資源簡介

3.2　拋物線的簡單幾何性質
學習目標 1.了解拋物線的簡單幾何性質，培養數學抽象的核心素養.　2.能利用拋物線的幾何性質解決相關問題，培養直觀想象、數學運算的核心素養.
任務一　拋物線的簡單幾何性質
問題1.類比橢圓和雙曲線的幾何性質的探索過程，你認為拋物線有哪些簡單的幾何性質？
提示：范圍、對稱性、頂點及離心率等.
問題2.試以y2＝2px(p＞0)為研究對象，探討拋物線的范圍、對稱性及頂點.如何研究這些性質？
提示：(1)范圍：由方程y2＝2px(p＞0)可知，對于拋物線y2＝2px(p＞0)上的任意一點M(x，y)，都有x≥0，y∈R，所以這條拋物線在y軸的右側，開口向右；當x的值增大時，｜y｜也隨之增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸.
(2)對稱性：觀察曲線，可以發現，拋物線y2＝2px(p＞0)關于x軸對稱.拋物線只有一條對稱軸.
(3)頂點：拋物線和它的對稱軸的交點叫作拋物線的頂點.拋物線的頂點坐標是坐標原點(0，0).
拋物線的簡單幾何性質
圖形
標準方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0)
范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
對稱性 x軸 x軸 y軸 y軸
焦點 F(，0) F(－，0) F(0，) F(0，－)
準線方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
頂點 O(0，0)
離心率 e＝1
[微提醒]　(1)只有焦點在坐標軸上，頂點是原點的拋物線的方程才是標準方程.(2)過焦點且垂直于對稱軸的弦稱為通徑，通徑長為2p.
角度1　根據拋物線的幾何性質求標準方程
(鏈教材P73例3)拋物線的頂點在原點，對稱軸重合于橢圓9x2＋4y2＝36短軸所在的直線，拋物線焦點到頂點的距離為3，求拋物線的方程及拋物線的準線方程.
解：橢圓的方程可化為＋＝1，其短軸在x軸上，
所以拋物線的對稱軸為x軸，
則設拋物線的方程為y2＝2px(p＞0)或y2＝－2px(p＞0).
因為拋物線的焦點到頂點的距離為3，
即＝3，所以p＝6，
所以拋物線的標準方程為y2＝12x或y2＝－12x，
相對應的準線方程分別為x＝－3，x＝3.
把握三個要點確定拋物線的簡單幾何性質
1.開口：由拋物線標準方程看圖象開口，關鍵是看準一次項是x還是y，一次項的系數是正還是負.
2.關系：頂點位于焦點與準線中間，準線垂直于對稱軸.
3.定值：焦點到準線的距離為p；過焦點垂直于對稱軸的弦(又稱為通徑)長為2p；離心率恒等于1.
對點練1.邊長為1的等邊三角形AOB，O為坐標原點，AB⊥x軸，以O為頂點且過A，B的拋物線方程是(　　)
A.y2＝x B.y2＝－x
C.y2＝±x D.y2＝±x
答案：C
解析：設拋物線方程為y2＝ax(a≠0).又A(±，)(取點A在x軸上方)，則有＝±a，解得a＝±，所以拋物線方程為y2＝±x.故選C.
角度2　拋物線的幾何性質的應用
已知正三角形AOB的一個頂點O位于坐標原點，另外兩個頂點A，B在拋物線y2＝2px(p＞0)上，求這個三角形的邊長.
解：如圖所示，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則＝2px1，＝2px2.
又｜OA｜＝｜OB｜，
所以＋＝＋，
即－＋2px1－2px2＝0，
整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.
因為x1＞0，x2＞0，2p＞0，所以x1＝x2，
由此可得｜y1｜＝｜y2｜，
即線段AB關于x軸對稱，由此得∠AOx＝30°，
所以y1＝x1，與＝2px1聯立，
解得y1＝2p.所以｜AB｜＝2y1＝4p，即這個三角形的邊長為4p.
利用拋物線的性質可以解決的問題
1.對稱性：解決拋物線的內接三角形問題.
2.焦點、準線：解決與拋物線的定義有關的問題.
3.范圍：解決與拋物線有關的最值問題.
4.焦點：解決焦點弦問題.
對點練2.已知A，B是拋物線y2＝2px(p＞0)上兩點，O為坐標原點，若｜OA｜＝｜OB｜，且△AOB的垂心恰是此拋物線的焦點，求直線AB的方程.
解：如圖所示，
設點A(x0，y0)，
由題意可知點B(x0，－y0)，
因為F是△AOB的垂心，
所以AF⊥OB，
所以kAF·kOB＝－1，即·＝－1，
所以＝x0，
又因為＝2px0，所以x0＝2p＋＝.
所以直線AB的方程為x＝.
任務二　拋物線的軌跡方程
若點P到點F(4，0)的距離比它到直線x＋5＝0的距離小1，則點P的軌跡方程是(　　)
A.y2＝－16x B.y2＝－32x
C.y2＝16x D.y2＝32x
答案：C
解析：由題意知點P到點F(4，0)和直線x＝－4的距離相等，所以點P的軌跡是以F為焦點，以直線x＝－4為準線的拋物線，所以p＝8，則點P的軌跡方程為y2＝16x.故選C.
解決軌跡為拋物線問題的方法
拋物線的軌跡問題，既可以用軌跡法直接求解，也可以先將條件轉化，再利用拋物線的定義求解.后者的關鍵是找到滿足動點到定點的距離等于到定直線的距離且定點不在定直線上的條件，有時需要依據已知條件進行轉化才能得到滿足拋物線定義的條件.
對點練3.已知動點M(x，y)(x≥0)到點F(2，0)的距離與到y軸的距離的差為2.
(1)求動點M的軌跡方程；
(2)若過點F的直線l與動點M的軌跡交于A，B兩點，直線x＝－2與x軸交于點H，過A，B作直線x＝－2的垂線，垂足分別為D，E，若S△DHF∶S△EHF＝2∶1(S表示面積)，求.
解：(1)因為M(x，y)(x≥0)到F(2，0)的距離與到y軸的距離的差為2，
則M(x，y)到F(2，0)的距離與到直線x＝－2的距離相等，
所以動點M的軌跡是拋物線，其方程為y2＝8x.
(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＞2＞x2).
因為S△DHF∶S△EHF＝∶＝2∶1，則y1＝－2y2，所以＝＝4.
又因為＝＝＝2，則x1＋2x2＝6，解得x1＝4，x2＝1，
故＝p＋x1＋x2＝4＋5＝9.
任務三　拋物線的實際應用
河上有一拋物線形拱橋，當水面距拱橋頂5 m時，水面寬為8 m，一小船寬4 m，載貨后船露出水面上的部分高0.75 m，則水面上漲到與拋物線形拱橋拱頂相距多少時，載貨小船開始不能通航？
解：如圖所示，以拱橋的拱頂為原點，以過拱頂且平行于水面的直線為x軸，建立平面直角坐標系.
設拱橋所在的拋物線方程為x2＝－2py(p＞0)，
由題意可知，點B(4，－5)在拋物線上，則16＝－2p×(－5)，解得p＝，則x2＝－y.當船面兩側和拋物線接觸時，船剛好不能通航.
設此時船面寬為AA'，則A(2，yA)，由22＝－yA，得yA＝－.又知船面露出水面上的部分高為0.75 m，
所以水面上漲到與拋物線形拱橋拱頂相距｜yA｜＋0.75＝2(m)時，載貨小船開始不能通航.
求解拋物線實際應用題的5個步驟
對點練4.清代青花瓷蓋碗是中國傳統茶文化的器物載體，具有“溫潤”“淡遠”“清新”的特征.如圖所示，已知碗體和碗蓋的內部均近似為拋物線形狀，碗蓋深為3 cm，碗蓋口直徑為8 cm，碗體口直徑為10 cm，碗體深6.25 cm，則蓋上碗蓋后，碗蓋內部最高點到碗底的垂直距離為(碗和碗蓋的厚度忽略不計)(　　)
A.5 cm B.6 cm
C.7 cm D.8.25 cm
答案：C
解析：以碗體的最低點為原點，向上方向為y軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，設碗體的拋物線方程為x2＝2py(p＞0)，將點(5，6.25)代入，得52＝2p×6.25，解得p＝2，則x2＝4y，設蓋上碗蓋后，碗蓋內部最高點到碗底的垂直距離為h(cm)，則兩拋物線在第一象限的交點為(4，h－3)，代入到x2＝4y，得42＝4(h－3)，解得h＝7 cm.故選C.
[教材拓展4]　圓錐曲線的光學性質及其應用(源自于教材P86閱讀材料二)
在天文望遠鏡的設計中利用了雙曲線的光學性質：從雙曲線的一個焦點出發的入射光線經雙曲線鏡面反射后，反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點.如圖，已知雙曲線C：－＝1的左、右焦點分別為F1，F2，M是C的右支上一點，直線l與C相切于點M.由點F2出發的入射光線碰到點M后反射光線為MQ，法線(在光線投射點與分界面垂直的直線)交x軸于點N，此時直線l起到了反射鏡的作用.若＝，則C的離心率為　　　　.
答案：
解析：如圖所示，過點F1作F1A⊥l于點A，延長F1A交MF2的延長線于點B.設l上有一點T，由題意可得∠TMQ＝∠F1MA，∠QMN＝∠F2MN.又NM⊥l，所以∠TMQ＝∠F2MA，所以∠F1MA＝∠F2MA，故＝.由雙曲線定義可得－＝2a，故－＝＝2a.因為F1B⊥l，NM⊥l，所以F1B∥MN，故＝ ＝，故離心率為e＝＝＝＝.
任務再現 1.拋物線的簡單幾何性質.2.拋物線的軌跡方程.3.拋物線的實際應用
方法提煉 待定系數法、數形結合法、定義法、轉化與化歸思想
易錯警示 求拋物線方程時忽略焦點位置
1.對于拋物線y＝4x2，下列描述正確的是(　　)
A.開口向上，焦點為(0，1)
B.開口向上，焦點為
C.開口向右，焦點為(1，0)
D.開口向右，焦點為
答案：B
解析：由拋物線y＝4x2，得拋物線標準方程為x2＝y，2p＝，＝，故焦點在y軸上，開口向上，焦點坐標為.故選B.
2.(多選題)以y軸為對稱軸的拋物線的通徑(過焦點且與對稱軸垂直的弦)長為8，若拋物線的頂點在坐標原點，則其方程為(　　)
A.y2＝8x B.y2＝－8x
C.x2＝8y D.x2＝－8y
答案：CD
解析：設拋物線方程為x2＝2py或x2＝－2py(p＞0).由題意得2p＝8，所以拋物線方程為x2＝8y或x2＝－8y.故選CD.
3.若拋物線y2＝x上一點P到準線的距離等于它到頂點的距離，則點P的坐標為(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
解析：設拋物線的焦點為F，原點為O，P(x0，y0)，由條件及拋物線的定義知，｜PF｜＝｜PO｜，又F(，0)，所以x0＝，所以＝，所以y0＝±.故選B.
4.蘇州市“東方之門”是由南北兩棟建筑組成的雙塔連體建筑(門頂厚度忽略不計)，“門”的造型是東方之門的立意基礎，“門”的內側曲線呈拋物線型，如圖所示，現測得門的內側地面上兩塔之間的距離約為80米，與門頂豎直距離8米處兩塔內側之間的距離約為16米，則“東方之門”的高度約為(　　)
A.150米 B.200米
C.250米 D.300米
答案：B
解析：以門頂所在的點為坐標原點，以拋物線的對稱軸為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系.設拋物線的方程為x2＝－2py(p＞0)，由題意可知點(8，－8)在拋物線上，所以82＝－2p×(－8)，解得p＝4，所以拋物線的方程為x2＝－8y，將x＝40代入拋物線的方程可得y＝＝－200.故“東方之門”的高度約為200米.故選B.
課時分層評價18　拋物線的簡單幾何性質
(時間：60分鐘　滿分：110分)
(1—9，每小題5分，共45分)
1.若拋物線y2＝2x上有兩點A，B且AB垂直于x軸，若｜AB｜＝2，則拋物線的焦點到直線AB的距離為(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：由題意知，線段AB所在的直線方程為x＝1，拋物線的焦點坐標為，則焦點到直線AB的距離為1－＝.故選D.
2.以坐標軸為對稱軸，以原點為頂點且過圓x2＋y2－2x＋6y＋9＝0的圓心的拋物線的方程是(　　)
A.y2＝－9x或x2＝y
B.y2＝9x或x2＝－y
C.x2＝y或x2＝－y
D.x2＝y
答案：B
解析：圓的方程可化為(x－1)2＋(y＋3)2＝1，圓心為(1，－3)，由題意可設拋物線方程為y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0).把(1，－3)代入得9＝2p或1＝6p1，所以p＝或p1＝，所以y2＝9x或x2＝－y.故選B.
3.若雙曲線－＝1(p＞0)的左焦點在拋物線y2＝2px(p＞0)的準線上，則p的值為(　　)
A.2 B.3
C.4 D.4
答案：C
解析：雙曲線的方程可化為－＝1，所以雙曲線的左焦點為.又因為拋物線的準線為x＝－，由題意得－＝－，解得p＝4.故選C.
4.圖①為一種衛星接收天線，其曲面與軸截面的交線為拋物線的一部分，以頂點為坐標原點，建立如圖②所示的平面直角坐標系，已知該衛星接收天線的口徑｜AB｜＝6，深度｜MO｜＝2，信號處理中心F位于焦點處，若P是該拋物線上一點，拋物線開口內有一點Q，則｜PF｜＋｜PQ｜的最小值為(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案：C
解析：設拋物線的方程為y2＝2px(p＞0)，因為｜AB｜＝6，｜MO｜＝2，所以點A(2，3)在拋物線上，所以9＝4p，故p＝，所以拋物線的方程為y2＝x.則焦點F的坐標為，準線方程為x＝－.如圖所示，過點P作PP'垂直于準線，垂足為P'，過點Q作QQ'垂直于準線，垂足為Q'，則｜PF｜＝｜PP'｜，所以｜PF｜＋｜PQ｜＝｜PP'｜＋｜PQ｜≥｜QQ'｜＝＋＝3，當且僅當直線PQ與準線垂直時等號成立，所以｜PF｜＋｜PQ｜的最小值為3.故選C.
5.為響應國家“節能減排，開發清潔能源”的號召，小華制作了一個太陽灶，如圖所示.集光板由拋物面(拋物線繞對稱軸旋轉得到)形的反光鏡構成，已知鏡口圓的直徑為2 m，鏡深0.25 m，為達到最佳吸收太陽光的效果(容器灶圈在拋物面對應軸截面的拋物線的焦點處)，容器灶圈應距離集光板頂點(　　)
A.0.5 m B.1 m
C.1.5 m D.2 m
答案：B
解析：若使吸收太陽光的效果最佳，容器灶圈應在拋物面對應軸截面的拋物線的焦點處，如圖所示.畫出拋物面的軸截面，并建立平面直角坐標系，設拋物線方程為x2＝2py(p＞0)，集光板端點A(1，0.25)，代入拋物線方程可得2×0.25p＝1，p＝2，所以拋物線方程為x2＝4y，故焦點坐標是F(0，1).所以容器灶圈應距離集光板頂點1 m.故選B.
6.(多選題)(2025·八省適應性測試)已知F(2，0)是拋物線C：y2＝2px的焦點，M是C上的點，O為坐標原點.則(　　)
A.p＝4
B.｜MF｜≥｜OF｜
C.以M為圓心且過F的圓與C的準線相切
D.當∠OFM＝120°時，△OFM的面積為2
答案：ABC
解析：因為F(2，0)是拋物線C：y2＝2px的焦點，所以＝2，即得p＝4，故A正確；對于B，設M在y2＝8x上，所以x0≥0，所以＝x0＋≥＝，故B正確；對于C，因為以M為圓心且過F的圓半徑為＝x0＋2等于M與C的準線的距離，所以以M為圓心且過F的圓與C的準線相切，故C正確；對于D，當∠OFM＝120°時，x0＞2，結合拋物線的對稱性不妨設M在x軸上方，則＝tan 60°＝，且＝8x0，y0＞0，所以－8y0－16＝0，解得y0＝4或y0＝－(舍去).所以△OFM的面積為S△OFM＝×＝4，故D錯誤.故選ABC.
7.已知點A(－2，3)在拋物線C：y2＝2px(p＞0)的準線上，記拋物線C的焦點為F，則直線AF的斜率為　　　　.
答案：－
解析：因為點A(－2，3)在拋物線C的準線上，所以＝2，所以p＝4.所以拋物線的方程為y2＝8x，則焦點F的坐標為(2，0).又A(－2，3)，根據斜率公式得kAF＝＝－.
8.已知F是拋物線C：y2＝8x的焦點，M是C上一點，FM的延長線交y軸于點N.若M是FN的中點，則｜FN｜＝　　　　.
答案：6
解析：如圖所示，過點M作MM'⊥y軸，垂足為M'，｜OF｜＝2.因為M為FN的中點，所以｜MM'｜＝1，所以M到準線的距離d＝｜MM'｜＋＝3，所以｜MF｜＝3，所以｜FN｜＝6.
9.(雙空題)(2021·北京卷)已知拋物線C：y2＝4x，焦點為F，點M在C上，且｜FM｜＝6，則M的橫坐標是　　　　；作MN⊥x軸于N，則S△FMN＝　　　　　　　.
答案：5　4
解析：由題意得點F(1，0)，設點M(x，±2)，則｜FM｜＝＝6，解得x＝5.易得點N(5，0)，從而S△FMN＝(xN－xF)·｜MN｜＝×4×2＝4.
10.(13分)已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)，焦點為F，準線為l，拋物線C上一點A的橫坐標為3，且點A到準線l的距離為5.
(1)求拋物線C的方程；
(2)若P為拋物線C上的動點，求線段FP的中點M的軌跡方程.
解：(1)拋物線y2＝2px(p＞0)的準線方程為x＝－，因為拋物線C上一點A的橫坐標為3，且點A到準線l的距離為5，
所以根據拋物線的定義可知，3＋＝5，
所以p＝4，所以拋物線C的方程是y2＝8x.
(2)由(1)可知F(2，0)，設P(x0，y0)，M(x，y)，
則
而點P(x0，y0)在拋物線C上，所以＝8x0，
所以(2y)2＝8(2x－2)，即y2＝4(x－1)，
所以點M的軌跡方程是y2＝4(x－1).
(11—13，每小題5分，共15分)
11.(多選題)設拋物線C：y2＝3x的焦點為F，點A為C上一點，若｜FA｜＝3，則直線FA的傾斜角可能是(　　)
A. B.
C. D.
答案：BC
解析：如圖所示，作AH⊥l于H，則｜AH｜＝｜FA｜＝3，作FE⊥AH于E，則｜AE｜＝3－＝.在Rt△AEF中，cos ∠EAF＝＝，所以∠EAF＝，即直線FA的傾斜角為，同理點A在x軸下方時，直線FA的傾斜角為.故選BC.
12.已知曲線C由拋物線y2＝2x及拋物線y2＝－2x組成，A(1，2)，B(－1，2)，M，N是曲線C上關于y軸對稱的兩點(A，B，M，N四點不共線，且點M在第一象限)，則四邊形ABNM周長的最小值為(　　)
A.2＋ B.1＋
C.3 D.4
答案：B
解析：設拋物線y2＝2x的焦點為F，如圖所示，則四邊形ABNM的周長l＝｜AB｜＋2｜AM｜＋2xM＝2＋2｜AM｜＋2｜MF｜－1＝1＋2(｜AM｜＋｜MF｜)≥1＋2｜AF｜＝1＋，當且僅當M在線段AF上時取等號.故四邊形ABNM周長的最小值為1＋.故選B.
13.拋物線x2＝2py(p＞0)的焦點為F，其準線與雙曲線－＝1相交于A，B兩點，若△ABF為等邊三角形，則p＝　　　　　.
答案：6
解析：拋物線的焦點坐標為F，準線方程為y＝－.將y＝－－＝1得｜x｜＝.要使△ABF為等邊三角形，則tan ＝＝＝，解得p2＝36，p＝6.
14.(15分)已知拋物線C的頂點在原點，焦點F在x軸的正半軸上，設A，B是拋物線C上的兩個動點(AB不垂直于x軸)，且｜AF｜＋｜BF｜＝8，線段AB的垂直平分線恒經過點Q(6，0)，求拋物線的方程.
解：設拋物線的方程為y2＝2px(p＞0)，
則其準線方程為x＝－.
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因為｜AF｜＋｜BF｜＝8，
所以x1＋＋x2＋＝8，即x1＋x2＝8－p.
因為Q(6，0)在線段AB的中垂線上，
所以｜QA｜＝｜QB｜，
即＝，
又＝2px1，＝2px2，
所以(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0.
因為AB與x軸不垂直，所以x1≠x2，
故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4.
從而拋物線方程為y2＝8x.
15.(5分)(多選題)已知拋物線x2＝4y的焦點為F，A，B是拋物線上兩動點，則下列說法正確的有(　　)
A.拋物線準線方程為x＝－1
B.若｜AF｜＋｜BF｜＝8，則線段AB的中點到x軸的距離為3
C.以線段AF為直徑的圓與x軸相切
D.以線段AB為直徑的圓與準線相切
答案：BC
解析：對于A，拋物線x2＝4y的準線方程為y＝－1，焦點F(0，1)，故A錯誤；對于B，設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線的定義可得｜AF｜＋｜BF｜＝y1＋y2＋2＝8，可得y1＋y2＝6，所以線段AB的中點到x軸的距離為＝3，故B正確；對于C，｜AF｜＝y1＋1，AF的中點為(，)，AF的中點(，)到x軸的距離為＝｜AF｜，所以以線段AF為直徑的圓與x軸相切，故C正確；對于D，因為點A，B沒有任何限制條件，可以是拋物線上任意兩點，所以以線段AB為直徑的圓與準線不一定相切，故D錯誤.故選BC.
16.(17分)已知拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點為F，△ABC的頂點都在拋物線上，滿足＋＋＝0.
(1)求｜FA｜＋｜FB｜＋｜FC｜的值；
(2)設直線AB、直線BC、直線AC的斜率分別為kAB，kBC，kAC，若實數λ滿足：＋＝λ·，求λ的值.
解：(1)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，F，
所以＝(x1－，y1)，＝(x2－，y2)，＝(x3－，y3).
因為＋＋＝0，
所以(x1－)＋(x2－)＋(x3－)＝0，y1＋y2＋y3＝0，
即x1＋x2＋x3＝.
由拋物線定義知，｜FA｜＝x1－＝x1＋，
｜FB｜＝x2－＝x2＋，｜FC｜＝x3－(－)＝x3＋，
所以｜FA｜＋｜FB｜＋｜FC｜＝x1＋x2＋x3＋＝＋＝3p.
(2)由(1)知，y1＋y2＋y3＝0.
因為kAB＝＝＝，
同理kAC＝，kBC＝，
所以＋＝＋＝λ·＝λ·，即2y2＋(y1＋y3)＝λ(y1＋y3)，
所以2y2－y2＝－λy2，解得λ＝－1.
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3.2　拋物線的簡單幾何性質
　
第二章　§3　拋物線
學習目標
1.了解拋物線的簡單幾何性質，培養數學抽象的核心素養.
2.能利用拋物線的幾何性質解決相關問題，培養直觀想象、 數學運算的核心素養.
任務一　拋物線的簡單幾何性質
問題導思
問題1.類比橢圓和雙曲線的幾何性質的探索過程，你認為拋物線有哪些簡單的幾何性質？
提示：范圍、對稱性、頂點及離心率等.
問題2.試以y2＝2px(p＞0)為研究對象，探討拋物線的范圍、對稱性及頂點.如何研究這些性質？
提示：(1)范圍：由方程y2＝2px(p＞0)可知，對于拋物線y2＝2px(p＞0)上的任意一點M(x，y)，都有x≥0，y∈R，所以這條拋物線在y軸的右側，開口向右；當x的值增大時，｜y｜也隨之增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸.
(2)對稱性：觀察曲線，可以發現，拋物線y2＝2px(p＞0)關于x軸對稱.拋物線只有一條對稱軸.
(3)頂點：拋物線和它的對稱軸的交點叫作拋物線的頂點.拋物線的頂點坐標是坐標原點(0，0).
新知構建
拋物線的簡單幾何性質
圖形
標準方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0)
范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
對稱性 ___軸 ___軸 ___軸 ___軸
x
x
y
y
焦點
準線方程
頂點 O________
離心率 e＝___
(0，0)
1
微提醒
(1)只有焦點在坐標軸上，頂點是原點的拋物線的方程才是標準方程.(2)過焦點且垂直于對稱軸的弦稱為通徑，通徑長為2p.
典例
1
規律方法
把握三個要點確定拋物線的簡單幾何性質
1.開口：由拋物線標準方程看圖象開口，關鍵是看準一次項是x還是y，一次項的系數是正還是負.
2.關系：頂點位于焦點與準線中間，準線垂直于對稱軸.
3.定值：焦點到準線的距離為p；過焦點垂直于對稱軸的弦(又稱為通徑)長為2p；離心率恒等于1.
√

典例
2
規律方法
利用拋物線的性質可以解決的問題
1.對稱性：解決拋物線的內接三角形問題.
2.焦點、準線：解決與拋物線的定義有關的問題.
3.范圍：解決與拋物線有關的最值問題.
4.焦點：解決焦點弦問題.
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任務二　拋物線的軌跡方程
若點P到點F(4，0)的距離比它到直線x＋5＝0的距離小1，則點P的軌跡方程是
A.y2＝－16x B.y2＝－32x
C.y2＝16x D.y2＝32x
典例
3
√
由題意知點P到點F(4，0)和直線x＝－4的距離相等，所以點P的軌跡是以F為焦點，以直線x＝－4為準線的拋物線，所以p＝8，則點P的軌跡方程為y2＝16x.故選C.
規律方法
解決軌跡為拋物線問題的方法
拋物線的軌跡問題，既可以用軌跡法直接求解，也可以先將條件轉化，再利用拋物線的定義求解.后者的關鍵是找到滿足動點到定點的距離等于到定直線的距離且定點不在定直線上的條件，有時需要依據已知條件進行轉化才能得到滿足拋物線定義的條件.
對點練3.已知動點M(x，y)(x≥0)到點F(2，0)的距離與到y軸的距離的差
為2.
(1)求動點M的軌跡方程；
解：因為M(x，y)(x≥0)到F(2，0)的距離與到y軸的距離的差為2，
則M(x，y)到F(2，0)的距離與到直線x＝－2的距離相等，
所以動點M的軌跡是拋物線，其方程為y2＝8x.
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任務三　拋物線的實際應用
河上有一拋物線形拱橋，當水面距拱橋頂5 m時，水面寬為8 m，一小船寬4 m，載貨后船露出水面上的部分高0.75 m，則水面上漲到與拋物線形拱橋拱頂相距多少時，載貨小船開始不能通航？
解：如圖所示，以拱橋的拱頂為原點，以過拱頂且平行于水面的直線為x軸，建立平面直角坐標系.
典例
4
規律方法
求解拋物線實際應用題的5個步驟
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對點練4.清代青花瓷蓋碗是中國傳統茶文化的器物載體，具有“溫潤” “淡遠”“清新”的特征.如圖所示，已知碗體和碗蓋的內部均近似為拋物線形狀，碗蓋深為3 cm，碗蓋口直徑為8 cm，碗體口直徑為10 cm，碗體深6.25 cm，則蓋上碗蓋后，碗蓋內部最高點到碗底的垂直距離為(碗和碗蓋的厚度忽略不計)
A.5 cm
B.6 cm
C.7 cm
D.8.25 cm
以碗體的最低點為原點，向上方向為y軸，建立平面
直角坐標系，如圖所示，設碗體的拋物線方程為x2＝
2py(p＞0)，將點(5，6.25)代入，得52＝2p×6.25，解
得p＝2，則x2＝4y，設蓋上碗蓋后，碗蓋內部最高點
到碗底的垂直距離為h(cm)，則兩拋物線在第一象限的交點為(4，h－3)，代入到x2＝4y，得42＝4(h－3)，解得h＝7 cm.故選C.
典例
4

課堂小結
任務再現 1.拋物線的簡單幾何性質.2.拋物線的軌跡方程.3.拋物線的實際應用
方法提煉 待定系數法、數形結合法、定義法、轉化與化歸思想
易錯警示 求拋物線方程時忽略焦點位置
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隨堂評價
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2.(多選題)以y軸為對稱軸的拋物線的通徑(過焦點且與對稱軸垂直的弦)長為8，若拋物線的頂點在坐標原點，則其方程為
A.y2＝8x B.y2＝－8x
C.x2＝8y D.x2＝－8y
√
設拋物線方程為x2＝2py或x2＝－2py(p＞0).由題意得2p＝8，所以拋物線方程為x2＝8y或x2＝－8y.故選CD.
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4.蘇州市“東方之門”是由南北兩棟建筑組成的雙塔連體建筑(門頂厚度忽略不計)，“門”的造型是東方之門的立意基礎，“門”的內側曲線呈拋物線型，如圖所示，現測得門的內側地面上兩塔之間的距離約為80米，與門頂豎直距離8米處兩塔內側之間的距離約為16米，則“東方之門”的高度約為
A.150米
B.200米
C.250米
D.300米

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課時分層評價
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5.為響應國家“節能減排，開發清潔能源”的號召，小華制作了一個太陽灶，如圖所示.集光板由拋物面(拋物線繞對稱軸旋轉得到)形的反光鏡構成，已知鏡口圓的直徑為2 m，鏡深0.25 m，為達到最佳吸收太陽光的效果(容器灶圈在拋物面對應軸截面的拋物線的焦點處)，容器灶圈應距離集光板頂點
A.0.5 m
B.1 m
C.1.5 m
D.2 m
若使吸收太陽光的效果最佳，容器灶圈應在拋物面對應軸截面的拋物線的焦點處，如圖所示.畫出拋物面的軸截面，并建立平面直角坐標系，設拋物線方程為x2＝2py(p＞0)，集光板端點A(1，0.25)，代入拋物線方程可得2×0.25p＝1，p＝2，所以拋物線方程為x2＝4y，故焦點坐標是F(0，1).所以容器灶圈應距離集光板頂點1 m.故選B.
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7.已知點A(－2，3)在拋物線C：y2＝2px(p＞0)的準線上，記拋物線C的焦
點為F，則直線AF的斜率為　　　.

8.已知F是拋物線C：y2＝8x的焦點，M是C上一點，FM的延長線交y軸于點N.若M是FN的中點，則｜FN｜＝　　.
6

9.(雙空題)(2021·北京卷)已知拋物線C：y2＝4x，焦點為F，點M在C上，且｜FM｜＝6，則M的橫坐標是　　；作MN⊥x軸于N，則S△FMN＝　　　.
5

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15.(5分)(多選題)已知拋物線x2＝4y的焦點為F，A，B是拋物線上兩動點，則下列說法正確的有
A.拋物線準線方程為x＝－1
B.若｜AF｜＋｜BF｜＝8，則線段AB的中點到x軸的距離為3
C.以線段AF為直徑的圓與x軸相切
D.以線段AB為直徑的圓與準線相切
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