資源簡介

§3　空間向量基本定理及空間向量運算的坐標表示
3.1　空間向量基本定理
學習目標 1.了解空間向量基本定理及其意義，并會用基向量表示空間向量.　2.初步體會利用空間向量基本定理求解立體幾何問題的方法，提升直觀想象、數學運算、邏輯推理的核心素養.
任務一　空間向量基本定理
問題.如圖，設a，b，c是空間中三個兩兩垂直的向量，且表示它們的有向線段有公共起點O，對于任意一個空間向量p＝，p能否用a，b，c表示呢？
提示：如圖所示，設在a，b所確定的平面上的投影向量，則＝＋.又向量，c共線，因此存在唯一的實數z，使得＝zc，從而＝＋zc.在a，b確定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序實數對(x，y)，使得＝xa＋yb.從而＝＋zc＝xa＋yb＋zc.
1.空間向量基本定理
(1)條件：如果向量a，b，c是空間三個不共面的向量，p是空間任意一個向量.
(2)結論：存在唯一的三元有序實數組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
2.基
(1)條件：三個向量a，b，c不共面.
(2)結論：{a，b，c}叫作空間向量的一組基.其中a，b，c都叫作基向量.
[微提醒]　(1)空間任意三個不共面的向量都可構成空間向量的一組基.基選定后，空間的所有向量均可由基唯一表示；不同基下，同一向量的表達式也有可能不同.(2)一組基是一個向量組，一個基向量是指基中的某一個向量，二者是相關聯的不同概念.(3)由于零向量與任意一個非零向量共線，與任意兩個不共線的非零向量共面，所以若三個向量不共面，就說明它們都不是零向量.
若{a，b，c}是空間向量的一組基，試判斷{a＋b，b＋c，c＋a}能否作為空間向量的一組基.
解：假設a＋b，b＋c，c＋a共面，則存在實數λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，即a＋b＝μa＋λb＋(λ＋μ)c.
因為{a，b，c}是空間向量的一組基，
所以a，b，c不共面，
所以方程組無解.
即不存在實數λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，
所以a＋b，b＋c，c＋a不共面.
故{a＋b，b＋c，c＋a}能作為空間向量的一組基.
判斷一組基的基本思路和注意問題
1.基本思路：判斷三個空間向量是否共面，若共面，則不能構成一組基；若不共面，則能構成一組基.
2.注意問題：對于三個向量，若其中存在零向量，則這組向量不能作為一組基；若其中存在一個向量可以用另外的向量線性表示，則不能構成一組基.
對點練1.{e1，e2，e3}是空間向量的一組基，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，試判斷{，，}能否作為空間向量的一組基.
解：假設，，共面，由向量共面的充要條件知，存在實數x，y，使＝x＋y成立，
所以e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)，
即e1＋2e2－e3＝(y－3x)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.
因為{e1，e2，e3}是空間向量的一組基，所以e1，e2，e3不共面，
所以此方程組無解.
即不存在實數x，y，使得＝x＋y，
所以，，不共面.
所以{，，}能作為空間向量的一組基.
任務二　用基向量表示空間向量
如圖，在三棱柱ABC-A'B'C'中，已知＝a，＝b，＝c，點M，N分別是BC'，B'C'的中點，試用a，b，c表示向量，.
解：＝＋＝＋＋)＝＋＋
＝＋－)＋＝＋＋＝(a＋b＋c).
連接A'N(圖略).
＝＋＝＋＋)
＝＋＋)＝a＋b＋c.
[變式探究]
(變條件)若把本例中的“＝a”改為“＝a”，其他條件不變，則結果是什么？
解：因為M為BC'的中點，N為B'C'的中點，
所以＝＋)＝a＋b.
＝＋)＝＋＋)
＝＋＋
＝＋－)＋
＝＋－＝a＋b－c.
用基向量表示空間向量的步驟
第一步(定基)：根據已知條件，確定三個不共面的向量構成空間向量的一組基；
第二步(找目標)：用確定的基(或已知基)表示目標向量，需要根據三角形法則及平行四邊形法則，結合相等向量的代換、向量的運算進行變形、化簡，最后求出結果；
第三步(下結論)：利用空間向量的一組基{a，b，c}可以表示出空間所有向量.表示要徹底，結果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量.
對點練2.(一題多解)已知矩形ABCD，P為平面ABCD外一點，M，N分別為PC，PD上的點，且M分PC為PM∶MC＝2，N為PD的中點，求滿足＝x＋y＋z的實數x，y，z的值.
解：法一：如圖所示，取PC的中點E，
連接NE，則＝－.
因為＝＝＝－，
＝－＝－＝，
連接AC，則＝－＝＋－，
所以＝－－＋－)
＝－－＋，
因為，，不共面，
所以x＝－，y＝－，z＝.
法二：＝－＝－＝＋)－＋)＝－＋－(－＋＋)＝－－＋，
因為，，不共面，
所以x＝－，y＝－，z＝.
任務三　四點共面問題
已知A，B，C三點不共線，對平面ABC外的任一點O，若點M滿足＝＋＋.
(1)判斷，，三個向量是否共面；
(2)判斷點M是否在平面ABC內.
解：(1)因為＝＋＋，
所以＋＋＝3，
所以－＝(－)＋(－)，
所以＝＋＝－－，
所以向量，，共面.
(2)由(1)知向量，，共面，又這三個向量有公共點M，所以M，A，B，C共面，即點M在平面ABC內.
解決向量共面問題的策略
1.若已知點P在平面ABC內，則有＝x＋y＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系數法求出參數.
2.證明三個向量共面(或四點共面)，需利用共面向量定理，證明過程中要靈活進行向量的分解與合成，將其中一個向量用另外兩個不共線的向量來表示.
對點練3.如圖，在空間四邊形ABCD中，H，G分別是AD，CD的中點，E，F分別是邊AB，BC上的點，且＝＝，＝a，＝b，＝c.
(1)求(用向量a，b，c表示)；
(2)求證：點E，F，G，H四點共面.
解：(1)因為＝＋＋＝－＋＋＝－－＋＝－－，
所以＝a－b－c.
(2)證明：由(1)知＝a－b－c，
因為＝＝，所以EF＝AC，且FE∥AC，
即＝＝a，＝＋＝－－＝－b－c，
所以＝＋，又這三個向量有公共點F，所以點E，F，G，H四點共面.
任務 再現 1.空間向量基本定理.2.用基向量表示空間向量.3.四點共面問題
方法 提煉 基向量法、數形結合思想、轉化與化歸思想
易錯 警示 忽視基向量的條件；利用基向量表示向量時，沒有轉化目標，不理解空間向量基本定理的意義
1.設p：a，b，c是三個非零向量；q：{a，b，c}為空間向量的一組基，則p是q的(　　 )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
答案：B
解析：當非零向量a，b，c不共面時，{a，b，c}可以作為基，否則不能作為基.當{a，b，c}為基時，一定有a，b，c為非零向量.因此p / q，q p.故選B.
2.(多選題)下列條件中，使M與A，B，C一定共面的是(　　 )
A.＝3－－
B.＝＋＋
C.＋＋＝0
D.＋＋＋＝0
答案：AC
解析：A選項中，3－1－1＝1，四點共面，C選項中，＝－－，則點M，A，B，C共面.故選AC.
3.(雙空題)已知空間向量的一組基{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m與n共線，則x＝　　　　　　　，
y＝　　　　.
答案：1　－1
解析：因為m與n共線，所以存在實數λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，于是有
4.如圖，在正四面體P-ABC中，M，N分別為PA，BC的中點，D是線段MN上一點，且ND＝2DM，若＝x＋y＋z，則x＋y＋z的值為　　　　.
答案：
解析：由題意得＝＋＝＋＝＋－)＝＋＋－)＝＋＋，所以x＝，y＝z＝，所以x＋y＋z＝.
課時分層評價24　空間向量基本定理
(時間：60分鐘　滿分：110分)
(1—9，每小題5分，共45分)
1.已知O，A，B，C為空間四點，且向量，，不能構成空間向量的一組基，則(　　 )
A.，，共線 B.，共線
C.，共線 D.O，A，B，C四點共面
答案：D
解析：由，，不能構成一組基知，，，三向量共面，所以一定有O，A，B，C四點共面.故選D.
2.(多選題)給出下列命題，其中是真命題的是(　　 )
A.若{a，b，c}可以作為空間向量的一組基，d與c共線，c≠0，d≠0，則{a，b，d}也可以作為空間向量的一組基
B.已知向量a∥b，則a，b與任何向量都不能構成空間向量的一組基
C.已知A，B，M，N是空間中的四點，若{，，}不能構成空間向量的一組基，則A，B，M，N四點共面
D.若a，b是兩個不共線的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，則{a，b，c}能構成空間向量的一組基
答案：ABC
解析：對于A，假設d與a，b共面，則存在實數λ，μ，使得d＝λa＋μb，因為d與c共線，c≠0，所以存在實數k，使得d＝kc，因為d≠0，所以k≠0，從而c＝a＋b，所以c與a，b共面，與已知條件矛盾，所以d與a，b不共面，故A是真命題；對于B，根據基的概念，知空間中任意三個不共面的向量都可作為空間向量的一組基，顯然B是真命題；對于C，由，，有公共點B，所以A，B，M，N四點共面，故C是真命題；對于D，因為a，b，c共面，所以{a，b，c}不能構成空間向量的一組基，故D錯誤.故選ABC.
3.已知{a，b，c}是空間向量的一組基，p＝a＋b，q＝a－b，一定可以與向量p，q構成空間向量的另一組基的是(　　 )
A.a B.b
C.c D.p－2q
答案：C
解析：因為a，b，c不共面，所以p，q，c不共面.若存在x，y∈R，使c＝xp＋yq＝(x＋y)a＋(x－y)b成立，則a，b，c共面，這與已知{a，b，c}是空間向量的一組基矛盾，故p，q，c不共面.故選C.
4.如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，點O為空間內任意一點，設＝a，＝b，＝c，則向量可用a，b，c表示為(　　 )
A.a－b＋2c B.a－b－2c
C.－a＋b＋c D.a－b＋c
答案：D
解析：＝＋＝＋＝＋－)＝a－b＋c.故選D.
5.已知A，B，C三點不共線，O是平面ABC外一點，下列條件中能確定點M與點A，B，C一定共面的是(　　 )
A.＝＋＋
B.＝＋2＋3
C.＝＋＋
D.＝＋＋
答案：D
解析：由＝＋＋，得－＝－)＋－)，即＝＋，所以A，B，C，M四點共面.故選D.
6.若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1－e2－e3，c＝e1＋e2，d＝e1＋2e2＋3e3(e1，e2，e3為空間向量的一組基)且d＝xa＋yb＋zc，則x，y，z的值分別為(　　 )
A.，－，－1 B.，，1
C.－，，1 D.，－，1
答案：A
解析：d＝xa＋yb＋zc＝(x＋y＋z)e1＋(x－y＋z)e2＋(x－y)e3.又因為d＝e1＋2e2＋3e3，所以故選A.
7.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F分別是底面A1C1和側面CD1的中心，若＋λ＝0(λ∈R)，則λ＝　　　　.
答案：－
解析：如圖所示，連接A1C1，C1D，則E在A1C1上，F在C1D上，易知EF＝A1D，所以＝，即－＝0，所以λ＝－.
8.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，用{，，}作為空間向量的一組基，則＝　　　　　　　.
答案：＋＋)
解析：因為2＝2＋2＋2＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝＋＋，所以＝＋＋).
9.(一題多解)已知A，B，C三點不共線，O是平面ABC外的任意一點，若點P在平面ABC內，且＝＋＋m，則實數m＝　　　　.
答案：
解析：法一：＝－＋＋m－＋－m＋m＝＋－)＋m(－)＋＋m－＝＋＋m＋，即＝＋m＋，由共面向量定理可得m－＝0，故m＝.
法二：因為點P在平面ABC內，O是平面ABC外的任意一點，所以＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1，利用此結論可得＋＋m＝1，解得m＝.
10.(13分)如圖，已知平行六面體OABC-O'A'B'C'，且＝a，＝b，＝c.
(1)用a，b，c表示向量；
(2)設G，H分別是側面BB'C'C和O'A'B'C'的中心，用a，b，c表示.
解：(1)＝＋＝－＋＝b＋c－a.
(2)＝＋＝－＋＝－＋)＋＋)
＝－＋＝(c－b).
(11—13，每小題5分，共15分)
11.(多選題)設x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空間的一組基，則能作為空間一組基的向量組是(　　 )
A.{x，y，z} B.{x，y，a}
C.{b，c，z} D.{a，b，x}
答案：ABC
解析：如圖所示，作平行六面體ABCD-A1B1C1D1，使＝a，＝b，＝c，則＝x，＝y，＝z，由平行六面體的性質知：向量x，y，z不共面；向量x，y，a不共面；向量b，c，z不共面.又由x＝a＋b可知，向量a，b，x共面.故選ABC.
12.在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，F為棱DD1的中點，E為棱BB1上一點.記＝x＋y＋z，若x＋y＋z＝，則＝　　　　　.
答案：
解析：如圖所示，設＝λ，因為＝＋＋＋＝－λ－＋＋＝－λ－＋＋＝－＋＋，又已知＝x＋y＋z，所以x＝－1，y＝1，z＝－λ.又因為x＋y＋z＝－λ＝，所以λ＝.
13.(新角度)在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為正方體內一動點(包括表面)，若＝x＋y＋z，且0≤x≤y≤z≤1.則點P所有可能的位置所構成的幾何體的體積是　　　　；表面積是　　　　.
答案：　1＋
解析：根據向量加法的幾何意義和空間向量基本定理，滿足0≤x≤y≤1的點P在三棱柱ACD-A1C1D1內，滿足0≤y≤z≤1的點P在三棱柱AA1D1-BB1C1內，故同時滿足0≤x≤y≤1和0≤y≤z≤1的點P在這兩個三棱柱的公共部分(如圖)，即三棱錐A-A1C1D1內，其體積是 × ×1×1×1＝，其表面積是2××1×1＋2××1×＝1＋.
14.(15分)如圖，在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC與BD交于點O，EC⊥底面ABCD，F為BE的中點.
(1)求證：DE∥平面ACF；
(2)求證：BD⊥AE；
(3)若AB＝CE，在線段EO上是否存在點G，使CG⊥平面BDE？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
解：(1)證明：設＝a，＝b，＝c，則{a，b，c}構成空間向量的一組基，且｜a｜＝｜b｜，a·b＝b·c＝c·a＝0.
依題意得＝－＝c－b，＝＋＝a＋b，＝＋)＝a＋c.
設＝x＋y(x，y∈R)，則c－b＝x(a＋b)＋y＝a＋xb＋yc，
因此
又不共線，所以，，共面.
又直線DE不在平面ACF內，
所以DE∥平面ACF.
(2)證明：依題意得＝＋＝b－a，＝＋＝＋＋＝－a－b＋c＝c－a－b，
則·＝(b－a)·(c－a－b)＝－b2＋a2＝0，
因此⊥，從而BD⊥AE.
(3)由AB＝CE，設｜a｜＝｜b｜＝2，則｜c｜＝，
假設在線段EO上存在點G，使CG⊥平面BDE.
由O，G，E三點共線，設＝(1－λ)＋λ＝λa＋λb＋(1－λ)c(0≤λ≤1)，
則一定有CG⊥DE，而＝c－b，
所以·＝·(c－b)＝(1－λ)c2－λb2＝2－4λ＝0，解得λ＝，
易知CG⊥BD，所以點G是線段EO的中點時，滿足題意，此時＝.
15.(5分)已知四面體O-ABC，G1是△ABC的重心，G是OG1上一點，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，則(x，y，z)為(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：如圖所示，連接AG1并延長，交BC于點E，則點E為BC的中點，所以＝＋)＝－2＋)，＝＝－2＋)，因為＝3，所以＝＝＋)＝＝＋＋.所以x＝，y＝，z＝.故選A.
16.(17分)如圖，在三棱錐P-ABC中，點G為△ABC的重心，點M在PG上，且PM＝3MG，過點M任意作一個平面分別交線段PA，PB，PC于點D，E，F，若＝m，＝n，＝t，求證：＋＋為定值，并求出該定值.
證明：連接AG并延長交BC于點H，連接DM(圖略).
由題意，可令{，，}為空間的一組基，
則＝＝＋)＝＋×＝＋×＋)＝＋－)＋－)＝＋＋.
因為點D，E，F，M共面，
所以存在實數λ，μ使得＝λ＋μ，
即－＝λ(－)＋μ(－)，
所以＝(1－λ－μ)＋λ＋μ＝(1－λ－μ)m＋λn＋μt，
由空間向量基本定理，
知＝(1－λ－μ)m，＝λn，＝μt，
所以＋＋＝4(1－λ－μ)＋4λ＋4μ＝4，
即＋＋為定值，定值為4.
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3.1　空間向量基本定理
　
第三章　§3　空間向量基本定理及空間向量運算的坐標表示
學習目標
1.了解空間向量基本定理及其意義，并會用基向量表示空間 向量.
2.初步體會利用空間向量基本定理求解立體幾何問題的方 法，提升直觀想象、數學運算、邏輯推理的核心素養.
任務一　空間向量基本定理
問題導思
新知構建
1.空間向量基本定理
(1)條件：如果向量a，b，c是空間三個不共面的向量，p是空間任意一個
向量.
(2)結論：存在______的三元有序實數組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
2.基
(1)條件：三個向量a，b，c________.
(2)結論：_________叫作空間向量的一組基.其中a，b，c都叫作________.
唯一
不共面
{a，b，c}
基向量
微提醒
(1)空間任意三個不共面的向量都可構成空間向量的一組基.基選定后，空間的所有向量均可由基唯一表示；不同基下，同一向量的表達式也有可能不同.(2)一組基是一個向量組，一個基向量是指基中的某一個向量，二者是相關聯的不同概念.(3)由于零向量與任意一個非零向量共線，與任意兩個不共線的非零向量共面，所以若三個向量不共面，就說明它們都不是零向量.
典例
1
規律方法
判斷一組基的基本思路和注意問題
1.基本思路：判斷三個空間向量是否共面，若共面，則不能構成一組基；若不共面，則能構成一組基.
2.注意問題：對于三個向量，若其中存在零向量，則這組向量不能作為一組基；若其中存在一個向量可以用另外的向量線性表示，則不能構成一組基.
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任務二　用基向量表示空間向量
典例
2
規律方法
用基向量表示空間向量的步驟
第一步(定基)：根據已知條件，確定三個不共面的向量構成空間向量的一組基；
第二步(找目標)：用確定的基(或已知基)表示目標向量，需要根據三角形法則及平行四邊形法則，結合相等向量的代換、向量的運算進行變形、化簡，最后求出結果；
第三步(下結論)：利用空間向量的一組基{a，b，c}可以表示出空間所有向量.表示要徹底，結果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量.
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任務三　四點共面問題
典例
3
規律方法

課堂小結
任務再現 1.空間向量基本定理.2.用基向量表示空間向量.3.四點共面問題
方法提煉 基向量法、數形結合思想、轉化與化歸思想
易錯警示 忽視基向量的條件；利用基向量表示向量時，沒有轉化目標，不理解空間向量基本定理的意義
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隨堂評價
√
1.設p：a，b，c是三個非零向量；q：{a，b，c}為空間向量的一組基，則p是q的
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
當非零向量a，b，c不共面時，{a，b，c}可以作為基，否則不能作為基.當{a，b，c}為基時，一定有a，b，c為非零向量.因此p q，q p.故選B.
/
√
√
3.(雙空題)已知空間向量的一組基{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m與n共線，則x＝　　，y＝　　　.
1
－1


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課時分層評價
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√
因為a，b，c不共面，所以p，q，c不共面.若存在x，y∈R，使c＝xp＋yq＝(x＋y)a＋(x－y)b成立，則a，b，c共面，這與已知{a，b，c}是空間向量的一組基矛盾，故p，q，c不共面.故選C.
√

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11.(多選題)設x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空間的一組基，則能作為空間一組基的向量組是
A.{x，y，z} B.{x，y，a}
C.{b，c，z} D.{a，b，x}



√

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