資源簡介

3.2　空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示及應(yīng)用
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示，提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).　2.掌握空間向量垂直與平行的條件及其應(yīng)用；掌握空間向量的模、夾角以及兩點(diǎn)間的距離公式，能運(yùn)用公式解決問題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
任務(wù)一　空間向量的坐標(biāo)
問題1.平面向量的坐標(biāo)是如何定義的？
提示：如圖所示，已知a＝，P(x，y)，令i，j分別為平面直角坐標(biāo)系中x軸，y軸正方向上的單位向量.＝＋＝xi＋yj，即a＝xi＋yj，有序?qū)崝?shù)對(x，y)叫作向量a的坐標(biāo)，記作a＝(x，y)，有序?qū)崝?shù)對(x，y)一一對應(yīng)坐標(biāo)平面內(nèi)的向量.
1.標(biāo)準(zhǔn)正交基
在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，分別沿x軸、y軸、z軸正方向作單位向量i，j，k，這三個互相垂直的單位向量就構(gòu)成空間向量的一組基{i，j，k}，這組基叫作標(biāo)準(zhǔn)正交基.
2.空間向量的坐標(biāo)
根據(jù)空間向量基本定理，對于任意一個向量p，都存在唯一的三元有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xi＋yj＋zk，反之，任意給出一個三元有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，也可找到唯一的一個向量p＝xi＋yj＋zk與之對應(yīng).這樣，就在空間向量與三元有序?qū)崝?shù)組之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，把三元有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫作向量p在標(biāo)準(zhǔn)正交基{i，j，k}下的坐標(biāo)，記作p＝(x，y，z)，單位向量i，j，k都叫作坐標(biāo)向量，xi，yj，zk實(shí)際上分別是向量p在i，j，k方向上所作的投影向量，x，y，z分別是向量p在i，j，k方向上的投影數(shù)量.
[微提醒]　(1)｜i｜＝｜j｜＝｜k｜＝1，i·j＝0，j·k＝0，i·k＝0.(2)在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，若＝p，則＝xi＋yj＋zk，所以＝(x，y，z)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y，z).
已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝4，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求向量，，的坐標(biāo).
解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)＝i，＝j(luò)，＝k，則＝4i＋0j＋0k＝(4，0，0)，＝＋＝0i＋4j＋4k＝(0，4，4)，
＝＋＝＋＋＝－4i＋4j＋4k＝(－4，4，4).
向量坐標(biāo)的求法
1.點(diǎn)A的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)形式完全相同(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
2.起點(diǎn)不是原點(diǎn)的向量的坐標(biāo)可以通過向量的運(yùn)算求得.
對點(diǎn)練1.如圖，以長方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，過D的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，若的坐標(biāo)為(4，3，2)，則C1的坐標(biāo)是(　　 )
A.(0，3，2) B.(0，4，2)
C.(4，0，2) D.(2，3，4)
答案：A
解析：因?yàn)榈淖鴺?biāo)為(4，3，2)，D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以B1的坐標(biāo)為(4，3，2)，所以BC＝4，DC＝3，CC1＝2，所以C1的坐標(biāo)為(0，3，2).故選A.
任務(wù)二　空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示
問題2.平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示：設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)(λ∈R)，a·b＝x1x2＋y1y2.你能由平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示類比得到空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示嗎？它們是否成立？為什么？
提示：能表示.空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示與平面向量的坐標(biāo)表示完全一致.即設(shè)向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，那么a±b＝(x1±x2，y1±y2，z1±z2)，λa＝(λx1，λy1，λz1)(λ∈R)，a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.
1.設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x1，y1，z1)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x2，y2，z2)，則＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1).即一個向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo).
2.空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算
設(shè)向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，那么
向量運(yùn)算 向量表示 坐標(biāo)表示
加法 a＋b (x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)
減法 a－b (x1－x2，y1－y2，z1－z2)
數(shù)乘 λa (λx1，λy1，λz1)，λ∈R
數(shù)量積 a·b x1x2＋y1y2＋z1z2
已知空間四點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)分別是(－1，2，1)，(1，3，4)，(0，－1，4)，(2，－1，－2).若p＝，q＝，求下列各式的值：
(1)p＋2q；
(2)3p－q；
(3)(p－q)·(p＋q).
解：由于A(－1，2，1)，B(1，3，4)，C(0，－1，4)，D(2，－1，－2)，
所以p＝＝(2，1，3)，q＝＝(2，0，－6).
(1)p＋2q＝(2，1，3)＋2(2，0，－6)＝(6，1，－9).
(2)3p－q＝3(2，1，3)－(2，0，－6)
＝(6，3，9)－(2，0，－6)＝(4，3，15).
(3)(p－q)·(p＋q)＝p2－q2＝｜p｜2－｜q｜2
＝(22＋12＋32)－[22＋02＋(－6)2]＝－26.
空間向量坐標(biāo)運(yùn)算的規(guī)律
1.由點(diǎn)的坐標(biāo)求向量坐標(biāo)：空間向量的坐標(biāo)可由其兩個端點(diǎn)的坐標(biāo)確定.
2.直接計算問題：首先將空間向量用坐標(biāo)表示出來，然后代入公式計算.
3.由條件求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)：把向量坐標(biāo)形式設(shè)出來，通過解方程(組)，求出其坐標(biāo).對點(diǎn)練2.已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1，4).
求a＋b，a－b，a·b，(2a)·(－b)，(a＋b)·(a－b).
解： a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2，2)；
a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1，4)＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2，0，－6)；
a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1，4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7；
(2a)·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14；
(a＋b)·(a－b)＝(2，－2，2)·(2，0，－6)＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8.
任務(wù)三　空間向量平行(共線)和垂直的條件
問題3.如何用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算刻畫平面向量的平行和垂直？這個結(jié)論在空間向量還成立嗎？
提示：如果設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，當(dāng)b≠0時，a∥b λ∈R，使得當(dāng)b與兩個坐標(biāo)軸都不平行(即x2y2≠0)時，a∥b ＝.a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
上述充要條件在空間中仍成立，設(shè)向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，當(dāng)b≠0時，a∥b λ∈R，使得當(dāng)b與三個坐標(biāo)平面都不平行(即x2y2z2≠0)時，a∥b ＝＝.a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.
設(shè)向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2).
(1)當(dāng)b≠0時，a∥b λ∈R，使得
(2)當(dāng)b與三個坐標(biāo)平面都不平行(即x2y2z2≠0)時，a∥b ＝＝.
(3)a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.
[微提醒]　(1)要證明a⊥b，就是證明a·b＝0；要證明a∥b，就是證明a＝λb(b≠0). (2)若a∥b，則＝＝成立的條件是x2·y2·z2≠0.
已知空間三點(diǎn)A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，設(shè)＝a，＝b.
(1)設(shè)向量c＝，試判斷2a－b與c是否平行；
(2)若ka＋b與ka－2b互相垂直，求k的值.
解：(1)因?yàn)閍＝＝(1，1，0)，b＝＝(－1，0，2)，所以2a－b＝(3，2，－2).
又c＝，
所以2a－b＝－2c，所以(2a－b)∥c.
(2)因?yàn)閍＝＝(1，1，0)，b＝＝(－1，0，2)，
所以ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4).
又因?yàn)?ka＋b)⊥(ka－2b)，
所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，
即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0，
解得k＝2或k＝－.
[變式探究]
(變條件)將本例(2)中“若ka＋b與ka－2b互相垂直”改為“若ka＋b與a＋kb相互平行”，其他條件不變，求k的值.
解：因?yàn)閍＝(－1＋2，1－0，2－2)＝(1，1，0)，
b＝(－3＋2，0－0，4－2)＝(－1，0，2)，
所以ka＋b＝(k，k，0)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，2)，
a＋kb＝(1，1，0)＋(－k，0，2k)＝(1－k，1，2k).
因?yàn)閗a＋b與a＋kb平行，所以ka＋b＝λ(a＋kb)，
即(k－1，k，2)＝λ(1－k，1，2k)，
所以
所以k＝－1或k＝1.
判斷兩向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要條件；已知兩向量平行或垂直求參數(shù)值，則利用平行、垂直的充要條件，將位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，列方程(組)求解.
對點(diǎn)練3.已知a＝(λ＋1，1，2λ)，b＝(6，2m－1，2).
(1)若a∥b，分別求λ與m的值；
(2)若λ＜0，且a與c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a.
解：(1)因?yàn)閍∥b，所以設(shè)(λ＋1，1，2λ)＝k(6，2m－1，2)，
所以
所以λ＝，m＝3.
(2)因?yàn)閍⊥c，
所以2(λ＋1)－2λ×1－λ×2λ＝0，
化簡得2－2λ2＝0，解得λ＝±1，又λ＜0，所以λ＝－1.
因此a＝(0，1，－2).
任務(wù)四　空間向量長度與夾角的坐標(biāo)表示
問題4.已知空間三點(diǎn)A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5).
(1)如何求，的模與〈，〉的大小？
(2)在空間中，如何利用向量求△ABC的面積？
提示：(1)因?yàn)椋?－2，1，6)－(0，2，3)＝(－2，－1，3)，＝(1，－3，2)，所以＝＝，＝＝，由夾角公式得cos 〈，〉＝＝＝，又〈，〉∈[0，π]，所以〈，〉＝60°.
(2)S＝｜｜｜｜sin〈，〉＝×××＝.
設(shè)向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根據(jù)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示，有
(1)｜a｜＝＝.
若點(diǎn)A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，則｜AB｜＝｜｜＝.
(2)cos〈a，b〉＝＝(a≠0，b≠0).
如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分別是AA1，CB1的中點(diǎn).
(1)求｜｜，｜｜；
(2)求△BMN的面積.
解：以C為原點(diǎn)，以CA，CB，CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.
則B(0，1，0)，M(1，0，1)，N(0，，1).
(1)因?yàn)椋?1，－1，1)，＝，
所以｜｜＝＝，｜｜＝＝.
(2)S△BMN＝·BM·BN·sin∠MBN.
因?yàn)閏os∠MBN＝cos〈，〉＝＝＝，
所以sin∠MBN＝＝，
故S△BMN＝×××＝.
即△BMN的面積為.
1.空間中的距離和夾角問題可轉(zhuǎn)化為向量的模與夾角問題求解.這體現(xiàn)了向量的工具作用.引入坐標(biāo)運(yùn)算，可使解題過程程序化.
2.平行四邊形面積的計算公式：＝.
對點(diǎn)練4.已知空間三點(diǎn)A(1，2，3)，B(2，－1，5)，C(3，2，－5).求：
(1)向量，的模；
(2)向量，夾角的余弦值.
解：(1)因?yàn)椋?2，－1，5)－(1，2，3)＝(1，－3，2)，＝(3，2，－5)－(1，2，3)＝(2，0，－8)，
所以｜｜＝＝，｜｜＝＝2.
(2)因?yàn)椤ぃ?1，－3，2)·(2，0，－8)＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，
所以cos〈，〉＝＝＝－.
因此，向量，夾角的余弦值為－.
任務(wù)五　空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示的綜合運(yùn)用
(鏈教材P115例4)在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是DD1，BD，BB1的中點(diǎn).
(1)求證：⊥；
(2)求cos〈，〉的值；
(3)求｜｜.
解：(1)證明：以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
則D(0，0，0)，E，C(0，1，0)，F(xiàn)，G，
所以＝，＝，
因?yàn)椤ぃ健粒粒?＝0，
所以⊥.
(2)由(1)得，＝，＝，
因?yàn)椤ぃ健?＋×0＋×＝，
｜｜＝＝，｜｜＝＝，
所以cos〈，〉＝＝＝.
(3)由(1)得，＝，則｜｜＝＝.
利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算的一般步驟
第一步，建系：根據(jù)題目中的幾何圖形建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；
第二步，求坐標(biāo)：(1)求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)寫出向量的坐標(biāo)；
第三步，計算：結(jié)合公式進(jìn)行計算；
第四步，轉(zhuǎn)化：轉(zhuǎn)化為夾角與距離問題.
對點(diǎn)練5.如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝a，AD＝2，SA＝1，且SA⊥底面ABCD，若邊BC上存在異于B，C的一點(diǎn)P使得PS⊥PD.
(1)求a的最大值；
(2)當(dāng)a取得最大值時，求異面直線AP與SD所成角的余弦值.
解：如圖所示，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AS所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)BP＝x(0＜x＜2)，則A(0，0，0)，S(0，0，1)，D(0，2，0)，P(a，x，0)，
所以＝(－a，－x，1)，＝(－a，2－x，0).
(1)因?yàn)镻S⊥PD，所以·＝0，
所以a2－x(2－x)＝0，即a2＝－(x－1)2＋1，
所以當(dāng)x＝1時，a取得最大值1.
(2)由(1)知，當(dāng)a取得最大值1時，＝(1，1，0)，＝(0，2，－1)，
所以cos 〈，〉＝＝，
即異面直線AP與SD所成角的余弦值為.
任務(wù) 再現(xiàn) 1.空間向量的坐標(biāo).2.空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示.3.空間向量平行(共線)和垂直的條件.4.空間向量長度與夾角的坐標(biāo)表示.5.空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示的綜合運(yùn)用
方法 提煉 類比法、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想
易錯 警示 由兩向量共線直接得到兩向量對應(yīng)坐標(biāo)的比相等；建系后書寫點(diǎn)的坐標(biāo)出錯；空間角與向量的夾角轉(zhuǎn)化時忽略范圍的不同
1.已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3，2)，則下列結(jié)論正確的是(　　 )
A.a＋b＝(10，－5，－6) B.a－b＝(2，－1，－6)
C.a·b＝10 D.｜a｜＝6
答案：D
解析：因?yàn)閍＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3，2)，所以a＋b＝(10，－5，－2)，故A錯誤；a－b＝(－2，1，－6)，故B錯誤；a·b＝24＋6－8＝22，故C錯誤；｜a｜＝＝6，故D正確.故選D.
2.(多選題)已知a＝，b＝，c＝，則下列結(jié)論錯誤的是(　　 )
A.b∥c B.a∥b
C.a⊥b D.a⊥c
答案：ABD
解析：對于A，由向量b＝，c＝(－4，－6，2)，可得≠≠，所以向量b與c不共線，故A不正確；對于B，由向量a＝，b＝，可得≠≠，所以向量a與b不共線，故B不正確；對于C，由向量a＝，b＝，可得a·b＝2×2＋3×0＋(－1)×4＝0，所以a⊥b，故C正確；對于D，由a＝，c＝，可得a·c＝2×(－4)＋3×(－6)＋(－1)×2≠0，所以向量a與c不垂直，故D不正確.故選ABD.
3.已知A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C為線段AB上一點(diǎn)，且＝3，則C的坐標(biāo)為(　　 )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：設(shè)C(x，y，z)，則＝(x－4，y－1，z－3).又＝(－2，－6，－2)，＝3，所以(－2，－6，－2)＝(3x－12，3y－3，3z－9).所以故選C.
4.已知空間三點(diǎn)A(1，1，1)，B(－1，0，4)，C(2，－2，3)，則與的夾角的大小是　　　　.
答案：
解析：因?yàn)椋?－2，－1，3)，＝(－1，3，－2)，所以｜｜＝，｜｜＝，·＝(－2)×(－1)＋(－1)×3＋3×(－2)＝－7，所以cos 〈，〉＝＝＝－，又〈，〉∈[0，π]，所以〈，〉＝.
課時分層評價25　空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示及應(yīng)用
(時間：60分鐘　滿分：110分)
(1—9，每小題5分，共45分)
1.已知向量a＝(3，5，－1)，b＝(2，2，3)，c＝(1，－1，2)，則向量a－b＋4c的坐標(biāo)為(　　)
A.(5，－1，4) B.(5，1，－4)
C.(－5，1，4) D.(－5，－1，4)
答案：A
解析：a－b＋4c＝(3，5，－1)－(2，2，3)＋4(1，－1，2)＝(1，3，－4)＋(4，－4，8)＝(5，－1，4).故選A.
2.下列各組向量中不平行的是(　　)
A.a＝(1，2，－2)，b＝(－2，－4，4)
B.c＝(1，0，0)，d＝(－3，0，0)
C.e＝(2，3，0)，f＝(0，0，0)
D.g＝(－2，3，5)，h＝(16，24，40)
答案：D
解析：對于A，b＝－2a，所以a∥b；對于B，d＝－3c，所以c∥d；對于C，f是零向量，所以e∥f；對于D，不滿足g＝λh，所以g與h不是平行向量.
3.已知向量a＝(0，－1，1)，b＝(4，1，0)，｜λa＋b｜＝，且λ＞0，則λ等于(　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
答案：B
解析：λa＋b＝λ(0，－1，1)＋(4，1，0)＝(4，1－λ，λ)，由已知得｜λa＋b｜＝＝，且λ＞0，解得λ＝3.故選B.
4.在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，i，j，k分別是x軸、y軸、z軸正方向上的單位向量，設(shè)a為非零向量，且〈a，i〉＝45°，〈a，j〉＝60°，則〈a，k〉等于(　　 )
A.60° B.45°
C.60°或120° D.45°或135°
答案：C
解析：設(shè)a＝(x，y，z)，則由cos〈a，i〉＝，cos〈a，j〉＝，cos〈a，k〉＝，得＝，＝，＝cos〈a，k〉，所以＋＋cos2〈a，k〉＝1，所以cos〈a，k〉＝±，又0°＜〈a，k〉＜180°，所以〈a，k〉＝60°或120°.故選C.
5.(多選題)在空間直角坐標(biāo)系中，向量a＝(－2，－1，1)，b＝(3，4，5)，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A.(2a＋b)∥a
B.5＝
C.a⊥(5a＋6b)
D.a與b夾角的余弦值為
答案：BC
解析：2a＋b＝(－1，2，7)，a＝(－2，－1，1)，而≠≠，故A錯誤；＝，＝5，所以5＝，故B正確；a·(5a＋6b)＝5a2＋6a·b＝5×(4＋1＋1)＋6×(－6－4＋5)＝0，故C正確；a·b＝－5，cos〈a，b〉＝＝－，故D錯誤.故選BC.
6.(多選題)在△ABC中，A(1，2，－3k)，B(－2，1，0)，C(4，0，－2k)，則下列k的值滿足△ABC為直角三角形的有(　　)
A.± B.3
C. D.－
答案：ACD
解析：若∠A＝90°，＝(－3，－1，3k)，＝(3，－2，k)，則·＝(－3)×3＋(－1)×(－2)＋3k×k＝3k2－7＝0，所以k＝±.若∠B＝90°，＝(3，1，－3k)，＝(6，－1，－2k)，則·＝3×6＋1×(－1)＋(－3k)×(－2k)＝6k2＋17＝0，此時k無解.若∠C＝90°，＝(－6，1，2k)，＝(－3，2，－k)，則·＝(－6)×(－3)＋2＋2k×(－k)＝－2k2＋20＝0，所以k＝±.故選ACD.
7.(雙空題)設(shè)a＝(1，0，1)，b＝(1，－2，2)，則｜a－b｜＝　　　　，〈a，b〉＝　　　　.
答案：　
解析：由a－b＝(1，0，1)－(1，－2，2)＝(0，2，－1)，得｜a－b｜＝＝.因?yàn)閏os〈a，b〉＝＝＝，〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.
8.已知向量a＝(2，－1，3)，b＝(－4，2，t)的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為　　　　　　.
答案：(－∞，－6)∪
解析：由a·b＝2×(－4)＋(－1)×2＋3t＝－10＋3t＜0，得t＜，當(dāng)a∥b時，b＝λa，即(－4，2，t)＝λ(2，－1，3)，得解得t＝－6，所以當(dāng)向量a，b的夾角為鈍角時，t的取值范圍為(－∞，－6)∪.
9.已知A(1，0，0)，B(0，－1，1)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，＋λ與的夾角為120°，則λ的值為　　　　.
答案：－
解析：因?yàn)锳(1，0，0)，B(0，－1，1)，所以＝(1，0，0)，＝(0，－1，1)，所以＋λ＝(1，－λ，λ)，所以(＋λ)·＝2λ，因?yàn)椋说膴A角為120°，所以cos 120°＝＝－，顯然λ＜0，解得λ＝－.
10.(13分)如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱SD⊥底面ABCD，E，F(xiàn)，G分別為AB，SC，SD的中點(diǎn).若AB＝a，SD＝b.
(1)求｜｜；
(2)求cos〈，〉.
解：如圖所示，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA，DC，DS所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz.
則A(a，0，0)，S(0，0，b)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E(a，，0)，F(xiàn)，G.
＝，＝，＝(－a，0，0).
(1)｜｜＝ ＝ .
(2)cos〈，〉＝＝＝.
(11—13，每小題5分，共15分)
11.(新角度)已知{a，b，c}是空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，向量{a＋b，a－b，c}是空間的另一組基，若向量p在{a，b，c}下的坐標(biāo)為(3，2，1)，則它在{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)為(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：設(shè)向量a＝(1，0，0)，b＝(0，1，0)，c＝(0，0，1)，則向量a＋b＝(1，1，0)，a－b＝(1，－1，0)，又向量p＝(3，2，1)，不妨設(shè)p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc，則(3，2，1)＝(x＋y，x－y，z)，即所以向量p在{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)為.故選D.
12.如圖所示的正方體是一個三階魔方(由27個全等的棱長為1的小正方體構(gòu)成)，正方形ABCD是上底面正中間的一個正方形，正方形A1B1C1D1是下底面最大的正方形，已知點(diǎn)P是線段AC上的動點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段B1D上的動點(diǎn)，則線段PQ長度的最小值為　　　　.
答案：
解析：以B1為坐標(biāo)原點(diǎn)，B1C1，B1A1所在直線分別為x軸、y軸，過B1垂直于底面的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B1(0，0，0)，A(1，2，3)，C(2，1，3)，D(2，2，3).設(shè)＝λ，＝μ，λ，μ∈[0，1]，則＝λ(2，2，3)＝(2λ，2λ，3λ)，＝＋＝＋μ＝(1，2，3)＋μ(1，－1，0)＝(1＋μ，2－μ，3)，所以＝－＝(1＋μ－2λ，2－μ－2λ，3－3λ).所以｜｜2＝(1＋μ－2λ)2＋(2－μ－2λ)2＋(3－3λ)2＝17λ2－30λ＋2μ2－2μ＋14＝17＋2＋.當(dāng)λ＝且μ＝時，｜｜2取得最小值，所以線段PQ長度的最小值為.
13.已知空間三點(diǎn)A(0，1，2)，B(－4，－1，8)，C(2，－5，6)，則以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的面積為　　　　.
答案：28
解析：由已知＝(2，－6，4)，＝(－4，－2，6)，所以｜｜＝＝2，｜｜＝＝2，所以cos〈，〉＝＝＝.又〈，〉∈，則sin〈，〉＝＝，所以以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的面積為S＝×2×2××2＝28.
14.(15分)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC和△A1B1C1為正三角形，所有的棱長都是2，M是BC邊的中點(diǎn)，則在棱CC1上是否存在點(diǎn)N，使得向量與向量的夾角為45°？
解：假設(shè)存在點(diǎn)N，使得向量的夾角為45°，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AC，AA1所在直線分別為y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.
由題意知A(0，0，0)，B1(，1，2)，C(0，2，0)，B(，1，0)，M.
又點(diǎn)N在棱CC1上，可設(shè)N(0，2，m)(0≤m≤2)，
則＝(，1，2)，＝，
所以｜｜＝2，｜｜＝，·＝2m－1.
則cos 〈，〉＝＝＝cos 45°，
即＝，顯然2m－1＞0，
該方程無解，所以在棱CC1上不存在點(diǎn)N，使得向量的夾角為45°.
15.(5分)(多選題)已知單位向量i，j，k兩兩的夾角均為θ(0＜θ＜π，θ≠)，若空間向量a滿足a＝xi＋yj＋zk(x，y，z∈R)，則有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)稱為向量a在“仿射”坐標(biāo)系O-xyz(O為坐標(biāo)原點(diǎn))下的“仿射”坐標(biāo)，記作a＝(x，y，z)θ，則下列命題是真命題的為(　　)
A.已知a＝(1，3，－2)θ，b＝(4，0，2)θ，則a·b＝0
B.已知a＝(x，y，0)，b＝(0，0，z)，其中x，y，z＞0，則當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，向量a，b的夾角取得最小值
C.已知a＝(x1，y1，z1)θ，b＝(x2，y2，z2)θ，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)θ
D.已知＝(1，0，0)，＝(0，1，0)，＝(0，0，1)，則三棱錐O-ABC的表面積S＝
答案：BC
解析：a·b＝(1，3，－2)θ·(4，0，2)θ＝(i＋3j－2k)·(4i＋2k)＝4＋2i·k＋12i·j＋6j·k－8k·i－4＝12cos θ，因?yàn)?＜θ＜π，且θ≠，所以a·b≠0，故A錯誤；如圖所示，設(shè)＝b，＝a，則點(diǎn)A在平面Oxy上，點(diǎn)B在z軸上，由圖易知當(dāng)x＝y(tǒng)時，∠AOB取得最小值，即向量a與b的夾角取得最小值，故B正確；根據(jù)“仿射”坐標(biāo)的定義可得，a＋b＝(x1，y1，z1)θ＋(x2，y2，z2)θ＝(x1i＋y1j＋z1k)＋(x2i＋y2j＋z2k)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j＋(z1＋z2)k＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)θ，故C正確；由已知可得三棱錐O-ABC為正四面體，棱長為1，其表面積S＝4××12×＝，故D錯誤.故選BC.
16.(17分)(創(chuàng)新題)在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是一個平行四邊形， ＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1).
(1)求證：AP⊥底面ABCD；
(2)求四棱錐P-ABCD的體積；
(3)對于向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，c＝(x3，y3，z3)，定義一種運(yùn)算：(a×b)·c＝x1y2z3＋x2y3z1＋x3y1z2－x1y3z2－x2y1z3－x3y2z1，試計算(×)·的絕對值的值；說明其與四棱錐P-ABCD體積的關(guān)系，并由此猜想向量這一運(yùn)算(×)·的絕對值的幾何意義.
解：(1)證明：因?yàn)椤ぃ剑?－2＋4＝0，
所以AP⊥AB.
又因?yàn)椤ぃ剑?＋4＋0＝0，
所以AP⊥AD.
因?yàn)锳B，AD是底面ABCD上的兩條相交直線，
所以AP⊥底面ABCD.
(2)設(shè)的夾角為θ，則cos θ＝＝
＝，
V＝｜｜·｜｜·sin θ·｜｜＝··＝16.
(3)｜(×)·｜＝｜－4－32－4－8｜＝48，它是四棱錐P-ABCD體積的3倍.
猜測：｜(×)·｜在幾何上可表示以AB，AD，AP為棱的平行六面體的體積.
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3.2　空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示及應(yīng)用
　
第三章　§3　空間向量基本定理及空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示，提升邏輯推理、 數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
2.掌握空間向量垂直與平行的條件及其應(yīng)用；掌握空間向量 的模、夾角以及兩點(diǎn)間的距離公式，能運(yùn)用公式解決問 題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
任務(wù)一　空間向量的坐標(biāo)
問題導(dǎo)思
新知構(gòu)建
1.標(biāo)準(zhǔn)正交基
在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，分別沿x軸、y軸、z軸正方向作______向量i，j，k，這三個__________的______向量就構(gòu)成空間向量的一組基{i，j，k}，這組基叫作標(biāo)準(zhǔn)正交基.
單位
互相垂直
單位
2.空間向量的坐標(biāo)
根據(jù)空間向量基本定理，對于任意一個向量p，都存在唯一的三元有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xi＋yj＋zk，反之，任意給出一個三元有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，也可找到唯一的一個向量p＝xi＋yj＋zk與之對應(yīng).這樣，就在空間向量與三元有序?qū)崝?shù)組之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，把三元有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫作向量p在標(biāo)準(zhǔn)正交基{i，j，k}下的坐標(biāo)，記作p＝___________，單位向量i，j，k都叫作__________，xi，yj，zk實(shí)際上分別是向量p在i，j，k方向上所作的__________，x，y，z分別是向量p在i，j，k方向上的__________.
(x，y，z)
坐標(biāo)向量
投影向量
投影數(shù)量
微提醒
典例
1
規(guī)律方法
√
返回
任務(wù)二　空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示
問題導(dǎo)思
問題2.平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示：設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)(λ∈R)，a·b＝x1x2＋y1y2.你能由平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示類比得到空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示嗎？它們是否成立？為什么？
提示：能表示.空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示與平面向量的坐標(biāo)表示完全一致.即設(shè)向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，那么a±b＝(x1±x2，y1±y2，z1±z2)，λa＝(λx1，λy1，λz1)(λ∈R)，a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.
新知構(gòu)建
向量運(yùn)算 向量表示 坐標(biāo)表示
加法 a＋b __________________________
減法 a－b __________________________
數(shù)乘 λa _________________，λ∈R
數(shù)量積 a·b __________________
(x2－x1，
y2－y1，z2－z1)
終點(diǎn)
起點(diǎn)
(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)
(x1－x2，y1－y2，z1－z2)
(λx1，λy1，λz1)
x1x2＋y1y2＋z1z2
典例
2
規(guī)律方法
空間向量坐標(biāo)運(yùn)算的規(guī)律
1.由點(diǎn)的坐標(biāo)求向量坐標(biāo)：空間向量的坐標(biāo)可由其兩個端點(diǎn)的坐標(biāo)確定.
2.直接計算問題：首先將空間向量用坐標(biāo)表示出來，然后代入公式計算.
3.由條件求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)：把向量坐標(biāo)形式設(shè)出來，通過解方程(組)，求出其坐標(biāo).
對點(diǎn)練2.已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1，4).
求a＋b，a－b，a·b，(2a)·(－b)，(a＋b)·(a－b).
解：a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2，2)；
a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1，4)＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2，0，－6)；
a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1，4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7；
(2a)·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14；
(a＋b)·(a－b)＝(2，－2，2)·(2，0，－6)＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8.
返回
任務(wù)三　空間向量平行(共線)和垂直的條件
問題導(dǎo)思
新知構(gòu)建
x1x2＋y1y2＋z1z2＝0
微提醒
典例
3
變式探究
(變條件)將本例(2)中“若ka＋b與ka－2b互相垂直”改為“若ka＋b與a＋kb相互平行”，其他條件不變，求k的值.
解：因?yàn)閍＝(－1＋2，1－0，2－2)＝(1，1，0)，
b＝(－3＋2，0－0，4－2)＝(－1，0，2)，
所以ka＋b＝(k，k，0)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，2)，
a＋kb＝(1，1，0)＋(－k，0，2k)＝(1－k，1，2k).
因?yàn)閗a＋b與a＋kb平行，所以ka＋b＝λ(a＋kb)，
即(k－1，k，2)＝λ(1－k，1，2k)，
規(guī)律方法
判斷兩向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要條件；已知兩向量平行或垂直求參數(shù)值，則利用平行、垂直的充要條件，將位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，列方程(組)求解.
(2)若λ＜0，且a與c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a.
解：因?yàn)閍⊥c，
所以2(λ＋1)－2λ×1－λ×2λ＝0，
化簡得2－2λ2＝0，解得λ＝±1，又λ＜0，所以λ＝－1.
因此a＝(0，1，－2).
返回
任務(wù)四　空間向量長度與夾角的坐標(biāo)表示
問題導(dǎo)思
新知構(gòu)建



典例
4
規(guī)律方法

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任務(wù)五　空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示的綜合運(yùn)用
典例
5
規(guī)律方法
利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算的一般步驟
第一步，建系：根據(jù)題目中的幾何圖形建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐
標(biāo)系；
第二步，求坐標(biāo)：(1)求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)寫出向量的坐標(biāo)；
第三步，計算：結(jié)合公式進(jìn)行計算；
第四步，轉(zhuǎn)化：轉(zhuǎn)化為夾角與距離問題.
課堂小結(jié)
任務(wù)再現(xiàn) 1.空間向量的坐標(biāo).2.空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示.3.空間向量平行(共線)和垂直的條件.4.空間向量長度與夾角的坐標(biāo)表示.5.空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示的綜合運(yùn)用
方法提煉 類比法、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想
易錯警示 由兩向量共線直接得到兩向量對應(yīng)坐標(biāo)的比相等；建系后書寫點(diǎn)的坐標(biāo)出錯；空間角與向量的夾角轉(zhuǎn)化時忽略范圍的不同
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隨堂評價
√
1.已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3，2)，則下列結(jié)論正確的是
A.a＋b＝(10，－5，－6) B.a－b＝(2，－1，－6)
C.a·b＝10 D.｜a｜＝6
√
√
√
√


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課時分層評價
√
1.已知向量a＝(3，5，－1)，b＝(2，2，3)，c＝(1，－1，2)，則向量a－b＋4c的坐標(biāo)為
A.(5，－1，4) B.(5，1，－4)
C.(－5，1，4) D.(－5，－1，4)
a－b＋4c＝(3，5，－1)－(2，2，3)＋4(1，－1，2)＝(1，3，－4)＋(4，－4，8)＝(5，－1，4).故選A.
√
2.下列各組向量中不平行的是
A.a＝(1，2，－2)，b＝(－2，－4，4)
B.c＝(1，0，0)，d＝(－3，0，0)
C.e＝(2，3，0)，f＝(0，0，0)
D.g＝(－2，3，5)，h＝(16，24，40)
對于A，b＝－2a，所以a∥b；對于B，d＝－3c，所以c∥d；對于C，f是零向量，所以e∥f；對于D，不滿足g＝λh，所以g與h不是平行向量.
√
√
4.在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，i，j，k分別是x軸、y軸、z軸正方向上的單位向量，設(shè)a為非零向量，且〈a，i〉＝45°，〈a，j〉＝60°，則〈a，k〉等于
A.60° B.45°
C.60°或120° D.45°或135°

√
√

√
√
√
7.(雙空題)設(shè)a＝(1，0，1)，b＝(1，－2，2)，則｜a－b｜＝　　，〈a，
b〉＝　　.

8.已知向量a＝(2，－1，3)，b＝(－4，2，t)的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)t的取
值范圍為　　　 　　.


√

12.如圖所示的正方體是一個三階魔方(由27個全等的棱長為1的小正方體構(gòu)成)，正方形ABCD是上底面正中間的一個正方形，正方形A1B1C1D1是下底面最大的正方形，已知點(diǎn)P是線段AC上的動點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段B1D上的動
點(diǎn)，則線段PQ長度的最小值為　　　　.


13.已知空間三點(diǎn)A(0，1，2)，B(－4，－1，8)，C(2，－5，6)，則以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的面積為　　　　.

√
√

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