資源簡介

2.2　雙曲線的簡單幾何性質
學習目標 1.掌握雙曲線的范圍、對稱性、頂點、漸近線、離心率等簡單的幾何性質，培養直觀想象、數學運算的核心素養.　2.能利用雙曲線的簡單幾何性質求標準方程及解決一些簡單的實際問題，提升數學運算、數學建模的核心素養.
任務一　雙曲線的簡單幾何性質
問題1.仿照橢圓的簡單幾何性質的討論方法，根據雙曲線C的標準方程－＝1(a＞0，b＞0)和圖象(如圖)，如何研究雙曲線C的范圍、對稱性、頂點、離心率等性質？
提示：(1)范圍：利用雙曲線的方程求出它的范圍，由方程－＝1可得＝1＋，所以雙曲線C上的任意一點P(x，y)都滿足≥1，y∈R，即x≥a或x≤－a，y∈R.因此，雙曲線C在不等式x≤－a與x≥a所表示的區域內，即位于兩條直線x＝－a和x＝a外側的區域.
(2)對稱性：－＝1(a＞0，b＞0)關于x軸、y軸和原點都對稱.x軸、y軸是雙曲線的對稱軸，原點是對稱中心，又稱為雙曲線的中心.
(3)頂點：雙曲線與它的對稱軸的交點，叫作雙曲線的頂點.頂點是A1(－a，0)，A2(a，0)，只有兩個.
(4)離心率：①定義：e＝.②e的范圍：e＞1.③e的含義：因為c＞a＞0，所以可以看出e＞1，另外，注意到＝＝＝，說明e越趨近于1，則的值越小，因此雙曲線的漸近線所夾的雙曲線區域越狹窄.
問題2.如圖，線段A1A2的長為2a，線段B1B2的長為2b.據此，你能發現雙曲線的范圍與矩形對角線y＝±x有什么關系？
提示：雙曲線在第一象限內部分的方程為y＝·，它與y＝x的位置關系：在y＝x的下方.它與y＝x的位置的變化趨勢：慢慢靠近.其他象限同理.
雙曲線的簡單幾何性質
標準方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0)
圖形
性質 焦點 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 ｜F1F2｜＝2c
范圍 x≥a或x≤－a，y∈R y≥a或y≤－a，x∈R
對稱性 對稱軸：x軸、y軸；對稱中心：坐標原點
頂點 (－a，0)，(a，0) (0，－a)，(0，a)
軸長 實軸長＝2a，虛軸長＝2b
漸近線 ±＝0或y＝±x ±＝0或y＝±x
離心率 e＝(e＞1)
[微提醒]　(1)e＝＝.(2)雙曲線的離心率刻畫了雙曲線的“開口”大小，e越大，開口越大.(3)寫雙曲線的漸近線方程要注意焦點所在軸的位置.(4)焦點到漸近線的距離為b.
角度1　雙曲線的簡單幾何性質
(鏈教材P65例4，P67例5)求雙曲線9y2－4x2＝－36的頂點坐標、焦點坐標、實軸長、虛軸長、離心率、漸近線方程.
解：將9y2－4x2＝－36化為標準方程為－＝1，
所以a＝3，b＝2，c＝.
所以雙曲線的頂點坐標為A1(－3，0)，A2(3，0)，焦點坐標為F1(－，0)，F2(，0)，
實軸長2a＝6，虛軸長2b＝4，
離心率e＝＝，
漸近線方程為y＝±x＝±x.
[變式探究]
(變條件)若將雙曲線的方程變為nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)，求雙曲線的實半軸長、虛半軸長、焦點坐標、離心率、頂點坐標和漸近線方程.
解：將方程nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)化為標準方程為－＝1(m＞0，n＞0)，
由此可得實半軸長a＝，虛半軸長b＝，c＝，
所以雙曲線的焦點坐標為(，0)，(－，0)，
離心率e＝＝＝，
頂點坐標為(－，0)，(，0)，
所以漸近線方程為y＝±x，即y＝±x.
確定雙曲線幾何性質的基本步驟
對點練1.求雙曲線25y2－16x2＝400的實半軸長和虛半軸長、焦點坐標、離心率、漸近線方程.
解：將方程25y2－16x2＝400化為標準方程為－＝1.
由此可得實半軸長a＝4，虛半軸長b＝5，c＝＝＝，
所以雙曲線的焦點坐標為(0，－)，(0，)；
離心率e＝＝；漸近線方程為y＝±x.
角度2　利用雙曲線的性質求標準方程
求適合下列條件的雙曲線的標準方程：
(1)實軸長為16，離心率為；
(2)右焦點為(2，0)，右頂點為(，0)；
(3)過點(2，0)，與雙曲線－＝1離心率相等.
解：(1)設雙曲線的標準方程為－＝1或－＝1(a＞0，b＞0).
由題意知2a＝16，＝，c2＝a2＋b2，
解得c＝10，a＝8，b＝6，
所以所求雙曲線的標準方程為－＝1或－＝1.
(2)設雙曲線方程為－＝1(a＞0，b＞0).
由已知得a＝，c＝2，
所以b2＝c2－a2＝1.
所以所求雙曲線的標準方程為－y2＝1.
(3)當所求雙曲線的焦點在x軸上時，可設其方程為－＝λ(λ＞0)，將點(2，0)的坐標代入方程得λ＝，故所求雙曲線的標準方程為－y2＝1；
當所求雙曲線的焦點在y軸上時，可設其方程為－＝λ(λ＞0)，將點(2，0)的坐標代入方程得λ＝－＜0(舍去).
綜上可知，所求雙曲線的標準方程為－y2＝1.
利用雙曲線的幾何性質求雙曲線標準方程的基本思路
1.根據雙曲線的幾何性質求雙曲線的標準方程可按先定位，再定形的方法.但在這里要注意的是對雙曲線幾何性質的運用，如在定位方面，可能涉及雙曲線的焦點、頂點的位置；在定形方面，要注意是否給出了離心率及漸近線方程.解題時，我們要充分利用這些幾何性質.
2.設雙曲線方程的技巧
(1)與雙曲線－＝1共焦點的雙曲線方程可設為－＝1(λ≠0，－b2＜λ＜a2).
(2)與雙曲線－＝1具有相同漸近線的雙曲線方程可設為－＝λ(λ≠0).
(3)漸近線方程為ax±by＝0的雙曲線方程可設為a2x2－b2y2＝λ(λ≠0).
對點練2.求適合下列條件的雙曲線的標準方程：
(1)焦點在x軸上，虛軸長為8，離心率為；
(2)兩頂點間的距離是6，兩焦點所連線段被兩頂點和中心四等分；
(3)(一題多解)漸近線方程為y＝±x，且經過點A(2，－3).
解：(1)設所求雙曲線的標準方程為－＝1(a＞0，b＞0)，則2b＝8，e＝＝，
從而b＝4，c＝a，代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，
所以所求雙曲線的標準方程為－＝1.
(2)由兩頂點間的距離是6，得2a＝6，即a＝3.
由兩焦點所連線段被兩頂點和中心四等分，可得2c＝4a＝12，即c＝6，則b2＝c2－a2＝62－32＝27.
由于焦點所在的坐標軸不確定，所以所求雙曲線的標準方程為－＝1或－＝1.
(3)法一：因為雙曲線的漸近線方程為y＝±x.
當焦點在x軸上時，設所求雙曲線的標準方程為－＝1(a＞0，b＞0)，則＝.①
因為點A(2，－3)在雙曲線上，所以－＝1.②
①②聯立，無解.
當焦點在y軸上時，設所求方程為－＝1(a＞0，b＞0)，則＝.③
因為點A(2，－3)在雙曲線上，所以－＝1.④
聯立③④，解得a2＝8，b2＝32.
所以所求雙曲線的標準方程為－＝1.
法二：由雙曲線的漸近線方程為y＝±x，可設雙曲線方程為－y2＝λ(λ≠0)，
因為A(2，－3)在雙曲線上，所以－(－3)2＝λ，即λ＝－8.
所以所求雙曲線的標準方程為－＝1.
任務二　雙曲線的漸近線與離心率問題
角度1　求雙曲線離心率的值或取值范圍
(1)已知F是雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的焦點，B是虛軸的一個端點，線段BF與雙曲線交于點M，且點M恰是線段BF的中點，則雙曲線的離心率為(　　)
A. B.
C.2 D.
(2)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)，O為坐標原點，F1，F2為其左、右焦點，若左支上存在一點P，使得F2P的中點M滿足｜OM｜＝c，則雙曲線的離心率e的取值范圍是　　　　.
答案：(1)D　(2)
解析：(1)不妨設F(－c，0)，B(0，b)，則M(－，).將點M坐標代入雙曲線方程－＝1，得－＝1，則＝5，即＝.故選D.
(2)因為O，M分別為F1F2，PF2的中點，所以｜PF1｜＝2｜OM｜＝c.又雙曲線上的點到焦點的最小距離為c－a，所以c≥c－a＞0，解得1＜≤.因此雙曲線的離心率e的取值范圍是.
求雙曲線的離心率的方法
1.直接法：若可求得a，c，則直接利用e＝得解；若已知a，b，可直接利用e＝得解.
2.解方程法：若得到的是關于a，c的齊次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r為常數，且p≠0)，則轉化為關于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解.
對點練3.已知A，B為雙曲線E的左、右頂點，點M在雙曲線E上，滿足△ABM為等腰三角形，頂角為120°，則雙曲線E的離心率為(　　)
A. B.
C.2 D.
答案：A
解析：不妨取點M在第一象限，如圖所示.設雙曲線的方程為－＝1(a＞0，b＞0)，因為△ABM是頂角為120°的等腰三角形，所以｜BM｜＝｜AB｜＝2a，∠MBx＝60°，所以點M的坐標為(2a，a).又因為點M在雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)上，所以將點M坐標代入方程得4－＝1，整理上式得a2＝b2.而c2＝a2＋b2＝2a2，所以e2＝2，因此e＝.故選A.
角度2　雙曲線的漸近線與離心率的綜合
雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線經過點(－1，－)，則該雙曲線的離心率為(　　)
A. B.2
C. D.4
答案：B
解析：易知雙曲線的漸近線y＝x經過點(－1，－)，將(－1，－)代入漸近線方程得＝，所以e＝＝＝2.故選B.
對點練4.已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右頂點為A，左、右焦點分別為F1，F2，漸近線在第一象限的部分上存在一點P，且｜OP｜＝｜OF1｜，直線PF1的斜率為，則該雙曲線的離心率為　　　　　　　.
答案：2
解析：由雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)，可得漸近線方程為y＝±x，設點P的坐標為(x0，x0)，且x0＞0，因為｜OP｜＝｜OF1｜，即＋＝c2，解得＝a2，即x0＝a，所以點P的坐標為(a，b)，又因為直線PF1的斜率為，所以＝，可得b＝a＋c，兩邊平方得3b2＝a2＋c2＋2ac，即c2－ac－2a2＝0，兩邊同時除以a2，可得e2－e－2＝0，即(e－2)(e＋1)＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去).
任務三　雙曲線簡單幾何性質的實際應用
如圖為陜西歷史博物館收藏的國寶——唐·金筐寶鈿團花紋金杯，杯身曲線內收，玲瓏嬌美，巧奪天工，是唐代金銀細作的典范之作.該杯的主體部分可以近似看作是雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右支與y軸及平行于x軸的兩條直線圍成的曲邊四邊形ABMN繞y軸旋轉一周得到的幾何體.若該金杯主體部分的上口外直徑為，下底座外直徑為，且杯身最細之處到上杯口的距離是到下底座距離的2倍，則杯身最細之處的周長為(　　)
A.2π B.3π
C.2π D.4π
答案：C
解析：該金杯主體部分的上口外直徑為，下底座外直徑為，且杯身最細之處到上杯口的距離是到下底座距離的2倍，可設M，N(，－m)，代入雙曲線方程可得－＝1，－＝1，即－＝，－＝1，作差可得＝，解得a2＝3，a＝，所以杯身最細處的周長為2π.故選C.
雙曲線在實際生活中有著廣泛的應用，解答該類問題的關鍵是從實際問題中挖掘出所有相關條件，將實際問題轉化為求雙曲線的標準方程的問題.特別要注意在實際意義下隱含著的變量范圍.
對點練5.(新情境)單葉雙曲面是最受設計師青睞的結構之一，它可以用直的鋼梁建造，既能減少風的阻力，又能用最少的材料來維持結構的完整.如圖①，俗稱小蠻腰的廣州塔位于中國廣州市，它的外形就是單葉雙曲面，可看成是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所形成的曲面.某市計劃建造類似于廣州塔的地標建筑，此地標建筑的平面圖形是雙曲線，如圖②，最細處的直徑為100 m，樓底的直徑為50 m，樓頂直徑為50 m，最細處距樓底300 m，則該地標建筑的高為(　　)
A.350 m B.375 m
C.400 m D.450 m
答案：C
解析：以地標建筑的最細處所在直線為x軸，雙曲線的虛軸為y軸，建立平面直角坐標系如圖所示，由題意可得A(50，0)，C(25，－300)，設B(25，y0)(y0＞0)，雙曲線的方程是－＝1(a＞0，b＞0)，則－＝1，將點B(25，y0)代入得－＝1，解得y0＝100，所以該地標建筑的高為300＋100＝400(m).故選C.
任務再現 1.雙曲線的簡單幾何性質.2.由雙曲線幾何性質求標準方程.3.雙曲線的漸近線與離心率問題.4.雙曲線簡單幾何性質的實際應用
方法提煉 待定系數法、直接法、解方程組法、數形結合思想
易錯警示 求雙曲線的方程時常因位置關系考慮不全面出錯
1.雙曲線2x2－y2＝－8的實軸長是(　　)
A.2 B.4
C.2 D.4
答案：B
解析：雙曲線標準方程為－＝1，故實軸長為2a＝4.故選B.
2.(2025·八省適應性測試)雙曲線x2－＝1的漸近線方程為(　　)
A.y＝±x B.y＝±2x
C.y＝±3x D.y＝±4x
答案：C
解析：由方程x2－＝1，則a＝1，b＝3，所以漸近線方程為y＝±x＝±3x.故選C.
3.(2025·北京西城區期中)已知雙曲線－＝1的右焦點為(3，0)，則該雙曲線的離心率等于(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：根據右焦點為(3，0)，知c＝3，則a2＋5＝9，所以a＝2，故e＝＝.故選C.
4.已知雙曲線的實軸和虛軸等長，且過點(5，3)，則雙曲線方程為(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案：D
解析：由題意知，所求雙曲線是等軸雙曲線，設其方程為x2－y2＝λ(λ≠0)，將點(5，3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以雙曲線方程為x2－y2＝16，即－＝1.故選D.
課時分層評價16　雙曲線的簡單幾何性質
(時間：60分鐘　滿分：110分)
(1—9，每小題5分，共45分)
1.(2021·全國甲卷)點(3，0)到雙曲線－＝1的一條漸近線的距離為(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：由雙曲線的方程知，a＝4，b＝3，焦點在x軸上，所以雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，即3x－4y＝0，所以點(3，0)到雙曲線的一條漸近線的距離為＝.故選A.
2.(多選題)下列雙曲線中，漸近線方程為y＝±2x的是(　　)
A.x2－＝1 B.－y2＝1
C.－x2＝1 D.y2－＝1
答案：AC
解析：B、D選項，雙曲線的漸近線方程為y＝±x，A、C選項，雙曲線的漸近線方程為y＝±2x.故選AC.
3.已知中心在原點，焦點在y軸上的雙曲線的離心率為，則它的漸近線方程為(　　)
A.y＝±2x B.y＝±x
C.y＝±x D.y＝±x
答案：C
解析：設雙曲線的方程為－＝1(a＞0，b＞0)，因為e＝＝，c＝，所以＝＝，所以＝2，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x.故選C.
4.若將如圖所示大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)下支的一部分，此雙曲線一條漸近線為3x＋y＝0，下焦點到下頂點的距離為1，則該雙曲線的方程為(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－x2＝1 D.－＝1
答案：A
解析：由題意可得又c2＝a2＋b2，則－＝1.故選A.
5.設F為雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點，O為坐標原點，以OF為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2交于P，Q兩點.若｜PQ｜＝｜OF｜，則C的離心率為(　　)
A. B.
C.2 D.
答案：A
解析：如圖所示，由題意知，以OF為直徑的圓的方程為＋y2＝①，將x2＋y2＝a2記為②式，①－②得x＝，則以OF為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2的相交弦所在直線的方程為x＝，所以｜PQ｜＝2.由｜PQ｜＝｜OF｜，得2＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e＝.故選A.
6.在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C：－y2＝1的左焦點為F，點A在C的右支上，A關于O的對稱點為B，則－＝(　　)
A.－2 B.2
C.－4 D.4
答案：D
解析：由已知及雙曲線的定義知－＝2a＝4.故選D.
7.已知P是雙曲線－＝1右支上的一點，雙曲線的一條漸近線方程為3x－y＝0.設F1，F2分別為雙曲線的左、右焦點.若｜PF2｜＝3，則｜PF1｜＝　　　　.
答案：5
解析：依題意知3＝，所以a＝1，由點P在雙曲線右支上，得｜PF1｜－｜PF2｜＝2a＝2，所以｜PF1｜＝2＋｜PF2｜＝2＋3＝5.
8.過雙曲線的一焦點的直線垂直于一漸近線，且與雙曲線的兩支相交，則該雙曲線離心率的范圍為　　　　.
答案：(，＋∞)
解析：設雙曲線的方程為－＝1，F(c，0)，漸近線y＝x，由題意知，－＞－，即a2＜b2，即a2＜c2－a2，即e＞.
9.(雙空題)如圖，B地在A地的正東方向4 km處，C地在B地的北偏東30°方向2 km處，河流的沿岸PQ(曲線)上任意一點D到A的距離比到B的距離遠2 km，則曲線PQ的軌跡方程是　　　　　　　　　　；現要在曲線PQ上選一處M建一座碼頭，向B，C兩地轉運貨物，那么這兩條公路MB，MC的路程之和最短是　　　　km.
答案：x2－＝1(x≥1)　2－2
解析：如圖所示，以AB所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系.則｜DA｜－｜DB｜＝2，根據雙曲線定義知，軌跡為雙曲線的右支.故2c＝4，c＝2，2a＝2，a＝1，b2＝c2－a2＝4－1＝3，故軌跡方程為x2－＝1(x≥1).根據題意知C(3，)，A(－2，0)，｜MB｜＋｜MC｜＝｜MA｜＋｜MC｜－2≥｜AC｜－2＝2－2，當A，M，C三點共線時等號成立.
10.(13分)求適合下列條件的雙曲線的標準方程：
(1)(一題多解)焦點在x軸上，離心率為，且過點(－5，3)；
(2)漸近線方程為2x±3y＝0，且兩頂點間的距離是6.
解：(1)法一：因為e＝＝，所以c＝a，b2＝c2－a2＝a2.
又因為焦點在x軸上，
所以設雙曲線的標準方程為－＝1(a＞0).
把點(－5，3)代入方程，解得a2＝16.
所以所求雙曲線的標準方程為－＝1.
法二：由離心率為知，所求雙曲線為等軸雙曲線，設雙曲線的方程為x2－y2＝k(k≠0)，把點(－5，3)的坐標代入方程得k＝16，
所以所求雙曲線的標準方程為－＝1.
(2)設雙曲線方程為4x2－9y2＝λ(λ≠0)，
即－＝1(λ≠0)，由題意得a＝3.
當λ＞0時，＝9，λ＝36，
雙曲線方程為－＝1；
當λ＜0時，＝9，λ＝－81，
雙曲線方程為－＝1.
所以所求雙曲線的標準方程為－＝1或－＝1.
(11—13，每小題5分，共15分)
11.已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2，過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點.設A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1＋d2＝6，則雙曲線的方程為(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案：A
解析：把x＝c代入－＝1，得y＝±.不妨設A，B，雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，即bx－ay＝0，則d1＝，d2＝，故d1＋d2＝＋＝＝2b＝6，故b＝3.又＝＝＝＝2，得a2＝3，所以雙曲線的方程為－＝1.故選A.
12.(多選題)已知雙曲線E：2x2－my2＝4m的左、右焦點分別為F1，F2，P是雙曲線上一點，則下列結論正確的是(　　)
A.m＞0
B.當雙曲線E為等軸雙曲線時，焦點坐標為F1(－2，0)，F2(2，0)
C.焦點F1到雙曲線E的一條漸近線的距離是定值2
D.若雙曲線E的一條漸近線方程是y＝2x且｜PF1｜＝3，則｜PF2｜＝1或｜PF2｜＝5
答案：AC
解析：對于A，將方程2x2－my2＝4m化為標準形式為－＝1，方程表示雙曲線，則m＞0，故A正確；對于B，雙曲線E為等軸雙曲線時，2m＝4，即a2＝b2＝4，所以c＝2，焦點坐標為(2，0)，(－2，0)，故B錯誤；對于C，不妨設雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，所以E的一個焦點(c，0)到一條漸近線的距離是＝b，故為定值b＝2，故C正確；對于D，雙曲線－＝1的一條漸近線方程是y＝2x，所以a2＝2m＝1，c2＝1＋22＝5，c＝.由雙曲線的定義知｜PF2｜－｜PF1｜＝±2，又｜PF1｜＝3，所以｜PF2｜＝1或｜PF2｜＝5，又｜PF2｜≥c－a＝－1，所以｜PF2｜＝5，故D錯誤.故選AC.
13.(雙空題)已知橢圓M：＋＝1(a＞b＞0)，雙曲線N：－＝1(m＞0，n＞0).若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的六個頂點，則橢圓M的離心率為　　　　；雙曲線N的離心率為　　　　.
答案：－1　2
解析：橢圓、雙曲線都關于x軸、y軸對稱，所以只需考慮第一象限內的情況.記雙曲線N的一條漸近線與橢圓M在第一象限的交點為P，橢圓左焦點為Q，右焦點為F，連接PQ，如圖所示，由題意知，△OPF為正三角形，邊長設為2，則高為，所以橢圓半焦距為2，2a＝｜PQ｜＋｜PF｜＝2＋2，a＝＋1，橢圓M的離心率為＝－1.雙曲線N的一條漸近線斜率為＝tan 60°＝，e2＝＝1＋＝4，所以雙曲線N的離心率為2.
14.(15分)已知F1，F2分別為雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，P為雙曲線右支上的任意一點，當取最小值時，求雙曲線離心率e的取值范圍.
解：因為雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，P為雙曲線右支上的任意一點，
所以｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，｜PF1｜＝2a＋｜PF2｜，
所以＝＝＋4a＋｜PF2｜≥8a，當且僅當＝｜PF2｜，
即｜PF2｜＝2a時取等號，
所以｜PF1｜＝2a＋｜PF2｜＝4a.
因為｜PF1｜－｜PF2｜＝2a＜2c，｜PF1｜＋｜PF2｜＝6a≥2c e＝≤3，
所以雙曲線離心率e的取值范圍為(1，3].
15.(5分)(新情境)雙曲線具有光學性質，從雙曲線一個焦點發出的光線經過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點.若雙曲線E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，從F2發出的光線經過圖中的A，B兩點反射后，分別經過點C和D，且cos ∠BAC＝－，·＝0，則E的離心率為(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
解析：由題意知，延長CA，DB，則必過點F1，如圖所示.由雙曲線的定義知又因為cos ∠BAC＝－，所以cos ∠F1AB＝.又因為·＝0，所以AB⊥BD，設｜AF1｜＝13m，m＞0，則｜AB｜＝5m，＝12m，因此從而由｜AF2｜＋｜BF2｜＝｜AB｜得13m－2a＋12m－2a＝5m，所以a＝5m.則｜BF1｜＝a，｜BF2｜＝a，｜F1F2｜＝2c，又因為｜BF1｜2＋｜BF2｜2＝｜F1F2｜2，所以＋＝(2c)2，即37a2＝25c2，即e＝.故選B.
16.(17分)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，P是雙曲線的右支上一點.
(1)求的最小值；
(2)若右支上存在點P滿足＝4，求雙曲線的離心率的取值范圍.
解：(1)設F1(－c，0)，F2(c，0)，P(x，y)(x≥a)，
則＝＝＝＝
＝＝x＋a≥·a＋a＝a＋c，
當P在右頂點時，最小，所以的最小值為a＋c.
(2)依題意
法一：由(1)知，｜PF1｜≥a＋c，所以a≥a＋c，
所以1＜e≤.
法二：設∠F1PF2＝θ，θ∈.
由余弦定理得cos θ＝＝＝－e2，
即－1≤－e2＜1，得1＜e2≤，1＜e≤.
所以雙曲線的離心率的取值范圍為.
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2.2　雙曲線的簡單幾何性質
　
第二章　§2　雙曲線
學習目標
1.掌握雙曲線的范圍、對稱性、頂點、漸近線、離心率等簡 單的幾何性質，培養直觀想象、數學運算的核心素養.
2.能利用雙曲線的簡單幾何性質求標準方程及解決一些簡單 的實際問題，提升數學運算、數學建模的核心素養.
任務一　雙曲線的簡單幾何性質
問題導思
新知構建
雙曲線的簡單幾何性質
標準方程
圖形
性質 焦點 ________________________ ________________________
焦距 ________________
范圍 x≥a或x≤－a，y∈R y≥a或y≤－a，x∈R
對稱性 對稱軸：__________；對稱中心：__________
頂點 __________________ __________________
軸長 實軸長＝____，虛軸長＝____
漸近線
離心率
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
｜F1F2｜＝2c
x軸、y軸
坐標原點
(－a，0)，(a，0)
(0，－a)，(0，a)
2a
2b
微提醒
典例
1
規律方法
確定雙曲線幾何性質的基本步驟
典例
2
規律方法
利用雙曲線的幾何性質求雙曲線標準方程的基本思路
1.根據雙曲線的幾何性質求雙曲線的標準方程可按先定位，再定形的方法.但在這里要注意的是對雙曲線幾何性質的運用，如在定位方面，可能涉及雙曲線的焦點、頂點的位置；在定形方面，要注意是否給出了離心率及漸近線方程.解題時，我們要充分利用這些幾何性質.
規律方法

返回
任務二　雙曲線的漸近線與離心率問題
典例
3
√


規律方法

√
典例
4
√

2
返回
任務三　雙曲線簡單幾何性質的實際應用
典例
5
√

規律方法
雙曲線在實際生活中有著廣泛的應用，解答該類問題的關鍵是從實際問題中挖掘出所有相關條件，將實際問題轉化為求雙曲線的標準方程的問題.特別要注意在實際意義下隱含著的變量
范圍.
√

課堂小結
任務再現 1.雙曲線的簡單幾何性質.2.由雙曲線幾何性質求標準方程.3.雙曲線的漸近線與離心率問題.4.雙曲線簡單幾何性質的實際應用
方法提煉 待定系數法、直接法、解方程組法、數形結合思想
易錯警示 求雙曲線的方程時常因位置關系考慮不全面出錯
返回
隨堂評價
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課時分層評價
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5
8.過雙曲線的一焦點的直線垂直于一漸近線，且與雙曲線的兩支相交，則該雙曲線離心率的范圍為　　 　　.

9.(雙空題)如圖，B地在A地的正東方向4 km處，C地在B地的北偏東30°方向2 km處，河流的沿岸PQ(曲線)上任意一點D到A的距離比到B的距離遠
2 km，則曲線PQ的軌跡方程是　　　　　　　　；現要在曲線PQ上選一處M建一座碼頭，向B，C兩地轉運貨物，那么這兩條公路MB，MC的路程之和最短是　　　　km.

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√
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12.(多選題)已知雙曲線E：2x2－my2＝4m的左、右焦點分別為F1，F2，P是雙曲線上一點，則下列結論正確的是
A.m＞0
B.當雙曲線E為等軸雙曲線時，焦點坐標為F1(－2，0)，F2(2，0)
C.焦點F1到雙曲線E的一條漸近線的距離是定值2
D.若雙曲線E的一條漸近線方程是y＝2x且｜PF1｜＝3，則｜PF2｜＝1或｜PF2｜＝5

2

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