資源簡介

第2課時　空間中的距離問題
學習目標 1.能用向量方法解決點到直線、點到平面、相互平行的直線、相互平行的平面間的距離問題，培養直觀想象、數學運算的核心素養.　2.通過空間中距離問題的求解，體會向量方法在研究幾何問題中的作用，提升數學運算、邏輯推理的核心素養.
任務一　點到平面的距離
問題1.如圖，設點P是平面α外一點，點A是平面α內的已知點，n0是平面α的單位法向量.如何求平面α外一點P到平面α的距離？
提示：如圖所示，過點P作PP'⊥平面α，垂足為點P'，則線段PP'的長度就是點P到平面α的距離，而∥n0，所以向量在法向量n0方向上的投影向量的長度就等于線段PP'的長度.
點P到平面α的距離，等于點P與平面α內任意一點A連線所得向量，在平面α的單位法向量n0方向上所作投影向量的長度，即d＝.
[微思考]　當直線與平面平行時，如何求直線與平面的距離？兩平行平面間的距離呢？
提示：如果一條直線l與一個平面α平行，可在直線l上任取一點P，將線面距離轉化為點P到平面α的距離求解；如果兩個平面α，β互相平行，在其中一個平面α內任取一點P，可將兩個平行平面的距離轉化為點P到平面β的距離求解.
如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝AA1＝1，E為AB中點.
(1)求點B1到平面A1EC的距離；
(2)求點C1到平面A1EC的距離.
解：(1)依題意，建立如圖所示的空間直角坐標系.
A1(1，0，1)，E(1，1，0)，B1(1，2，1)，C(0，2，0).
＝(－1，1，0)，＝(0，1，－1).
設平面A1EC的法向量為n＝(x，y，z)，
則
令z＝1，可得y＝1，x＝1，
所以n＝(1，1，1)，
又＝(0，－1，－1)，
取n0＝＝(，，)，
所以點B1到平面A1EC的距離為＝＝.
(或者點B1到平面A1EC的距離為＝＝).
(2)由(1)可知，C1(0，2，1)，＝(－1，2，0)，
所以點C1到平面A1EC的距離為＝＝.
(或者點C1到平面A1EC的距離為＝＝).
用向量法求點面距離的步驟
第一步(建系)：建立恰當的空間直角坐標系；
第二步(求點坐標)：寫出(求出)相關點的坐標；
第三步(求向量)：求出相關向量的坐標(，α內兩不共線向量，平面α的法向量n)；
第四步(求距離)：d＝.(或取平面α的法向量n的單位法向量n0).
對點練1.如圖，△BCD與△MCD都是邊長為2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2.求點A到平面MBC的距離.
解：取CD的中點O，連接OB，OM，則OB⊥CD，OM⊥CD，
又平面MCD⊥平面BCD，
所以MO⊥平面BCD.
依題意以點O為原點，OC，BO，OM所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系O-xyz，如圖所示.
因為△BCD與△MCD都是邊長為2的正三角形，
所以OB＝OM＝，
則O(0，0，0)，C(1，0，0)，M(0，0，)，B(0，－，0)，A(0，－，2).
所以＝(1，，0)，＝(0，，).
設平面MBC的法向量為n＝(x，y，z)，
由
即取x＝，可得平面MBC的一個法向量為n＝(，－1，1).
又＝(0，0，2)，所以所求距離d＝｜·｜＝.
任務二　點到直線的距離
問題2.如圖，設點P是直線l外一點，l0是直線l的單位方向向量，如何利用這些條件求點P到直線l的距離？
提示：如圖所示，過點P作直線l的垂線，垂足為點P'，則垂線段PP'的長度就是點P到直線l的距離.
在Rt△PP'A中，＝，于是，點P到直線l的距離為＝＝.
點到直線的距離：若點P是直線l外一點，l0是直線l的單位方向向量，點A是直線l上任意一點，則點P到直線l的距離為d＝，l0＝.
[微思考]　如何求兩條平行線之間的距離？
提示：兩條平行線之間的距離可以轉化為其中一條直線上的任意一點到另一條直線的距離.
如圖，在空間直角坐標系中有長方體ABCD-A'B'C'D'，AB＝1，BC＝2，AA'＝3，求點B到直線A'C的距離.
解：因為AB＝1，BC＝2，AA'＝3，
所以A'(0，0，3)，C(1，2，0)，B(1，0，0)，
所以直線A'C的方向向量＝(1，2，－3).
法一：＝(0，2，0)，
l0＝＝(，，－)，
則｜｜2＝4，·l0＝，
所以點B到直線A'C的距離為
＝＝.
法二：因為＝(0，2，0)，所以＝，
所以點B到直線A'C的距離為d＝
＝＝.
向量法求點到直線的距離的一般步驟
第一步(建系)：建立空間直角坐標系；
第二步(求方向向量)：求直線的方向向量；
第三步(求模)：計算所求點與直線上某一點所構成的向量在直線的方向向量上的投影向量的模；
第四步(求距離)：利用勾股定理求點到直線的距離.
另外，要注意平行直線間的距離與點到直線的距離之間的轉化.
對點練2.如圖，P為矩形ABCD所在平面外一點，PA⊥平面ABCD，若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，求點P到直線BD的距離.
解：如圖所示，以點A為原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.
則P(0，0，1)，B(3，0，0)，D(0，4，0).
所以＝(3，0，－1)，＝(－3，4，0)，
l0＝＝，
則｜｜2＝10，·l0＝－，
所以點P到直線BD的距離為＝＝.
任務三　線線距、線面距和面面距
如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為線段DD1的中點，F為線段BB1的中點.
(1)求直線FC1到直線AE的距離；
(2)求直線FC1到平面AB1E的距離.
解：(1)建立如圖所示的空間直角坐標系.
得B1(1，1，1)，E，F，A(1，0，0)，C1(0，1，1).
因為＝，＝，
所以∥，即AE∥FC1，
所以點F到直線AE的距離即為直線FC1到直線AE的距離，
l0＝＝，＝，
｜｜2＝，·l0＝，
所以直線FC1到直線AE的距離為
＝＝.
(2)因為AE∥FC1，FC1 平面AB1E，AE 平面AB1E，所以FC1∥平面AB1E，
所以直線FC1到平面AB1E的距離等于C1到平面AB1E的距離，
＝(1，0，0)，＝(0，1，1)，＝，
設平面AB1E的一個法向量為n＝(x，y，z)，
則
取z＝2，可得n＝(1，－2，2)，
所以C1到平面AB1E的距離為＝＝，
所以直線FC1到平面AB1E的距離為.
求線面距離或兩個平行平面間的距離可以轉化為求點到平面的距離.
對點練3.直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，邊長為2，側棱A1A＝3，M，N分別為A1B1，A1D1的中點，E，F分別是C1D1，B1C1的中點.
(1)求證：平面AMN∥平面EFBD；
(2)求平面AMN與平面EFBD的距離.
解：(1)證明：法一：連接B1D1，NF(圖略)，
因為M，N分別為A1B1，A1D1的中點，E，F分別是C1D1，B1C1的中點，所以MN∥EF∥B1D1，
因為MN 平面EFBD，EF 平面EFBD，
所以MN∥平面EFBD，
因為NF綊AB，所以ABFN是平行四邊形，
所以AN∥BF，
因為AN 平面EFBD，BF 平面EFBD，
所以AN∥平面EFBD，
因為AN∩MN＝N，所以平面AMN∥平面EFBD.
法二：如圖所示，建立空間直角坐標系D-xyz.
則A(2，0，0)，N(1，0，3)，B(2，2，0)，E(0，1，3)，F(1，2，3)，M(2，1，3).
所以＝(1，1，0)，＝(－1，－1，0)，＝(－1，0，3)，＝(－1，0，3)，
所以＝－，＝，
所以EF∥MN，AN∥BF，
因為MN 平面EFBD，EF 平面EFBD，
所以MN∥平面EFBD，
因為AN 平面EFBD，BF 平面EFBD，
所以AN∥平面EFBD，
又MN∩AN＝N，所以平面AMN∥平面EFBD.
(2)法一：由(1)知平面AMN∥平面EFBD，所以平面AMN與平面EFBD的距離等于B到平面AMN的距離h.
在△AMN中，AM＝AN＝，MN＝，＝××＝，
所以由VB-AMN＝VN-AMB可得×h＝××2×3×1，所以h＝.
法二：設平面AMN的一個法向量為n＝(x，y，z)，
則則可取n＝(3，－3，1)，
因為＝(0，2，0)，
所以平面AMN與平面EFBD的距離為d＝＝＝.
[教材拓展6]　異面直線間的距離(源自于教材P143　閱讀材料)
如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，M，N分別是棱AB，CC1的中點，E是BD的中點，則異面直線D1M，EN間的距離為(　　)
A. B.
C.1 D.
答案：A
解析：以點D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示.得D1(0，0，1)，M(1，，0)，E(，，0)，N(0，1，).＝(1，，－1)，＝(－，，).設n＝(x，y，z)同時垂直于，，由令x＝1，得n＝(1，0，1)，又＝(－1，，)，則異面直線D1M，EN間的距離為＝＝.故選A.
任務再現 1.點到平面的距離.2.點到直線的距離.3.線線距、線面距和面面距
方法提煉 公式法、數形結合思想、轉化與化歸思想
易錯警示 對距離公式理解不到位，在使用時生搬硬套.對公式推導過程的理解是應用的基礎
1.已知直線l過定點A(2，3，1)，且方向向量為n＝(0，1，1)，則點P(4，3，2)到l的距離為(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：＝(－2，0，－1)，｜｜＝，·＝，則點P到直線l的距離d＝＝＝.故選D.
2.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，O是底面A1B1C1D1的中心，則O到平面ABC1D1的距離是(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：建立如圖所示空間直角坐標系.則D(0，0，0)，A1(1，0，1)，O，A(1，0，0).所以＝(1，0，1)，＝(－，，1).由題意知為平面ABC1D1的法向量，所以O到平面ABC1D1的距離為d＝＝＝.故選A.
3.兩平行平面α，β分別經過坐標原點O和點A(1，2，3)，且兩平面的一個法向量n＝(－1，0，1)，則兩平面間的距離是　　　　.
答案：
解析：因為兩平行平面α，β分別經過坐標原點O和點A(1，2，3)，則＝(1，2，3)，又兩平面的一個法向量n＝(－1，0，1)，所以兩平面間的距離d＝＝＝.
4.在棱長是2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為A1B1的中點，則異面直線D1E和BC1間的距離是　　　.
答案：
解析：以點D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系(圖略).則D1(0，0，2)，E(2，1，2)，B(2，2，0)，C1(0，2，2).則＝(2，1，0)，＝(－2，0，2).設與異面直線D1E和BC1都垂直的向量為n＝(x，y，z)，則令z＝1，則n＝(1，－2，1)，又＝(0，－1，2)，故異面直線D1E和BC1間的距離是d＝＝＝.
課時分層評價29　空間中的距離問題
(時間：60分鐘　滿分：110分)
(1—9，每小題5分，共45分)
1.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，則點A1與對角線BC1所在直線間的距離是(　　)
A. B.a
C.a D.a
答案：C
解析：如圖所示，建立空間直角坐標系.則A1(a，0，a)，B(a，a，0)，C1(0，a，a).所以＝(0，a，－a)，｜｜＝a，＝(－a，0，a)，｜｜＝a.所以點A1到BC1的距離d＝＝＝a.故選C.
2.如圖，已知ABC-A1B1C1是各條棱長均等于a的正三棱柱，D是側棱CC1的中點，則點C1到平面AB1D的距離為(　　)
A.a B.a
C.a D.a
答案：B
解析：因為ABB1A1為正方形，所以A1B⊥AB1，又·＝(＋)·＝·－＝a2－a2＝0，所以A1B⊥B1D，又AB1∩B1D＝B1，所以A1B⊥平面AB1D，所以是平面AB1D的一個法向量，由于C1D＝CD，所以C1到平面AB1D的距離等于C到平面AB1D的距離，設點C到平面AB1D的距離為d，則d＝＝＝＝＝a.故選B .
3.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面邊長為2，側棱長為4，E，F分別為棱AB，BC的中點，則三棱錐B1-EFD1的體積V等于(　　)
A. B.
C. D.16
答案：C
解析：以點D為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.則B1(2，2，4)，D1(0，0，4)，E(2，，0)，F(，2，0).所以＝(2，，－4)，＝(，2，－4)，＝(2，2，0).所以cos〈，〉＝＝＝，所以sin〈，〉＝，所以＝｜｜·｜｜·sin〈，〉＝ ×××＝5，設平面D1EF的法向量為n＝(x，y，z)，則取x＝1，則n＝，所以點B1到平面D1EF的距離d＝＝＝，所以V＝··d＝×5×＝.故選C.
4.如圖，已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝5，AB＝12，則直線B1C1到平面A1BCD1的距離是(　　)
A.5 B.8
C. D.
答案：D
解析：以點D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示.則C(0，12，0)，D1(0，0，5).設B(x，12，0)，B1(x，12，5)(x＞0).＝(－x，0，0)，＝(0，－12，5).設平面A1BCD1的法向量為n＝(a，b，c)，則所以可取n＝(0，5，12).又＝(0，0，－5)，所以點B1到平面A1BCD1的距離為＝＝.因為B1C1∥平面A1BCD1，所以B1C1到平面A1BCD1的距離為.故選D.
5.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，則平面AB1D1與平面BDC1的距離為(　　)
A.a B.a
C.a D.a
答案：D
解析：以點D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示.則平面AB1D1的一個法向量為n＝(1，－1，1)，由A(a，0，0)，B(a，a，0)，得＝(0，－a，0)，則兩平面間的距離d＝｜·｜＝＝a.故選D.
6.(多選題)如圖，在棱長為3的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P在棱DC上運動(不與頂點重合)，則點B到平面AD1P的距離可以是(　　)
A.1 B.2
C. D.3
答案：BC
解析：以點D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示.則D(0，0，0)，A(3，0，0)，B(3，3，0)，D1(0，0，3).設P(0，t，0)(0＜t＜3)，所以＝(－3，t，0)，＝(－3，0，3)，＝(0，3，0).設n＝(x，y，z)為平面AD1P的法向量，則有令y＝3，可得n＝(t，3，t)，則點B到平面AD1P的距離為d＝＝，因為0＜t＜3，所以2t2＋9∈(9，27)，所以d∈(，3).故選BC.
7.設A(2，3，1)，B(4，1，2)，C(6，3，7)，D(－5，－4，8)，則點D到平面ABC的距離為　　　　.
答案：
解析：設平面ABC的法向量n＝(x，y，z)，因為n·＝0，n·＝0，所以取z＝－2，則n＝(3，2，－2).又＝(－7，－7，7)，所以點D到平面ABC的距離為d＝＝＝＝.
8.在三棱錐S-ABC中，SA＝BC＝2，SC＝AB＝，SB＝AC＝.記BC的中點為M，SA的中點為N，則異面直線AM與CN的距離為　　　.
答案：
解析：三棱錐S-ABC的三組對棱分別相等，將三棱錐S-ABC放在長方體中，設長方體的長、寬、高分別為a，b，c，且 因此以點B為原點，建立空間直角坐標系，如圖所示.則S(0，，)，A(1，0，)，B(0，0，0)，C(1，，0)，M，N.＝，＝.設n＝(x，y，z)垂直于，所以令y＝，則z＝，x＝0，所以n＝.又＝(0，0，)，所以異面直線AM與CN的距離d＝｜·｜＝＝.
9.(新情境)在我國古代數學名著《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑.如圖，已知在鱉臑P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝BC＝2，M為PC的中點，則點P到平面MAB的距離為　　　　.
答案：
解析：以點B為原點，BA，BC所在直線分別為x軸、y軸建立空間直角坐標系，如圖所示.則B(0，0，0)，A(2，0，0)，P(2，0，2)，C(0，2，0)，由M為PC的中點可得M(1，1，1).＝(1，1，1)，＝(2，0，0)，＝(2，0，2).設n＝(x，y，z)為平面MAB的一個法向量，則令z＝－1，可得n＝(0，1，－1)，點P到平面MAB的距離為d＝＝.
10.(13分)如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2.求：
(1)點A1到直線BD的距離；
(2)點A1到平面BDC1的距離；
(3)異面直線BD，CD1之間的距離.
解：(1)以點D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示.
因為AD＝AA1＝1，AB＝2，則B(1，2，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，C1(0，2，1)，C(0，2，0)，D1(0，0，1).
所以＝(－1，－2，0)，＝(0，2，－1).
所以＝＝，
又＝＝，
所以點A1到直線BD的距離d1＝＝.
(2)由(1)知 ＝(－1，－2，0)，＝(0，2，1)，＝(0，2，－1).
設平面BDC1的法向量為n＝(x，y，z)，則
取y＝1，可得x＝－2，z＝－2，所以n＝(－2，1，－2)是平面BDC1的一個法向量，
向量＝(0，2，－1)在法向量n＝(－2，1，－2)上的投影向量的長度為
＝＝，
所以點A1到平面BDC1的距離為.
(3)由(1)＝(0，－2，1)，＝(0，－2，1)，
所以∥，所以CD1∥BA1，
又CD1 平面A1BD，BA1 平面A1BD，
所以CD1∥平面A1BD，
所以異面直線BD，CD1之間的距離與點C到平面A1BD的距離相等，
設平面A1BD的法向量為m＝(x1，y1，z1)，
因為＝(－1，－2，0)，
則
取y1＝1，可得x1＝－2，z1＝2，所以m＝(－2，1，2)是平面A1BD的一個法向量，
向量＝(0，－2，0)在法向量m＝(－2，1，2)上的投影向量的長度為＝＝，
所以點C到平面A1BD的距離為，故異面直線BD，CD1之間的距離為.
(11—13，每小題5分，共15分)
11.如圖，在空間直角坐標系中有棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1，點M是線段DC1上的動點，則點M到直線AD1距離的最小值是(　　)
A.a B.a
C.a D.a
答案：B
解析：設M(0，m，m)(0≤m≤a)，＝(－a，0，a)，直線AD1的一個單位方向向量s0＝(－，0，)，由＝(0，－m，a－m)，故點M到直線AD1的距離d＝＝＝，當m＝時，d取最小值a.故選B.
12.棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是線段BB1，B1C1的中點，則直線MN到平面ACD1的距離為　　　　　.
答案：
解析：如圖所示，以點D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.
則D(0，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，M，A(1，0，0).所以＝，＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1).設平面ACD1的法向量為n＝(x，y，z)，則令x＝1，則y＝z＝1，所以n＝(1，1，1).所以點M到平面ACD1的距離d＝＝＝.又MN∥AD1，所以MN∥平面ACD1，所以直線MN到平面ACD1的距離為.
13.已知A(0，0，2)，B(0，2，1)，C(2，1，0)，D(2，0，1)，則點D到平面ABC的距離為　　　　.
答案：
解析：由題意，＝(0，2，－1)，＝(2，1，－2)，＝(2，0，－1)，設平面ABC的法向量為n＝(x，y，z)，則有令y＝2，則z＝4，x＝3，所以n＝(3，2，4)，則點D到平面ABC的距離為＝＝.
14.(15分)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，側面AA1B1B為正方形.AB＝BC＝2，E，F分別為AC和CC1的中點，BF⊥A1B1.
(1)求四棱錐E-BB1C1F的體積；
(2)是否存在點D在直線A1B1上，使得異面直線BF，DE的距離為1？若存在，求出此時線段DE的長；若不存在，請說明理由.
解：(1)因為側面AA1B1B為正方形，
所以A1B1⊥BB1，
又BF⊥A1B1，且BB1∩BF＝B，BB1，BF 平面BB1C1C，
所以A1B1⊥平面BB1C1C，又AB∥A1B1，
所以AB⊥平面BB1C1C，取BC中點G，連接EG，如圖所示，
則EG∥AB，所以EG⊥平面BB1C1C.
所以＝×(C1F＋BB1)·B1C1·EG＝××(1＋2)×2×1＝1.
(2)假設存在點D符合題意.以點B為原點，BA，BC，BB1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示.
則B(0，0，0)，E(1，1，0)，F(0，2，1).
設D(a，0，2)，則＝(0，2，1)，＝(a－1，－1，2)，＝(1，1，0).
設與，均垂直的向量為n＝(x，y，z)，
則取n＝(5，a－1，－2(a－1))，
所以異面直線BF，DE的距離d＝＝＝1，解得a＝1或.
所以＝＝.
故存在點D在直線A1B1上，使得異面直線BF，DE的距離為1，且此時DE＝.
15.(5分)如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若BB1＝AB＝2，則點C到直線AB1的距離為　　　　.
答案：
解析：取AC的中點D，建立如圖所示的空間直角坐標系.則A(0，－1，0)，B1(，0，2)，C(0，1，0)，所以＝(，1，2)，＝(0，－2，0).所以·＝－2，所以＝＝，所以點C到直線AB1的距離d＝＝＝＝.
16.(17分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD，側棱PA＝PD＝，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，線段AD上是否存在一點Q，使得它到平面PCD的距離為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
解：取AD的中點O，在△PAD中，
因為PA＝PD，所以PO⊥AD.
又側面PAD⊥底面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO 平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD.
所以以點O為原點，OC，OD，OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示.
得A(0，－1，0)，B(1，－1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1).
則＝(－1，0，1)，＝(－1，1，0).
假設線段AD上存在點Q，使它到平面PCD的距離為，
設Q(0，y，0)(－1≤y≤1)，
則＝(－1，y，0).
設平面PCD的法向量為n＝(x0，y0，z0)，
則
即x0＝y0＝z0，取x0＝1，
則平面PCD的一個法向量為n＝(1，1，1).
所以點Q到平面PCD的距離d＝＝＝，
所以y＝－或y＝(舍去).
此時＝，＝，
則｜｜＝，｜｜＝，
所以存在點Q滿足題意，此時＝.
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4.3　用向量方法研究立體幾何中的度量關系
第2課時　空間中的距離問題
　
第三章　§4　向量在立體幾何中的應用
學習目標
1.能用向量方法解決點到直線、點到平面、相互平行的直 線、相互平行的平面間的距離問題，培養直觀想象、數學 運算的核心素養.
2.通過空間中距離問題的求解，體會向量方法在研究幾何問 題中的作用，提升數學運算、邏輯推理的核心素養.
任務一　點到平面的距離
問題導思
新知構建

當直線與平面平行時，如何求直線與平面的距離？兩平行平面間的距離呢？
提示：如果一條直線l與一個平面α平行，可在直線l上任取一點P，將線面距離轉化為點P到平面α的距離求解；如果兩個平面α，β互相平行，在其中一個平面α內任取一點P，可將兩個平行平面的距離轉化為點P到平面β的距離求解.
微思考
典例
1
規律方法

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任務二　點到直線的距離
問題導思
新知構建
如何求兩條平行線之間的距離？
提示：兩條平行線之間的距離可以轉化為其中一條直線上的任意一點到另一條直線的距離.
微思考
典例
2
規律方法
向量法求點到直線的距離的一般步驟
第一步(建系)：建立空間直角坐標系；
第二步(求方向向量)：求直線的方向向量；
第三步(求模)：計算所求點與直線上某一點所構成的向量在直線的方向向量上的投影向量的模；
第四步(求距離)：利用勾股定理求點到直線的距離.
另外，要注意平行直線間的距離與點到直線的距離之間的轉化.
對點練2.如圖，P為矩形ABCD所在平面外一點，PA⊥平面
ABCD，若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，求點P到直線BD的
距離.
解：如圖所示，以點A為原點，AB，AD，AP所在直線分別
為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.
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任務三　線線距、線面距和面面距
如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1
中，E為線段DD1的中點，F為線段BB1的中點.
(1)求直線FC1到直線AE的距離；
解：建立如圖所示的空間直角坐標系.
典例
3
規律方法
求線面距離或兩個平行平面間的距離可以轉化為求點到平面的距離.
對點練3.直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為正方
形，邊長為2，側棱A1A＝3，M，N分別為A1B1，A1D1的中
點，E，F分別是C1D1，B1C1的中點.
(1)求證：平面AMN∥平面EFBD；
解：證明：法一：連接B1D1，NF(圖略)，
因為M，N分別為A1B1，A1D1的中點，E，F分別是C1D1，B1C1的中點，所以MN∥EF∥B1D1，
因為MN 平面EFBD，EF 平面EFBD，
所以MN∥平面EFBD，
因為NF AB，所以ABFN是平行四邊形，
所以AN∥BF，
因為AN 平面EFBD，BF 平面EFBD，
所以AN∥平面EFBD，
因為AN∩MN＝N，所以平面AMN∥平面EFBD.
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典例
4

課堂小結
任務再現 1.點到平面的距離.2.點到直線的距離.3.線線距、線面距和面面距
方法提煉 公式法、數形結合思想、轉化與化歸思想
易錯警示 對距離公式理解不到位，在使用時生搬硬套.對公式推導過程的理解是應用的基礎
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隨堂評價
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3.兩平行平面α，β分別經過坐標原點O和點A(1，2，3)，且兩平面的一個法向量n＝(－1，0，1)，則兩平面間的距離是　　　.

4.在棱長是2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為A1B1的中點，則異面直線
D1E和BC1間的距離是　　　.

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課時分層評價
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7.設A(2，3，1)，B(4，1，2)，C(6，3，7)，D(－5，－4，8)，則點D到平
面ABC的距離為　　　　.




9.(新情境)在我國古代數學名著《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑.如圖，已知在鱉臑P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝BC＝2，M為PC的中點，則點P到平面MAB的距離為　　　.

10.(13分)如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD＝
AA1＝1，AB＝2.求：
(1)點A1到直線BD的距離；
解：以點D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x
軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示.
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12.棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是線段BB1，B1C1的中
點，則直線MN到平面ACD1的距離為　　.

13.已知A(0，0，2)，B(0，2，1)，C(2，1，0)，D(2，0，1)，則點D到平
面ABC的距離為　　　.

(2)是否存在點D在直線A1B1上，使得異面直線BF，DE的距離為1？若存在，求出此時線段DE的長；若不存在，請說明理由.
解：假設存在點D符合題意.以點B為原點，BA，BC，BB1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示.

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