資源簡(jiǎn)介

4.2　直線與圓錐曲線的綜合問題
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.進(jìn)一步掌握直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，培養(yǎng)直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).　2.掌握弦長(zhǎng)公式，會(huì)求解與弦長(zhǎng)有關(guān)的問題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).　3.會(huì)解決與圓錐曲線有關(guān)的焦點(diǎn)弦、中點(diǎn)弦問題，提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
任務(wù)一　弦長(zhǎng)公式
問題1.已知直線l：y＝kx＋m上兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何表示線段AB的長(zhǎng)度？
提示：｜AB｜＝＝｜x1－x2｜＝.
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，斜率為k的直線l與橢圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩個(gè)不同的點(diǎn)，則弦長(zhǎng)公式的常見形式有如下幾種：
(1)｜AB｜＝｜x1－x2｜；
(2)｜AB｜＝｜y1－y2｜(k≠0)；
(3)｜AB｜＝；
(4)｜AB｜＝(k≠0).
[微提醒]　(1)對(duì)于弦長(zhǎng)問題，一定先有判別式大于零，才有兩根之和、兩根之積.(2)對(duì)于斜率不確定的問題，要分類討論.(3)拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)弦AB，弦長(zhǎng)｜AB｜＝x1＋x2＋p.(4)橢圓、雙曲線的通徑為.
已知橢圓C：x2＋＝1，過點(diǎn)M(0，3)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，若｜AB｜＜，試求直線l斜率的取值范圍.
解：當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，則直線l的方程為x＝0，
代入橢圓C的方程得A(0，2)，B(0，－2)，所以｜AB｜＝4，不滿足｜AB｜＜，此時(shí)直線l：x＝0不符合題意.
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋3，
將直線和橢圓方程聯(lián)立，得
化簡(jiǎn)、整理，得(4＋k2)x2＋6kx＋5＝0，
此時(shí)Δ＝(6k)2－20(4＋k2)＞0，即k2＞5.①
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1，x2是上述方程的兩根，
則x1＋x2＝，x1·x2＝，
因?yàn)椋麬B｜＝＜，
所以·＜，
解得－＜k2＜8，②
由①②知5＜k2＜8.
所以－2＜k＜－＜k＜2.
所以直線l斜率的取值范圍為(－2，－)∪(，2).
1.求弦長(zhǎng)的兩種方法
(1)求出弦兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式求解.
(2)結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長(zhǎng)公式｜AB｜＝，或｜AB｜＝(k≠0)求解.
2.已知弦長(zhǎng)求參數(shù)值，關(guān)鍵是利用弦長(zhǎng)公式，得到關(guān)于參數(shù)的方程，注意求得結(jié)果要驗(yàn)證是否滿足判別式大于0.
對(duì)點(diǎn)練1.已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為，點(diǎn)(，0)是雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn).
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)經(jīng)過雙曲線右焦點(diǎn)F2作傾斜角為30°的直線l，直線l與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)A，B，求｜AB｜.
解：(1)因?yàn)殡p曲線C的離心率為，點(diǎn)(，0)是雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)，
所以
所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.
(2)雙曲線－＝1的右焦點(diǎn)為F2(3，0)，所以直線l的方程為y＝(x－3).
由得5x2＋6x－27＝0.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－，x1x2＝－，
所以｜AB｜＝＝×＝.
(或由5x2＋6x－27＝0，得x＝－3或，則｜AB｜＝×＝.)
任務(wù)二　中點(diǎn)弦問題
問題2.已知橢圓的方程為＋＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，直線與橢圓相交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，弦AB的中點(diǎn)為M(x0，y0)，你能求出kOM·kAB的值嗎？
提示：將A(x1，y1)，B(x2，y2)代入橢圓方程得將兩式作差并整理得
＋＝0，
由弦AB的中點(diǎn)為M(x0，y0)，若x1≠x2，則＝－，即·＝－，從而kAB·＝－，即kAB·kOM＝－.
點(diǎn)差法：設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)后，代入橢圓的方程，將兩式相減，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三個(gè)未知量，這樣就聯(lián)系了中點(diǎn)坐標(biāo)和直線的斜率.
(一題多解)已知橢圓＋＝1的弦AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，1)，求直線AB的方程.
解：法一：易知直線AB的斜率k存在，
設(shè)所求直線的方程為y－1＝k(x－2)，
聯(lián)立直線與橢圓的方程，得方程組
化簡(jiǎn)、整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0，Δ＞0.
設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1，x2是上述方程的兩根，
于是x1＋x2＝.
又M為AB的中點(diǎn)，
所以＝＝2，解得k＝－.
故所求直線的方程為x＋2y－4＝0.
經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線滿足題意.
法二：設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2).
因?yàn)镸(2，1)為AB的中點(diǎn)，
所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
又A，B兩點(diǎn)在橢圓上，
則＋4＝16，＋4＝16，
兩式相減，得(－)＋4(－)＝0，
于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
所以＝－＝－＝－，
即kAB＝－.
故所求直線的方程為x＋2y－4＝0.
經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線滿足題意.
法三：設(shè)所求直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為A(x，y)，
由于AB的中點(diǎn)為M(2，1)，
則另一個(gè)交點(diǎn)為B(4－x，2－y).
因?yàn)锳，B兩點(diǎn)都在橢圓上，
所以
①－②，化簡(jiǎn)得x＋2y－4＝0.
顯然點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足這個(gè)方程，代入驗(yàn)證可知點(diǎn)B的坐標(biāo)也滿足這個(gè)方程，而過點(diǎn)A，B的直線只有一條，故所求直線的方程為x＋2y－4＝0.
涉及弦的中點(diǎn)，可以使用點(diǎn)差法：設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓、雙曲線或拋物線方程，兩式相減即得弦的中點(diǎn)坐標(biāo)與斜率的關(guān)系.
對(duì)點(diǎn)練2.(1)直線l與雙曲線－y2＝1交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)在直線y＝2x上，則直線AB的斜率為(　　)
A.4 B.2
C. D.
(2)(雙空題)已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F(1，0).直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)為(2，2)，則拋物線的方程為　　　　，直線l的方程為　　　　.
答案：(1)D　(2)y2＝4x　x－y＝0
解析：(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，線段AB的中點(diǎn)M(x0，y0)，由已知，A，B兩點(diǎn)在雙曲線上，所以·＝kAB·＝，因?yàn)辄c(diǎn)M(x0，y0)在直線y＝2x上，所以＝2，代入上式可得kAB＝，故直線AB的斜率為.故選D.
(2)由題意知，拋物線的方程為y2＝4x，設(shè)直線l與拋物線C的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有且x1≠x2，兩式相減得，－＝4(x1－x2)，因?yàn)锳B的中點(diǎn)為(2，2)，所以y1＋y2＝4，所以＝＝1，所以直線l的方程為y－2＝x－2，即x－y＝0.
任務(wù)三　弦長(zhǎng)的最值、范圍問題
在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率e＝，且點(diǎn)P(2，1)在橢圓C上.
(1)求橢圓C的方程；
(2)斜率為－1的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求｜AB｜的最大值.
解：(1)由題意得
所以橢圓C的方程為＋＝1.
(2)設(shè)直線AB的方程為y＝－x＋m，
聯(lián)立直線與橢圓的方程，得方程組
化簡(jiǎn)、整理得3x2－4mx＋2m2－6＝0，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1，x2是上述方程的兩根，
所以
所以｜AB｜＝｜x1－x2｜＝，
當(dāng)m＝0時(shí)，
滿足Δ＞0，｜AB｜max＝4.
[變式探究]
(變?cè)O(shè)問)本例條件不變，求△AOB面積的最大值.
解：由本例知｜AB｜＝，
原點(diǎn)到直線的距離d＝.
所以S△AOB＝··
＝≤ ·＝.
當(dāng)且僅當(dāng)m＝±時(shí)，等號(hào)成立，滿足Δ＞0，
所以△AOB面積的最大值為.
求與圓錐曲線有關(guān)的最值、范圍問題的方法
1.定義法：利用定義轉(zhuǎn)化為幾何問題處理.
2.數(shù)形結(jié)合法：利用數(shù)與形的結(jié)合，挖掘幾何特征，進(jìn)而求解.
3.函數(shù)法：探求函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，借助函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式等求解，注意橢圓的范圍.
對(duì)點(diǎn)練3.已知拋物線y2＝4x，其焦點(diǎn)為F.
(1)若點(diǎn)M(1，1)，求以M為中點(diǎn)的拋物線的弦所在的直線方程；
(2)若互相垂直的直線m，n都經(jīng)過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn)，求四邊形ACBD面積的最小值.
解：(1)因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線y2＝4x含焦點(diǎn)F的區(qū)域內(nèi)，所以中點(diǎn)弦所在的直線存在.
設(shè)所求直線交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
則＝4x1，＝4x2，y1＋y2＝2，
kPQ＝＝＝2(x1≠x2)，
所以所求直線方程為2x－y－1＝0.
(2)依題意知，直線m，n的斜率存在，設(shè)直線m的方程為y＝k(x－1)(k≠0)，與拋物線方程聯(lián)立，
得
消去y，化簡(jiǎn)、整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，Δ＞0，
設(shè)其兩根為x3，x4，則x3＋x4＝＋2.
由拋物線的定義可知，
｜AB｜＝2＋x3＋x4＝＋4，
同理｜CD｜＝4k2＋4，
所以四邊形ACBD的面積S＝(4k2＋4)·＝8≥32，
當(dāng)且僅當(dāng)k＝±1時(shí)取等號(hào)，故四邊形ACBD面積的最小值為32.
任務(wù)再現(xiàn) 1.弦長(zhǎng)公式.2.中點(diǎn)弦問題.3.弦長(zhǎng)的最值、范圍問題
方法提煉 數(shù)形結(jié)合、分類討論、基本不等式法
易錯(cuò)警示 容易忽略直線斜率不存在的情況
1.若直線y＝2(x－1)與橢圓＋＝1交于A，B兩點(diǎn)，則｜AB｜＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：由方程組消去y，整理得3x2－5x＝0，解得x1＝0，x2＝，分別代入y＝2(x－1)，得y1＝－2，y2＝.所以｜AB｜＝＝.故選D.
2.若直線2x－y－4＝0與拋物線y2＝6x交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的長(zhǎng)度為(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
解析：聯(lián)立消去y并整理得2x2－11x＋8＝0，Δ＝121－4×2×8＝57＞0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝4，所以｜AB｜＝·＝×＝.故選B.
3.過橢圓＋＝1的焦點(diǎn)的最長(zhǎng)弦和最短弦的長(zhǎng)分別為　　　　.
答案：4，3
解析：過橢圓焦點(diǎn)的最長(zhǎng)弦為長(zhǎng)軸，其長(zhǎng)度為2a＝4；最短弦為垂直于長(zhǎng)軸的弦，因?yàn)閏＝1，將x＝1代入＋＝1，得＋＝1，解得y2＝，即y＝±，所以最短弦的長(zhǎng)為2×＝3.
4.過點(diǎn)M(2，1)作斜率為1的直線，交雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，則該雙曲線的離心率為　　　　.
答案：
解析：設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有·＝，由已知＝1，x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，所以＝，又c2＝a2＋b2，所以＝，得＝.
課時(shí)分層評(píng)價(jià)20　直線與圓錐曲線的綜合問題
(時(shí)間：60分鐘　滿分：110分)
(1—9，每小題5分，共45分)
1.若橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的最短弦PQ的長(zhǎng)為10，△PF2Q的周長(zhǎng)為36，則此橢圓的離心率為(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：如圖所示，PQ為過F1且垂直于x軸的弦，則Q，△PF2Q的周長(zhǎng)為36，所以4a＝36，a＝9.由已知得＝5，即＝5，解得c＝6，所以＝，即e＝.故選C.
2.直線y＝x－1被橢圓2x2＋y2＝4所截得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：聯(lián)立直線與橢圓的方程，得方程組消去y得2x2＋(x－1)2＝4，即3x2－2x－3＝0，所以弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x＝×＝，代入直線方程y＝x－1中，得y＝－，所以弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是.故選A.
3.過橢圓x2＋2y2＝4的左焦點(diǎn)作傾斜角為的弦AB，則弦AB的長(zhǎng)為(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：易求直線AB的方程為y＝(x＋).由消去y并化簡(jiǎn)、整理，得7x2＋12x＋8＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－，x1x2＝.由弦長(zhǎng)公式，得｜AB｜＝·｜x1－x2｜＝×＝.故選C.
4.已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)與斜率為1的直線交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)為(4，1)，則C的離心率e等于(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2).因?yàn)椋?，－＝1，所以－＝0，又AB的中點(diǎn)為(4，1)，所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝2，所以＝.由題意知＝1，所以＝1，即＝，則C的離心率e＝＝.故選B.
5.已知F是橢圓＋＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，AB為過橢圓中心的一條弦，則△ABF面積的最大值為(　　)
A.6 B.12
C.15 D.20
答案：B
解析：由已知得a＝5，b＝3，c＝＝4，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則S△ABF＝｜OF｜｜y1－y2｜≤｜OF｜·2b＝×4×6＝12.故選B.
6.已知直線l過拋物線C的焦點(diǎn)F，且與C的對(duì)稱軸垂直，l與C交于A，B兩點(diǎn)，｜AB｜＝12，P為C的準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，則△ABP的面積為(　　)
A.60 B.45
C.36 D.18
答案：C
解析：不妨設(shè)拋物線的解析式為y2＝2px(p＞0)，則焦點(diǎn)為F，對(duì)稱軸為x軸，準(zhǔn)線為x＝－.如圖所示，過點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D.因?yàn)橹本€l經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，A，B是l與C的交點(diǎn)，又AB⊥x軸，所以｜AB｜＝2p＝12，所以p＝6.又因?yàn)辄c(diǎn)P在準(zhǔn)線上，所以｜DP｜＝＋＝p＝6，所以S△ABP＝｜DP｜·｜AB｜＝×6×12＝36.故選C.
7.已知雙曲線x2－y2＝m(m≠0)與直線y＝x交于A，B兩點(diǎn)，若｜AB｜＝2，則m＝　　　　.
答案：9
解析：聯(lián)立方程組得y2＝，由此得m＞0，y＝±，故x＝±2，｜AB｜＝2｜OA｜＝2＝2，解得m＝9.
8.過橢圓3x2＋4y2＝48的左焦點(diǎn)F作斜率為1的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則｜AB｜等于　　　　.
答案：
解析：由3x2＋4y2＝48，得＋＝1，所以a2＝16，b2＝12，c2＝4，所以F(－2，0)，直線l的方程為y＝x＋2.由得7x2＋16x－32＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－，x1x2＝－，所以｜AB｜＝·｜x1－x2｜＝×＝.
9.(雙空題)過點(diǎn)M(1，1)作斜率為－的直線與橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B，則直線AB的方程為　　　　　　；若M是線段AB的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率為　　　.
答案：x＋2y－3＝0　
解析：由題意可知，直線的點(diǎn)斜式方程為y－1＝－(x－1)，整理得x＋2y－3＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則因?yàn)镸是線段AB的中點(diǎn)，所以＝1，＝1.又＝－，①②兩式相減可得＋＝0，即＋×＝0，整理得a＝b，c＝＝b，所以e＝＝＝，即橢圓C的離心率為.
10.(13分)已知橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為M，且△MF1F2是面積為1的等腰直角三角形.
(1)求橢圓E的方程；
(2)若直線l：y＝－x＋m與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓與y軸相切，求m的值.
解：(1)由題意可得M(0，b)，F(xiàn)1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，
由△MF1F2是面積為1的等腰直角三角形得a2＝1，b＝c，且a2－b2＝c2，解得b＝c＝1，a＝，則橢圓E的方程為＋y2＝1.
(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
聯(lián)立得3x2－4mx＋2m2－2＝0，
有Δ＝16m2－12(2m2－2)＞0，即－＜m＜，
x1＋x2＝，x1x2＝，可得AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，｜AB｜＝·＝·＝，
因?yàn)橐訟B為直徑的圓與y軸相切，
所以可得半徑r＝｜AB｜＝｜｜，
即＝｜｜，解得m＝±∈(－，)，則m的值為±.
(11—13，每小題5分，共15分)
11.(多選題)若雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的實(shí)軸長(zhǎng)為6，焦距為10，右焦點(diǎn)為F，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A.雙曲線C的漸近線上的點(diǎn)到點(diǎn)F距離的最小值為4
B.雙曲線C的離心率為
C.雙曲線C上的點(diǎn)到點(diǎn)F距離的最小值為2
D.過點(diǎn)F的最短弦長(zhǎng)為
答案：ACD
解析：由題意知2a＝6，2c＝10，即a＝3，c＝5，因?yàn)閎2＝c2－a2，所以b2＝25－9＝16，解得b＝4，所以右焦點(diǎn)為F(5，0)，雙曲線C的漸近線方程為y＝±x.對(duì)于A，由點(diǎn)F向雙曲線C的漸近線作垂線時(shí)，垂線段的長(zhǎng)度即為C的漸近線上的點(diǎn)到點(diǎn)F距離的最小值，由點(diǎn)到直線的距離公式可得d＝＝4，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)閍＝3，c＝5，所以雙曲線C的離心率e＝＝，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)雙曲線C上的點(diǎn)為其右頂點(diǎn)(3，0)時(shí)，此時(shí)雙曲線C上的點(diǎn)到點(diǎn)F的距離最小為2，故C正確；對(duì)于D，過點(diǎn)F的最短弦為通徑，即＝，故D正確.故選ACD.
12.已知拋物線y2＝4x，過點(diǎn)P(4，0)的直線與拋物線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則＋的最小值是　　　　.
答案：32
解析：設(shè)直線AB的方程為x＝my＋4，代入y2＝4x得y2－4my－16＝0，Δ＞0，則y1＋y2＝4m，y1y2＝－16，所以＋＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16m2＋32，當(dāng)m＝0時(shí)，＋取最小值，最小值為32.
13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P(4，0)，點(diǎn)A，B在雙曲線C：－y2＝1上，且＝3，則直線AB的斜率為　　　　.
答案：±
解析：易知直線AB斜率為0時(shí)不符合題意，故設(shè)直線AB的方程為x＝my＋4.由得(m2－4)y2＋8my＋12＝0，m2－4≠0.易知Δ＞0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則①，因?yàn)椋?4－x1，－y1)，＝(x2－4，y2)，＝3，所以y1＝－3y2，代入①，得＝，化簡(jiǎn)得m2＝，所以m＝±.因此直線AB的斜率為＝±.
14.(15分)已知點(diǎn)A(m，4)(m＞0)在拋物線x2＝4y上，過點(diǎn)A作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線l1和l2，且l1，l2與拋物的另一個(gè)交點(diǎn)分別為B，C.
(1)求證：直線BC的斜率為定值；
(2)若拋物線上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線BC對(duì)稱，求｜BC｜的取值范圍.
解：(1)證明：因?yàn)辄c(diǎn)A(m，4)在拋物線上，
所以16＝m2，所以m＝±4，又m＞0，所以m＝4.
設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)，
則kAB＋kAC＝＋＝＋＝＝0，所以x1＋x2＝－8.
所以kBC＝＝＝＝－2，
所以直線BC的斜率為定值－2.
(2)設(shè)直線BC的方程為y＝－2x＋b，P(x3，y3)，Q(x4，y4)關(guān)于直線BC對(duì)稱，設(shè)PQ的中點(diǎn)為M(x0，y0)，則kPQ＝＝＝＝，
所以x0＝1.所以M(1，－2＋b).
又點(diǎn)M在拋物線內(nèi)部，所以－2＋b＞，即b＞.
由得x2＋8x－4b＝0，
所以x1＋x2＝－8，x1x2＝－4b.
所以｜BC｜＝｜x1－x2｜＝·
＝×.
又b＞，所以｜BC｜＞10.
所以｜BC｜的取值范圍為(10，＋∞).
15.(5分)(新情境)如圖所示，某市有相交于點(diǎn)O的一條東西走向的公路l與一條南北走向的公路m，有一商城A的部分邊界是橢圓的四分之一，這兩條公路為橢圓的對(duì)稱軸，橢圓的長(zhǎng)半軸在公路l上且長(zhǎng)為2，短半軸在公路m上且長(zhǎng)為1(單位：千米).根據(jù)市民建議，欲新建一條公路PQ，點(diǎn)P，Q分別在公路l，m上，且要求PQ與橢圓形商城A相切，當(dāng)公路PQ最短時(shí)，OQ為　　　　千米.
答案：
解析：以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，公路l，m所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，由題意設(shè)PQ所在直線的方程為y＝kx＋b，易得b＞1，－＞2，聯(lián)立x2＋2kbx＋b2－1＝0，則Δ＝(2kb)2－4(b2－1)＝0，即k2＝(b2－1).因?yàn)镻，Q(0，b)，所以｜PQ｜2＝＋b2＝＋b2＝＋b2＝4＋＋b2＝5＋＋(b2－1)≥5＋2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)b2－1＝，即b＝時(shí)取等號(hào)，即｜OQ｜＝千米.
16.(17分)已知點(diǎn)A(0，－2)，橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓E的方程；
(2)設(shè)過點(diǎn)A的直線l與橢圓E交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求直線l的方程.
解：(1)設(shè)點(diǎn)F(c，0)，
因?yàn)橹本€AF的斜率為，A(0，－2)，
所以＝，c＝.
又因?yàn)椋剑琤2＝a2－c2，
解得a＝2，b＝1，
所以橢圓E的方程為＋y2＝1.
(2)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由題意可知直線l的斜率存在，
設(shè)直線l的方程為y＝kx－2，
聯(lián)立消去y得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0，
Δ＝16(4k2－3)＞0，即k2＞，
x1＋x2＝，x1x2＝.
所以｜PQ｜＝＝·
＝.
又點(diǎn)O到直線l的距離d＝，
所以S△OPQ＝d｜PQ｜＝.
設(shè)＝t＞0，則4k2＝t2＋3.
所以S△OPQ＝＝≤＝1，
當(dāng)且僅當(dāng)t＝2，即＝2，k＝±時(shí)取等號(hào)，滿足k2＞，
所以△OPQ的面積最大時(shí)，直線l的方程為y＝x－2或y＝－x－2，
即x－2y－4＝0或x＋2y＋4＝0.
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4.2　直線與圓錐曲線的綜合問題
　
第二章　§4　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.進(jìn)一步掌握直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，培養(yǎng)直觀想象、 數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
2.掌握弦長(zhǎng)公式，會(huì)求解與弦長(zhǎng)有關(guān)的問題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算 的核心素養(yǎng).
3.會(huì)解決與圓錐曲線有關(guān)的焦點(diǎn)弦、中點(diǎn)弦問題，提升邏輯 推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
任務(wù)一　弦長(zhǎng)公式
問題導(dǎo)思
新知構(gòu)建
微提醒
典例
1
規(guī)律方法

返回
任務(wù)二　中點(diǎn)弦問題
問題導(dǎo)思
新知構(gòu)建
典例
2
規(guī)律方法
涉及弦的中點(diǎn)，可以使用點(diǎn)差法：設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓、雙曲線或拋物線方程，兩式相減即得弦的中點(diǎn)坐標(biāo)與斜率的關(guān)系.
√

(2)(雙空題)已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F(1，0).直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)為(2，2)，則拋物線的方程為　　　 　，直線l的方程為　　　 　.
y2＝4x
x－y＝0
返回
任務(wù)三　弦長(zhǎng)的最值、范圍問題
典例
3
規(guī)律方法
求與圓錐曲線有關(guān)的最值、范圍問題的方法
1.定義法：利用定義轉(zhuǎn)化為幾何問題處理.
2.數(shù)形結(jié)合法：利用數(shù)與形的結(jié)合，挖掘幾何特征，進(jìn)而求解.
3.函數(shù)法：探求函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，借助函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式等求解，注意橢圓的范圍.
課堂小結(jié)
任務(wù)再現(xiàn) 1.弦長(zhǎng)公式.2.中點(diǎn)弦問題.3.弦長(zhǎng)的最值、范圍問題
方法提煉 數(shù)形結(jié)合、分類討論、基本不等式法
易錯(cuò)警示 容易忽略直線斜率不存在的情況
返回
隨堂評(píng)價(jià)
√

√

4，3


返回
課時(shí)分層評(píng)價(jià)
√

√

√

√

√
√
6.已知直線l過拋物線C的焦點(diǎn)F，且與C的對(duì)稱軸垂直，l與C交于A，B兩點(diǎn)，｜AB｜＝12，P為C的準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，則△ABP的面積為
A.60 B.45
C.36 D.18

9

8.過橢圓3x2＋4y2＝48的左焦點(diǎn)F作斜率為1的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，
則｜AB｜等于　　.

x＋2y－3＝0

√
√
√

32

15.(5分)(新情境)如圖所示，某市有相交于點(diǎn)O的一條東西走向的公路l與一條南北走向的公路m，有一商城A的部分邊界是橢圓的四分之一，這兩條公路為橢圓的對(duì)稱軸，橢圓的長(zhǎng)半軸在公路l上且長(zhǎng)為2，短半軸在公路m上且長(zhǎng)為1(單位：千米).根據(jù)市民建議，欲新建一條公路PQ，點(diǎn)P，Q分別在公路l，m上，且要求PQ與橢圓形商城A相切，當(dāng)公路PQ最短時(shí)，OQ為　　千米.


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