資源簡(jiǎn)介

1.3　全概率公式
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.結(jié)合古典概型，理解并掌握全概率公式.　2.會(huì)利用全概率公式計(jì)算概率，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).　*3.了解貝葉斯公式.　4.借助全概率公式的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).
任務(wù)一　全概率公式
問題1.兩臺(tái)機(jī)床加工同樣的零件，第一臺(tái)的廢品率為0.04，第二臺(tái)的廢品率為0.07，加工出來(lái)的零件混放，并設(shè)第一臺(tái)加工的零件是第二臺(tái)加工零件的2倍，現(xiàn)任取一零件，如何求它是合格品的概率？
提示：設(shè)事件A表示“取到的零件為合格品”，事件Bi表示“零件為第i臺(tái)機(jī)床的產(chǎn)品”，i＝1，2.
其中B1，B2互斥，A發(fā)生總是伴隨著B1，B2之一同時(shí)發(fā)生，即A＝B1A∪B2A，且B1A，B2A互斥，運(yùn)用互斥事件概率的加法公式得到P(A)＝P(B1A)＋P(B2A)，再對(duì)求和中的每一項(xiàng)運(yùn)用乘法公式得P(A)＝P(B1)P＋P(B2)P＝×0.96＋×0.93＝0.95.
1.設(shè)Ω是試驗(yàn)E的樣本空間，B1，B2，…，Bn為樣本空間Ω的一組事件，若
(1)BiBj＝ ，其中i≠j(i，j＝1，2，…，n)，
(2)B1∪B2∪…∪Bn＝Ω，
則稱B1，B2，…，Bn為樣本空間Ω的一個(gè)劃分.
條件(1)表示每次試驗(yàn)B1，B2，…，Bn中只能發(fā)生一個(gè)；
條件(2)表示每次試驗(yàn)B1，B2，…，Bn必有一個(gè)發(fā)生.
2.定義：設(shè)B1，B2，…，Bn為樣本空間Ω的一個(gè)劃分，若P(Bi)＞0(i＝1，2，…，n)，則對(duì)任意一個(gè)事件A有P(A)＝PP，稱上式為全概率公式.
(鏈教材P192例7)2025年某公司推出高、中、低3個(gè)價(jià)位的S型新能源汽車，這3個(gè)價(jià)位的新能源汽車的銷量之比為3∶3∶4，用戶對(duì)這3個(gè)價(jià)位的新能源汽車的滿意率分別為80％，60％，70％，求用戶對(duì)S型新能源汽車的滿意率.
解：設(shè)B1＝“用戶購(gòu)買的是高價(jià)位的S型新能源汽車”，B2＝“用戶購(gòu)買的是中價(jià)位的S型新能源汽車”，B3＝“用戶購(gòu)買的是低價(jià)位的S型新能源汽車”，
A＝“用戶對(duì)S型新能源汽車滿意”，
則B1，B2，B3兩兩互斥，且P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.4，
P(A｜B1)＝0.8，P(A｜B2)＝0.6，P＝0.7，
由全概率公式得，P(A)＝P(B1)P(A｜B1)＋P(B2)P(A｜B2)＋P(B3)P
＝0.3×0.8＋0.3×0.6＋0.4×0.7＝0.7.
1.全概率公式為概率論中的重要公式，它將對(duì)一復(fù)雜事件A的概率求解問題轉(zhuǎn)化為在不同情況下發(fā)生的簡(jiǎn)單事件的概率的求和問題，即“化整為零”求多事件的全概率問題.
2.運(yùn)用全概率公式的一般步驟
(1)求出樣本空間Ω的一個(gè)劃分B1，B2，…，Bn；
(2)求P(Bi)(i＝1，2，…，n)；
(3)求P(A｜Bi)(i＝1，2，…，n)；
(4)求目標(biāo)事件的概率P(A).
對(duì)點(diǎn)練1.某公司餐廳有米飯和面食兩類主食，員工小張每天中午選擇其中一種就餐，若小張第一天中午選擇面食，則第二天中午選擇米飯的概率為，若小張第一天中午選擇米飯，則第二天中午選擇面食的概率為.已知小張第一天中午選面食的概率是，求小張第二天中午吃米飯的概率.
解：記B1＝“小張第一天中午吃面食”，B2＝“小張第一天中午吃米飯”，
A＝“小張第二天中午吃米飯”，由題意：P(B1)＝，P(B2)＝，P(A｜B1)＝，P(A｜B2)＝，
由全概率公式得，P(A)＝P(B1)P(A｜B1)＋P(B2)P(A｜B2)＝×＋×＝，
即小張第二天中午吃米飯的概率為.
任務(wù)二　*貝葉斯公式
問題2.兩臺(tái)機(jī)床加工同樣的零件，第一臺(tái)的廢品率為0.04，第二臺(tái)的廢品率為0.07，加工出來(lái)的零件混放，并設(shè)第一臺(tái)加工的零件是第二臺(tái)加工零件的2倍，現(xiàn)隨機(jī)取到一合格零件，那它來(lái)自哪臺(tái)機(jī)床的可能性較大？
提示：由問題1可知取一產(chǎn)品是合格品的概率為P(A)＝P(B1)P＋P(B2)P＝×0.96＋×0.93＝0.95，
則P＝＝＝≈0.67，
P＝＝＝≈0.33.
0.67＞0.33，則隨機(jī)取到一合格零件，那它來(lái)自第一臺(tái)機(jī)床的可能性較大.
定義：設(shè)B1，B2，…，Bn為樣本空間Ω的一個(gè)劃分，若P(A)＞0，P(Bi)＞0(i＝1，2，…，n)，則P(Bi｜A)＝，稱上式為貝葉斯公式.
設(shè)5支槍中有2支未經(jīng)試射校正，3支已校正.一射手用校正過的槍射擊，中靶率為0.9，用未校正過的槍射擊，中靶率為0.4.若任取一支槍射擊，結(jié)果未中靶，則該槍未校正的概率為　　　　.
答案：0.8
解析：設(shè)事件A表示“射擊時(shí)中靶”，事件B1表示“使用的槍校正過”，事件B2表示“使用的槍未校正”，則B1，B2是Ω的一個(gè)劃分.P(A｜B1)＝0.9，P(B1)＝，P(A｜B2)＝0.4，P(B2)＝，根據(jù)全概率公式得P(A)＝P＋P＝P(A｜B1)P(B1)＋P(A｜B2)P(B2)＝0.9×＋0.4×＝0.7，所以P＝1－P(A)＝0.3，所以P＝＝＝＝0.8.
1.公式P(B1｜A)＝＝反映了P(B1A)，P(B1)，P(A)，P(B1｜A)，P(A｜B1)之間的互化關(guān)系.
2.P(B1)稱為先驗(yàn)概率，P(B1｜A)稱為后驗(yàn)概率，其反映了事件B1發(fā)生的可能在各種可能原因中的比重，貝葉斯公式本質(zhì)是求條件概率.
對(duì)點(diǎn)練2.(雙空題)已知男人中有5％患色盲，女人中有0.25％患色盲，若從100個(gè)男人和100個(gè)女人中任選一人，則此人患色盲的概率為　　　　，若此人是色盲，則此人是男人的概率為　　　　.
答案：　
解析：設(shè)“任選一人是男人”為事件A，“任選一人是女人”為事件B，“任選一人是色盲”為事件C，此人患色盲的概率P(C)＝P(AC)＋P(BC)＝P(A)P(C｜A)＋P(B)P(C｜B)＝×＋×＝，
則P(A｜C)＝＝＝.
任務(wù)三　全概率公式與貝葉斯公式的綜合應(yīng)用
(鏈教材P193例8)放行準(zhǔn)點(diǎn)率是衡量機(jī)場(chǎng)運(yùn)行效率和服務(wù)質(zhì)量的重要指標(biāo)之一.已知2024年該機(jī)場(chǎng)飛往A地，B地及其他地區(qū)(不包含A，B兩地)航班放行準(zhǔn)點(diǎn)率的估計(jì)值分別為84％，80％和75％，2024年該機(jī)場(chǎng)飛往A地，B地及其他地區(qū)的航班比例分別為0.2，0.2和0.6.
試解決以下問題：
(1)現(xiàn)在從2024年在該機(jī)場(chǎng)起飛的航班中隨機(jī)抽取一個(gè)，求該航班準(zhǔn)點(diǎn)放行的概率；
(2)若2024年某航班在該機(jī)場(chǎng)準(zhǔn)點(diǎn)放行，判斷該航班飛往A地，B地及其他地區(qū)三種情況中的哪種情況的可能性最大，說明你的理由.
解：(1)設(shè)B1＝“該航班飛往A地”，B2＝“該航班飛往B地”，B3＝“該航班飛往其他地區(qū)”，A＝“該航班準(zhǔn)點(diǎn)放行”，
則P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.2，P(B3)＝0.6，
P(A｜B1)＝0.84，P(A｜B2)＝0.8，P＝0.75，
由全概率公式得，P(A)＝P(B1)P(A｜B1)＋P(B2)P(A｜B2)＋P(B3)P
＝0.2×0.84＋0.2×0.8＋0.6×0.75＝0.778，
所以該航班準(zhǔn)點(diǎn)放行的概率為0.778.
(2)P＝＝＝＝，
P＝＝＝＝，
P＝＝
＝＝，
因?yàn)椋荆荆栽摵桨囡w往其他地區(qū)的可能性最大.
P(Bi)(i＝1，2，…，n)是在沒有進(jìn)一步信息(不知道事件A是否發(fā)生)的情況下，人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小的認(rèn)識(shí)，當(dāng)有了新的信息(知道A發(fā)生)，人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小P(Bi｜A)有了新的估計(jì)，貝葉斯公式從數(shù)量上刻畫了這種變化.
對(duì)點(diǎn)練3.一位教授去參加學(xué)術(shù)會(huì)議，他乘坐飛機(jī)、動(dòng)車和火車的概率分別為0.2，0.5，0.3，現(xiàn)在知道他乘坐飛機(jī)、動(dòng)車和火車遲到的概率分別為，，.
(1)求這位教授遲到的概率；
(2)現(xiàn)在已經(jīng)知道他遲到了，求他乘坐的是飛機(jī)的概率.
解：設(shè)A＝“遲到”；B1＝“乘飛機(jī)”；B2＝“乘動(dòng)車”；B3＝“乘火車”.
(1)所求概率為P(A)，由全概率公式得，
P(A)＝P(A｜B1)P(B1)＋P(A｜B2)P(B2)＋P(A｜B3)P(B3)＝×＋×＋×＝.
(2)所求概率為P(B1｜A)，由貝葉斯公式得，P(B1｜A)＝＝＝＝.
任務(wù)再現(xiàn) 1.全概率公式.*2.貝葉斯公式.3.全概率公式與貝葉斯公式的綜合應(yīng)用
方法提煉 公式法、化整為零、轉(zhuǎn)化與化歸思想
易錯(cuò)警示 事件拆分不合理或不全面
1.設(shè)A，B為兩個(gè)事件，已知P(B)＝0.4，P(A)＝0.5，P(B｜A)＝0.2，則P(B｜)＝(　　)
A.0.1 B.0.2
C.0.4 D.0.6
答案：D
解析：由P(A)＝0.5，得P＝0.5，顯然P(B)＝P(A)P(B｜A)＋PP(B｜)，因此0.4＝0.5×0.2＋0.5×P(B｜)，所以P(B｜)＝0.6.故選D.
2.長(zhǎng)時(shí)間看電腦可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某學(xué)校學(xué)生中，大約有的學(xué)生每天看電腦超過2小時(shí)，這些人近視率約為，其余學(xué)生的近視率約為，現(xiàn)從該校任意調(diào)查一名學(xué)生，他近視的概率大約是(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
解析：設(shè)“任意調(diào)查一名學(xué)生，他每天看電腦超過2小時(shí)”為事件A，則P(A)＝，P()＝.設(shè)“從該校任意調(diào)查一名學(xué)生，他是近視”為事件B，則P(B｜A)＝，P＝.所以P(B)＝P(A)·P(B｜A)＋P()·P＝×＋×＝.故選B.
3.某地成年人體重肥胖者(A1)占0.1，中等者(A2)占0.82，瘦小者(A3)占0.08，又肥胖者、中等者、瘦小者患高血壓病的概率分別為0.2，0.1，0.05.則該地成年人患高血壓的概率等于　　　　.
答案：0.106
解析：令B＝{某人患高血壓}，Ai＝{某人體重的特征}(i＝1，2，3)，所以P(B)＝P(A1)P(B｜A1)
＋P(A2)P(B｜A2)＋P(A3)P(B｜A3)＝0.1×0.2＋0.82×0.1＋0.08×0.05＝0.106.
4.某校高一(1)班有學(xué)生40人，其中共青團(tuán)員15人，全班分成4個(gè)小組，第一組有學(xué)生10人，共青團(tuán)員4人，從該班任選一人作學(xué)生代表.已知選到的是共青團(tuán)員，則他是第一組學(xué)生的概率為　　　　.
答案：
解析：設(shè)事件A表示“選到第一組學(xué)生”，事件B表示“選到共青團(tuán)員”，由題意得，P(A)＝＝，
P(B｜A)＝＝，P(B)＝＝，所以已知選到的是共青團(tuán)員，則他是第一組學(xué)生的概率為＝＝.
課時(shí)分層評(píng)價(jià)40　全概率公式
(時(shí)間：60分鐘　滿分：100分)
(1—9，每小題5分，共45分)
1.已知事件A，B互斥，且P(A)＝P(B)＝0.5，M滿足P＝0.8，P＝0.7，則P(M)＝(　　)
A.0.25 B.0.35
C.0.4 D.0.75
答案：D
解析：根據(jù)題意，事件A，B互斥，且P(A)＋P(B)＝1，所以事件A，B對(duì)立，由全概率公式可得P(M)＝P(A)P＋P(B)P＝0.5×0.8＋0.5×0.7＝0.75.故選D.
2.某班舉辦知識(shí)競(jìng)賽，已知題庫(kù)中有A，B兩種類型的試題，A類試題的數(shù)量是B類試題數(shù)量的兩倍，且甲答對(duì)A類試題的概率為，答對(duì)B類試題的概率為，從題庫(kù)中任選一題作答，甲答對(duì)題目的概率為(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：設(shè)“選出A類試題”為事件A1，“選出B類試題”為事件A2，“甲答對(duì)題目”為事件B，則P(A1)＝，P(A2)＝，P＝，P＝，所以P(B)＝PP(A1)＋PP(A2)＝×＋×＝.故選C.
3.某醫(yī)院針對(duì)某種疾病研制了新的特效藥，可有效減輕癥狀，縮短病程.現(xiàn)將該藥品投入臨床試驗(yàn)，若不使用新藥，病人3天可痊愈的概率為0.3，若使用新藥，則3天痊愈的概率為0.9，假設(shè)臨床病人有0.7的概率選擇新藥，若某病人3天痊愈，則該病人未使用新藥的概率為(　　)
A.0.3 B.0.21
C.0.125 D.0.09
答案：C
解析：記事件A＝{使用新藥}，則＝{不使用新藥}，B＝{病人3天痊愈}，由題意得，P(A)＝0.7，P()＝0.3，P(B｜A)＝0.9，P＝0.3，P(B)＝P()P＋P(A)P(B｜A)＝0.3×0.3＋0.7×0.9＝0.72，所以P＝＝＝＝0.125.故選C.
4.某同學(xué)進(jìn)行投籃練習(xí)，若他第1球投進(jìn)，則第2球投進(jìn)的概率為；若他第1球投不進(jìn)，則第2球投進(jìn)的概率為.若他第1球投進(jìn)的概率為，則他第2球投進(jìn)的概率為(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：設(shè)A，B分別代表事件“第1球投進(jìn)”和“第2球投進(jìn)”，則由已知條件知P(B｜A)＝，P＝，P(A)＝，可得P()＝1－P(A)＝1－＝.故P(B)＝P(B｜A)P(A)＋PP()＝×＋×＝.故選A.
5.有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1，2，3臺(tái)車床加工的次品率分別為5％，2％，4％，加工出來(lái)的零件混放在一起.已知第1，2，3臺(tái)車床加工的零件數(shù)的比為4∶5∶11，現(xiàn)任取一個(gè)零件，記事件Ai＝“零件為第i臺(tái)車床加工”(i＝1，2，3)，事件B＝“零件為次品”，則P＝(　　)
A.0.2 B.0.05
C. D.
答案：D
解析：根據(jù)題意可得，P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝；P＝0.05，P＝0.02，P＝0.04；由全概率公式可得，P(B)＝P(A1)P(B｜A1)＋P(A2)P(B｜A2)＋P(A3)P(B｜A3)＝×0.05＋×0.02＋×0.04＝；故P(A1)＝＝＝＝＝.故選D.
6.(多選題)已知事件A，B，且P(A)＝，P(B｜A)＝，P(｜)＝，則(　　)
A.P( )＝ B.P＝
C.P(A＋)＝ D.P(B)＝
答案：ABC
解析：因?yàn)镻(A)＝，則P()＝，所以P()＝P()·P＝×＝，故A正確；因?yàn)镻(｜A)＝1－P(B｜A)＝1－＝，故B正確；因?yàn)镻()＝，P＝1－P()＝，所以P(B)＝P(A)P(B｜A)＋P()P＝×＋×＝，故D錯(cuò)誤；因?yàn)镻()＝1－P(B)＝1－＝，P(A)＝P(A)·P＝×＝，因?yàn)镻(A＋)＝P(A)＋P()－P(A)＝＋－＝，故C正確.故選ABC.
7.甲箱中有3個(gè)白球，2個(gè)黑球，乙箱中有1個(gè)白球，3個(gè)黑球，先從甲箱中任取一球放入乙箱中，再?gòu)囊蚁渲腥稳∫磺颍瑥囊蚁渲腥〕霭浊虻母怕适恰　　　?
答案：
解析：記事件A為“從甲箱中取出一個(gè)白球放入乙箱”，事件B為“從乙箱中取出白球”，則P(A)＝，P()＝，P(B｜A)＝，P(B｜)＝，所以P(B)＝P(A)P(B｜A)＋P()P(B｜)＝×＋×＝.
8.某同學(xué)喜愛籃球和跑步運(yùn)動(dòng).在暑假期間，該同學(xué)下午去打籃球的概率為.若該同學(xué)下午去打籃球，則晚上一定去跑步；若下午不去打籃球，則晚上去跑步的概率為.已知該同學(xué)在某天晚上去跑步，則下午打過籃球的概率為　　　　.
答案：
解析：設(shè)下午打籃球?yàn)槭录嗀，晚上跑步為事件B，易知P(A)＝P(AB)＝，P＝，所以P(B)＝P(AB)＋P(B)＝P(A)＋P()·P＝＋×＝，所以P(A｜B)＝＝.
9.同一種產(chǎn)品由甲、乙、丙三個(gè)廠供應(yīng).由長(zhǎng)期的經(jīng)驗(yàn)知，三家的正品率分別為0.95，0.90，0.80，三家產(chǎn)品數(shù)所占比例為2∶3∶5，混合在一起.現(xiàn)取到一件產(chǎn)品為正品，則它是由甲、乙、丙三個(gè)廠中　　　　(填甲、乙、丙)廠生產(chǎn)的可能性最大.
答案：丙
解析：“取到一件產(chǎn)品為正品”的概率為0.95×＋0.90×＋0.80×＝0.86，則它是甲廠的概率為＝，是乙廠的概率為＝，是丙廠的概率為＝＝，所以它是由丙廠生產(chǎn)的可能性最大.
10.(15分)玻璃杯成箱出售，共3箱，每箱20只.假設(shè)各箱含有0，1，2只殘次品的概率對(duì)應(yīng)為0.8，0.1和0.1.一顧客欲購(gòu)買一箱玻璃杯，在購(gòu)買時(shí)，售貨員隨意取一箱，而顧客隨機(jī)查看4只玻璃杯，若無(wú)殘次品，則買下該箱玻璃杯；否則不買.求：
(1)顧客買下該箱玻璃杯的概率；
(2)在顧客買下的一箱中，沒有殘次品的概率.
解：(1)設(shè)事件A表示“顧客買下所查看的一箱玻璃杯”，事件Bi表示“箱中恰好有i只殘次品”，
由題設(shè)可知，P(B0)＝0.8，P(B1)＝0.1，P(B2)＝0.1，且P(A｜B0)＝1，P(A｜B1)＝＝，P(A｜B2)＝＝，
所以P(A)＝P(B0)P(A｜B0)＋P(B1)P(A｜B1)＋P(B2)P(A｜B2)＝0.8×1＋0.1×＋0.1×＝.
即顧客買下所查看的一箱玻璃杯的概率為.
(2)因?yàn)镻＝＝＝＝，
所以在顧客買下的一箱中，沒有殘次品的概率是.
(11—13，每小題5分，共15分)
11.盒中有a個(gè)紅球，b個(gè)黑球，今隨機(jī)地從中取出一個(gè)，觀察其顏色后放回，并加上同色球c個(gè)，再?gòu)暮兄械诙纬槿∫磺颍瑒t第二次抽出的是黑球的概率為(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：設(shè)A＝{第一次抽出的是黑球}，B＝{第二次抽出的是黑球}，則B＝AB＋B，由全概率公式P(B)＝P(A)P(B｜A)＋P()P(B｜)，由題意P(A)＝，P(B｜A)＝，P()＝，P(B｜)＝.所以P(B)＝＋＝.故選A.
12.(多選題)甲、乙、丙三名鉗工加工同一型號(hào)的零件，根據(jù)以往數(shù)據(jù)得知甲加工的次品率為6％，乙、丙加工的次品率均為5％，加工出來(lái)的零件混放在一起，已知甲、乙、丙加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25％、30％、45％，從中任取一個(gè)零件進(jìn)行檢查，下列選項(xiàng)正確的有(　　)
A.該零件出自于甲加工的概率為0.25
B.該零件是次品的概率為0.052 5
C.若該零件是次品，則出自于乙加工的概率為
D.若該零件是次品，需要對(duì)三名鉗工進(jìn)行罰款，則甲、乙、丙的罰款額之比為2∶2∶3
答案：ABD
解析：對(duì)于A，因?yàn)榧准庸さ牧慵?shù)占總數(shù)的25％，所以該零件出自于甲加工的概率為0.25，故A正確；對(duì)于B，該零件是次品的概率為0.06×25％＋0.05×30％＋0.05×45％＝0.052 5，故B正確；對(duì)于C，若零件是次品，則出自于乙加工的概率為＝，故C不正確；對(duì)于D，若該零件是次品，則出自于甲加工的概率為＝，出自于丙加工的概率為＝，所以甲、乙、丙的罰款額之比為2∶2∶3，故D正確.故選ABD.
13.若甲盒中有2個(gè)白球、2個(gè)紅球、1個(gè)黑球，乙盒中有x個(gè)白球(x∈N)、3個(gè)紅球、2個(gè)黑球，現(xiàn)從甲盒中隨機(jī)取出一個(gè)球放入乙盒，再?gòu)囊液兄须S機(jī)取出一個(gè)球，若從甲盒中取出的球和從乙盒中取出的球顏色相同的概率大于等于，則x的最大值為　　　　.
答案：6
解析：設(shè)第一次從甲盒取出白球，紅球，黑球的事件分別為A1，A2，A3，從甲盒中取出的球和從乙盒中取出的球顏色相同的事件為B，則P(A1)＝P(A2)＝，P(A3)＝，P(B｜A1)＝，P(B｜A2)＝，P(B｜A3)＝，可得P(B)＝P(A1)P(B｜A1)＋P(A2)P(B｜A2)＋P(A3)P(B｜A3)＝·＋·＋·＝≥，解得x≤6，則x的最大值為6.
14.(15分)某公司對(duì)購(gòu)買其產(chǎn)品的消費(fèi)者進(jìn)行了調(diào)研，已知這些消費(fèi)者在一年內(nèi)再次購(gòu)買產(chǎn)品的概率為33％，且這些消費(fèi)者可以分為A，B，C三類.其中A類消費(fèi)者占30％，其在一年內(nèi)再次購(gòu)買產(chǎn)品的概率為60％；B類消費(fèi)者占40％，其在一年內(nèi)再次購(gòu)買產(chǎn)品的概率為30％；C類消費(fèi)者占x％，其在一年內(nèi)再次購(gòu)買產(chǎn)品的概率為y％.
(1)求x與y的值；
(2)若一名消費(fèi)者在一年內(nèi)再次購(gòu)買了產(chǎn)品，求其是B類消費(fèi)者的概率.
解：(1)記一年內(nèi)再次購(gòu)買產(chǎn)品為事件D，消費(fèi)者是A類消費(fèi)者記為事件A，
消費(fèi)者是B類消費(fèi)者記為事件B，消費(fèi)者是C類消費(fèi)者記為事件C，
則P(A)＝30％，P(B)＝40％，P(C)＝x％，
P＝60％，P(D｜B)＝30％，P＝y(tǒng)％，
所以P(A)＋P(B)＋P(C)＝30％＋40％＋x％＝1，解得x＝30，
則P(D)＝30％×60％＋40％×30％＋30％×y％＝33％，解得y＝10.
(2)依題意可得P(B｜D)＝＝＝＝＝.
(15、16，每小題5分，共10分)
15.(創(chuàng)新題)“狼來(lái)了”的故事大家小時(shí)候應(yīng)該都聽說過：小孩第一次喊“狼來(lái)了”，大家信了，但去了之后發(fā)現(xiàn)沒有狼；第二次喊“狼來(lái)了”，大家又信了，但去了之后又發(fā)現(xiàn)沒有狼；第三次狼真的來(lái)了，但是這個(gè)小孩再喊狼來(lái)了就沒人信了.從數(shù)學(xué)的角度解釋這一變化，假設(shè)小孩是誠(chéng)實(shí)的，則他出于某種特殊的原因說謊的概率為0.1；小孩是不誠(chéng)實(shí)的，則他說謊的概率是0.5.最初人們不知道這個(gè)小孩誠(chéng)實(shí)與否，所以在大家心目中每個(gè)小孩是誠(chéng)實(shí)的概率是0.9.已知第一次他說謊了，那么他是誠(chéng)實(shí)的小孩的概率是(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：設(shè)事件A表示“小孩誠(chéng)實(shí)”，事件B表示“小孩說謊”，則P(B｜A)＝0.1，P(B｜)＝0.5，P(A)＝0.9，P()＝0.1，則P(AB)＝P(A)P(B｜A)＝0.9×0.1＝0.09，P(B)＝P()P(B｜)＝0.1×0.5＝0.05，故P(B)＝P(AB)＋P(B)＝0.14，故P＝＝＝.故選D.
16.人工智能領(lǐng)域讓貝葉斯公式：P(A｜B)＝站在了世界中心位置，AI換臉是一項(xiàng)深度偽造技術(shù)，某視頻網(wǎng)站利用該技術(shù)摻入了一些“AI”視頻，“AI”視頻占有率為0.001.某團(tuán)隊(duì)決定用AI對(duì)抗AI，研究了深度鑒偽技術(shù)來(lái)甄別視頻
的真假.該鑒偽技術(shù)的準(zhǔn)確率是0.98，即在該視頻是偽造的情況下，它有98％的可能鑒定為“AI”；它的誤報(bào)率是0.04，即在該視頻是真實(shí)的情況下，它有4％的可能鑒定為“AI”.已知某個(gè)視頻被鑒定為“AI”，則該視頻是“AI”合成的可能性為　　　　(用分?jǐn)?shù)表示或者保留三位小數(shù)).
答案：0.024或
解析：記“視頻是AI合成”為事件A，記“鑒定結(jié)果為AI”為事件B，則P(A)＝0.001，P()＝0.999，P(B｜A)＝0.98，P(B｜)＝0.04，由貝葉斯公式得，P＝＝≈0.024.
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1.3　全概率公式
　
第六章　§1　隨機(jī)事件的條件概率
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.結(jié)合古典概型，理解并掌握全概率公式.
2.會(huì)利用全概率公式計(jì)算概率，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
*3.了解貝葉斯公式.
4.借助全概率公式的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).
任務(wù)一　全概率公式
問題導(dǎo)思
新知構(gòu)建
Ω
只能發(fā)生一個(gè)
必有一個(gè)發(fā)生
典例
1
規(guī)律方法
1.全概率公式為概率論中的重要公式，它將對(duì)一復(fù)雜事件A的概率求解問題轉(zhuǎn)化為在不同情況下發(fā)生的簡(jiǎn)單事件的概率的求和問題，即“化整為零”求多事件的全概率問題.
2.運(yùn)用全概率公式的一般步驟
(1)求出樣本空間Ω的一個(gè)劃分B1，B2，…，Bn；
(2)求P(Bi)(i＝1，2，…，n)；
(3)求P(A｜Bi)(i＝1，2，…，n)；
(4)求目標(biāo)事件的概率P(A).
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任務(wù)二　*貝葉斯公式
問題導(dǎo)思
新知構(gòu)建
設(shè)5支槍中有2支未經(jīng)試射校正，3支已校正.一射手用校正過的槍射擊，中靶率為0.9，用未校正過的槍射擊，中靶率為0.4.若任取一支槍射擊，結(jié)果未中靶，則該槍未校正的概率為　　.
典例
2
0.8

規(guī)律方法

對(duì)點(diǎn)練2.(雙空題)已知男人中有5％患色盲，女人中有0.25％患色盲，若從
100個(gè)男人和100個(gè)女人中任選一人，則此人患色盲的概率為　　　，若此
人是色盲，則此人是男人的概率為　　.

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任務(wù)三　全概率公式與貝葉斯公式的綜合應(yīng)用
典例
3
規(guī)律方法
P(Bi)(i＝1，2，…，n)是在沒有進(jìn)一步信息(不知道事件A是否發(fā)生)的情況下，人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小的認(rèn)識(shí)，當(dāng)有了新的信息(知道A發(fā)生)，人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小P(Bi｜A)有了新的估計(jì)，貝葉斯公式從數(shù)量上刻畫了這種變化.
課堂小結(jié)
任務(wù)再現(xiàn) 1.全概率公式.*2.貝葉斯公式.3.全概率公式與貝葉斯公式的綜合應(yīng)用
方法提煉 公式法、化整為零、轉(zhuǎn)化與化歸思想
易錯(cuò)警示 事件拆分不合理或不全面
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隨堂評(píng)價(jià)
√
√

3.某地成年人體重肥胖者(A1)占0.1，中等者(A2)占0.82，瘦小者(A3)占0.08，又肥胖者、中等者、瘦小者患高血壓病的概率分別為0.2，0.1，0.05.則該地成年人患高血壓的概率等于　　　　.
0.106
令B＝{某人患高血壓}，Ai＝{某人體重的特征}(i＝1，2，3)，所以P(B)＝P(A1)P(B｜A1)
＋P(A2)P(B｜A2)＋P(A3)P(B｜A3)＝0.1×0.2＋0.82×0.1＋0.08×0.05＝0.106.
4.某校高一(1)班有學(xué)生40人，其中共青團(tuán)員15人，全班分成4個(gè)小組，第一組有學(xué)生10人，共青團(tuán)員4人，從該班任選一人作學(xué)生代表.已知選到的
是共青團(tuán)員，則他是第一組學(xué)生的概率為　　.

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課時(shí)分層評(píng)價(jià)
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3.某醫(yī)院針對(duì)某種疾病研制了新的特效藥，可有效減輕癥狀，縮短病程.現(xiàn)將該藥品投入臨床試驗(yàn)，若不使用新藥，病人3天可痊愈的概率為0.3，若使用新藥，則3天痊愈的概率為0.9，假設(shè)臨床病人有0.7的概率選擇新藥，若某病人3天痊愈，則該病人未使用新藥的概率為
A.0.3 B.0.21
C.0.125 D.0.09

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7.甲箱中有3個(gè)白球，2個(gè)黑球，乙箱中有1個(gè)白球，3個(gè)黑球，先從甲箱中任取一球放入乙箱中，再?gòu)囊蚁渲腥稳∫磺颍瑥囊蚁渲腥〕霭浊虻母怕?br/>是　　.


9.同一種產(chǎn)品由甲、乙、丙三個(gè)廠供應(yīng).由長(zhǎng)期的經(jīng)驗(yàn)知，三家的正品率分別為0.95，0.90，0.80，三家產(chǎn)品數(shù)所占比例為2∶3∶5，混合在一起.現(xiàn)取到一件產(chǎn)品為正品，則它是由甲、乙、丙三個(gè)廠中　　(填甲、乙、丙)廠生產(chǎn)的可能性最大.
丙
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6

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