，l為準線的拋物線.設拋物線方程為x2＝2py(p＞0)，由｜BO｜＝2，知p＝4，故曲線形公路PQ所在的曲線方程為x2＝8y.
(2)要使架設電路所用電線長度最短，即｜MA｜＋｜MB｜最小，如圖所示，過M作MH⊥l，垂足為H，
由拋物線定義得｜MB｜＝｜MH｜，
所以｜MA｜＋｜MB｜＝｜MA｜＋｜MH｜，
當A，M，H三點共線時，｜MA｜＋｜MH｜取得最小值.
即｜MA｜＋｜MB｜取得最小值，此時M.
所以變電房M應建在A地正南方向，且與A地相距 km的位置上，才能使得所用電線長度最短，最短長度為6 km.
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3.1　拋物線及其標準方程
　
第二章　§3　拋物線
學習目標
1.了解拋物線的定義、幾何圖形和標準方程，培養數學抽 象、直觀想象的核心素養.
2.掌握拋物線定義的應用，體會數形結合思想和提升直觀想 象的核心素養.
3.會求拋物線的標準方程，并能應用它解決有關問題，提升 數學運算的核心素養.
任務一　拋物線的定義
問題導思
問題1.如圖所示，先將一把直尺固定在畫板上，再把一
個三角板的一條直角邊緊靠在直尺的邊緣(記作直線l)，
然后取一根細繩，它的長度與另一條直角邊AB相等，
細繩的一端固定在三角板頂點A處，另一端固定在畫板
上的點F處.用鉛筆尖(記作點P)扣緊繩子，并靠住三角
板，然后將三角板沿著直尺上下滑動，可以發現鉛筆尖
就在畫板上描出了一段曲線，即點P的軌跡.你能發現點P滿足的幾何條件嗎？它的軌跡是什么形狀？
提示：點P運動的過程中，始終有｜PF｜＝｜PB｜，即點P與定點F的距離等于它到定直線l的距離，點P的軌跡形狀與二次函數的圖象相似.
新知構建
拋物線的定義
定義 平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)的距離______的點的集合(或軌跡)叫作拋物線
焦點 ________叫作拋物線的焦點
準線 _________叫作拋物線的準線
集合表示 P＝{M｜｜MF｜＝d}，d為點M到直線l的距離
相等
定點F
定直線l
微提醒
(1)“一動三定”：一動點M；一定點F(即焦點)；一定直線l(即準線)；一定值1(即動點M到定點F的距離與到定直線l的距離之比為1).(2)若點F在直線l上，點的軌跡是過點F且垂直于直線l的直線.
(1)在平面直角坐標系內，到點A(1，1)和直線y＝1的距離相等的點的軌跡是
A.直線 B.拋物線
C.橢圓 D.雙曲線
典例
1
√
√

規律方法
利用拋物線的定義處理與之相關的軌跡或軌跡方程問題，處理過程中要注意定點是否在定直線上.
√
對點練1.設圓C與圓x2＋(y－3)2＝1外切，與直線y＝－2相切，則圓C的圓心的軌跡為
A.拋物線 B.雙曲線
C.橢圓 D.圓
設C的坐標為(x，y)，圓C的半徑為r，圓x2＋(y－3)2＝1的圓心為A.因為圓C與圓x2＋(y－3)2＝1外切，與直線y＝－2相切，所以｜CA｜＝r＋1，C到直線y＝－2的距離d＝r，所以｜CA｜＝d＋1，即動點C到定點A的距離等于到定直線y＝－3的距離，由拋物線的定義知：C的軌跡為拋物線.故選A.
返回
任務二　拋物線的標準方程
問題導思
問題2.類比橢圓、雙曲線標準方程的建立過程，你認為如何建立平面直角坐標系，使所建立的拋物線的方程簡單？
提示：我們取經過焦點F且垂直于準線l的直線為x軸，x軸與準線l相交于點K，以線段KF的垂直平分線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系.
新知構建
拋物線的標準方程
圖形
標準方程 ______________ ________________ ______________ _________________
焦點坐標
準線方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
微提醒
(1)p的幾何意義是焦點到準線的距離.(2)拋物線的開口方向：拋物線的開口方向取決于一次項變量(x或y)及其系數的符號.(3)解題時首先把方程化為標準方程.
典例
2
(3)焦點在直線x＋3y＋15＝0上.
解：令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.
所以拋物線的焦點為(0，－5)或(－15，0).
所以所求拋物線的標準方程為x2＝－20y或y2＝－60x.
規律方法
1.拋物線標準方程的求法
(1)定義法：建立適當的坐標系，利用拋物線的定義列出動點滿足的條件，列出方程，進行化簡，根據定義求出p，最后寫出標準方程.
(2)待定系數法：由于標準方程有四種形式，因而在求方程時應首先確定焦點在哪一個半軸上，進而確定方程的形式，然后再利用已知條件確定p的值.
規律方法
典例
3
規律方法
由拋物線方程求焦點坐標和準線方程的基本方法
已知拋物線方程求焦點坐標和準線方程時，一般先將所給方程化為標準形式，由標準方程得到參數p，從而得焦點坐標和準線方程，要注意p＞0，焦點所在坐標軸由標準方程的一次項確定，系數為正，焦點在正半軸，系數為負，焦點在負半軸.
對點練3.(雙空題)若拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點坐標為(1，0)，則p＝　　，準線方程為　　　　.
2
x＝－1
返回
任務三　拋物線定義的應用
典例
4
規律方法
1.拋物線定義的兩種應用
實現距
離轉化 根據拋物線的定義，拋物線上任意一點到焦點的距離等于它到準線的距離，因此，由拋物線定義可以實現點點距與點線距的相互轉化，從而簡化某些問題
解決最
值問題 在拋物線中求解與焦點有關的兩點間距離和的最小值時，往往用拋物線的定義進行轉化，即化折線為直線解決最值問題
規律方法
拋物線 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0)
焦半徑公式
對點練4.已知拋物線的方程為y2＝－4x，直線l的方程為2x＋y－4＝0，在拋物線上有一動點A，點A到y軸的距離為m，點A到直線l的距離為n，則m
＋n的最小值為　　　　.

課堂小結
任務再現 1.拋物線的定義.2.拋物線的標準方程.3.拋物線定義的應用
方法提煉 待定系數法、定義法、分類討論思想、數形結合思想、轉化與化歸思想
易錯警示 混淆拋物線的焦點位置和方程形式；錯誤理解p的含義
返回
隨堂評價
√
√
2.已知拋物線的焦點坐標是(0，－3)，則拋物線的標準方程是
A.x2＝－12y B.x2＝12y
C.y2＝－12x D.y2＝12x
3.若拋物線y2＝－2px(p＞0)上有一點M，其橫坐標為－9，它到焦點的距離為10，則點M的坐標為　　　 　　　　　.
(－9，6)或(－9，－6)
4.已知點F(0，4)是拋物線C：x2＝2py(p＞0)的焦點，點P(2，3)，且點M為拋物線C上任意一點，則｜MF｜＋｜MP｜的最小值為　　.
7

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課時分層評價
√
1.若拋物線x2＝ay的焦點坐標為(0，1)，則其準線方程為
A.x＝－1 B.x＝1
C.y＝－1 D.y＝1
由題意可知該拋物線開口向上，又焦點坐標為(0，1)，所以準線方程為y＝－1.故選C.
√
2.過點A(3，0)且與y軸相切的圓的圓心軌跡為
A.圓 B.橢圓
C.直線 D.拋物線
由題意可知，動圓的圓心到點A的距離與到y軸的距離相等，滿足拋物線的定義.
√
3.已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，點P在C上，若點Q(6，3)，則△PQF周長的最小值為
A.13 B.12
C.10 D.8

√
4.(多選題)經過點P(4，－2)的拋物線的標準方程可以為
A.y2＝x B.x2＝8y
C.x2＝－8y D.y2＝－8x
√
√
5.已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)是拋物線y2＝2px(p＞0)上的三點，點F是拋物線y2＝2px的焦點，且｜P1F｜＋｜P3F｜＝2｜P2F｜，則
A.x1＋x3＞2x2
B.x1＋x3＝2x2
C.x1＋x3＜2x2
D.x1＋x3與2x2的大小關系不確定
√
√
6.(多選題)如圖，點F是拋物線y2＝8x的焦點，點A，B分別在拋物線y2＝8x及圓(x－2)2＋y2＝16的實線部分上運動，且AB總是平行于x軸，則△FAB的周長可以為
A.8
B.9
C.10
D.12
由題意知拋物線的準線l：x＝－2，焦點F(2，0)，根據拋物線的定義可得｜AF｜＝xA＋2.又圓(x－2)2＋y2＝16的圓心為(2，0)，半徑為4，所以△FAB的周長＝｜AF｜＋｜AB｜＋｜BF｜＝xA＋2＋(xB－xA)＋4＝6＋xB.由拋物線y2＝8x及圓(x－2)2＋y2＝16可得交點的橫坐標為2，所以xB∈(2，6)，所以6＋xB∈(8，12).故選BC.
7.已知拋物線y2＝4x的弦AB的中點的橫坐標為2，則｜AB｜的最大值為　　.
6
拋物線y2＝4x的焦點為F(1，0)，利用拋物線的定義可知，
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝4，那么｜AF｜＋｜BF｜
＝x1＋x2＋2，由圖可知｜AF｜＋｜BF｜≥｜AB｜ ｜AB｜
≤6，當AB過焦點F時取最大值為6.
2


√

√
√
12.(多選題)對標準形式的拋物線，給出下列條件，其中滿足拋物線方程為y2＝10x的是
A.焦點在y軸上
B.焦點在x軸上
C.拋物線上橫坐標為1的點到焦點的距離等于6
D.由原點向過焦點的某直線作垂線，垂足坐標為(2，1)
2
(4，6)


14.(15分)已知拋物線y2＝4ax(a＞0)的焦點為A，以B(a＋4，0)為圓心，
｜BA｜為半徑，在x軸上方畫半圓，設拋物線與半圓交于不同的兩點M，N，點P為線段MN的中點.
(1)求｜AM｜＋｜AN｜的值；
解：設M(xM，yM)，N(xN，yN)，由拋物線的定義，得｜AM｜＋｜AN｜＝xM＋xN＋2a.又圓的方程為[x－(a＋4)]2＋y2＝16，將y2＝4ax代入，得x2－2(4－a)x＋a2＋8a＝0，所以xM＋xN＝2(4－a)，所以｜AM｜＋｜AN｜＝8.
(2)是否存在這樣的a，使2｜AP｜＝｜AM｜＋｜AN｜？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由.
解：不存在.假設存在這樣的a，使得2｜AP｜＝｜AM｜＋｜AN｜.
過點P作PP'垂直于拋物線的準線，垂足為P'(圖略).
因為｜AM｜＋｜AN｜＝2｜PP'｜，所以｜AP｜＝｜PP'｜.
由拋物線的定義知點P必在拋物線上，這與點P是線段MN的中點矛盾，所以這樣的a不存在.
15.(5分)如圖，在正方體ABCD -A1B1C1D1中，P是側面BB1C1C內一動點，若P到直線BC與直線C1D1的距離相等，則動點P的軌跡所在的曲線是
A.直線
B.圓
C.橢圓
D.拋物線
√
連接PC1(圖略)，因為幾何體ABCD -A1B1C1D1是正方體，所以直線C1D1⊥側面BB1C1C，所以C1D1⊥PC1，則｜PC1｜為點P到直線C1D1的距離.又點P到直線C1D1的距離等于點P到直線BC的距離，即點P到點C1的距離等于點P到直線BC的距離，所以動點P的軌跡所在的曲線是拋物線.故選D.
解：如圖所示，以經過點B且垂直于l(垂足為K)的直線為y軸，線段BK的中點O為原點，建立平面直角坐標系，則B(0，2)，A(2，4).
因為曲線形公路PQ上任意一點到B地的距離等于此點到高鐵線l的距離，所以PQ所在的曲線是以B(0，2)為焦點，l為準線的拋物線.設拋物線方程為x2＝2py(p＞0)，由｜BO｜＝2，知p＝4，故曲線形公路PQ所在的曲線方程為x2＝8y.
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