資源簡介

§2　雙曲線
2.1　雙曲線及其標準方程
學習目標 1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程的推導(dǎo)過程，培養(yǎng)數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).　2.掌握雙曲線的標準方程及其求法，提升數(shù)學運算的核心素養(yǎng).　3.會利用雙曲線的定義和標準方程解決較簡單的問題，提升邏輯推理、數(shù)學運算的核心素養(yǎng).　4.了解雙曲線的簡單應(yīng)用.
任務(wù)一　雙曲線的定義
問題1.把橢圓定義中的“距離之和”改為“距離之差”，那么點的軌跡會怎么樣？
提示：準備實驗(可以找三名同學在教師指導(dǎo)下操作)，取一條拉鏈，拉開它的一部分，在拉開的兩邊上各選擇一個點，分別固定在點F1，F(xiàn)2上，點F1到點F2的距離為2c(c＞0).把筆尖放在拉鏈開口的咬合處M，點M到點F1的距離與點M到點F2的距離之差等于2a(c＞a＞0).隨著拉鏈逐漸拉開或者閉攏，筆尖就畫出一條曲線，同理可畫出另一支.(如圖)顯然所畫的曲線不是橢圓，而是兩條相同的曲線，只是位置不同，其原因都是應(yīng)用了“到兩定點的距離之差｜MF1｜－｜MF2｜，或｜MF2｜－｜MF1｜是同一個常數(shù)”這個條件.
問題2.在上述過程中，我們在其中的一段拉鏈上截取一段小于｜F1F2｜，如果截取的長度等于｜F1F2｜，其軌跡還是上述圖形嗎？
提示：不是，是以F1，F(xiàn)2為端點的兩條射線.
雙曲線的定義
定義 平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對值等于常數(shù)(大于零且小于｜F1F2｜)的點的集合(或軌跡)叫作雙曲線
焦點 兩個定點F1，F(xiàn)2叫作雙曲線的焦點
焦距 兩焦點間的距離｜F1F2｜叫作雙曲線的焦距
集合語言 P＝{M｜｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝2a，0＜2a＜｜F1F2｜}
[微提醒]　(1)常數(shù)要小于兩個定點的距離.(2)如果沒有絕對值，點的軌跡表示雙曲線的一支.(3)當2a＝｜F1F2｜時，動點的軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點的兩條方向相反的射線(包括端點).(4)當2a＞｜F1F2｜時，動點的軌跡不存在.(5)當2a＝0時，動點軌跡為線段F1F2的垂直平分線.
(多選題)已知平面直角坐標系中，點A(－1，0)，B(1，0)，點P為平面內(nèi)一動點，且｜PA｜－｜PB｜＝2a(a∈R)，則下列說法正確的是(　　)
A.當a＝0時，點P的軌跡為一直線
B.當a＝1時，點P的軌跡為一射線
C.當a＝－1時，點P的軌跡不存在
D.當a＝時，點P的軌跡是雙曲線
答案：AB
解析：對于A，當a＝0時，｜PA｜＝｜PB｜，則點P的軌跡為線段AB的垂直平分線，故A正確；對于B，當a＝1時，｜PA｜－｜PB｜＝2＝｜AB｜，則點P的軌跡是一條射線，且射線的端點為B，方向為x軸的正方向，故B正確；對于C，當a＝－1時，｜PA｜－｜PB｜＝－2＝－｜AB｜，則點P的軌跡是一條射線，且射線的端點為A，方向為x軸的負方向，故C錯誤；對于D，當a＝時，｜PA｜－｜PB｜＝1＜｜AB｜，且｜PA｜＞｜PB｜，所以點P的軌跡是以點A，B為左、右焦點的雙曲線的右支，故D錯誤.故選AB.
判斷點的軌跡是否為雙曲線時，依據(jù)是雙曲線的定義成立的充要條件.
對點練1.(1)已知M(－2，0)，N(2，0)，｜PM｜－｜PN｜＝4，則動點P的軌跡是(　　)
A.線段 B.雙曲線左支
C.一條射線 D.雙曲線右支
(2)與圓x2＋y2＝1及圓x2＋y2－8x＋12＝0都外切的圓P的圓心在(　　)
A.一個橢圓上 B.一個圓上
C.一條直線上 D.雙曲線的一支上
答案：(1)C　(2)D
解析：(1)因為M(－2，0)，N(2，0)，于是有｜PM｜－｜PN｜＝4＝｜MN｜，所以動點P的軌跡是一條射線.故選C.
(2)由x2＋y2－8x＋12＝0，得(x－4)2＋y2＝4，作出兩方程所對應(yīng)曲線，如圖所示：設(shè)圓P的半徑為r，因為圓P與圓O和圓M都外切，所以｜PM｜＝r＋2，｜PO｜＝r＋1，則｜PM｜－｜PO｜＝1＜4，所以根據(jù)雙曲線定義知點P在以O(shè)，M為焦點的雙曲線的左支上.故選D.
任務(wù)二　雙曲線的標準方程
問題3.仿照求橢圓標準方程的方法，根據(jù)雙曲線的定義，如何選擇恰當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼祦砬箅p曲線的標準方程？
提示：觀察我們畫出的雙曲線，發(fā)現(xiàn)它也具有對稱性，而且直線F1F2是它的一條對稱軸，所以以直線F1F2為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，則焦點F1，F(xiàn)2的坐標分別為(－c，0)，(c，0)，焦距為2c，c＞0.
設(shè)P(x，y)是雙曲線上任意一點，則根據(jù)雙曲線的定義可得｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a，即｜PF1｜－｜PF2｜＝±2a，
因為｜PF1｜＝，｜PF2｜＝，所以－＝±2a，化簡、整理可得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2).根據(jù)雙曲線的定義可知，2c＞2a＞0，所以c2－a2＞0，設(shè)b2＝c2－a2(b＞0)，代入上式，得b2x2－a2y2＝a2b2，即－＝1(a＞0，b＞0).
問題4.設(shè)雙曲線的焦點為F1和F2，焦距為2c，而且雙曲線上的動點P滿足｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a，其中c＞a＞0，以直線F1F2為y軸，線段F1F2的垂直平分線為x軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，此時，雙曲線的標準方程是什么？
提示：－＝1(a＞0，b＞0).
雙曲線的標準方程
焦點位置 焦點在x軸上 焦點在y軸上
圖形
焦點位置 焦點在x軸上 焦點在y軸上
標準方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0)
焦點 F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0) F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)
a，b，c的關(guān)系 b2＝c2－a2
[微提醒]　(1)若x2項的系數(shù)為正，則焦點在x軸上；若y2項的系數(shù)為正，則焦點在y軸上.(2)a與b沒有大小關(guān)系；a，b，c的關(guān)系滿足c2＝a2＋b2.
角度1　求雙曲線的標準方程
(鏈教材P62例1)求適合下列條件的雙曲線的標準方程：
(1)焦點在x軸上，a＝2，經(jīng)過點A(－5，2)；
(2)經(jīng)過A(－7，－6)，B(2，3)兩點；
(3)過點P(－，2)，且與橢圓＋＝1有相同焦點的雙曲線方程.
解：(1)因為a＝2，且雙曲線的焦點在x軸上，
可設(shè)雙曲線的標準方程為－＝1(b＞0)，
將點A(－5，2)的坐標代入雙曲線的方程得－＝1，解得b2＝16，
所以雙曲線的標準方程為－＝1.
(2)設(shè)雙曲線的方程為mx2＋ny2＝1(mn＜0)，
將點A，B的坐標代入雙曲線方程可得解得m＝，n＝－，
所以雙曲線的標準方程為－＝1.
(3)由題意知，橢圓＋＝1的焦點坐標為F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，
所以可設(shè)雙曲線標準方程為－＝1，其中a2＋b2＝5，
代入點P(－，2)可得－＝1，聯(lián)立解得a2＝1，b2＝4，
所以雙曲線的標準方程為x2－＝1.
1.求雙曲線標準方程的兩個關(guān)注點
2.雙曲線標準方程的兩種求法
(1)定義法：根據(jù)雙曲線的定義得到相應(yīng)的a，b，c，再寫出雙曲線的標準方程.
(2)待定系數(shù)法：先設(shè)出雙曲線的標準方程－＝1或－＝1(a，b均為正數(shù))，然后根據(jù)條件求出待定的系數(shù)代入方程即可.
注意：若焦點的位置不明確，應(yīng)注意分類討論，也可以設(shè)雙曲線方程為mx2＋ny2＝1的形式，注意標明條件mn＜0.
對點練2.求適合下列條件的雙曲線的標準方程：
(1)經(jīng)過點A(4，3)，且a＝4；
(2)經(jīng)過點A，B(3，－2).
解：(1)若雙曲線的焦點在y軸上，
則－＝1，不成立，可知雙曲線的焦點在x軸上，
設(shè)雙曲線的標準方程為－＝1(b＞0)，
代入點A(4，3)，
即－＝1，解得b2＝9，
所以雙曲線的標準方程為－＝1.
(2)設(shè)雙曲線的方程為mx2＋ny2＝1(mn＜0)，
代入點A，B(3，－2)，
可得
所以雙曲線的標準方程為－＝1.
角度2　雙曲線標準方程的理解
給出曲線方程＋＝1.
(1)若該方程表示雙曲線，求實數(shù)k的取值范圍；
(2)若該方程表示焦點在y軸上的雙曲線，求實數(shù)k的取值范圍.
解：(1)將所給方程化為－＝1，若該方程表示雙曲線，則有(4＋k)(k－1)＞0，解得k＞1或k＜－4.
故實數(shù)k的取值范圍是(－∞，－4)∪(1，＋∞).
(2)將所給方程化為－＝1，若該方程表示焦點在y軸上的雙曲線，則有解得k＜－4.
故實數(shù)k的取值范圍是(－∞，－4).
方程表示雙曲線的條件及參數(shù)范圍求法
1.對于方程＋＝1，當mn＜0時表示雙曲線，且當m＞0，n＜0時表示焦點在x軸上的雙曲線；當m＜0，n＞0時表示焦點在y軸上的雙曲線.
2.對于方程－＝1，當mn＞0時表示雙曲線，且當m＞0，n＞0時表示焦點在x軸上的雙曲線；當m＜0，n＜0時表示焦點在y軸上的雙曲線.
3.已知方程所代表的曲線，求參數(shù)的取值范圍時，應(yīng)先將方程轉(zhuǎn)化為所對應(yīng)曲線的標準方程的形式，再根據(jù)方程中參數(shù)取值的要求，建立不等式(組)求解參數(shù)的取值范圍.
對點練3.在方程mx2－my2＝3n中，若mn＜0，則該方程表示(　　)
A.焦點在x軸上的橢圓
B.焦點在x軸上的雙曲線
C.焦點在y軸上的橢圓
D.焦點在y軸上的雙曲線
答案：D
解析：方程化為－＝1.因為mn＜0，所以＜0，故方程表示焦點在y軸上的雙曲線.故選D.
任務(wù)三　雙曲線定義的應(yīng)用
若F1，F(xiàn)2是雙曲線－＝1的兩個焦點.
(1)若雙曲線上一點M到它的一個焦點的距離等于7，求點M到另一個焦點的距離；
(2)若點P是雙曲線上的一點，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面積.
解：(1)由雙曲線方程知a2＝9，b2＝16，則c2＝25，
所以a＝3，b＝4，c＝5.
設(shè)｜MF1｜＝7，則根據(jù)雙曲線的定義知
｜｜MF2｜－7｜＝6，即｜MF2｜－7＝±6，
解得｜MF2｜＝13或｜MF2｜＝1，
又｜MF2｜＝1＜c－a，則｜MF2｜＝1不合題意，
因此，點M到另一個焦點的距離為13.
(2)由定義和余弦定理得｜PF1｜－｜PF2｜＝±6，
｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜｜PF2｜cos 60°，
所以102＝(｜PF1｜－｜PF2｜)2＋｜PF1｜·｜PF2｜，
所以｜PF1｜·｜PF2｜＝64，
所以＝｜PF1｜·｜PF2｜·sin ∠F1PF2
＝×64×＝16.
[變式探究]
(變條件)若將本例(2)中的“∠F1PF2＝60°”改為“｜PF1｜·｜PF2｜＝32”，求△F1PF2的面積.
解：將｜｜PF2｜－｜PF1｜｜＝2a＝6，兩邊平方得｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜＝36，
所以｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝36＋2｜PF1｜·｜PF2｜＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理的推論得cos ∠F1PF2
＝＝＝0，
所以∠F1PF2＝90°.
所以＝｜PF1｜·｜PF2｜＝×32＝16.
雙曲線的定義的應(yīng)用
1.已知雙曲線上一點的坐標，可以求得該點到某一焦點的距離，進而根據(jù)定義求該點到另一焦點的距離.
2.雙曲線中與焦點三角形有關(guān)的問題可以根據(jù)定義結(jié)合余弦定理、勾股定理或三角形面積公式等知識進行運算，在運算中要注意整體思想和一些變形技巧的靈活運用.
對點練4.已知雙曲線的方程為x2－＝1，如圖所示，點A的坐標為(－，0)，B是圓x2＋(y－)2＝1上的點，點C為其圓心，點M在雙曲線的右支上，求｜MA｜＋｜MB｜的最小值.
解：設(shè)點D的坐標為(，0)，則點A，D是雙曲線的焦點，如圖所示，
連接MD，BD.由雙曲線的定義，得｜MA｜－｜MD｜＝2a＝2.
所以｜MA｜＋｜MB｜＝｜MA｜－｜MD｜＋｜MB｜＋｜MD｜
＝2＋｜MB｜＋｜MD｜≥2＋｜BD｜.
又點B是圓x2＋(y－)2＝1上的點，圓的圓心為C(0，)，半徑長為1，
故｜BD｜≥｜CD｜－1＝－1，
從而｜MA｜＋｜MB｜≥2＋｜BD｜≥ ＋1，
當且僅當點M，B在線段CD上時取等號.
故｜MA｜＋｜MB｜的最小值為＋1.
任務(wù)四　雙曲線的實際應(yīng)用
(鏈教材P63例2)某區(qū)域有三個救援中心(記A，B，C)，A在B的正東方向，相距6千米，C在B的北偏西30°方向，相距4千米，某一時刻，A接收到P的求救信號，由于B，C兩地比A距P遠，在此4秒后，B，C兩個救援中心才同時接收到這一信號.已知該信號的傳播速度為1千米/秒，求在A處發(fā)現(xiàn)P的方位角.
解：如圖所示，以直線AB為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系.
則A(3，0)，B(－3，0)，C(－5，2).
因為｜PB｜＝｜PC｜，
所以點P在線段BC的垂直平分線上.
又易知kBC＝－，
線段BC的中點D(－4，)，
所以直線PD的方程為y－＝(x＋4)，①
又｜PB｜－｜PA｜＝4＜6＝｜AB｜，
所以點P在以A，B為焦點的雙曲線的右支上.
設(shè)雙曲線方程為－＝1(a＞0，b＞0)，則a＝2，c＝3，b＝，
所以點P的軌跡方程為－＝1(x≥2)，②
聯(lián)立①②，得P點坐標為(8，5)，
所以kPA＝＝，
因此在A處發(fā)現(xiàn)P的方位角為北偏東30°.
用雙曲線解決實際問題的基本步驟
第一步(建系)：建立適當?shù)淖鴺讼担?br/>第二步(求方程)：求出雙曲線的標準方程；
第三步(還原)：根據(jù)雙曲線的方程及定義解決實際應(yīng)用問題(注意實際意義).
對點練5.如圖，某綠色蔬菜種植基地在A處，現(xiàn)要把此處生產(chǎn)的蔬菜沿道路AA1或AA2運送到農(nóng)貿(mào)市場A1A2A3A4中去，已知｜AA1｜＝10 km，｜AA2｜＝15 km，∠A1AA2＝60°，能否在農(nóng)貿(mào)市場中確定一條界線，使位于界線一側(cè)的點沿道路AA1運送蔬菜較近，而另一側(cè)的點沿道路AA2運送蔬菜較近？如果能，說出這條界線是一條什么曲線，并求出該曲線的方程.
解：以A1A2所在直線為x軸，以A1A2的中垂線為y軸建立平面直角坐標系xOy，如圖所示.
在△AA1A2中，由余弦定理可得｜A1A2｜2＝｜AA1｜2＋｜AA2｜2－2｜AA1｜｜AA2｜cos 60°＝175，
可得｜A1A2｜＝5.設(shè)M是邊界上任一點，則滿足｜MA1｜＋｜AA1｜＝｜AA2｜＋｜MA2｜，
所以｜MA1｜－｜MA2｜＝｜AA2｜－｜AA1｜＝15－10＝5＜5＝｜A1A2｜.
由雙曲線定義可知，點M所在的界線是以A1，A2為焦點的雙曲線靠近A2的一支，并且在農(nóng)貿(mào)市場A1A2A3A4內(nèi)的部分.
由a＝，c＝，可得b2＝c2－a2＝－＝，
所以雙曲線方程為－＝1(x＞0)，即－＝1(x＞0).
任務(wù)再現(xiàn) 1.雙曲線的定義及應(yīng)用.2.雙曲線的標準方程.3.雙曲線的實際應(yīng)用
方法提煉 待定系數(shù)法、分類討論法、定義法、轉(zhuǎn)化與化歸思想
易錯警示 忽略雙曲線成立的必要條件及雙曲線焦點位置的判斷
1.在雙曲線的標準方程中，若a＝6，b＝8，則標準方程是(　　)
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1或－＝1
答案：D
解析：應(yīng)分焦點在x軸上和焦點在y軸上兩種情況進行討論，顯然D選項符合要求.故選D.
2.(多選題)已知方程＋＝1表示曲線C，則下列判斷正確的是(　　)
A.當1＜t＜4時，曲線C表示橢圓
B.當t＞4或t＜1時，曲線C表示雙曲線
C.若曲線C表示焦點在x軸上的橢圓，則1＜t＜
D.若曲線C表示焦點在y軸上的雙曲線，則t＞4
答案：BCD
解析：由4－t＝t－1，得t＝，此時方程＋＝1表示圓，故A錯誤；由雙曲線的定義可知，當(4－t)(t－1)＜0，即t＜1或t＞4時，方程＋＝1表示雙曲線，故B正確；由橢圓的定義可知，當橢圓焦點在x軸上時，滿足4－t＞t－1＞0，解得1＜t＜，故C正確；當曲線C表示焦點在y軸上的雙曲線時，滿足解得t＞4，故D正確.故選BCD.
3.若雙曲線－＝1上的點P到一個焦點的距離為11，則它到另一個焦點的距離為(　　)
A.1或21 B.14或36
C.2 D.21
答案：D
解析：設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，不妨設(shè)｜PF1｜＝11，根據(jù)雙曲線的定義知｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a＝10，所以｜PF2｜＝1或｜PF2｜＝21，而1＜c－a＝7－5＝2，所以｜PF2｜＝1舍去，所以點P到另一個焦點的距離為21.故選D.
4.以橢圓＋＝1的焦點為焦點，且過點(2，)的雙曲線的標準方程為　　　　　　　.
答案：－＝1
解析：由橢圓的標準方程可知，橢圓的焦點在x軸上.設(shè)雙曲線的標準方程為－＝1(a＞0，b＞0).根據(jù)題意得(舍去)，所以雙曲線的標準方程為－＝1.
課時分層評價15　雙曲線及其標準方程
(時間：60分鐘　滿分：110分)
(1—9，每小題5分，共45分)
1.在平面直角坐標系xOy中，已知點F1(－5，0)，F(xiàn)2(5，0)，動點P滿足｜PF1｜－｜PF2｜＝8，則動點P的軌跡是(　　)
A.橢圓 B.一條射線
C.雙曲線 D.雙曲線的一支
答案：D
解析：因為F1(－5，0)，F(xiàn)2(5，0)，所以｜F1F2｜＝10，若動點P滿足｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝8＜｜F1F2｜＝10，則動點P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點的雙曲線.而題目中動點P只滿足｜PF1｜－｜PF2｜＝8，有｜PF1｜＞｜PF2｜，所以動點P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點的雙曲線的右支.故選D.
2.已知雙曲線＋＝1，焦點在y軸上，若焦距為4，則a等于(　　)
A. B.5
C.7 D.
答案：D
解析：根據(jù)題意可知，雙曲線的標準方程為－＝1.由其焦距為4，得c＝2，則有c2＝2－a＋3－a＝4，解得a＝.故選D.
3.已知A，B兩地相距800 m，在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2 s，且聲速為340 m/s，則炮彈爆炸點的軌跡是(　　)
A.橢圓 B.雙曲線
C.雙曲線的一支 D.拋物線
答案：C
解析：設(shè)炮彈爆炸點為點P，由題意可得｜PA｜－｜PB｜＝340×2＝680＜800＝｜AB｜，所以炮彈爆炸點的軌跡是雙曲線的一支.故選C.
4.(多選題)若雙曲線－＝1上的點到一個焦點的距離為12，則到另一個焦點的距離為(　　)
A.2 B.7
C.17 D.22
答案：AD
解析：設(shè)雙曲線－＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，則a＝5，b＝3，c＝，設(shè)P為雙曲線上一點，不妨令｜PF1｜＝12(12＞a＋c＝5＋)，所以點P可能在左支，也可能在右支，由｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a＝10，得｜12－｜PF2｜｜＝10，所以｜PF2｜為22或2.所以點P到另一個焦點的距離是22或2.故選AD.
5.已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其兩個焦點，若過焦點F1的直線與雙曲線的同一支相交，且所得弦長｜AB｜＝m，則△ABF2的周長為(　　)
A.4a B.4a－m
C.4a＋2m D.4a－2m
答案：C
解析：由題意可知｜AF2｜＞｜AF1｜，｜BF2｜＞｜BF1｜，由雙曲線的定義，知｜AF2｜－｜AF1｜＝2a，｜BF2｜－｜BF1｜＝2a，所以｜AF2｜＋｜BF2｜＝(｜AF1｜＋｜BF1｜)＋4a＝m＋4a，于是△ABF2的周長l＝｜AF2｜＋｜BF2｜＋｜AB｜＝4a＋2m.故選C.
6.已知雙曲線－＝1上一點P到左焦點F1的距離為10，則PF1的中點N到坐標原點O的距離為(　　)
A.3或7 B.6或14
C.3 D.7
答案：A
解析：設(shè)F2是雙曲線的右焦點，連接ON(圖略)，ON是△PF1F2的中位線，所以｜ON｜＝｜PF2｜，因為｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝4，｜PF1｜＝10，所以｜PF2｜＝6或14，所以｜ON｜＝｜PF2｜＝3或7.故選A.
7.已知點A(0，2)，B(0，－2)，C(3，2)，若動點M(x，y)滿足｜MA｜＋｜AC｜＝｜MB｜＋｜BC｜，則點M的軌跡方程為　　　　　　　.
答案：y2－＝1(y≤－1)
解析：因為｜MA｜＋｜AC｜＝｜MB｜＋｜BC｜，即｜MA｜＋3＝｜MB｜＋，所以｜MA｜－｜MB｜＝2.故點M(x，y)的軌跡是以A(0，2)，B(0，－2)為焦點，2a＝2的雙曲線的下支.此時a＝1，c＝2，b2＝c2－a2＝3.故點M的軌跡方程為y2－＝1(y≤－1).
8.若焦點在x軸上的雙曲線經(jīng)過點P(4，－3)，且Q(0，5)與兩焦點的連線互相垂直，則此雙曲線的標準方程為　　　　　　　　.
答案：－＝1
解析：設(shè)焦點為F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)(c＞0)，則由QF1⊥QF2，得·＝－1，所以·＝－1，所以c＝5.設(shè)雙曲線方程為－＝1(a＞0，b＞0)，因為雙曲線過點P(4，－3)，所以－＝1，又因為c2＝a2＋b2＝25，所以a2＝16，b2＝9.所以雙曲線的標準方程為－＝1.
9.(雙空題)設(shè)P是雙曲線x2－＝1的右支上的動點，F(xiàn)為雙曲線的右焦點，已知A(3，1)，B(3，6)，則｜PA｜＋｜PF｜的最小值為　　　　；｜PB｜＋｜PF｜的最小值為　　　　.
答案：－2　
解析：設(shè)雙曲線的另一焦點為F'，則有F'(－2，0)，F(xiàn)(2，0)，連接AF'(圖略)，易知點A在雙曲線內(nèi)，點B在雙曲線外，則｜PA｜＋｜PF｜＝｜PA｜＋(｜PF'｜－2)≥｜AF'｜－2＝－2；｜PB｜＋｜PF｜≥｜BF｜＝.
10.(13分)已知方程kx2＋y2＝4，其中k為實數(shù)，對于不同范圍的k值，分別指出方程所表示的曲線類型.
解：①當k＝0時，y＝±2，表示兩條與x軸平行的直線；
②當k＝1時，方程為x2＋y2＝4，表示圓心在原點，半徑為2的圓；
③當k＜0時，方程為－＝1，表示焦點在y軸上的雙曲線；
④當0＜k＜1時，方程為＋＝1，表示焦點在x軸上的橢圓；
⑤當k＞1時，方程為＋＝1，表示焦點在y軸上的橢圓.
(11—13，每小題5分，共15分)
11.雙曲線C：－＝1＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，A為雙曲線C左支上一點，直線AF2與雙曲線C的右支交于點B，且＝15，∠F1AF2＝，則＋＝(　　)
A. B.26
C.25 D.23
答案：B
解析：由題意知｜AF2｜－｜AF1｜＝｜BF1｜－｜BF2｜＝2a＝10.令｜BF2｜＝x，則｜AF1｜＝x＋15－10＝x＋5，｜BF1｜＝x＋10，△ABF1中，如圖所示，＝15，∠F1AF2＝，則cos∠F1AF2＝＝，所以＝，則x＝3，故｜AF1｜＝8，則｜AF2｜＝18，所以＋＝26.故選B.
12.(多選題)已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)過點(3，)和點(，0)，下列選項正確的是(　　)
A.C的標準方程為－y2＝1
B.C與橢圓＋＝1有共同的焦點
C.曲線x2＋(y－2)2＝4過C的一個焦點
D.設(shè)P為C的右支上任一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為焦點，△PF1F2的內(nèi)切圓過點(，0)
答案：AD
解析：由題意得雙曲線方程為－y2＝1，a＝，b＝1，c＝2，焦點分別為(±2，0).故A正確，B、C錯誤；設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓與x軸切于A點，則｜PF1｜－｜PF2｜＝｜F1A｜－｜AF2｜，即A點在雙曲線右支上，所以A(，0)，故D正確.故選AD.
13.已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線－＝1的左、右焦點，P(3，1)為雙曲線內(nèi)一點，點A在雙曲線的右支上，則｜AP｜＋｜AF2｜的最小值為　　　　　.
答案：－2
解析：因為｜AP｜＋｜AF2｜＝｜AP｜＋｜AF1｜－2，所以要求｜AP｜＋｜AF2｜的最小值，只需求｜AP｜＋｜AF1｜的最小值.如圖所示.
連接F1P交雙曲線的右支于點A0.當點A位于點A0處時，｜AP｜＋｜AF1｜最小，最小值為｜PF1｜＝＝.故｜AP｜＋｜AF2｜的最小值為－2.
14.(15分)如圖，某野生保護區(qū)監(jiān)測中心設(shè)置在點O處，正西、正東、正北處有3個監(jiān)測點A，B，C，且｜OA｜＝｜OB｜＝｜OC｜＝30 km，一名野生動物觀察員在保護區(qū)遇險，發(fā)出求救信號，3個監(jiān)測點均收到求救信號，A點接收到信號的時間比B點接收到信號的時間早 s.(注：信號每秒傳播V0 km)
(1)求觀察員所有可能出現(xiàn)的位置的軌跡方程；
(2)若C點信號失靈，現(xiàn)立即以C為圓心進行“圓形”紅外掃描，為保證有救援希望，掃描半徑r至少是多少？
解：(1)設(shè)觀察員可能出現(xiàn)的位置為點P(x，y)，由題意，得｜PB｜－｜PA｜＝×V0＝40＜｜AB｜＝60，故點P的軌跡為以A，B為焦點的雙曲線的左支，設(shè)雙曲線的方程為－＝1(a＞0，b＞0，x≤－a)，又2a＝40，2c＝60，所以b2＝c2－a2＝500，故所求軌跡方程為－＝1(x≤－20).
(2)設(shè)軌跡上一點為M(x，y)，
則｜MC｜＝＝，
又－＝1，所以x2＝y(tǒng)2＋400，
所以｜MC｜＝
＝≥20，
當且僅當y＝時，｜MC｜取得最小值20，故掃描半徑r至少是20 km.
15.(5分)從某個角度觀察籃球(如圖①)，可以得到一個對稱的平面圖形.如圖②，籃球的外輪形狀為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標軸和雙曲線的一部分，若坐標軸和雙曲線與圓O的交點將圓O的周長八等分，且AB＝BC＝CD＝2，視AD所在直線為x軸，則雙曲線的標準方程為　　　　　　.
答案：x2－＝1
解析：設(shè)所求雙曲線方程為－＝1(a＞0，b＞0)，因為AB＝BC＝CD＝2，則點C的坐標為(1，0)，將其代入雙曲線方程，得a＝1，又坐標軸和雙曲線與圓O的交點將圓O的周長八等分，所以點在雙曲線上，得－＝1，則b2＝，故所求雙曲線的標準方程為x2－＝1.
16.(17分)已知△OFQ的面積為2，且·＝m，其中O為坐標原點.
(1)設(shè) ＜m＜4，求與的夾角θ的正切值的取值范圍；
(2)設(shè)以O(shè)為中心，F(xiàn)為其中一個焦點的雙曲線經(jīng)過點Q，如圖所示，｜｜＝c，m＝c2，當｜｜取得最小值時，求此雙曲線的標準方程.
解：(1)因為
所以tan θ＝.
又＜m＜4，
所以1＜tan θ＜4，
即tan θ的取值范圍為(1，4).
(2)設(shè)雙曲線的標準方程為－＝1(a＞0，b＞0)，Q(x1，y1)，則＝(x1－c，y1)，
所以S△OFQ＝｜｜·｜y1｜＝2，
則y1＝±.
又·＝m，
即(c，0)·(x1－c，y1)＝c2，
解得x1＝c，
所以｜｜＝＝≥ ＝2，當且僅當c＝4時取等號，｜｜最小為2，
這時Q的坐標為(，)或(，－).
因此
于是所求雙曲線的標準方程為－＝1.
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2.1　雙曲線及其標準方程
　
第二章　§2　雙曲線
學習目標
1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程的推導(dǎo)過程，培 養(yǎng)數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).
2.掌握雙曲線的標準方程及其求法，提升數(shù)學運算的核心
素養(yǎng).
3.會利用雙曲線的定義和標準方程解決較簡單的問題，提升 邏輯推理、數(shù)學運算的核心素養(yǎng).
4.了解雙曲線的簡單應(yīng)用.
任務(wù)一　雙曲線的定義
問題導(dǎo)思
問題1.把橢圓定義中的“距離之和”改為“距離之差”，那么點的軌跡會怎么樣？
提示：準備實驗(可以找三名同學在教師指導(dǎo)下操作)，取
一條拉鏈，拉開它的一部分，在拉開的兩邊上各選擇一個
點，分別固定在點F1，F(xiàn)2上，點F1到點F2的距離為2c(c＞
0).把筆尖放在拉鏈開口的咬合處M，點M到點F1的距離與點M到點F2的距離之差等于2a(c＞a＞0).隨著拉鏈逐漸拉開或者閉攏，筆尖就畫出一條曲線，同理可畫出另一支.(如圖)顯然所畫的曲線不是橢圓，而是兩條相同的曲線，只是位置不同，其原因都是應(yīng)用了“到兩定點的距離之差｜MF1｜－｜MF2｜，或｜MF2｜－｜MF1｜是同一個常數(shù)”這個條件.
問題2.在上述過程中，我們在其中的一段拉鏈上截取一段小于｜F1F2｜，如果截取的長度等于｜F1F2｜，其軌跡還是上述圖形嗎？
提示：不是，是以F1，F(xiàn)2為端點的兩條射線.
新知構(gòu)建
雙曲線的定義
定義 平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的__________________等于常數(shù)(大于零且小于｜F1F2｜)的點的集合(或軌跡)叫作雙曲線
焦點 兩個______________叫作雙曲線的焦點
焦距 兩焦點間的______｜F1F2｜叫作雙曲線的焦距
集合語言 P＝{M｜______________________________，0＜2a＜｜F1F2｜}
距離之差的絕對值
定點F1，F(xiàn)2
距離
｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝2a
微提醒
(1)常數(shù)要小于兩個定點的距離.(2)如果沒有絕對值，點的軌跡表示雙曲線的一支.(3)當2a＝｜F1F2｜時，動點的軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點的兩條方向相反的射線(包括端點).(4)當2a＞｜F1F2｜時，動點的軌跡不存在.(5)當2a＝0時，動點軌跡為線段F1F2的垂直平分線.
典例
1
√
√
規(guī)律方法
判斷點的軌跡是否為雙曲線時，依據(jù)是雙曲線的定義成立的充要條件.
√
對點練1.(1)已知M(－2，0)，N(2，0)，｜PM｜－｜PN｜＝4，則動點P的軌跡是
A.線段 B.雙曲線左支
C.一條射線 D.雙曲線右支
因為M(－2，0)，N(2，0)，于是有｜PM｜－｜PN｜＝4＝｜MN｜，所以動點P的軌跡是一條射線.故選C.
√
(2)與圓x2＋y2＝1及圓x2＋y2－8x＋12＝0都外切的圓P的圓心在
A.一個橢圓上 B.一個圓上
C.一條直線上 D.雙曲線的一支上
由x2＋y2－8x＋12＝0，得(x－4)2＋y2＝4，作出兩方程所對應(yīng)曲線，如圖所示：設(shè)圓P的半徑為r，因為圓P與圓O和圓M都外切，所以｜PM｜＝r＋2，｜PO｜＝r＋1，則｜PM｜－｜PO｜＝1＜4，所以根據(jù)雙曲線定義知點P在以O(shè)，M為焦點的雙曲線的左支上.故選D.
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任務(wù)二　雙曲線的標準方程
問題導(dǎo)思
問題3.仿照求橢圓標準方程的方法，根據(jù)雙曲線的定義，如何選擇恰當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼祦砬箅p曲線的標準方程？
提示：觀察我們畫出的雙曲線，發(fā)現(xiàn)它也具有對稱性，
而且直線F1F2是它的一條對稱軸，所以以直線F1F2為x
軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標
系，則焦點F1，F(xiàn)2的坐標分別為(－c，0)，(c，0)，焦距
為2c，c＞0.
設(shè)P(x，y)是雙曲線上任意一點，則根據(jù)雙曲線的定義可得｜｜PF1｜－
｜PF2｜｜＝2a，即｜PF1｜－｜PF2｜＝±2a，
新知構(gòu)建
雙曲線的標準方程
焦點位置 焦點在x軸上 焦點在y軸上
圖形
焦點位置 焦點在x軸上 焦點在y軸上
標準方程
焦點 ________________________ ________________________
a，b，c的關(guān)系 b2＝________
F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)
F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)
c2－a2
微提醒
(1)若x2項的系數(shù)為正，則焦點在x軸上；若y2項的系數(shù)為正，則焦點在y軸上.(2)a與b沒有大小關(guān)系；a，b，c的關(guān)系滿足c2＝a2＋b2.
典例
2
規(guī)律方法
1.求雙曲線標準方程的兩個關(guān)注點
規(guī)律方法
典例
3
規(guī)律方法
規(guī)律方法
3.已知方程所代表的曲線，求參數(shù)的取值范圍時，應(yīng)先將方程轉(zhuǎn)化為所對應(yīng)曲線的標準方程的形式，再根據(jù)方程中參數(shù)取值的要求，建立不等式(組)求解參數(shù)的取值范圍.
√
對點練3.在方程mx2－my2＝3n中，若mn＜0，則該方程表示
A.焦點在x軸上的橢圓
B.焦點在x軸上的雙曲線
C.焦點在y軸上的橢圓
D.焦點在y軸上的雙曲線
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任務(wù)三　雙曲線定義的應(yīng)用
典例
4
規(guī)律方法
雙曲線的定義的應(yīng)用
1.已知雙曲線上一點的坐標，可以求得該點到某一焦點的距離，進而根據(jù)定義求該點到另一焦點的距離.
2.雙曲線中與焦點三角形有關(guān)的問題可以根據(jù)定義結(jié)合余弦定理、勾股定理或三角形面積公式等知識進行運算，在運算中要注意整體思想和一些變形技巧的靈活運用.
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任務(wù)四　雙曲線的實際應(yīng)用
(鏈教材P63例2)某區(qū)域有三個救援中心(記A，B，C)，A在B的正東方向，相距6千米，C在B的北偏西30°方向，相距4千米，某一時刻，A接收到P的求救信號，由于B，C兩地比A距P遠，在此4秒后，B，C兩個救援中心才同時接收到這一信號.已知該信號的傳播速度為1千米/秒，求在A處發(fā)現(xiàn)P的方位角.
解：如圖所示，以直線AB為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系.
典例
5
規(guī)律方法
用雙曲線解決實際問題的基本步驟
第一步(建系)：建立適當?shù)淖鴺讼担?br/>第二步(求方程)：求出雙曲線的標準方程；
第三步(還原)：根據(jù)雙曲線的方程及定義解決實際應(yīng)用問題(注意實際意義).
對點練5.如圖，某綠色蔬菜種植基地在A處，現(xiàn)要把此處
生產(chǎn)的蔬菜沿道路AA1或AA2運送到農(nóng)貿(mào)市場A1A2A3A4中
去，已知｜AA1｜＝10 km，｜AA2｜＝15 km，∠A1AA2＝
60°，能否在農(nóng)貿(mào)市場中確定一條界線，使位于界線一側(cè)
的點沿道路AA1運送蔬菜較近，而另一側(cè)的點沿道路AA2運
送蔬菜較近？如果能，說出這條界線是一條什么曲線，并求出該曲線的
方程.
解：以A1A2所在直線為x軸，以A1A2的中垂線為y軸建立平面直角坐標系xOy，如圖所示.
課堂小結(jié)
任務(wù)再現(xiàn) 1.雙曲線的定義及應(yīng)用.2.雙曲線的標準方程.3.雙曲線的實際應(yīng)用
方法提煉 待定系數(shù)法、分類討論法、定義法、轉(zhuǎn)化與化歸思想
易錯警示 忽略雙曲線成立的必要條件及雙曲線焦點位置的判斷
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隨堂評價
√
應(yīng)分焦點在x軸上和焦點在y軸上兩種情況進行討論，顯然D選項符合要求.故選D.
√
√
√

√
設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，不妨設(shè)｜PF1｜＝11，根據(jù)雙曲線的定義知｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a＝10，所以｜PF2｜＝1或
｜PF2｜＝21，而1＜c－a＝7－5＝2，所以｜PF2｜＝1舍去，所以點P到另一個焦點的距離為21.故選D.
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課時分層評價
√
1.在平面直角坐標系xOy中，已知點F1(－5，0)，F(xiàn)2(5，0)，動點P滿足
｜PF1｜－｜PF2｜＝8，則動點P的軌跡是
A.橢圓 B.一條射線
C.雙曲線 D.雙曲線的一支
因為F1(－5，0)，F(xiàn)2(5，0)，所以｜F1F2｜＝10，若動點P滿足｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝8＜｜F1F2｜＝10，則動點P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點的雙曲線.而題目中動點P只滿足｜PF1｜－｜PF2｜＝8，有｜PF1｜＞｜PF2｜，所以動點P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點的雙曲線的右支.故選D.
√
√
3.已知A，B兩地相距800 m，在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2 s，且聲速為340 m/s，則炮彈爆炸點的軌跡是
A.橢圓 B.雙曲線
C.雙曲線的一支 D.拋物線
設(shè)炮彈爆炸點為點P，由題意可得｜PA｜－｜PB｜＝340×2＝680＜800＝｜AB｜，所以炮彈爆炸點的軌跡是雙曲線的一支.故選C.
√
√
√
由題意可知｜AF2｜＞｜AF1｜，｜BF2｜＞｜BF1｜，由雙曲線的定義，知｜AF2｜－｜AF1｜＝2a，｜BF2｜－｜BF1｜＝2a，所以｜AF2｜＋｜BF2｜＝(｜AF1｜＋｜BF1｜)＋4a＝m＋4a，于是△ABF2的周長l＝｜AF2｜＋｜BF2｜＋｜AB｜＝4a＋2m.故選C.
√

7.已知點A(0，2)，B(0，－2)，C(3，2)，若動點M(x，y)滿足｜MA｜＋
｜AC｜＝｜MB｜＋｜BC｜，則點M的軌跡方程為　 　　　　　　.


√

√
√


15.(5分)從某個角度觀察籃球(如圖①)，可以得到一個對稱的平面圖形.如圖②，籃球的外輪形狀為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標軸和雙曲線的一部分，若坐標軸和雙曲線與圓O的交點將圓O的周長八等分，且AB＝
BC＝CD＝2，視AD所在直線為x軸，則雙曲線的標準方程為　　　　　.

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