資源簡介

§3　離散型隨機變量的均值與方差
3.1　離散型隨機變量的均值
學習目標 1.通過具體實例，理解離散型隨機變量的均值的概念，能計算簡單離散型隨機變量的均值，培養數學抽象、數學運算、數學建模的核心素養.　2.掌握兩點分布的均值.　3.會利用離散型隨機變量的均值解決一些相關的實際問題，培養數學運算、數學建模的核心素養.
任務一　離散型隨機變量的均值
問題.已知有12個西瓜，其中重5 kg的有4個，重6 kg的有3個，重7 kg的有5個.請思考：
(1)任取一個西瓜，用X表示這個西瓜的重量，試求X的分布列；
(2)如何求西瓜的平均重量？
提示：(1)X的分布列為
X 5 6 7
P
(2)＝5×＋6×＋7×＝.
1.定義：設離散型隨機變量X的分布列為
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
則稱EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機變量X的均值或數學期望(簡稱期望).
2.意義：均值EX刻畫的是X取值的“中心位置”，反映了離散型隨機變量X取值的平均水平.
3.兩點分布的均值：若隨機變量X服從參數為p的兩點分布，則EX＝p.
(鏈教材P205例3)(2025·山東青島期中)一個袋子里裝有編號1，2，3的3個紅球與編號1，2的2個黃球，從中逐一取球，已知每個球被取到的可能性相同.若取后不放回，設取完黃球所需的次數為X，求X的分布列及均值.
解：由題意知Y的可能取值為2，3，4，5.
當X＝2時，表示前2次取的都是黃球，
所以P(X＝2)＝＝；
當X＝3時，表示前2次中取得1個黃球，1個紅球，第3次取得黃球，
所以P(X＝3)＝＝；
當X＝4時，表示前3次中取得1個黃球，2個紅球，第4次取得黃球，
所以P(X＝4)＝＝；
當X＝5時，表示前4次中取得1個黃球，3個紅球，第5次取得黃球，
所以P(X＝5)＝＝.
所以Y的分布列為
X 2 3 4 5
P
所以EX＝2×＋3×＋4×＋5×＝4.
[變式探究]
(變條件，變設問)在本例中，若條件改為從袋中同時取出2個球，求2球的編號之和Y的均值.
解：由題意知Y的可能取值為2，3，4，5.
當Y＝2時，表示2球的編號都是1，所以P(Y＝2)＝＝；
當Y＝3時，表示2球的編號一個是1，一個是2，所以P(Y＝3)＝＝＝；
當Y＝4時，表示2球的編號一個是1，一個是3；或表示2球的編號一個是2，另一個也是2，所以P(Y＝4)＝＝；
當Y＝5時，表示2球的編號一個是2，一個是3，
所以P(Y＝5)＝＝＝.
所以Y的分布列為
Y 2 3 4 5
P
所以EY＝2×＋3×＋4×＋5×＝.
求隨機變量X的均值的方法和步驟
第一步：理解隨機變量X的意義，寫出X所有可能的取值；
第二步：求出X取每個值的概率P(X＝k)；
第三步：寫出X的分布列；
第四步：利用均值的定義EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn，求EX.
對點練1.(2025·湖南邵陽期中)已知10道試題中有4道選擇題，依次不放回的抽取2道題目，設X為抽取的2道題中選擇題的個數，求隨機變量X的分布列及其均值.
解：X的可能取值為0，1，2，
P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝＝，
所以X的分布列為
X 0 1 2
P
所以EX＝＋＝＝.
任務二　均值的函數性質
(2025·河南濮陽高二期末)已知隨機變量X的分布列為
X 0 1 2
P m
設Y＝3X－2，則EY＝(　　)
A. B.
C.－ D.－
答案：A
解析：由題可知＋＋m＝1，解得m＝.
法一：隨機變量Y的分布列為
Y －2 1 4
P
所以EY＝－2×＋1×＋4×＝.故選A.
法二：由隨機變量X的分布列可得EX＝0×＋1×＋2×＝，而Y＝3X－2，所以EY＝3EX－2＝3×－2＝.故選A.
求線性關系的隨機變量Y＝aX＋b均值的方法
1.定義法：先列出Y的分布列，再求均值.
2.性質法：若X是隨機變量，則Y＝aX＋b(a，b均是常數)也是隨機變量，且EY＝E(aX＋b)＝aEX＋b.
注意：性質法僅適合線性關系，如果是其他函數關系，一般選用定義法.
對點練2.(1)已知離散型隨機變量X的分布列如下：
X －1 0 a 2
P b
若E＝5，則a＋b＝(　　)
A. B.1
C. D.
(2)設隨機變量X的分布列如下：
X －1 0 1
P
則EX2＝　　　.
答案：(1)C　(2)
解析：(1)由題意知＋b＋＋＝1，解得b＝，因為E＝5，所以3EX＋4＝5，即EX＝，則EX＝－1×＋0×＋a×＋2×＝，解得a＝1，所以a＋b＝.故選C.
(2)X2的分布列如下：
X2 1 0
P
則X2服從兩點分布，故EX2＝.
任務三　均值的實際應用
(鏈教材P205例4)為了豐富學生的課余生活，某校決定舉辦競技比賽.比賽分為“無人機表演”和“機器人操作”兩個項目，選手兩個比賽項目的順序自選，若第一個項目不過關，則淘汰；若第一個項目過關則進行第二個項目的比賽，無論第二個項目是否合格，比賽都結束.“無人機表演”比賽合格得4分，否則得0分；“機器人操作”比賽合格得6分，否則得0分.已知博文同學參加“無人機表演”比賽合格的概率為0.8，參加“機器人操作”比賽合格的概率為0.7.
(1)若博文同學先進行“無人機表演”比賽，記X為博文同學的累計得分，求X的均值；
(2)為使累計得分的均值最大，博文同學應選擇先進行哪項比賽？并說明理由.
解：(1)由題意得，X的可能取值為0，4，10，
所以P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝4)＝0.8×＝0.24，P＝0.8×0.7＝0.56，
所以X的分布列為
X 0 4 10
P 0.2 0.24 0.56
所以EX＝0×0.2＋4×0.24＋10×0.56＝6.56.
(2)若博文同學先進行“機器人操作”比賽，記Y為博文同學的累計得分，Y的可能取值為0，6，10，
所以P(Y＝0)＝1－0.7＝0.3，P＝0.7×＝0.14，P＝0.7×0.8＝0.56，
所以Y的分布列為
Y 0 6 10
P 0.3 0.14 0.56
所以EY＝0×0.3＋6×0.14＋10×0.56＝6.44，
因為EX＞EY，所以博文同學應選擇先進行“無人機表演”比賽.
1.實際問題中的均值問題
均值在實際生活中有著廣泛的應用，如在體育比賽的成績預測、消費預測、工程方案預測、產品合格率預測、投資收益預測等方面，都可以通過隨機變量的均值來進行估計.
2.概率模型的解答步驟
第一步(建模)：即把實際問題概率模型化；
第二步(解模)：確定分布列，計算隨機變量的均值；
第三步(回歸)：利用所得數據，對實際問題作出判斷.
對點練3.據統計，一年中一個家庭萬元以上的財產被盜的概率為0.01.保險公司開辦一年期萬元以上家庭財產保險，參加者需交保險費100元，若在一年以內，萬元以上的財產被盜，保險公司賠償a元(a＞100).問a如何取值，可使保險公司從均值角度分析可獲利？
解：設X表示“保險公司在參加保險人身上的收益”，
則X的可能取值為100，100－a，則P(X＝100)＝0.99，P(X＝100－a)＝0.01，
所以EX＝0.99×100＋0.01×(100－a)＝100－0.01a＞0，解得a＜10 000，
又a＞100，因此100＜a＜10 000，
即當a在100和10 000之間取值時可使保險公司從均值角度分析可獲利.
任務再現 1.離散型隨機變量的均值.2.兩點分布的均值.3.E(aX＋b)＝aEX＋b.4.均值函數的性質及應用.
方法提煉 函數與方程思想、轉化化歸思想
易錯警示 不會應用均值對實際問題作出正確分析
1.已知隨機變量X的均值為EX＝3，則E(3X＋2)＝(　　)
A.9 B.11
C.27 D.29
答案：B
解析：因為EX＝3，所以E(3X＋2)＝3EX＋2＝3×3＋2＝11.故選B.
2.某同學參加籃球測試，每進一球記5分，不進球記－1分，已知該同學的命中率為80％，則該同學一次投籃得分的均值為(　　)
A.3.0 B.3.2
C.3.6 D.3.8
答案：D
解析：記該同學一次投籃得分為X，則X的可能取值為5，－1，所以EX＝5×0.8－1×0.2＝3.8.故選D.
3.已知X的分布列如下，且Y＝aX＋3，EY＝，則a＝　　　　.
X －1 0 1
P
答案：4
解析：EX＝(－1)×＋0×＋1×＝－，且Y＝aX＋3，EY＝aEX＋3＝，即－a＋3＝，解得a＝4.
4.從含有6件正品和4件次品的產品中任取3件，記X為所抽取的次品數，則EX＝　　　　.
答案：
解析：X的所有可能取值為0，1，2，3，則P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，故EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
課時分層評價42　離散型隨機變量的均值
(時間：60分鐘　滿分：110分)
(1—9，每小題5分，共45分)
1.若X是離散型隨機變量，則E(X－EX)＝(　　)
A.EX B.2EX
C.0 D.(EX)2
答案：C
解析：E(X－EX)＝EX－EX＝0.故選C.
2.隨機變量X的分布列如下：
X －1 0 1
P a b
若EX＝，則a的值是(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：由題意知，EX＝－1×a＋0×＋b＝①，a＋＋b＝1②，聯立①②，解得a＝，b＝.故選A.
3.某船隊若出海后天氣好，可獲利5 000元；若出海后天氣壞，將損失2 000元；若不出海，要損失1 000元.根據預測知天氣好的概率為0.6，則出海的均值效益是(　　)
A.2 000元 B.2 200元
C.2 400元 D.2 600元
答案：B
解析：出海的均值效益EX＝5 000×0.6＋(1－0.6)×(－2 000)＝3 000－800＝2 200(元).故選B.
4.2024年“與輝同行”直播間開播，董宇輝領銜7位主播從“心”出發，其中男性5人，女性3人，現需排班晚8：00黃金檔，隨機抽取兩人，則女生人數的均值為(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：設抽取的女生人數為X，則X的可能取值為0，1，2，P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，所以EX＝0×＋1×＋2×＝.故選C.
5.已知隨機變量X的概率分布列為P＝asin(n＝1，2)，其中a是常數，則E(X)＝(　　)
A. B.
C.2 D.
答案：C
解析：由P＝asin，得P(X＝1)＝a，P(X＝2)＝a，由P(X＝1)＋P(X＝2)＝1，得a＝，于是EX＝1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＝2a＝，所以E(X)＝EX＝2.故選C.
6.(多選題)已知＜p＜1，隨機變量X的分布列如下，則下列結論正確的有(　　)
X 0 1 2
P p－p2 1－p p2
A.P(X＝2)的值最大
B.P(X＝0)＜P(X＝1)
C.EX隨著p的增大而減小
D.EX隨著p的增大而增大
答案：BD
解析：由＜p＜1，取p＝，則P(X＝2)＝，P(X＝1)＝1－＝＞，故A錯誤；因為＜p＜1，所以p－p2＝p＜1－p，即P(X＝0)＜P(X＝1)，故B正確；EX＝＋2p2＝2＋，因為＜p＜1，所以EX隨著p的增大而增大，故C錯誤，D正確.故選BD.
7.一個口袋中裝有大小相同的3個白球和4個紅球，從中摸出兩個球，若X表示摸出白球的個數，則EX＝　　　　.
答案：
解析：X的可能取值為0，1，2，則P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，所以EX＝0×＋1×＋2×＝.
8.設0＜a≤b，隨機變量X的分布列為
X 1 2 4
P a b a＋b
則EX的取值范圍是　　　　.
答案：
解析：由分布列的概率和為1，可知2＝1，可得a＋b＝，又因為0＜a≤b，所以0＜2a≤a＋b＝，即a∈，所以EX＝a＋2b＋4a＋4b＝5a＋6b＝5a＋6＝3－a∈.
9.(雙空題)某種資格證考試，每位考生一年內最多有3次考試機會.一旦某次考試通過，便可領取資格證書，不再參加以后的考試；否則就繼續參加考試，直到用完3次機會.小王決定參加考試，若他每次參加考試通過的概率依次為0.6，0.7，0.8，且每次考試是否通過相互獨立，則小王在一年內領到資格證書的概率為　　　　；他在一年內參加考試次數的均值為　　　　.
答案：0.976　1.52
解析：小王在一年內領到資格證書的概率為P＝1－(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.976；設X為小王一年內參加考試的次數，則X的可能取值為1，2，3.P(X＝1)＝0.6，P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28，P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)＝0.12，所以均值EX＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.12＝1.52.
10.(13分)某單位年會有這樣一個抽獎活動：箱子里裝有8個小球，除顏色外完全相同，其中4個黑球，4個白球.每次抽獎從這個箱子里隨機摸出4個球，若摸出的白球不少于3個，則為一等獎，獎勵1 000元，若摸出的白球為2個，則為二等獎，獎勵600元，若摸出的白球不多于1個，則為三等獎，獎勵400元，每個人抽獎一次.
(1)若甲參加抽獎活動，求他獲得1 000元的概率；
(2)若甲參加抽獎活動，求他獲得獎金X的均值.
解：(1)由題意可知，若甲獲得1 000元，則抽獎獲得一等獎，設獲得一等獎為事件A，
所以甲獲得1 000元的概率為P(A)＝＝.
(2)若甲參加抽獎活動，獲得的獎金X的取值為1 000，600，400，分別意味著甲獲得一等獎、二等獎、三等獎，設獲得二等獎為事件B，獲得三等獎為事件C，
甲獲得二等獎的概率為P(B)＝＝，
甲獲得三等獎的概率為P(C)＝＝，
所以甲獲得獎金X的分布列為
X 1 000 600 400
P
所以EX＝1 000×＋600×＋400×＝.
(11—13，每小題5分，共15分)
11.已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象開口向下，且對稱軸在y軸的右側，其中a，b，c∈{－2，－1，0，1，2}.在這些拋物線中，記隨機變量X為的取值，則X的均值EX＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：對稱軸在y軸的右側，即a與b異號，且開口向下，所以a＜0，b＞0，所以a可取－2，－1，b可取1，2，這樣的拋物線有2×2×5＝20條；X可取的值有0，1，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，故EX＝0×＋1×＝.故選A.
12.(多選題)設離散型隨機變量X的分布列如下表：
X 1 2 3 4 5
P m 0.1 0.3 n 0.3
若離散型隨機變量Y＝－2X＋3，且EX＝3.2，則下列正確的是(　　)
A.m＝0.3 B.n＝0.1
C.EY＝－3.4 D.P(X≤3)＞P(X＞3)
答案：BCD
解析：由題意知m＋0.1＋0.3＋n＋0.3＝1，所以m＋n＝0.3，因為EX＝3.2，所以1×m＋2×0.1＋3×0.3＋4×n＋5×0.3＝3.2，即m＋4n＝0.6，綜上，解得m＝0.2，n＝0.1，故A不正確，B正確；因為Y＝－2X＋3，所以EY＝－2EX＋3＝－2×3.2＋3＝－3.4，故C正確；P(X≤3)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.2＋0.1＋0.3＝0.6，P＝P(X＝4)＋P＝0.1＋0.3＝0.4，所以P(X≤3)＞P，故D正確.故選BCD.
13.為了備戰斯諾克世錦賽，甲、乙兩人進行了熱身賽，約定每局勝者得1分，負者得0分，熱身進行到有一人比對方多2分或打滿6局時停止.設甲在每局中獲勝的概率為，乙在每局中獲勝的概率為，且各局勝負相互獨立，比賽停止時已打局數為ξ，則Eξ＝　　　　.
答案：
解析：依題意知，ξ的所有可能值為2，4，6，設每兩局比賽為一輪，可以得到該輪結束時比賽停止的概率為()2＋()2＝，如果該輪結束時比賽還將繼續，那么甲、乙在該輪中必是各得一分，此時，該輪比賽結果對下輪比賽是否停止沒有影響，從而有P(ξ＝2)＝，P(ξ＝4)＝×＝，P＝＝，故Eξ＝2×＋4×＋6×＝.
14.(15分)某中藥種植基地有兩處種植區的藥材需在下周一、周二兩天內采摘完畢，基地員工一天可以完成一處種植區的采摘.由于下雨會影響藥材品質，基地收益情況如下表：
下周一 無雨 無雨 有雨 有雨
下周二 無雨 有雨 無雨 有雨
收益 20萬元 15萬元 10萬元 7.5萬元
若基地額外聘請工人，則可在下周一當天完成全部采摘任務，無雨時收益為20萬元；有雨時收益為10萬元.額外聘請工人的成本為a萬元.已知下周一和下周二有雨的概率相同，兩天是否下雨互不影響，基地收益為20萬元的概率為0.36.
(1)若不額外聘請工人，寫出基地收益X的分布列及基地的預期收益；
(2)該基地是否應該外聘工人？請說明理由.
解：(1)設下周一無雨的概率為p.
由題意知，p2＝0.36，p＝0.6.
基地收益X的可能取值為20，15，10，7.5.
P(X＝20)＝0.36，P(X＝15)＝0.24，
P(X＝10)＝0.24，P(X＝7.5)＝0.16.
所以基地收益X的分布列為
X 20 15 10 7.5
P 0.36 0.24 0.24 0.16
基地的預期收益EX＝20×0.36＋15×0.24＋10×0.24＋7.5×0.16＝14.4.
所以基地的預期收益為14.4萬元.
(2)設基地額外聘請工人時的收益為Y萬元，則其預期收益EY＝20×0.6＋10×0.4－a＝16－a，
EY－EX＝1.6－a.
綜上，當額外聘請工人的成本高于1.6萬元時，不外聘工人；當成本低于1.6萬元時，外聘工人；成本恰為1.6萬元時，外聘工人或不外聘工人均可以.
15.(5分)(2025·安徽淮南期中)如圖，某考古隊在挖掘一古墓群，古墓外面是一個正方形復雜空間，且有4個形狀、大小均相同的入口1，2，3，4，其中只有1個入口可以打開，其他的是關閉的.現讓一個機器狗從點O出發探路，從4條路線中任選一條尋找打開的入口，找到后直接進入古墓，若未找到，則沿原路返回到出發點，繼續重新尋找.若該機器狗是有記憶的，它在出發點選擇各條路線的嘗試均不多于1次，且每次選哪條路線是等可能的，則它能夠進入古墓的總嘗試次數的均值是(　　)
A. B.2
C. D.
答案：D
解析：設機器狗能夠進入古墓的總嘗試次數為X，則X的所有可能取值為1，2，3，4，所以P(X＝1)＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，所以EX＝1×＋2×＋3×＋4×＝.故選D.
16.(17分)(創新題)將一枚質地均勻的骰子先后拋擲兩次，所得的向上的點數分別記為a，b，設[x]表示不超過實數x的最大整數，的值為隨機變量X.
(1)求在X＞0的條件下，X＝的概率；
(2)求X的分布列及其均值.
解：(1)記拋擲骰子的樣本點為(a，b)，則樣本空間為，樣本空間容量為36，
設事件A為“X＞0”，事件B為“X＝”，
則A＝{(1，1)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(6，1)，(2，2)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(6，2)，(3，3)，(4，3)，(5，3)，(6，3)，(4，4)，(5，4)，(6，4)，(5，5)，(6，5)，(6，6)}，其包含的樣本點數為21，AB＝{(1，1)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(6，1)，(2，2)，(4，2)，(6，2)，(3，3)，(6，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)}，其包含的樣本點數為14，
根據條件概率得P(B｜A)＝＝＝.
(2)隨機變量X的可能取值為0，1，2，3，4，5，6，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝，P(X＝5)＝，P(X＝6)＝，
所以其分布列為
X 0 1 2 3 4 5 6
P
所以EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝.
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3.1　離散型隨機變量的均值
　
第六章　§3　離散型隨機變量的均值與方差
學習目標
1.通過具體實例，理解離散型隨機變量的均值的概念，能計 算簡單離散型隨機變量的均值，培養數學抽象、數學運 算、數學建模的核心素養.
2.掌握兩點分布的均值.
3.會利用離散型隨機變量的均值解決一些相關的實際問題， 培養數學運算、數學建模的核心素養.
任務一　離散型隨機變量的均值
問題導思
問題.已知有12個西瓜，其中重5 kg的有4個，重6 kg的有3個，重7 kg的有5個.請思考：
(1)任取一個西瓜，用X表示這個西瓜的重量，試求X的分布列；
提示：X的分布列為
X 5 6 7
P
新知構建
1.定義：設離散型隨機變量X的分布列為
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
則稱EX＝____________________________為隨機變量X的均值或數學期望(簡稱______).
2.意義：均值EX刻畫的是X取值的“__________”，反映了離散型隨機變量X取值的__________.
3.兩點分布的均值：若隨機變量X服從參數為p的兩點分布，則EX＝___.
x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn
期望
中心位置
平均水平
p
典例
1
X 2 3 4 5
P
Y 2 3 4 5
P
規律方法
求隨機變量X的均值的方法和步驟
第一步：理解隨機變量X的意義，寫出X所有可能的取值；
第二步：求出X取每個值的概率P(X＝k)；
第三步：寫出X的分布列；
第四步：利用均值的定義EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn，求EX.
X 0 1 2
P
返回
任務二　均值的函數性質
典例
2
X 0 1 2
P m
√

Y －2 1 4
P
規律方法
求線性關系的隨機變量Y＝aX＋b均值的方法
1.定義法：先列出Y的分布列，再求均值.
2.性質法：若X是隨機變量，則Y＝aX＋b(a，b均是常數)也是隨機變量，且EY＝E(aX＋b)＝aEX＋b.
注意：性質法僅適合線性關系，如果是其他函數關系，一般選用定義法.
√
X －1 0 a 2
P b

X －1 0 a 2
P b
(2)設隨機變量X的分布列如下：
X －1 0 1
P
則EX2＝　　.

X2 1 0
P
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任務三　均值的實際應用
(鏈教材P205例4)為了豐富學生的課余生活，某校決定舉辦競技比賽.比賽分為“無人機表演”和“機器人操作”兩個項目，選手兩個比賽項目的順序自選，若第一個項目不過關，則淘汰；若第一個項目過關則進行第二個項目的比賽，無論第二個項目是否合格，比賽都結束.“無人機表演”比賽合格得4分，否則得0分；“機器人操作”比賽合格得6分，否則得0分.已知博文同學參加“無人機表演”比賽合格的概率為0.8，參加“機器人操作”比賽合格的概率為0.7.
(1)若博文同學先進行“無人機表演”比賽，記X為博文同學的累計得分，求X的均值；
典例
3
X 0 4 10
P 0.2 0.24 0.56
所以EX＝0×0.2＋4×0.24＋10×0.56＝6.56.
Y 0 6 10
P 0.3 0.14 0.56
所以EY＝0×0.3＋6×0.14＋10×0.56＝6.44，
因為EX＞EY，所以博文同學應選擇先進行“無人機表演”比賽.
規律方法
1.實際問題中的均值問題
均值在實際生活中有著廣泛的應用，如在體育比賽的成績預測、消費預測、工程方案預測、產品合格率預測、投資收益預測等方面，都可以通過隨機變量的均值來進行估計.
2.概率模型的解答步驟
第一步(建模)：即把實際問題概率模型化；
第二步(解模)：確定分布列，計算隨機變量的均值；
第三步(回歸)：利用所得數據，對實際問題作出判斷.
對點練3.據統計，一年中一個家庭萬元以上的財產被盜的概率為0.01.保險公司開辦一年期萬元以上家庭財產保險，參加者需交保險費100元，若在一年以內，萬元以上的財產被盜，保險公司賠償a元(a＞100).問a如何取值，可使保險公司從均值角度分析可獲利？
解：設X表示“保險公司在參加保險人身上的收益”，
則X的可能取值為100，100－a，則P(X＝100)＝0.99，P(X＝100－a)＝0.01，
所以EX＝0.99×100＋0.01×(100－a)＝100－0.01a＞0，解得a＜10 000，
又a＞100，因此100＜a＜10 000，
即當a在100和10 000之間取值時可使保險公司從均值角度分析可獲利.
課堂小結
任務再現 1.離散型隨機變量的均值.2.兩點分布的均值.3.E(aX＋b)＝aEX＋b.4.均值函數的性質及應用.
方法提煉 函數與方程思想、轉化化歸思想
易錯警示 不會應用均值對實際問題作出正確分析
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隨堂評價
√
1.已知隨機變量X的均值為EX＝3，則E(3X＋2)＝
A.9 B.11
C.27 D.29
因為EX＝3，所以E(3X＋2)＝3EX＋2＝3×3＋2＝11.故選B.
√
2.某同學參加籃球測試，每進一球記5分，不進球記－1分，已知該同學的命中率為80％，則該同學一次投籃得分的均值為
A.3.0 B.3.2
C.3.6 D.3.8
記該同學一次投籃得分為X，則X的可能取值為5，－1，所以EX＝5×0.8－1×0.2＝3.8.故選D.
X －1 0 1
P
4
4.從含有6件正品和4件次品的產品中任取3件，記X為所抽取的次品數，則
EX＝　　.

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課時分層評價
√
1.若X是離散型隨機變量，則E(X－EX)＝
A.EX B.2EX
C.0 D.(EX)2
E(X－EX)＝EX－EX＝0.故選C.
√
X －1 0 1
P a b

X －1 0 1
P a b
√
3.某船隊若出海后天氣好，可獲利5 000元；若出海后天氣壞，將損失
2 000元；若不出海，要損失1 000元.根據預測知天氣好的概率為0.6，則出海的均值效益是
A.2 000元 B.2 200元
C.2 400元 D.2 600元
出海的均值效益EX＝5 000×0.6＋(1－0.6)×(－2 000)＝3 000－800＝
2 200(元).故選B.
√

√

√
√
X 0 1 2
P p－p2 1－p p2

X 0 1 2
P p－p2 1－p p2
7.一個口袋中裝有大小相同的3個白球和4個紅球，從中摸出兩個球，若X
表示摸出白球的個數，則EX＝　　.

8.設0＜a≤b，隨機變量X的分布列為


則EX的取值范圍是　　　　.
X 1 2 4
P a b a＋b

9.(雙空題)某種資格證考試，每位考生一年內最多有3次考試機會.一旦某次考試通過，便可領取資格證書，不再參加以后的考試；否則就繼續參加考試，直到用完3次機會.小王決定參加考試，若他每次參加考試通過的概率依次為0.6，0.7，0.8，且每次考試是否通過相互獨立，則小王在一年內領到資格證書的概率為　　　　；他在一年內參加考試次數的均值為　　　　.
0.976
1.52
小王在一年內領到資格證書的概率為P＝1－(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.976；設X為小王一年內參加考試的次數，則X的可能取值為1，2，3.P(X＝1)＝0.6，P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28，P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)＝0.12，所以均值EX＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.12＝1.52.
1 000 600 400
P
√

√
√
12.(多選題)設離散型隨機變量X的分布列如下表：
若離散型隨機變量Y＝－2X＋3，且EX＝3.2，則下列正確的是
A.m＝0.3 B.n＝0.1
C.EY＝－3.4 D.P(X≤3)＞P(X＞3)
X 1 2 3 4 5
P m 0.1 0.3 n 0.3
√

X 1 2 3 4 5
P m 0.1 0.3 n 0.3

14.(15分)某中藥種植基地有兩處種植區的藥材需在下周一、周二兩天內采摘完畢，基地員工一天可以完成一處種植區的采摘.由于下雨會影響藥材品質，基地收益情況如下表：
下周一 無雨 無雨 有雨 有雨
下周二 無雨 有雨 無雨 有雨
收益 20萬元 15萬元 10萬元 7.5萬元
若基地額外聘請工人，則可在下周一當天完成全部采摘任務，無雨時收益為20萬元；有雨時收益為10萬元.額外聘請工人的成本為a萬元.已知下周一和下周二有雨的概率相同，兩天是否下雨互不影響，基地收益為20萬元的概率為0.36.
(1)若不額外聘請工人，寫出基地收益X的分布列及基地的預期收益；
解：設下周一無雨的概率為p.
由題意知，p2＝0.36，p＝0.6.
基地收益X的可能取值為20，15，10，7.5.
P(X＝20)＝0.36，P(X＝15)＝0.24，
P(X＝10)＝0.24，P(X＝7.5)＝0.16.
所以基地收益X的分布列為
X 20 15 10 7.5
P 0.36 0.24 0.24 0.16
基地的預期收益EX＝20×0.36＋15×0.24＋10×0.24＋7.5×0.16＝14.4.
所以基地的預期收益為14.4萬元.
(2)該基地是否應該外聘工人？請說明理由.
解：設基地額外聘請工人時的收益為Y萬元，則其預期收益EY＝20×0.6＋10×0.4－a＝16－a，
EY－EX＝1.6－a.
綜上，當額外聘請工人的成本高于1.6萬元時，不外聘工人；當成本低于1.6萬元時，外聘工人；成本恰為1.6萬元時，外聘工人或不外聘工人均
可以.
√

X 0 1 2 3 4 5 6
P
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