資源簡介

4.3　用向量方法研究立體幾何中的度量關系
第1課時　空間中的角
學習目標 1.理解兩條異面直線的夾角與它們的方向向量的夾角之間的關系，會用向量方法求兩條異面直線的夾角，提升直觀想象、數學運算的核心素養.　2.理解直線與平面的夾角與直線的方向向量和平面的法向量的夾角之間的關系，會用向量方法求直線與平面的夾角，提升直觀想象、數學運算的核心素養.　3.理解二面角的大小與兩個平面法向量的夾角之間的關系，會用向量方法求平面與平面的夾角，提升直觀想象、數學運算的核心素養.
任務一　兩條直線的夾角
問題1.同學們在分組討論異面直線的夾角時，有同學認為異面直線l1，l2的夾角θ就是其方向向量u，v的夾角〈u，v〉；有同學認為異面直線l1，l2的夾角θ與其方向向量u，v的夾角〈u，v〉沒有任何關系.你認為誰的觀點正確.
提示：都不正確，異面直線的夾角與其方向向量的夾角既有區別又有聯系，事實上，它們是相等或互補的關系.
若向量a，b分別為直線a，b的方向向量，則直線a與b的夾角θ∈，且θ與兩個方向向量的夾角〈a，b〉相等或互補.也就是說：
當0≤〈a，b〉≤時，θ＝〈a，b〉；當＜〈a，b〉≤π時，θ＝π－〈a，b〉.
故cos θ＝｜cos〈a，b〉｜.
(鏈教材P130例8)如圖，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，點D是BC的中點.求異面直線A1B與C1D夾角的余弦值.
解：以點A為原點，AB，AC，AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系A-xyz，如圖所示.
則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A1(0，0，4)，C1(0，2，4).
所以＝(2，0，－4)，＝(1，－1，－4).
因為｜cos〈，〉｜＝＝＝，
所以異面直線A1B與C1D夾角的余弦值為.
1.利用向量法求異面直線的夾角的一般步驟
第一步：選好基底或建立空間直角坐標系；
第二步：求出兩直線的方向向量v1，v2；
第三步：代入公式｜cos〈v1，v2〉｜＝求解.
2.兩異面直線的夾角的范圍是，兩向量的夾角的范圍是[0，π]，當異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時，就是該異面直線的夾角；當異面直線的方向向量的夾角為鈍角時，其補角才是異面直線的夾角.
對點練1.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知M，N分別是BD和AD的中點，則MB1與D1N夾角的余弦值為(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：建立如圖所示的空間直角坐標系.設正方體的棱長為2，則B1(2，2，2)，M(1，1，0)，D1(0，0，2)，N(1，0，0).所以＝(1，1，2)，＝(1，0，－2).所以｜cos〈，〉｜＝＝.所以MB1與D1N夾角的余弦值為.故選A.
任務二　直線與平面的夾角
問題2.(1)直線與平面的夾角就是直線與平面內任一直線的夾角嗎？
(2)直線的方向向量與平面的法向量的夾角是直線與平面的夾角嗎？
提示：(1)不是.(2)不是.
設向量l為直線l的一個方向向量，n是平面α的一個法向量，則直線l與平面α的夾角θ∈，且θ＝－〈l，n〉(如圖①)或θ＝〈l，n〉－(如圖②)，故sin θ＝｜cos〈l，n〉｜.
[微提醒]　除了用向量求線面角外，還可以根據直線與平面夾角的定義，確定出待求角，轉化為兩條直線的夾角求解.
(鏈教材P131例9)如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N為AB上一點，AB＝4AN，M，S分別為PB，BC的中點.
(1)證明：CM⊥SN；
(2)求直線SN與平面CMN夾角的大小.
解：(1)證明：設PA＝1，以點A為原點，AB，AC，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示.
則P(0，0，1)，C(0，1，0)，B(2，0，0).
又AN＝AB，M，S分別為PB，BC的中點，
所以N，M，S.
＝，＝，
所以·＝·＝0.
所以⊥，因此CM⊥SN.
(2)由(1)知，＝，＝(－，－，0)，＝.
設a＝(x，y，z)為平面CMN的一個法向量，
所以·a＝0，·a＝0，
則
取y＝1，得a＝(2，1，－2).
設直線SN與平面CMN的夾角為θ，
因為sin θ＝｜cos〈a，〉｜＝＝，
所以直線SN與平面CMN的夾角為.
[變式探究]
(變條件，變設問)本例中的條件“S為BC的中點”改為“S是線段BC上一點，使得直線SN與平面CMN夾角的正弦值為”，其他條件不變，求SN的長.
解：由本例(1)知，B(2，0，0)，C(0，1，0)，
所以在平面xOy內，直線BC的方程為y＝－x＋1，
設S，0≤x≤2，
＝，
又平面CMN的一個法向量a＝(2，1，－2)，
設SN與平面CMN的夾角為θ，
則sin θ＝｜cos〈，a〉｜
＝＝，
得4x2＋8x－5＝0，
解得x＝或x＝－(舍去)，
則＝，
所以｜｜＝，故SN的長為.
利用平面的法向量求直線與平面夾角的基本步驟
第一步：建立空間直角坐標系；
第二步：求直線的方向向量u；
第三步：求平面的法向量n；
第四步：設線面角為θ，則sin θ＝ ；
第五步：回歸原題目，寫出結論.
對點練2.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為a，側棱長為a，M為A1B1的中點，求BC1與平面AMC1夾角的正弦值.
解：建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A(0，0，0)，M，
C1，B(0，a，0).
故＝，＝，＝.
設平面AMC1的法向量為n＝(x，y，z)，
則
取y＝2，則n＝.
又＝，
所以cos〈，n〉＝＝＝－.
設BC1與平面AMC1的夾角為θ，
則sin θ＝｜cos〈，n〉｜＝.
任務三　平面與平面的夾角
問題3.(1)兩個平面的夾角與二面角的平面角有什么區別？
(2)兩個平面的夾角與兩平面的法向量的夾角有何關系？
提示：(1)平面α與平面β的夾角：平面α與平面β相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角.
區別：二面角的范圍是[0，π]，而兩個平面的夾角的范圍是.
(2)兩平面的夾角是兩平面的法向量的夾角或其補角.
一般地，已知n1，n2分別為平面α，β的法向量，則二面角α-l-β的平面角與兩法向量所成角〈n1，n2〉相等(如圖①)或互補(如圖②).
平面α與平面β相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角.設平面α與平面β的夾角為θ，則cos θ＝｜cos〈n1，n2〉｜＝｜｜.
[微提醒]　求二面角的平面角問題轉化為兩平面法向量的夾角問題.
(鏈教材P133例10)如圖的多面體是直平行六面體ABCD-A1B1C1D1被平面AEFG所截后得到的幾何體，其中∠BAE＝∠GAD＝45°，AB＝2AD＝2，∠BAD＝60°.
(1)求證：BD⊥平面ADG；
(2)求平面AEFG與平面ABCD夾角的余弦值.
解：(1)證明：在△BAD中，因為AB＝2AD＝2，∠BAD＝60°，
所以由余弦定理可得BD＝.
所以AB2＝AD2＋BD2，所以AD⊥BD.
又在直平行六面體中，GD⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以GD⊥BD.
又AD∩GD＝D，所以BD⊥平面ADG.
(2)以點D為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz.
因為∠BAE＝∠GAD＝45°，AB＝2AD＝2，
則有A(1，0，0)，B(0，，0)，G(0，0，1)，E(0，，2)，C(－1，，0).
所以＝(－1，，2)，＝(－1，0，1).
設平面AEFG的法向量為n＝(x，y，z)，
故有
取n＝.
而平面ABCD的一個法向量為＝(0，0，1)，
所以cos〈，n〉＝＝＝.
故平面AEFG與平面ABCD夾角的余弦值為.
求兩平面夾角的兩種方法
1.定義法：在兩個平面內分別找出與兩平面交線垂直的直線，這兩條直線的夾角即為兩平面所成的角.也可轉化為求與兩平面交線垂直的直線的方向向量的夾角，但要注意其異同.
2.法向量法：分別求出兩平面的法向量n1，n2，則兩平面所成二面角的平面角為〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉.
對點練3.如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形.
(1)證明：O1O⊥平面ABCD；
(2)若∠CBA＝60°，求二面角C1-OB1-D的平面角的余弦值.
解：(1)證明：因為四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形，
所以CC1⊥AC，DD1⊥BD，
又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD，
因為AC∩BD＝O，AC，BD 平面ABCD，
所以O1O⊥平面ABCD.
(2)因為四棱柱的所有棱長都相等，所以四邊形ABCD為菱形，AC⊥BD，
又O1O⊥平面ABCD，
所以OB，OC，OO1兩兩垂直.
如圖所示，以點O為原點，OB，OC，OO1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.
設棱長為2，因為∠CBA＝60°，
所以OB＝，OC＝1，
所以O(0，0，0)，B1(，0，2)，C1(0，1，2).
則＝(，0，2)，＝(0，1，2).
平面BDD1B1的一個法向量為n＝(0，1，0)，
設平面C1OB1的法向量為m＝(x，y，z)，
則
取z＝－，則x＝2，y＝2，
所以m＝(2，2，－)，
所以cos〈m，n〉＝＝＝.
由圖知二面角C1-OB1-D的平面角為銳角，
所以二面角C1-OB1-D的平面角的余弦值為.
任務四　與二面角有關的距離問題
如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，且PD＝AD＝1，AB＝2，點E是線段AB上一點，當二面角P-EC-D的平面角的大小為時，AE＝　　　　.
答案：2－
解析：設AE＝a(0≤a≤2)，以點D為原點，DA，DC，DP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示.則D(0，0，0)，E(1，a，0)，C(0，2，0)，P(0，0，1).可得＝(1，a，－1)，＝(0，2，－1).設平面PEC的法向量為m＝(x，y，z)，則取y＝1，可得x＝2－a，z＝2，所以m＝(2－a，1，2)，又由平面DEC的一個法向量為＝(0，0，1)，則cos〈m，〉＝＝＝，解得a＝2－或a＝2＋(舍去)，所以a＝2－.
求解與二面角有關的距離問題，涉及到的兩平面的法向量所成的角是二面角的平面角或其補角，要結合實際圖形確定對應的向量所成的角.
對點練4.如圖，在120°的二面角α-l-β中，A∈l，B∈l，AC α，BD β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分別為A，B.已知AC＝AB＝BD＝6，則線段CD的長為　　　　.
答案：12
解析：因為AC⊥AB，BD⊥AB，所以·＝0，·＝0，又因為二面角α-l-β的平面角為120°，所以〈，〉＝60°.所以CD2＝｜｜2＝(＋＋)2＝＋＋＋2(·＋·＋·)＝3×62＋2×62×cos 60°＝144，所以CD＝12.
任務 再現 1.兩條直線的夾角.2.直線與平面的夾角.3.平面與平面的夾角.4.與二面角有關的距離問題
方法 提煉 公式法、待定系數法、轉化與化歸思想、數形結合思想
易錯 警示 混淆兩個向量的夾角和空間角的關系，不能正確理解空間角的概念、把握空間角的范圍
1.已知直線l1的方向向量s1＝(1，1，1)，直線l2的方向向量s2＝(－2，2，－2)，則l1，l2夾角的余弦值為(　　 )
A.－ B.
C.－ D.
答案：B
解析：因為cos〈s1，s2〉＝＝＝－，所以l1，l2夾角的余弦值為｜cos〈s1，s2〉｜＝.故選B.
2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，BB1與平面ACD1夾角的正弦值為(　　 )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：設正方體的棱長為1，建系如圖.則D(0，0，0)，B(1，1，0)，B1(1，1，1).平面ACD1的一個法向量為＝(1，1，1).又＝(0，0，1)，則cos〈，〉＝＝＝.故BB1與平面ACD1夾角的正弦值為｜cos〈，〉｜＝.故選B.
3.(多選題)在長方體ABCD-A'B'C'D'中，AB＝2，AD＝3，AA'＝1，以D為原點，以，，分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系，則下列說法正確的是(　　 )
A.＝(－3，－2，1)
B.異面直線A'D與BD'夾角的余弦值為
C.平面A'C'D的一個法向量為(－2，－3，6)
D.平面A'C'D與平面A'DD'夾角的余弦值為
答案：ACD
解析：由題意可得A(3，0，0)，B(3，2，0)，C(0，2，0)，D'(0，0，1)，A'(3，0，1)，C'(0，2，1)，B'(3，2，1).對于A，＝(－3，－2，1)，故A正確；對于B，＝(3，0，1)，＝(－3，－2，1)，所以cos 〈，〉＝＝＝，所以異面直線A'D與BD'夾角的余弦值為，故B錯誤；對于C，設平面A'C'D的一個法向量為n＝(x，y，z)，由＝(3，0，1)，＝(0，2，1)，則取z＝6，得n＝(－2，－3，6)，故C正確；對于D，由C可得平面A'C'D的一個法向量為n＝(－2，－3，6)，又平面A'DD'的一個法向量為m＝(0，1，0)，所以cos 〈n，m〉＝＝＝－.所以平面A'C'D與平面A'DD'的夾角的余弦值為，故D正確.故選ACD.
4.在一平面直角坐標系中，已知A(－1，6)，B(2，－6)，現沿x軸將坐標平面折成60°的二面角，則折疊后A，B兩點間的距離為　　　　.
答案：3
解析：在平面直角坐標系中已知A(－1，6)，B(2，－6)，沿x軸將坐標平面折成60°的二面角后，作AC⊥x軸，交x軸于C點，作BD⊥x軸，交x軸于D點，如圖所示，則｜｜＝6，｜｜＝3，｜｜＝6，⊥，⊥，，的夾角為120°，所以＝＋＋，＝＋＋＋2·＋2·＋2·＝62＋32＋62－2×6×6×＝45，所以｜｜＝3，即折疊后A，B兩點間的距離為3.
課時分層評價28　空間中的角
(時間：60分鐘　滿分：110分)
(1—9，每小題5分，共45分)
1.已知正四棱錐S-ABCD的側棱長與底面邊長都相等，E是SB的中點，則AE與SD夾角的余弦值為(　　 )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：以正方形ABCD的中心O為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系.令正四棱錐的棱長為2，則A(1，－1，0)，D(－1，－1，0)，S(0，0，)，E(，，)，所以＝，＝(－1，－1，－)，所以cos〈，〉＝＝＝－，所以AE與SD夾角的余弦值為.故選C.
2.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，ABCD為正方形，且PD＝AB＝1，G為△ABC的重心，則PG與底面所成角的余弦值為(　　 )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：建立如圖所示的空間直角坐標系，則P(0，0，1)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，所以G，＝(，，－1).又因為平面ABCD的一個法向量為n＝(0，0，1)，則cos〈，n〉＝＝－，所以PG與平面ABCD所成角的余弦值為＝.故選B.
3.把矩形ABCD沿對角線BD折成二面角A-BD-C，若AB＝1，AD＝，AC＝，則平面ABD與平面BCD的夾角為(　　 )
A.30° B.60°
C.120° D.90°
答案：B
解析：過A作AE⊥BD于E，過C作CF⊥BD于F(圖略)，則AE＝CF＝，BE＝，所以EF＝1，因為＝＋＋，所以｜｜2＝｜｜2＋｜｜2＋｜｜2＋2｜｜｜｜·cos〈，〉，即＝＋1＋＋2××cos〈，〉，所以cos〈，〉＝＝－，所以平面ABD與平面BCD的夾角為60°.故選B.
4.已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，將矩形ABCD沿對角線AC折起，使平面ABC與平面ACD垂直，則｜｜等于(　　 )
A. B.
C. D.2
答案：C
解析：如圖所示，過點B，D分別向AC作垂線，垂足分別為M，N，則可得AM＝，BM＝，CN＝，DN＝，MN＝1.由于＝＋＋，所以｜｜2＝(＋＋)2＝｜｜2＋｜｜2＋｜｜2＋2(·＋·＋·)＝＋12＋＋2×(0＋0＋0)＝，所以｜｜＝. 故選C.
5.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2，D為AA1上一點.若二面角B1-DC-C1的平面角的大小為60°，則AD的長為(　　 )
A. B.
C.2 D.
答案：A
解析：如圖所示，以C為坐標原點，CA，CB，CC1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.設AD＝t(0≤t≤2)，則C(0，0，0)，B(0，2，0)，D(1，0，t)，B1(0，2，2)，C1(0，0，2)，＝(0，2，0)，＝(1，0，t)，＝(0，2，2)，平面CDC1的一個法向量為＝(0，2，0).設平面CDB1的法向量為m＝(x，y，z)，由令y＝1，得平面CDB1的一個法向量為m＝(t，1，－1)，由題意知cos 60°＝＝＝，解得t＝. 故選A.
6.(多選題)將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，則下列四個結論正確的是(　　 )
A.AC⊥BD
B.AB與CD的夾角大小為60°
C.△ADC為等邊三角形
D.AB與平面BCD的夾角為60°
答案：ABC
解析：對于A，如圖所示，
取BD中點O，連接AO，CO，易知BD垂直于平面AOC，故AC⊥BD，故A正確；對于B，如圖所示建立空間直角坐標系.設正方形邊長為a，則A(a，0，0)，B，故＝.C，D，故＝.所以cos〈，〉＝＝－，故AB與CD的夾角為60°，故B正確；對于C，在直角三角形AOC中，由AO＝CO＝a，解得AC＝AO＝a，所以△ADC為等邊三角形，故C正確；對于D，易知∠ABO即為直線AB與平面BCD的夾角，可求得∠ABO＝45°，故D錯誤.故選ABC.
7.已知兩平面的法向量分別為m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，則兩平面所成的二面角的大小為　　　　.
答案：45°或135°
解析：因為cos〈m，n〉＝＝＝，所以兩平面所成的二面角的大小為45°或135°.
8.在正四棱錐S-ABCD中，O為頂點在底面上的投影，P為側棱SD的中點，且SO＝OD，則直線BC與平面PAC的夾角大小為　　　　.
答案：30°
解析：如圖所示，以點O為原點建立空間直角坐標系.設OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，則A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(－a，0，0)，P，則＝(2a，0，0)，＝，＝(a，a，0).設平面PAC的法向量為n，可求得n＝(0，1，1)，設BC與平面PAC的夾角為θ，則sin θ＝｜cos〈，n〉｜＝＝，所以θ＝30°.
9.正方形ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面成60°的二面角，則異面直線AD與BF夾角的余弦值是　　　　.
答案：
解析：建立如圖所示的坐標系，設AB＝1，則D(，0，)，A(0，0，0)，F(1，0，0)，B(0，1，0)，
所以＝，＝(1，－1，0).所以異面直線AD與BF夾角的余弦值是＝＝.
10.(13分)如圖，在四棱錐S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側面SAB為等邊三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.
(1)證明：SD⊥平面SAB；
(2)求AB與平面SBC夾角的正弦值.
解：以點C為原點，CD，CB所在直線分別為x軸、y軸建立空間直角坐標系C-xyz，如圖所示.
則D(1，0，0)，A(2，2，0)，B(0，2，0).
設S(x，y，z)，則x＞0，y＞0，z＞0.
(1)證明：＝(x－2，y－2，z)，＝(x，y－2，z)，＝(x－1，y，z)，
由｜｜＝｜｜得
＝，故x＝1.
由｜｜＝1得y2＋z2＝1，又由｜｜＝2得x2＋(y－2)2＋z2＝4，即y2＋z2－4y＋1＝0，
故y＝，z＝.
于是S，＝，＝，＝，
·＝0，·＝0，
故DS⊥AS，DS⊥BS，又AS∩BS＝S，
所以SD⊥平面SAB.
(2)設平面SBC的法向量a＝(m，n，p)，
則a⊥，a⊥，即a·＝0，a·＝0.
又＝，＝(0，2，0)，
故
取p＝2，得a＝(－，0，2).
又＝(－2，0，0)，
記θ為AB與平面SBC的夾角，
則sin θ＝｜cos〈，a〉｜＝＝＝.
故AB與平面SBC夾角的正弦值為.
(11—13，每小題5分，共15分)
11.(多選題)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，E，F分別是BC，A1C1的中點，D在線段B1C1上，則下面說法中正確的有(　　)
A.EF∥平面AA1B1B
B.若D是B1C1的中點，則BD⊥EF
C.直線EF與平面ABC夾角的正弦值為
D.直線BD與直線EF的夾角最小時，線段BD長為
答案：ACD
解析：如圖所示，建立空間直角坐標系.得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，0，2)，C1(0，2，2)，E(1，1，0)，F(0，1，2).設D(x，2－x，2)，＝(－1，0，2)，＝(x－2，2－x，2).在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，可得為平面AA1B1B的一個法向量，為平面ABC的一個法向量.對于A，＝(0，2，0)，·＝0，即EF⊥AC，又EF 平面AA1B1B，所以EF∥平面AA1B1B，故A正確；對于B，若D是B1C1的中點，則＝(－1，1，2)，所以·＝1＋4＝5，所以EF與BD不垂直，故B不正確；對于C，由為平面ABC的一個法向量，＝(0，0，2)，設直線EF與平面ABC的夾角為θ，則sin θ＝｜cos〈，〉｜＝＝＝，故C正確；對于D，設＝λ＝(－2λ，2λ，0)(0≤λ≤1)，則＝＋＝(－2λ，2λ，2)，所以·＝2λ＋4，所以cos〈，〉＝＝＝，所以當＝時，即λ＝時，cos〈，〉取最大值，即直線BD與直線EF的夾角最小，此時＝，所以｜BD｜＝｜｜＝，故D正確.故選ACD.
12.(雙空題)四邊形ABCD是邊長為2的正方形，MA和PB都與平面ABCD垂直，且PB＝2MA＝2，則平面PMD與平面ABCD夾角的余弦值為　　　　　　　，
直線MA與平面PMD夾角的正弦值為　　　　.
答案：　
解析：如圖所示，建立空間直角坐標系.則D(0，2，0)，M(0，0，1)，P(2，0，2).所以＝(0，2，－1)，＝(2，0，1).設n1＝(x，y，z)是平面PMD的一個法向量，則令z＝1得n1＝，易知n2＝(0，0，－1)是平面ABCD的一個法向量.所以｜cos〈n1，n2〉｜＝＝＝.又＝(0，0，－1)，則直線MA與平面PMD夾角的正弦值為＝＝.
13.如圖，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC與BD相交于點O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝2，CF＝3.若直線OF與平面BED的夾角為45°，則AE＝　　　　.
答案：2
解析：設AE＝a，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，則△ABC為正三角形，又AB＝2，易得OA＝1，OB＝，如圖所示，以點O為原點，以OA，OB所在直線分別為x軸、y軸，以過點O且平行于CF的直線為z軸建立空間直角坐標系.則B(0，，0)，D(0，－，0)，F(－1，0，3)，E(1，0，a).所以＝(－1，0，3)，＝(0，2，0)，＝(－1，，－a).設平面BED的法向量為n＝(x，y，z)，則令z＝1，則n＝(－a，0，1)，因為直線OF與平面BED的夾角為45°，所以｜cos〈n，〉｜＝＝＝，由a＞0，解得a＝2，所以AE＝2.
14.(15分)已知幾何體EFG-ABCD，如圖所示，其中四邊形ABCD，CDGF，ADGE均為正方形，且邊長均為1，點M在棱DG上.
(1)求證：BM⊥EF；
(2)是否存在點M，使得直線MB與平面BEF所成的角為45°？若存在，確定點M的位置；若不存在，請說明理由.
解：(1)證明：因為四邊形ABCD，CDGF，ADGE均為正方形，
所以GD⊥DA，GD⊥DC.
又DA∩DC＝D，
所以GD⊥平面ABCD.
所以以點D為原點，DA，DC，DG所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.
則B(1，1，0)，E(1，0，1)，F(0，1，1).
因為點M在棱DG上，
故可設M(0，0，t)(0≤t≤1).
因為＝(1，1，－t)，＝(－1，1，0)，
所以·＝0，所以BM⊥EF.
(2)假設存在點M，使得直線MB與平面BEF所成的角為45°.
設平面BEF的一個法向量為n＝(x，y，z)，
因為＝(0，－1，1)，＝(－1，0，1)，
所以
令z＝1，得x＝y＝1，
所以n＝(1，1，1)為平面BEF的一個法向量，
所以cos〈n，〉＝＝，
因為直線MB與平面BEF所成的角為45°，
所以sin 45°＝｜cos〈n，〉｜，
所以＝，
解得t＝－4±3.
又0≤t≤1，所以t＝3－4.
所以存在點M(0，0，3－4).
所以當點M位于棱DG上，且DM＝3－4時，直線MB與平面BEF所成的角為45°.
15.(5分)(多選題)如圖，在正四面體ABCD中，E，F分別為AB，CD的中點，則下列結論正確的是(　　)
A.直線EF與AB的夾角為
B.直線EF與AD的夾角為
C.直線EF與平面BCD夾角的正弦值為
D.直線EF與平面ABD夾角的正弦值為
答案：ABC
解析：將正四面體ABCD放在正方體AGBH-MCND中，設正方體AGBH-MCND的棱長為2，依題意以點A為原點，AG，AH，AM所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示.則A(0，0，0)，B(2，2，0)，C(2，0，2)，D(0，2，2)，E(1，1，0)，F(1，1，2).對于A，＝(0，0，2)，＝(2，2，0)，所以·＝0，直線EF與AB的夾角為，故A正確；對于B，＝(0，2，2)，cos〈，〉＝＝＝，所以直線EF與AD的夾角為，故B正確；對于C，設平面BCD的法向量為m＝(x1，y1，z1)，＝(0，－2，2)，＝(－2，0，2)，則取z1＝1，可得m＝(1，1，1)，所以cos〈，m〉＝＝＝，設直線EF與平面BCD的夾角為α，則sin α＝｜cos〈，m〉｜＝，故直線EF與平面BCD的夾角的正弦值為，故C正確；對于D，設平面ABD的法向量為n＝(x2，y2，z2)，則取x2＝1，可得n＝(1，－1，1)，cos〈，n〉＝＝＝，設直線EF與平面ABD的夾角為β，則sin β＝｜cos〈，n〉｜＝，故直線EF與平面ABD夾角的正弦值為，故D錯誤.故選ABC.
16.(17分)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，若直線AC與平面A1BC的夾角為θ，二面角A1-BC-A的平面角為φ，求證：θ＜φ.
證明：法一：如圖所示，在平面A1ABB1中，作AD⊥A1B于D，連接CD，易證AD⊥平面A1BC，
所以∠ACD是直線AC與平面A1BC的夾角，∠ABA1是二面角A1-BC-A的平面角，即∠ACD＝θ，∠ABA1＝φ，
在Rt△ADC中，sin θ＝，在Rt△ADB中，sin φ＝，
由于AB＜AC，得sin θ＜sin φ，
易知0＜θ＜，0＜φ＜，所以θ＜φ.
法二：以點B為原點，BC，BA，BB1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示.
設AA1＝a，AC＝b，AB＝c，
則B(0，0，0)，A(0，c，0)，C(，0，0)，A1(0，c，a).
于是＝(，0，0)，＝(0，c，a)，＝(，－c，0)，＝(0，0，a).
設平面A1BC的法向量為n＝(x，y，z)，
由
令z＝c，則y＝－a.
則n＝(0，－a，c)為平面A1BC的一個法向量，
因為n·＝ac＞0，所以與n的夾角β為銳角，則β與θ互為余角，
所以sin θ＝cos β＝＝，
易知｜cos φ｜＝＝，
又由圖可知，φ為銳角，所以cos φ＝，
所以sin φ＝，易知c＜b，
所以＜，即sin θ＜sin φ，
又0＜θ＜，0＜φ＜，所以θ＜φ.
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4.3　用向量方法研究立體幾何中的度量關系
第1課時　空間中的角
　
第三章　§4　向量在立體幾何中的應用
學習目標
1.理解兩條異面直線的夾角與它們的方向向量的夾角之間的 關系，會用向量方法求兩條異面直線的夾角，提升直觀想 象、數學運算的核心素養.
2.理解直線與平面的夾角與直線的方向向量和平面的法向量 的夾角之間的關系，會用向量方法求直線與平面的夾角， 提升直觀想象、數學運算的核心素養.
3.理解二面角的大小與兩個平面法向量的夾角之間的關系， 會用向量方法求平面與平面的夾角，提升直觀想象、數學 運算的核心素養.
任務一　兩條直線的夾角
問題導思
問題1.同學們在分組討論異面直線的夾角時，有同學認為異面直線l1，l2的夾角θ就是其方向向量u，v的夾角〈u，v〉；有同學認為異面直線l1，l2的夾角θ與其方向向量u，v的夾角〈u，v〉沒有任何關系.你認為誰的觀點正確.
提示：都不正確，異面直線的夾角與其方向向量的夾角既有區別又有聯系，事實上，它們是相等或互補的關系.
新知構建
相等
互補
〈a，b〉
π－
〈a，b〉
｜cos〈a，b〉｜
(鏈教材P130例8)如圖，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，
AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，點D是BC的中點.求異面
直線A1B與C1D夾角的余弦值.
解：以點A為原點，AB，AC，AA1所在直線分別為x軸、y軸、
z軸建立空間直角坐標系A-xyz，如圖所示.
典例
1
規律方法

規律方法

√

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任務二　直線與平面的夾角
問題導思
問題2.(1)直線與平面的夾角就是直線與平面內任一直線的夾角嗎？
提示：不是.
(2)直線的方向向量與平面的法向量的夾角是直線與平面的夾角嗎？
提示：不是.
新知構建
｜cos〈l，n〉｜
微提醒
除了用向量求線面角外，還可以根據直線與平面夾角的定義，確定出待求角，轉化為兩條直線的夾角求解.
典例
2
規律方法

返回
任務三　平面與平面的夾角
問題導思
新知構建
一般地，已知n1，n2分別為平面α，β的法向量，則二面角α-l-β的平面角與兩法向量所成角〈n1，n2〉______(如圖①)或______(如圖②).
相等
互補
微提醒
求二面角的平面角問題轉化為兩平面法向量的夾角問題.
典例
3
規律方法
求兩平面夾角的兩種方法
1.定義法：在兩個平面內分別找出與兩平面交線垂直的直線，這兩條直線的夾角即為兩平面所成的角.也可轉化為求與兩平面交線垂直的直線的方向向量的夾角，但要注意其異同.
2.法向量法：分別求出兩平面的法向量n1，n2，則兩平面所成二面角的平面角為〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉.
對點練3.如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都相
等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四邊形ACC1A1和四
邊形BDD1B1均為矩形.
(1)證明：O1O⊥平面ABCD；
解：證明：因為四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形，
所以CC1⊥AC，DD1⊥BD，
又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD，
因為AC∩BD＝O，AC，BD 平面ABCD，
所以O1O⊥平面ABCD.
(2)若∠CBA＝60°，求二面角C1-OB1-D的平面角的余弦值.
解：因為四棱柱的所有棱長都相等，所以四邊形ABCD
為菱形，AC⊥BD，
又O1O⊥平面ABCD，
所以OB，OC，OO1兩兩垂直.
如圖所示，以點O為原點，OB，OC，OO1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.
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任務四　與二面角有關的距離問題
典例
4


規律方法
求解與二面角有關的距離問題，涉及到的兩平面的法向量所成的角是二面角的平面角或其補角，要結合實際圖形確定對應的向量所成的角.
對點練4.如圖，在120°的二面角α-l-β中，A∈l，B∈l，AC α，BD β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分別為A，B.已知AC＝AB＝BD＝6，則線段CD的長為　　.
12
課堂小結
任務再現 1.兩條直線的夾角.2.直線與平面的夾角.3.平面與平面的夾角.4.與二面角有關的距離問題
方法提煉 公式法、待定系數法、轉化與化歸思想、數形結合思想
易錯警示 混淆兩個向量的夾角和空間角的關系，不能正確理解空間角的概念、把握空間角的范圍
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隨堂評價
√

√

√
√
√


4.在一平面直角坐標系中，已知A(－1，6)，B(2，－6)，現沿x軸將坐標平面折成60°的二面角，則折疊后A，B兩點間的距離為　　　.

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課時分層評價
√

√

√
√

√


√
√
√
6.(多選題)將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，則下列四個結論正確的是
A.AC⊥BD
B.AB與CD的夾角大小為60°
C.△ADC為等邊三角形
D.AB與平面BCD的夾角為60°


7.已知兩平面的法向量分別為m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，則兩平面所成的二面角的大小為　　 　　.
45°或135°
8.在正四棱錐S-ABCD中，O為頂點在底面上的投影，P為側棱SD的中點，且SO＝OD，則直線BC與平面PAC的夾角大小為　　　　.
30°

9.正方形ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面成60°的二面角，則異面
直線AD與BF夾角的余弦值是　　　.

√
√
√



12.(雙空題)四邊形ABCD是邊長為2的正方形，MA和PB都與平面ABCD垂
直，且PB＝2MA＝2，則平面PMD與平面ABCD夾角的余弦值為　　　，
直線MA與平面PMD夾角的正弦值為　　　.


13.如圖，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC與BD相交于點O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝2，CF＝3.若直線OF與平面BED的夾角為45°，則AE＝　　.
2


14.(15分)已知幾何體EFG-ABCD，如圖所示，其中四邊
形ABCD，CDGF，ADGE均為正方形，且邊長均為1，點
M在棱DG上.
(1)求證：BM⊥EF；
解：證明：因為四邊形ABCD，CDGF，ADGE均為正方形，
所以GD⊥DA，GD⊥DC.
又DA∩DC＝D，
所以GD⊥平面ABCD.
√
√
√
將正四面體ABCD放在正方體AGBH-MCND中，設正方體AGBH-MCND的棱長為2，依題意以點A為原點，AG，AH，AM所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示.



16.(17分)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，若直
線AC與平面A1BC的夾角為θ，二面角A1-BC-A的平面角為φ，
求證：θ＜φ.
證明：法一：如圖所示，在平面A1ABB1中，作AD⊥A1B于D，
連接CD，易證AD⊥平面A1BC，
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