資源簡介

空間向量的運算(空間向量的數量積)
學習目標 1.了解空間向量的夾角；掌握空間向量的數量積的定義、性質、運算律及計算方法，培養直觀想象、數學運算的核心素養.　2.了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義，培養直觀想象的核心素養.　3.掌握兩個向量的數量積在判斷垂直中的應用，掌握利用向量數量積求空間兩點間的距離，提升邏輯推理和數學運算的核心素養.
任務一　兩個向量的夾角
問題1.類比兩個平面向量a和b的夾角的定義，那么對于兩個空間向量a和b，他們的夾角又該如何定義呢？
提示：已知兩個非零向量a，b，在空間中任取一點O，作＝a，＝b，則∠AOB叫作向量a，b的夾角，記作〈a，b〉.
兩個向量的夾角
定義 已知兩個非零向量a，b，在空間中任取一點O，作＝a，＝b，則∠AOB叫作向量a與b的夾角，記作〈a，b〉
范圍 0≤〈a，b〉≤π
向量 平行 當〈a，b〉＝0時，向量a與b方向相同； 當〈a，b〉＝π時，向量a與b方向相反
向量 垂直 當〈a，b〉＝時，稱向量a，b互相垂直，記作a⊥b 規定：零向量與任意向量垂直
[微思考]　〈a，b〉＝＜b，a〉嗎？〈a，b〉與〈－a，b〉，〈a，－b〉，〈－a，－b〉有什么關系？
提示：〈a，b〉＝〈b，a〉，〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉，〈－a，－b〉＝〈a，b〉.
如圖，在正方體ABCD-A'B'C'D'中，求向量分別與向量，，，，的夾角.
解：連接BD(圖略)，
則在正方體ABCD-A'B'C'D'中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD'＝CD'，
所以〈，〉＝〈，〉＝45°，
〈，〉＝180°－〈，＞＝135°，
〈，〉＝∠D'AC＝60°，
〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°，
〈，〉＝〈，〉＝90°.
1.求兩個空間向量的夾角時，要結合夾角的定義和圖形，以防出錯.
2.對空間任意兩個非零向量a，b有：
(1)〈a，b〉＝〈b，a〉；
(2)〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉；
(3)〈－a，－b〉＝〈a，b〉.
對點練1.(1)對于空間任意兩個非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的(　　 )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
(2)(雙空題)在正四面體ABCD中，與的夾角等于　　　　；與的夾角等于　　　　.
答案：(1)B　(2)120°　60°
解析：(1)因為a∥b，包括向量a和b同向共線和反向共線兩種情況，所以當a∥b時，有〈a，b〉＝0，或〈a，b〉＝π，不能得到〈a，b〉＝0，充分性不成立；〈a，b〉＝0，則a和b方向相同，有a∥b，必要性成立，故“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要不充分條件.故選B.
(2)由正四面體每個面都是正三角形可知，〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°；〈，〉＝〈，〉＝60°.
任務二　兩個向量的數量積
問題2.類比平面向量的數量積的定義，你能給出空間兩向量數量積的定義嗎？空間向量的數量積運算滿足哪些運算律？
提示：能給出空間兩向量數量積的定義，即已知兩個空間向量a，b，把｜a｜｜b｜cos〈a，b〉叫作a與b的數量積，記作a·b，即a·b＝｜a｜｜b｜cos〈a，b〉.
空間向量的數量積運算滿足：(1)交換律：a·b＝b·a；(2)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c；(3)數乘向量與向量數量積的結合律：(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R).
1.空間向量數量積的定義
已知兩個空間向量a，b，把｜a｜｜b｜cos〈a，b〉叫作a與b的數量積，記作a·b，即a·b＝｜a｜｜b｜cos〈a，b〉.零向量與任意向量的數量積為0，即0·a＝0.
2.數量積的結論
(1)cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0).
(2)｜a｜＝＝，｜a｜2＝a2.
(3)a⊥b a·b＝0.
3.數量積的運算律
交換律 a·b＝b·a
分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c
數乘向量與數量積的結合律 (λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)
[微思考]　對于不共線向量a，b，c，(a·b)·c＝a·(b·c)成立嗎？為什么？
提示：不成立.例如，任取三個不共面向量a，b，c，(a·b)·c是一個數與向量c作數乘，a·(b·c)是一個數與向量a作數乘，而a，c不共線，所以(a·b)·c與a·(b·c)不可能相等.
如圖，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點E，F分別是AB，AD的中點，計算：
(1)·；(2)·；
(3)·；(4)·.
解：(1)·＝·＝｜｜·｜｜·cos〈，〉＝×1×1×cos 60°＝.
(2)·＝·＝｜｜·｜｜·cos〈，〉＝×1×1×cos 0°＝.
(3)·＝·＝｜｜·｜｜·cos〈，〉＝×1×1×cos 120°＝－.
(4)·＝＋)·＋)＝
＝[－·－·＋(－)·＋·]＝×＝－.
在幾何體中求空間向量的數量積的步驟
第一步：將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式；
第二步：利用向量的運算律將數量積展開，轉化成已知模和夾角的向量的數量積；
第三步：根據向量的方向，正確求出向量的夾角；
第四步：代入公式a·b＝｜a｜｜b｜cos 〈a，b〉求解.
對點練2.在正四面體P-ABC中，棱長為2，且E是棱AB的中點，則·的值為(　　)
A.－1 B.1
C.3 D.7
答案：A
解析：如圖所示，因為在正四面體P-ABC中，棱長為2，，，兩兩夾角為60°，所以·＝·＝·＝2×2×cos 60°＝2，＝4.因為E是棱AB的中點，所以＝，又＝－，所以·＝·＝·＋·－·－)＝＝－1.故選A.
任務三　投影向量與投影數量
問題3.如何根據平面向量中一個向量在另一個向量方向上的投影向量與投影數量定義空間向量中的投影向量與投影數量？
提示：因為任意兩個空間向量一定是共面向量，所以可以把平面向量中投影向量與投影數量的概念直接推廣到空間向量.
1.投影向量的定義：已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作＝a，＝b，過點B作直線OA的垂線，垂足為點B1，稱向量為向量b在向量a方向上的投影向量，其長度等于｜｜b｜cos〈a，b〉｜.
當〈a，b〉為銳角時，｜b｜cos〈a，b〉＞0(如圖①)；
當〈a，b〉為鈍角時，｜b｜cos〈a，b〉＜0(如圖②)；
當〈a，b〉＝時，｜b｜cos〈a，b〉＝0(如圖③).
2.投影數量的定義：若用a0表示與向量a(a≠0)同方向的單位向量，則向量b在向量a方向上的投影向量為＝｜b｜cos〈a，b〉a0.因此，稱｜b｜cos〈a，b〉為投影向量的數量，也稱為向量b在向量a方向上的投影數量.向量b在向量a方向上的投影數量為｜b｜cos〈a，b〉＝＝a0·b.
[微提醒]　(1)投影數量可正、可負、也可為零，這是由兩非零向量的夾角決定的.(2)投影數量不一定是投影向量的模.當兩向量的夾角小于或等于90°時，投影數量才是投影向量的模.
已知向量a與b的夾角為60°，｜a｜＝2，｜b｜＝6，則2a－b在a方向上的投影數量為　　　　.
答案：1
解析：因為a與b的夾角為60°，｜a｜＝2，｜b｜＝6，所以(2a－b)·a＝2｜a｜2－a·b＝2×22－2×6×＝2，所以2a－b在a方向上的投影數量為＝＝1.
1.求投影向量的方法
(1)依據投影向量的定義和平面幾何知識作出恰當的垂線，直接得到投影向量.
(2)首先根據題意確定向量a的模、與b同向的單位向量e及兩向量a與b的夾角θ，然后依據公式｜a｜cos θ·e計算a在b方向上的投影向量.
2.a在b方向上的投影數量為｜a｜cos〈a，b〉＝.
對點練3.已知｜a｜＝3，｜b｜＝5，a·b＝－12且e是與b方向相同的單位向量，則a在b方向上的投影向量為　　　　.
答案：－e
解析：由于cos〈a，b〉＝＝－＝－，所以a在b方向上的投影向量為｜a｜cos〈a，b〉·e＝3×·e＝－e.
任務四　利用數量積證明垂直問題
如圖，已知空間四邊形ABCD的各邊和對角線的長都為a，點M，N分別是AB，CD的中點.證明：MN⊥AB.
證明：由題意可知，｜｜＝｜｜＝｜｜＝a，且向量，，兩兩的夾角均為60°，連接AN(圖略)，
則＝－＝＋)－，
所以·＝·＋·－)
＝(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0，
所以⊥，即MN⊥AB.
用向量法證明空間線線、線面垂直的思路
1.要證兩直線垂直，可分別構造與兩直線平行的向量，只要證明這兩個向量的數量積為0即可.
2.證明線面垂直，需將線面垂直轉化為線線垂直，然后利用向量數量積證明線線垂直即可.
對點練4.如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的側棱垂直于底面，∠BAC＝90°.求證：AB⊥AC1.
證明：因為AA1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AB 平面ABC，
所以AA1⊥AB，AB⊥AC，
因為＝＋，
所以·＝(＋)·＝·＋·＝0，
所以⊥，即AB⊥AC1.
任務五　利用數量積求夾角和模
(1)如圖，正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC-A1B1C1的各棱長都為2，E，F分別是AB，A1C1的中點，則EF的長為　　　　.
(2)已知空間四邊形OABC各邊及對角線長都等于2，E，F分別為AB，OC的中點，則異面直線OE與BF所成角的余弦值為　　　　.
答案：(1)　(2)
解析：(1)設＝a，＝b，＝c.由題意，知｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝2，且〈a，b〉＝60°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝90°.因為＝＋＋＝－＋＋＝－a＋b＋c，所以｜｜2＝＝a2＋b2＋c2＋2＝×22＋×22＋22＋2××2×2cos 60°＝1＋1＋4－1＝5，所以｜｜＝，即EF＝.
(2)由已知得·＝·＝·＝2，＝＋)，＝－＝－，因此｜｜＝｜＋｜＝＝，
｜｜＝＝＝.又因為·＝＋)·(－)＝×2－×2＋×2－2＝－2，所以cos〈，〉＝＝＝－.故異面直線OE與BF所成角的余弦值為.
1.利用數量積求夾角或其余弦值的步驟
2.利用數量積求兩點間的距離或線段的長度的步驟
第一步：將此線段用向量表示；
第二步：用其他已知夾角和模的向量表示該向量；
第三步：利用｜a｜＝，計算出｜a｜，即得所求距離.
對點練5.如圖，平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°，CD＝CC1＝2.
(1)求AC1的長；
(2)求異面直線CA1與DC1所成角的余弦值.
解：(1)設＝a，＝b，＝c，則｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝2，〈a，b〉＝〈a，c〉＝〈b，c〉＝60°，
因為＝－(＋)＝c－(a＋b)，
所以＝＝＝c2＋a2＋b2－2a·c－2b·c＋2a·b
＝12－2×2×2×cos 60°＝8，
所以AC1＝2.
(2)因為＝a＋b＋c，＝c－a，
所以·＝(a＋b＋c)·(c－a)＝c2－a2＋b·c－a·b＝0，
所以⊥，
所以異面直線CA1與DC1所成的角為90°，余弦值為0.
任務 再現 1.兩個向量的夾角.2.兩個向量的數量積.3.投影向量與投影數量.4.利用數量積證明垂直問題.5.利用數量積求夾角和模
方法 提煉 類比法、轉化與化歸思想
易錯 警示 向量的夾角只注重角度大小，而忽視向量的方向；數量積的運算不滿足結合律，更不存在“消去律”；當a≠0時，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0
1.(多選題)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列各組向量的夾角為45°的是(　　)
A.與
B.與
C.與
D.與
答案：AD
解析：對于A，的夾角，為45°；對于B，的夾角，為180°－45°＝135°；對于C，的夾角為180°－45°＝135°；對于D，的夾角，為45°.故選AD.
2.已知等邊△ABC的邊長為2，則向量在向量方向上的投影向量為(　　)
A.－ B.
C.2 D.2
答案：A
解析：在等邊△ABC中，因為A＝60°，所以向量，所以向量方向上的投影向量為－.故選A.
3.(多選題)已知空間四邊形ABCD的四條邊和兩條對角線的長都為a，且E，F，G分別是AB，AD，DC的中點，則下列選項中運算結果為－a2的是(　　)
A.2· B.2·
C.2· D.2·
答案：AC
解析：如圖所示，2·＝2｜｜｜｜cos 120°＝2a·a cos 120°＝－a2，故A正確；2·＝2｜｜｜｜·cos 60°＝2a·a cos 60°＝a2，故B錯誤；2·＝2｜｜｜｜cos 180°＝2··a cos 180°＝－a2，故C正確；2·＝2｜｜｜｜cos 120°＝2··a cos 120°＝－，故D錯誤.故選AC.
4.如圖，在三棱錐A-BCD中，底面邊長與側棱長均為a，M，N分別是棱AB，CD上的點，且MB＝2AM，CN＝ND，則MN的長為　　　　.
答案：a
解析：因為＝＋＋＝＋(－)＋－)＝－＋＋，所以＝＝－·－·＋·＋＋＝a2－a2－a2＋a2＋a2＋a2＝a2.所以｜｜＝a，即MN＝a.
課時分層評價23　空間向量的運算(空間向量的數量積)
(時間：60分鐘　滿分：110分)
(1—9，每小題5分，共45分)
1.已知e1，e2為單位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，則實數k的值為(　　)
A.－6 B.6
C.－3 D.3
答案：B
解析：由題意可得a·b＝0，e1·e2＝0，｜e1｜＝｜e2｜＝1，所以(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，所以2k－12＝0，解得k＝6.故選B.
2.(多選題)已知a，b是兩個非零向量，下列結論中，正確的是(　　)
A.a·b＞0 〈a，b〉∈
B.a·b＝0 〈a，b〉＝
C.a·b＜0 〈a，b〉∈
D.｜a·b｜＝｜a｜｜b｜ 〈a，b〉＝0
答案：ABC
解析：由｜a·b｜＝｜a｜｜b｜ ｜cos〈a，b〉｜＝1 〈a，b〉＝0或〈a，b〉＝π.故選ABC.
3.若非零向量a，b滿足｜a｜＝｜b｜，·b＝0，則a與b的夾角為(　　)
A.30° B.60°
C.120° D.150°
答案：C
解析：由·b＝0，得2a·b＋b2＝0，設a與b的夾角為θ，所以2｜a｜｜b｜cos θ＋｜b｜2＝0，所以cos θ＝－＝－＝－.因為0°≤θ≤180°，所以θ＝120°.故選C.
4.已知四邊形ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，連接AC，BD，PB，PC，PD，則下列各組向量中，數量積不一定為零的是(　　)
A.與 B.與
C.與 D.與
答案：A
解析：可用排除法.如圖所示，因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，·＝0，排除D.又因為AD⊥AB，所以AD⊥平面PAB.所以AD⊥PB，所以·＝0，同理·＝0，排除B，C.故選A.
5.如圖，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，則PC等于(　　)
A.6 B.6
C.12 D.144
答案：C
解析：因為＝＋＋，所以＝＋＋＋2·＋2·＋2·＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144，所以PC＝12.故選C.
6.設空間中有四個互異的點A，B，C，D，已知(＋－2)·(－)＝0，則△ABC是(　　)
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等邊三角形
答案：B
解析：因為＋－2＝(－)＋(－)＝＋，所以(＋)·(－)＝｜｜2－｜｜2＝0，所以｜｜＝｜｜，即△ABC是等腰三角形.故選B.
7.在空間四邊形ABCD中，·＋·＋·＝　　　　.
答案：0
解析：原式＝·＋·＋·(－)＝·(－)＋·(＋)＝·＋·＝0.
8.(2021·全國甲卷)若向量a，b滿足｜a｜＝3，｜a－b｜＝5，a·b＝1，則｜b｜＝　　　　.
答案：3
解析：由｜a－b｜＝5得(a－b)2＝25，即a2－2a·b＋b2＝25，結合｜a｜＝3，a·b＝1，得32－2×1＋｜b｜2＝25，所以｜b｜＝3.
9.已知空間向量a，b，c，則下列結論中正確的是　　　(填序號).
①a·b＝a·c(a≠0) b＝c；
②a·b＝0 a＝0或b＝0；
③(a·b)c＝(b·c)a；
④a·(λb)＝λ(a·b)；
⑤若a·b＜0，則a，b的夾角為鈍角.
答案：④
解析：在空間中，任取與a(a≠0)垂直的兩個向量作為b，c，都有a·b＝a·c＝0，所以①不正確；由a·b＝0，得a＝0或b＝0或〈a，b〉＝，所以②不正確；a·b為實數，設為p，b·c為實數，設為q，而pc＝qa不一定成立，所以③不正確；根據空間向量數量積的運算律可知④正確；當a，b反向共線時，a，b的夾角為π，此時a·b＜0也成立，故⑤不正確.
10.(13分)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分別是A1B，B1C1上的點，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.設＝a，＝b，＝c.
(1)試用a，b，c表示向量；
(2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的長.
解：(1)＝＋＋＝＋＋＝(c－a)＋a＋(b－a)＝a＋b＋c.
(2)因為(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×＋2×1×1×＝5，所以｜a＋b＋c｜＝，
所以｜｜＝｜a＋b＋c｜＝，即MN＝.
(11—13，每小題5分，共15分)
11.在△ABC中，若·＋＝0，則在方向上的投影向量為(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：因為·＋＝·(＋)＝·＝0，所以的夾角為90°，即⊥.又因為的夾角為銳角，所以.故選A.
12.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，若動點P在線段BD1上運動，則·的取值范圍是　　　　.
答案：[0，1]
解析：依題意，如圖所示，設＝λ，其中λ∈[0，1]，則·＝·(＋)＝·(＋λ)＝＋λ·＝1＋λ×1××＝1－λ∈[0，1].因此·的取值范圍是[0，1].
13.在四面體OABC中，已知OA，OB，OC兩兩垂直，且OA＝3，OB＝6，OC＝9，若G是△ABC的重心，則OG＝　　　　.
答案：
解析：如圖所示，取BC的中點D，根據三角形重心的性質，可得AG＝AD.根據向量的運算法則，可得＝＋＝＋＝＋ ＝＋［(－)＋－)］＝＋＋)，所以｜｜2＝＋＋＋2·＋2·＋2·)＝(9＋36＋81＋0＋0＋0)＝14，所以｜｜＝，即OG＝.
14.(15分)如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面邊長為.
(1)設側棱長為1，求證：AB1⊥BC1；
(2)設AB1與BC1的夾角為，求側棱的長.
解：(1)證明：＝＋，＝＋.
因為BB1⊥平面ABC，所以·＝0，·＝0.
又△ABC為正三角形，
所以〈，〉＝π－〈，〉＝π－＝.
因為·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋＋·
＝｜｜·｜｜·cos 〈，〉＋
＝－1＋1＝0，
所以AB1⊥BC1.
(2)結合(1)知·＝｜｜·｜｜·cos 〈，〉＋＝－1.
又｜｜＝＝＝｜｜，
所以cos 〈，〉＝＝cos ＝，
所以｜｜＝2，即側棱長為2.
15.(5分)(新角度)如圖所示，四個棱長為1的正方體排成一個正四棱柱，AB是一條側棱，Pi(i＝1，2，…，8)是上底面上其余的八個點，則·(i＝1，2，…，8)的不同值的個數為(　　)
A.1 B.2
C.4 D.8
答案：A
解析：·＝·(＋)＝＋·，因為AB⊥平面BP2P8P6，所以⊥，所以·＝0，所以·＝｜｜2＝1，則·(i＝1，2，…，8)的不同值的個數為1.故選A.
16.(17分)如圖，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD(點P位于平面ABCD上方)，BC邊上是否存在點Q，使⊥？
解：假設存在點Q(點Q在邊BC上)，使⊥，即PQ⊥QD，連接AQ(圖略).
因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥QD.
又＝＋，且⊥，
所以·＝0，
即·＋·＝0.
又因為·＝0，所以·＝0，
所以⊥，所以∠AQD＝90°，
即點Q在以AD為直徑的圓上，圓的半徑為.
又因為AB＝1，由題圖知，
當＝1，即a＝2時，該圓與邊BC相切，存在1個點Q滿足題意；
當＞1，即a＞2時，該圓與邊BC相交，存在2個點Q滿足題意；
當＜1，即a＜2時，該圓與邊BC相離，不存在點Q滿足題意.
綜上所述，當a≥2時，存在點Q，使⊥；當0＜a＜2時，不存在點Q，使⊥.
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空間向量的運算(空間向量的數量積)
　
第三章　§2　空間向量與向量運算
學習目標
1.了解空間向量的夾角；掌握空間向量的數量積的定義、性 質、運算律及計算方法，培養直觀想象、數學運算的核心 素養.
2.了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義，培養直觀 想象的核心素養.
3.掌握兩個向量的數量積在判斷垂直中的應用，掌握利用向 量數量積求空間兩點間的距離，提升邏輯推理和數學運算 的核心素養.
任務一　兩個向量的夾角
問題導思
新知構建
兩個向量的夾角
定義
范圍 0≤〈a，b〉≤π
向量平行 當〈a，b〉＝0時，向量a與b方向______；
當〈a，b〉＝π時，向量a與b方向______
向量垂直
∠AOB
〈a，b〉
相同
相反
⊥
〈a，b〉＝＜b，a〉嗎？〈a，b〉與〈－a，b〉，〈a，
－b〉，〈－a，－b〉有什么關系？
提示：〈a，b〉＝〈b，a〉，〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉，〈－a，－b〉＝〈a，b〉.
微思考
典例
1
規律方法
1.求兩個空間向量的夾角時，要結合夾角的定義和圖形，以防
出錯.
2.對空間任意兩個非零向量a，b有：
(1)〈a，b〉＝〈b，a〉；
(2)〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉；
(3)〈－a，－b〉＝〈a，b〉.
√
對點練1.(1)對于空間任意兩個非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
因為a∥b，包括向量a和b同向共線和反向共線兩種情況，所以當a∥b時，有〈a，b〉＝0，或〈a，b〉＝π，不能得到〈a，b〉＝0，充分性不成立；〈a，b〉＝0，則a和b方向相同，有a∥b，必要性成立，故“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要不充分條件.故選B.
120°
60°
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任務二　兩個向量的數量積
問題導思
問題2.類比平面向量的數量積的定義，你能給出空間兩向量數量積的定義嗎？空間向量的數量積運算滿足哪些運算律？
提示：能給出空間兩向量數量積的定義，即已知兩個空間向量a，b，把｜a｜｜b｜cos〈a，b〉叫作a與b的數量積，記作a·b，即a·b＝｜a｜｜b｜cos〈a，b〉.
空間向量的數量積運算滿足：(1)交換律：a·b＝b·a；(2)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c；(3)數乘向量與向量數量積的結合律：(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R).
新知構建
0
a·b＝0
3.數量積的運算律
交換律 a·b＝b·a
分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c
數乘向量與數量積的結合律 (λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)
對于不共線向量a，b，c，(a·b)·c＝a·(b·c)成立嗎？為什么？
提示：不成立.例如，任取三個不共面向量a，b，c，(a·b)·c是一個數與向量c作數乘，a·(b·c)是一個數與向量a作數乘，而a，c不共線，所以(a·b)·c與a·(b·c)不可能相等.
微思考
典例
2
規律方法
在幾何體中求空間向量的數量積的步驟
第一步：將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式；
第二步：利用向量的運算律將數量積展開，轉化成已知模和夾角的向量的數量積；
第三步：根據向量的方向，正確求出向量的夾角；
第四步：代入公式a·b＝｜a｜｜b｜cos〈a，b〉求解.
√

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任務三　投影向量與投影數量
問題導思
問題3.如何根據平面向量中一個向量在另一個向量方向上的投影向量與投影數量定義空間向量中的投影向量與投影數量？
提示：因為任意兩個空間向量一定是共面向量，所以可以把平面向量中投影向量與投影數量的概念直接推廣到空間向量.
新知構建
｜｜b｜cos〈a，b〉｜
＞
＜
＝
｜b｜cos〈a，b〉
｜b｜cos〈a，b〉
a0·b
微提醒
(1)投影數量可正、可負、也可為零，這是由兩非零向量的夾角決定的.(2)投影數量不一定是投影向量的模.當兩向量的夾角小于或等于90°時，投影數量才是投影向量的模.
已知向量a與b的夾角為60°，｜a｜＝2，｜b｜＝6，則2a－b在a方向上的投影數量為　　.
典例
3
1

規律方法

對點練3.已知｜a｜＝3，｜b｜＝5，a·b＝－12且e是與b方向相同的單位
向量，則a在b方向上的投影向量為　　　　.

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任務四　利用數量積證明垂直問題
典例
4
規律方法
用向量法證明空間線線、線面垂直的思路
1.要證兩直線垂直，可分別構造與兩直線平行的向量，只要證明這兩個向量的數量積為0即可.
2.證明線面垂直，需將線面垂直轉化為線線垂直，然后利用向量數量積證明線線垂直即可.
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任務五　利用數量積求夾角和模
(1)如圖，正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC-A1B1C1的各棱長都為2，E，F分別是AB，A1C1的中點，則EF的長為　　　.
典例
5

(2)已知空間四邊形OABC各邊及對角線長都等于2，E，F分別為AB，OC的
中點，則異面直線OE與BF所成角的余弦值為　　.


規律方法
1.利用數量積求夾角或其余弦值的步驟
規律方法

課堂小結
任務再現 1.兩個向量的夾角.2.兩個向量的數量積.3.投影向量與投影數量.4.利用數量積證明垂直問題.5.利用數量積求夾角和模
方法提煉 類比法、轉化與化歸思想
易錯警示 向量的夾角只注重角度大小，而忽視向量的方向；數量積的運算不滿足結合律，更不存在“消去律”；當a≠0時，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0
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隨堂評價
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課時分層評價
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1.已知e1，e2為單位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，則實數k的值為
A.－6 B.6
C.－3 D.3
由題意可得a·b＝0，e1·e2＝0，｜e1｜＝｜e2｜＝1，所以(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，所以2k－12＝0，解得k＝6.故選B.
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由｜a·b｜＝｜a｜｜b｜ ｜cos〈a，b〉｜＝1 〈a，b〉＝0或〈a，b〉＝π.故選ABC.
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0
8.(2021·全國甲卷)若向量a，b滿足｜a｜＝3，｜a－b｜＝5，a·b＝1，則｜b｜＝　　　　.
9.已知空間向量a，b，c，則下列結論中正確的是　　　(填序號).
①a·b＝a·c(a≠0) b＝c；
②a·b＝0 a＝0或b＝0；
③(a·b)c＝(b·c)a；
④a·(λb)＝λ(a·b)；
⑤若a·b＜0，則a，b的夾角為鈍角.
④
√
[0，1]

13.在四面體OABC中，已知OA，OB，OC兩兩垂直，且OA＝3，OB＝6，OC＝9，若G是△ABC的重心，則OG＝　　　　.
√

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