資源簡介

§5　正態(tài)分布
學習目標 1.通過誤差模型，了解服從正態(tài)分布的隨機變量.　2.通過具體實例，借助頻率直方圖的幾何直觀，了解正態(tài)分布的特征，培養(yǎng)數(shù)學抽象、直觀想象的核心素養(yǎng).　3.了解正態(tài)分布的均值、方差及其含義并會用正態(tài)分布去解決實際問題，培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學運算的核心素養(yǎng).
任務一　正態(tài)分布
問題1.下列隨機變量哪個是離散型隨機變量：
(1)擲一枚骰子一次，用X表示所得點數(shù)；
(2)白熾燈的使用時間.
提示：(1)是，(2)不是.
問題2.一所學校同年級的同學，身高特別高的同學比較少，特別矮的同學也不多，大都集中在某個高度左右；自動流水線包裝的每袋標準質(zhì)量為400 g的食鹽，由于不可控因素，實際質(zhì)量與標準質(zhì)量或多或少存在一定的誤差.生活中這樣的現(xiàn)象很多，還能使用二項分布、超幾何分布來刻畫嗎？
提示：不符合二項分布、超幾何分布的特征，不能用它們刻畫.
1.離散型隨機變量：變量X的值可以一一列舉.
連續(xù)型隨機變量：人們把具有分布密度函數(shù)的隨機變量稱為連續(xù)型隨機變量，最常見的一類連續(xù)型隨機變量是由誤差引起的，其分布密度曲線一般是形狀像“鐘”的光滑曲線.連續(xù)型隨機變量X的值無法一一列舉，它可以取某一個區(qū)間中的所有值.
2.正態(tài)分布與正態(tài)曲線
由誤差引起的連續(xù)型隨機變量其分布密度函數(shù)圖象對應的分布密度函數(shù)解析式為φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中實數(shù)μ，σ(σ＞0)為參數(shù)，這一類隨機變量X的分布密度(函數(shù))稱為正態(tài)分布密度(函數(shù))，簡稱正態(tài)分布，對應的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱為正態(tài)曲線.
3.如果隨機變量X服從正態(tài)分布，那么這個正態(tài)分布完全由參數(shù)μ，σ(σ＞0)確定，記為X～N(μ，σ2).其中EX＝μ，DX＝σ2.
4.正態(tài)曲線的性質(zhì)
(1)非負性：曲線在x軸的上方，與x軸不相交.
(2)對稱性：曲線是單峰的，關于直線x＝μ對稱.
(3)最大值：曲線在x＝μ處達到峰值.
(4)當x＜μ時，曲線上升；當x＞μ時，曲線下降；并且當曲線向左、右兩邊無限延伸時，以x軸為漸近線.
(5)當σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖①.
(6)當μ一定時，曲線的形狀由σ確定.σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；σ越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中，如圖②.
(鏈教材P223例1)(1)(多選)已知三個正態(tài)分布密度函數(shù)fi(x)＝(x∈R，i＝1，2，3)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A.μ1＝μ2＞μ3 B.μ1＜μ2＝μ3
C.σ1＝σ2＞σ3 D.σ1＝σ2＜σ3
(2)(雙空題)設有一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數(shù)f(x)的圖象，且f(x)＝，則這個正態(tài)總體的平均數(shù)是　　　??；標準差是　　　　.
答案：(1)BD　(2)10　2
解析：(1)根據(jù)正態(tài)分布密度函數(shù)中參數(shù)μ，σ的意義，結(jié)合圖象可知f2(x)，f3(x)對稱軸位置相同，所以可得μ2＝μ3；且都在f1(x)的右側(cè)，即μ1＜μ2＝μ3，比較f1(x)和f2(x)圖象可得，其形狀相同，即σ1＝σ2，又f3(x)的分散程度比f1(x)和f2(x)大，所以可得σ1＝σ2＜σ3.故選BD.
(2) 因為f(x)＝＝，所以σ＝2，μ＝10，即正態(tài)總體的平均數(shù)與標準差分別為10與2.
利用正態(tài)曲線的特點求參數(shù)μ，σ
1.正態(tài)曲線是單峰的，它關于直線x＝μ對稱，由此特點結(jié)合圖象求出μ.
2.正態(tài)曲線在x＝μ處達到峰值，由此特點結(jié)合圖象可求出σ.
對點練1.(1)函數(shù)f(x)＝(其中μ＜0)的圖象可能為(　　)
(2)(雙空題)如圖，若一個隨機變量X服從某正態(tài)分布X～N，且已知函數(shù)f(x)＝的圖象及部分重要點的坐標如圖，則該隨機變量的均值EX＝　　　　，方差DX＝　　　　.
答案：(1)A　(2)5　1
解析：(1)函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為直線x＝μ，因為μ＜0，所以排除B、D；又正態(tài)曲線位于x軸上方，因此排除C，所以A正確.故選A.
(2)由圖可知，當x＝5時，f(x)＝，所以μ＝5，σ＝1，所以X～N，所以EX＝μ＝5，DX＝σ2＝1.
任務二　利用正態(tài)分布的性質(zhì)求概率
問題3.隨機變量X的概率分布密度函數(shù)f(x)＝，其圖象如圖所示，如果由X≥2與x軸以及曲線圍成的面積是0.15，則能求圖中陰影部分的面積嗎？
提示：由題意可知X～N，則由曲線的對稱性可知：由X≤0與x軸以及曲線圍成的面積也是0.15，故圖中陰影部分的面積為＝0.35.
1.正態(tài)分布的幾何意義
若X～N(μ，σ2)，如圖所示，X取值不超過m的概率P(X≤m)為圖中區(qū)域A的面積，而P(a≤X≤b)為區(qū)域B的面積.
[微提醒]　(1)曲線與x軸之間的面積為1.(2)若X～N(μ，σ2)，則P(X＞μ)＝P(X＜μ)＝0.5.
2.服從于正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機變量X在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率
P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6，
P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 4，
P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 4.
3.3σ原則
隨機變量X在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]上取值的概率分別約為68.3％，95.4％，99.7％.而隨機變量X在區(qū)間(μ－3σ，μ＋3σ]外取值的概率只有約0.3％，通常認為這種情況在一次試驗中幾乎是不可能發(fā)生的，認為是小概率事件.因此，在實際應用中，通常認為服從正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機變量X只取區(qū)間(μ－3σ，μ＋3σ]之間的值，并稱之為3σ原則.
(鏈教材P224習題T3)設隨機變量X～N，若P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1).
(1)求c的值；
(2)若σ＝3，求P(－4≤X≤8).
附：若隨機變量X～N，則P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6；P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 4；P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 4.
解：(1)由題意知，隨機變量X～N，且P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)，
由正態(tài)分布的對稱性可知，＝c＝2，故c的值為2.
(2)若σ＝3，則X～N(2，9)，因此μ＝2，σ＝3，
P(－4≤X≤8)＝P(2－2×3≤X≤2＋2×3)
＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 4，
故P(－4≤X≤8)≈0.954 4.
[變式探究]
1.(變條件)若σ＝2，求P(－4≤X≤8).
解：P(－4≤X≤8)＝P(2－2×3≤X≤2＋2×3)＝P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 4，
故P(－4≤X≤8)≈0.997 4.
2.(變條件，變設問)若P＝0.6，求P(1＜X＜2).
解：由題意可得μ＝2，且P＝0.6，
則P＝P＝1－0.6＝0.4，
所以P＝＝0.1.
利用正態(tài)分布求概率的兩種方法
1.對稱法：由于正態(tài)曲線是關于直線x＝μ對稱的，且概率的和為1，故關于直線x＝μ對稱的區(qū)間的概率相等.如：
(1)P(X＜a)＝1－P(X≥a)；
(2)P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)；
(3)若b＜μ，則P(X＜b)＝.
2.“3σ”法：利用隨機變量X落在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]內(nèi)的概率分別約為0.682 6，0.954 4，0.997 4求解.
注意：充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間的面積為1.
對點練2.(1)(多選題)對某地區(qū)數(shù)學考試成績的數(shù)據(jù)分析，男生成績X服從正態(tài)分布N，女生成績Y服從正態(tài)分布N.則(　　)
A.P(X≤86)＜P(Y≤86)
B.P(X≤80)＞P(Y≤80)
C.P(X≤74)＞P(Y≤74)
D.P(X≤64)＝P(Y≥80)
(2)(雙空題)已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2).若P≥P，則實數(shù)μ的取值范圍是　　　　；若μ＝5且P(X＜3)＝0.3，那么P(3≤X≤7)＝　　　　.
答案：(1)ACD　(2)　0.4
解析：(1)X～N(72，82)，μ1＝72，σ1＝8；Y～N(74，62)，μ2＝74，σ2＝6.P(X≤80)＝P(X≤μ1＋σ1)，P(Y≤80)＝P(Y≤μ2＋σ2)，P(X≤80)＝P(Y≤80)；P(X≤88)＝P(X≤μ1＋2σ1)，P(Y≤86)＝P(Y≤μ2＋2σ2)，P(X≤88)＝P(Y≤86)；對于A，P(X≤86)＜P(X≤88)＝P(Y≤86)，故A正確；對于B，P(X≤80)＝P(Y≤80)，故B錯誤；對于C，P(X≤74)＞P(X≤72)＝＝P(Y≤74)，故C正確；對于D，P(X≤64)＝P(X≥80)＝P(Y≥80)，故D正確.故選ACD.
(2)由正態(tài)分布的對稱性知，≤，解得μ≤1，所以實數(shù)μ的取值范圍是；因為μ＝5，所以正態(tài)密度曲線的對稱軸為x＝5，所以P(3≤X≤5)＝0.5－P(X＜3)＝0.2，所以P＝2P＝0.4.
任務三　正態(tài)分布的應用
角度1　應用正態(tài)分布解決實際問題中的概率與頻數(shù)問題
已知某地區(qū)高考二檢數(shù)學共有8 000名考生參與，且二檢的數(shù)學成績X近似服從正態(tài)分布N，若成績在80分以下的有1 500人，則可以估計P＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
解析：法一：由題意得，P(X＜80)＝＝，故P(95≤X≤110)＝P＝P(X≤95)－P(X＜80)＝－＝.故選B.
法二：數(shù)學成績在80分至95分的有4 000－1 500＝2 500人，由對稱性，數(shù)學成績在95分至110分的也有2 500人，故P＝＝.故選B.
應用正態(tài)分布解決實際問題中的概率與頻數(shù)問題
解答此類問題的關鍵在于利用正態(tài)分布曲線的對稱性把待求區(qū)間的概率向已知區(qū)間的概率進行等價轉(zhuǎn)化，此過程體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想.
角度2　3σ原則的實際應用
假設某廠包裝食鹽的生產(chǎn)線，正常情況下生產(chǎn)出來的食鹽質(zhì)量服從正態(tài)分布N(單位：g)，該生產(chǎn)線上的檢測員某天隨機抽取了兩包食鹽，稱得其質(zhì)量均大于515 g.
(1)求正常情況下，任意抽取一包食鹽，質(zhì)量大于515 g的概率為多少；
(2)檢測員根據(jù)抽檢結(jié)果，判斷出該生產(chǎn)線出現(xiàn)異常，要求立即停產(chǎn)檢修，檢測員的判斷是否合理？請說明理由.
解：(1)設正常情況下，該生產(chǎn)線上包裝出來的食鹽質(zhì)量為X g，由題意可知X～N.
由于515＝500＋3×5，所以根據(jù)正態(tài)分布的對稱性與“3σ原則”可知，
P(X＞515)＝P(｜X－3×5｜＞500)≈×0.3％＝0.15％.
(2)檢測員的判斷是合理的.因為如果生產(chǎn)線不出現(xiàn)異常的話，由(1)可知，隨機抽取兩包檢查，質(zhì)量都大于515 g的概率約為0.15％×0.15％＝2.25×10－6，幾乎為零，但這樣的事件竟然發(fā)生了，所以有理由認為生產(chǎn)線出現(xiàn)了異常，檢測員的判斷是合理的.
解決此類問題時，應當注意產(chǎn)品質(zhì)量應大概率落在(μ－3σ，μ＋3σ]之內(nèi)，否則可以認為該批產(chǎn)品不合格.判斷的依據(jù)是小概率事件在一次試驗中幾乎是不可能發(fā)生的，而一旦發(fā)生了，就可以認為這批產(chǎn)品不合格.
對點練3.(1)一批電阻的阻值X(單位：Ω)服從正態(tài)分布N，根據(jù)行業(yè)標準，概率低于0.003視為小概率事件，現(xiàn)從甲、乙兩箱成品中各隨機抽取一個電阻，測得阻值分別為1 011 Ω和982 Ω，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A.甲、乙兩箱電阻均可出廠
B.甲、乙兩箱電阻均不可出廠
C.甲箱電阻可出廠，乙箱電阻不可出廠
D.甲箱電阻不可出廠，乙箱電阻可出廠
(2)“雙十二”網(wǎng)購狂歡節(jié)是繼“雙十一”后的又一次網(wǎng)絡促銷日，在這一天，許多網(wǎng)商還會進行促銷活動，但促銷力度不及“雙十一”.已知今年“雙十二”期間，某小區(qū)居民網(wǎng)上購物的消費金額(單位：元)近似服從正態(tài)分布N，則該小區(qū)800名居民中，網(wǎng)購金額超過800元的人數(shù)大約為　　　　人.(若隨機變量X～N，則P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 4，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 4)
答案：(1)C　(2)18
解析：(1)依題意X～N，所以μ＝1 000，σ＝5，所以μ－3σ＝1 000－15＝985，μ＋3σ＝1 000＋15＝1 015，(μ－3σ，μ＋3σ]＝(985，1 015]，因為1 011∈(985，1 015]，982 ，所以甲箱電阻可出廠，乙箱電阻不可出廠.故選C.
(2)因為小區(qū)居民網(wǎng)上購物的消費金額(單位：元)近似服從正態(tài)分布N，
所以P＝≈＝0.022 8，所以該小區(qū)800名居民中，網(wǎng)購金額超過800元的人數(shù)大約為0.022 8×800≈18.
任務再現(xiàn) 1.正態(tài)曲線及其性質(zhì).2.利用正態(tài)分布的性質(zhì)求概率.3.正態(tài)分布的應用
方法提煉 轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)形結(jié)合
易錯警示 概率區(qū)間轉(zhuǎn)化不等價
1.設隨機變量X～N，且P(X≤0)＝P(X≥a－2)，則實數(shù)a的值為(　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
答案：B
解析：因為X～N，所以正態(tài)分布密度曲線的對稱軸為x＝1，因為P(X≤0)＝P(X≥a－2)，所以＝1 a＝4.故選B.
2.(多選題)關于標準正態(tài)分布N(0，1)的概率密度函數(shù)f(x)＝·的說法中，正確的說法為(　　)
A.f(x)為偶函數(shù)
B.f(x)的最大值是
C.f(x)在x＞0時是單調(diào)遞減函數(shù)，在x≤0時是單調(diào)遞增函數(shù)
D.f(x)關于x＝1對稱
答案：ABC
解析：由正態(tài)分布密度函數(shù)f(x)＝·，可得f(x)的圖象關于x＝0對稱，所以f(x)為偶函數(shù)，故A正確，D不正確；根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)得，當x＝0時，函數(shù)f(x)取得最大值f(0)＝·e0＝，故B正確；根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)，可得f(x)在上單調(diào)遞增，在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，故C正確.故選ABC.
3.某校進行的“校園安全”知識競賽成績X～N(82，16)，若成績在90分以上為“優(yōu)秀”，該校有4 000人參加競賽，則獲得“優(yōu)秀”的人數(shù)約為　　　　.(附：P≈0.682 6，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 4)
答案：91
解析：由題意得，μ＝82，σ＝4，P≈×0.954 4＝0.477 2，P≈0.5－0.477 2＝0.022 8，4 000×0.022 8≈91.
4.節(jié)約能源是人類面臨的重大課題，為了更好地配置電力資源，某市電力部門調(diào)查了一年的居民用電量，發(fā)現(xiàn)每戶居民該年用電量X(單位：千瓦時)服從正態(tài)分布N，且P＝，在該市隨機抽取500戶居民，設這500戶居民中該年用電量超過1 200千瓦時的戶數(shù)為ξ，則Eξ＝　　　　.
答案：100
解析：由正態(tài)分布的對稱性知P＝[1－P(800≤X≤1 200)]＝，則ξ～B，所以Eξ＝500×＝100.
課時分層評價46　正態(tài)分布
(時間：60分鐘　滿分：100分)
(1—9，每小題5分，共45分)
1.若X～N，且P＝0.10，則P(X≥0)＝(　　)
A.0.10 B.0.40
C.0.80 D.0.90
答案：D
解析：根據(jù)題意X～N，且P＝0.10，則P(X＜0)＝P(X＞2)＝0.10，故P(X≥0)＝1－P(X＜0)＝0.90.故選D.
2.隨機變量ξ服從正態(tài)分布N，若P＝0.2，P＝0.6，則μ等于(　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
答案：B
解析：因為P＝0.2，P＝0.6，所以P＝1－0.2－0.6＝0.2，即P＝P(ξ＞6)，所以μ＝＝4.故選B.
3.(2025·山東聊城高二期末)設隨機變量X～N(μ1，)，Y～N，這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示，則(　　)
A.μ1＞μ2
B.σ1＜σ2
C.P＞P
D.P＞P
答案：D
解析：X的密度曲線的對稱軸在Y的密度曲線的對稱軸的左邊，即μ1＜μ2.X的密度曲線較為分散，Y的密度曲線較為集中，即σ1＞σ2，故A、B錯誤；因為P＝0.5，P＝0.5，故C錯誤；因為P＞0.5，P＜0.5，故D正確.故選D.
4.已知連續(xù)型隨機變量X與離散型隨機變量Y滿足X～N，Y～B，若X與Y的方差相同且P＝0.3，則P＝(　　)
A.0.8 B.0.5
C.0.3 D.0.2
答案：A
解析：DX＝μ2，DY＝16××＝4，因為DX＝DY，所以μ2＝4，μ＝2，由對稱性P＝0.5，故P＝P＋P＝0.5＋0.3＝0.8.故選A.
5.某次高二質(zhì)量抽測中，學生的數(shù)學成績X服從正態(tài)分布N.已知參加本次考試的學生約有10 000人，如果小明在這次考試中數(shù)學成績?yōu)?20分，則小明的數(shù)學成績在本次抽測的名次大約是(　　)
附：若X～N，則P≈0.682 6，P≈0.954 4
A.第228名 B.第455名
C.第1 587名 D.第3 173名
答案：A
解析：由X～N，μ＋2σ＝96＋24＝120，μ－2σ＝96－24＝72，則P≈0.954 4，故P≈＝0.022 8，10 000×0.022 8＝228，故小明的數(shù)學成績在本次抽測的名次大約是第228名.故選A.
6.(多選題)若隨機變量X～N且P(X＜m)＝P(X＞n)，則下列選項正確的是(　　)
A.E(2X＋1)＝7
B.m2＋n2的最小值為50
C.P＞P
D.若P(X＞4)＝0.68，則P(5≤X＜6)＝0.32
答案：BC
解析：隨機變量X～N，對于A，EX＝5，則E(2X＋1)＝2EX＋1＝11，故A錯誤；對于B，由P(X＜m)＝P(X＞n)，有＝5，則m2＋n2≥＝50，當且僅當m＝n＝5時等號成立，m2＋n2的最小值為50，故B正確；對于C，EX＝5，所以P＞P，故C正確；對于D，因為隨機變量X～N，所以正態(tài)曲線的對稱軸為直線x＝5，因為P(4＜X≤5)＝0.68－0.5＝0.18，所以P(5≤X＜6)＝0.18，故D錯誤.故選BC.
7.已知X～N，P＋P＝1，且P＝0.2，則P＝　　　　.
答案：0.6
解析：因為P＋P＝1，所以P(X≥3)＝P，則μ＝1.因為P＝0.2，所以P＝1－2×0.2＝0.6.
8.某廠有一條包裝食鹽的生產(chǎn)線，正常情況下食鹽質(zhì)量服從正態(tài)分布N(單位：g)，某天生產(chǎn)線上的檢測員隨機抽取了一包食鹽，稱得其質(zhì)量大于415 g，他立即判斷生產(chǎn)線出現(xiàn)了異常，要求停產(chǎn)檢修.由此可以得出σ的最大值是　　　　.
答案：5
解析：由題意得μ＝400，由3σ原則，得400＋3σ≤415，解得σ≤5，所以σ的最大值是5.
9.為了解高三復習備考情況，某校組織了一次階段考試.經(jīng)數(shù)據(jù)分析，高三全體考生的數(shù)學成績近似服從正態(tài)分布X～N(100，17.52).已知成績在117.5分以上(不含117.5分)的學生有80人，則此次參加考試的學生成績低于82.5分的概率為　　　??；如果成績大于135分的為特別優(yōu)秀，那么本次數(shù)學考試成績特別優(yōu)秀的大約有　　　　人.(若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5)
答案：0.158 65　11
解析：因為數(shù)學成績X服從正態(tài)分布N(100，17.52)，則P(100－17.5≤X≤100＋17.5)＝P(82.5≤X≤117.5)≈0.682 7，所以此次參加考試的學生成績低于82.5分的概率P(X＜82.5)＝≈＝0.158 65.又P(100－17.5×2≤X≤100＋17.5×2)＝P(65≤X≤135)≈0.954 5，所以數(shù)學成績特別優(yōu)秀的概率P(X＞135)＝≈＝0.022 75.又P(X＜82.5)＝P(X＞117.5)＝0.158 65，則本次考試數(shù)學成績特別優(yōu)秀的人數(shù)大約是×0.022 75≈11.
10.(15分)某車間生產(chǎn)一批零件，現(xiàn)從中隨機抽取10個，測量其內(nèi)徑的數(shù)據(jù)如下(單位：mm)：192，192，193，197，200，202，203，204，208，209.設這10個數(shù)據(jù)的均值為μ，標準差為σ.
(1)求μ和σ；
(2)已知這批零件的內(nèi)徑X(單位：mm)服從正態(tài)分布N，若該車間又新購一臺設備，安裝調(diào)試后，試生產(chǎn)了5個零件，測量其內(nèi)徑(單位：mm)分別為：186，190，198，204，213，如果你是該車間的負責人，以原設備生產(chǎn)性能為標準，試根據(jù)3σ原則判斷這臺設備是否需要進一步調(diào)試？并說明你的理由.
參考數(shù)據(jù)：若X～N，則P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 4，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 4.
解：(1)μ＝×(192＋192＋193＋197＋200＋202＋203＋204＋208＋209)＝200，
σ2＝×(82＋82＋72＋32＋02＋22＋32＋42＋82＋92)＝36，故σ＝＝6.
(2)由題意得X～N，P(200－18＜X≤200＋18)≈0.997 4，
即P≈0.997 4，而五個零件的內(nèi)徑186，190，198，204，213均出現(xiàn)在＝內(nèi)，根據(jù)3σ原則，可以認為設備正常，這臺設備不需要調(diào)試.
(11—13，每小題5分，共15分)
11.(2025·黑龍江哈爾濱高二期末)已知隨機變量X～N.若P(1≤X≤3)＝0.3，設事件A＝“X＜1”，事件B＝“｜X｜＞1”，則P(A｜B)＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：因為隨機變量X～N，且P(1≤X≤3)＝0.3，所以P(X＞3)＝0.5－0.3＝0.2，所以P(X＜－1)＝P(X＞3)＝0.2，｜X｜＞1，即X＞1或X＜－1，所以P(｜X｜＞1)＝P(X＞1)＋P(X＜－1)＝0.5＋0.2＝0.7，所以P(A｜B)＝＝＝＝.故選D.
12.(多選題)(2025·山西呂梁高二月考)小明上學有時乘公交車，有時騎自行車.他各記錄了100次乘公交車和騎自行車上學所用的時間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到：乘公交車平均用時20 min，樣本標準差為6；騎自行車平均用時24 min，樣本標準差為2.已知若隨機變量ξ～N，則～N(0，1).假設小明乘公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態(tài)分布，則(　　)
A.X～N
B.～N(0，1)
C.若某天有28 min可用，小明要想盡可能不遲到應選擇騎自行車
D.若某天有25 min可用，小明要想盡可能不遲到應選擇乘公交車
答案：BCD
解析：根據(jù)題意知X～N，～N(0，1)，故A錯誤，B正確；若有28 min可用，分別設隨機變量X，Y的平均數(shù)和方差為μX，σX，μY，σY，則P(｜Y－24｜≤4)＝P(｜Y－μY｜≤2σY)＝P(｜X－μX｜≤2σX)＝P(｜X－20｜≤12)＞P(｜X－20｜≤8)，故P(X≤28)＜P(Y≤28)，小明要想盡可能不遲到應選擇騎自行車，故C正確；若有25 min可用，則P＝P(≤)，P＝P，因為～N(0，1)，～N(0，1)，故P＞P，小明要想盡可能不遲到應選擇乘公交車，故D正確.故選BCD.
13.(雙空題)(2025·江蘇南通高二期中)某工廠生產(chǎn)的A產(chǎn)品的長度l(單位：cm)服從正態(tài)分布N(5，32)，按長度l分為5級：l≥10為一級，8≤l＜10為二級，6≤l＜8為三級，4≤l＜6為四級，l＜4為廢品.將一級與二級產(chǎn)品稱為優(yōu)品.對該工廠生產(chǎn)的A產(chǎn)品進行隨機抽查，每次抽取1個，則抽到優(yōu)品的概率p≈　　　　(精確到0.1).若抽出的是優(yōu)品，則抽查終止，否則繼續(xù)抽查直到抽到優(yōu)品，則抽查次數(shù)不超過兩次的概率約為　　　　.
附：P(μ－σ＜Z≤μ＋σ)≈0.682 6，P(μ－2σ＜Z≤μ＋2σ)≈0.954 4，P(μ－3σ＜Z≤μ＋3σ)≈0.997 4
答案：0.2　0.36
解析：由l～N，所以μ＝5，σ＝3，優(yōu)品滿足l≥8，所以P(l≥8)＝P(l≥5＋3)＝P(l≥μ＋σ)＝－≈0.158 7≈0.2(第一空)；抽查次數(shù)不超過兩次的概率為P＝0.2＋0.8×0.2＝0.36(第二空).
14.(15分)某公司建有1 000個銷售群，在某產(chǎn)品的銷售旺季，所有群銷售件數(shù)X服從正態(tài)分布N，其中μ＝376，σ2＝12 100，公司把銷售件數(shù)不小于596的群稱為“A級群”，銷售件數(shù)在[266，596)內(nèi)的群為“B級群”，銷售件數(shù)小于266的群為“C級群”.
(1)若P(X＜a)≥P(X＞2a－1)，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)該公司決定對每個“A級群”獎勵1 000元，每個“B級群”獎勵500元，每個“C級群”獎勵200元，那么公司大約需要準備多少獎金？(群的個數(shù)按四舍五入取整數(shù))
附：若X～N，則P(μ－σ＜X＜μ＋σ)≈0.682 6，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)≈0.954 4，P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)≈0.997 4.
解：(1)由正態(tài)分布的對稱性可知，若P(X＜a)≥P(X＞2a－1)，
當2a－1≥376，即a≥時，因為P(X＜a)≥P(X＞2a－1)，
所以有376－a≤2a－1－376，得a≥251；
當2a－1＜376，即a＜時，要使P(X＜a)≥P(X＞2a－1)，
則有a－376≥376－，解得a≥251(舍去).
綜上，實數(shù)a的取值范圍為.
(2)因為μ＝376，σ＝110，
所以P＝P＝－P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)≈0.022 8，
P＝P
＝P(μ－σ≤X＜μ＋σ)＋[P(μ－2σ≤X＜μ＋2σ)－P(μ－σ≤X＜μ＋σ)]
≈0.682 6＋＝0.818 5，
所以A級群有1 000×0.022 8≈23個，B級群有1 000×0.818 5≈819個，
C級群有1 000－23－819＝158個，
所以，公司大約需要準備獎金23×1 000＋819×500＋158×200＝464 100元.
(15、16，每小題5分，共10分)
15.(創(chuàng)新題)已知＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn，隨機變量ξ服從正態(tài)分布，其正態(tài)密度曲線如圖所示，若＝Dξ，則n＝(　　)
A.5 B.8
C.9 D.14
答案：B
解析：由ξ的分布密度曲線知μ＝1，σ＝，所以Dξ＝σ2＝，根據(jù)展開式的通項公式可得，ak＝2k，k＝0，1，2，…，n，則＝＝·＝，解得n＝8.故選B.
16.現(xiàn)實世界中的很多隨機變量服從正態(tài)分布，例如反復測量某一個物理量，其測量誤差X通常被認為服從正態(tài)分布.若某物理量做n次測量，測量結(jié)果的誤差X～N，要控制｜X｜≥的概率不大于0.002 6，至少要測量　　　　次.
(參考數(shù)據(jù)：P≈0.997 4)
答案：72
解析： 因為X～N，所以μ＝0，σ＝，根據(jù)題意得P≤0.002 6，則P≥1－0.002 6＝0.997 4，即P≥0.997 4，因為μ＝0，P≈0.997 4，所以3σ≤，所以≤，解得n≥72，所以至少要測量的次數(shù)為72次.
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)(共73張PPT)
§5　正態(tài)分布
　
第六章　概率
學習目標
1.通過誤差模型，了解服從正態(tài)分布的隨機變量.
2.通過具體實例，借助頻率直方圖的幾何直觀，了解正態(tài)分 布的特征，培養(yǎng)數(shù)學抽象、直觀想象的核心素養(yǎng).
3.了解正態(tài)分布的均值、方差及其含義并會用正態(tài)分布去解 決實際問題，培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學運算的核心素養(yǎng).
任務一　正態(tài)分布
問題導思
問題1.下列隨機變量哪個是離散型隨機變量：
(1)擲一枚骰子一次，用X表示所得點數(shù)；
提示：是，
(2)白熾燈的使用時間.
提示：不是.
問題2.一所學校同年級的同學，身高特別高的同學比較少，特別矮的同學也不多，大都集中在某個高度左右；自動流水線包裝的每袋標準質(zhì)量為400 g的食鹽，由于不可控因素，實際質(zhì)量與標準質(zhì)量或多或少存在一定的誤差.生活中這樣的現(xiàn)象很多，還能使用二項分布、超幾何分布來刻
畫嗎？
提示：不符合二項分布、超幾何分布的特征，不能用它們刻畫.
新知構建
1.離散型隨機變量：變量X的值______________.
連續(xù)型隨機變量：人們把具有分布密度函數(shù)的隨機變量稱為連續(xù)型隨機變量，最常見的一類連續(xù)型隨機變量是由誤差引起的，其分布密度曲線一般是形狀像“鐘”的光滑曲線.連續(xù)型隨機變量X的值無法一一列舉，它可以取某一個區(qū)間中的所有值.
可以一一列舉
正態(tài)分布
正態(tài)曲線
X～N(μ，σ2)
μ
σ2
上方
x＝μ
x＝μ
x
(5)當____一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著____的變化而沿x軸平移，如圖①.
(6)當μ一定時，曲線的形狀由σ確定.σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；σ越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中，如圖②.
σ
μ
典例
1
√
√
根據(jù)正態(tài)分布密度函數(shù)中參數(shù)μ，σ的意義，結(jié)合圖象可知f2(x)，f3(x)對稱軸位置相同，所以可得μ2＝μ3；且都在f1(x)的右側(cè)，即μ1＜μ2＝μ3，比較f1(x)和f2(x)圖象可得，其形狀相同，即σ1＝σ2，又f3(x)的分散程度比f1(x)和f2(x)大，所以可得σ1＝σ2＜σ3.故選BD.
10
2
規(guī)律方法

√
函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為直線x＝μ，因為μ＜0，所以排除B、D；又正態(tài)曲線位于x軸上方，因此排除C，所以A正確.故選A.
5
1

返回
任務二　利用正態(tài)分布的性質(zhì)求概率
問題導思
新知構建
1.正態(tài)分布的幾何意義
若X～N(μ，σ2)，如圖所示，X取值不超過m的概率P(X≤m)為圖中區(qū)域A的面積，而P(a≤X≤b)為區(qū)域B的面積.
微提醒
(1)曲線與x軸之間的面積為1.(2)若X～N(μ，σ2)，則P(X＞μ)＝P(X＜μ)＝0.5.
2.服從于正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機變量X在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率
P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈_________，
P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈_________，
P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈_________.
3.3σ原則
隨機變量X在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]上取值的概率分別約為68.3％，95.4％，99.7％.而隨機變量X在區(qū)間(μ－3σ，μ＋3σ]外取值的概率只有約0.3％，通常認為這種情況在一次試驗中幾乎是不可能發(fā)生的，認為是小概率事件.因此，在實際應用中，通常認為服從正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機變量X只取區(qū)間(μ－3σ，μ＋3σ]之間的值，并稱之為_____原則.
0.682 6
0.954 4
0.997 4
3σ
典例
2
規(guī)律方法

規(guī)律方法
2.“3σ”法：利用隨機變量X落在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]內(nèi)的概率分別約為0.682 6，0.954 4，0.997 4求解.
注意：充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間的面積為1.
√
√
√
0.4
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任務三　正態(tài)分布的應用
典例
3
√

規(guī)律方法
應用正態(tài)分布解決實際問題中的概率與頻數(shù)問題
解答此類問題的關鍵在于利用正態(tài)分布曲線的對稱性把待求區(qū)間的概率向已知區(qū)間的概率進行等價轉(zhuǎn)化，此過程體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想.
典例
4
(2)檢測員根據(jù)抽檢結(jié)果，判斷出該生產(chǎn)線出現(xiàn)異常，要求立即停產(chǎn)檢修，檢測員的判斷是否合理？請說明理由.
解：檢測員的判斷是合理的.因為如果生產(chǎn)線不出現(xiàn)異常的話，由(1)可知，隨機抽取兩包檢查，質(zhì)量都大于515 g的概率約為0.15％×0.15％＝2.25×10－6，幾乎為零，但這樣的事件竟然發(fā)生了，所以有理由認為生產(chǎn)線出現(xiàn)了異常，檢測員的判斷是合理的.
規(guī)律方法
解決此類問題時，應當注意產(chǎn)品質(zhì)量應大概率落在(μ－3σ，μ＋3σ]之內(nèi)，否則可以認為該批產(chǎn)品不合格.判斷的依據(jù)是小概率事件在一次試驗中幾乎是不可能發(fā)生的，而一旦發(fā)生了，就可以認為這批產(chǎn)品不合格.
√
18
課堂小結(jié)
任務再現(xiàn) 1.正態(tài)曲線及其性質(zhì).2.利用正態(tài)分布的性質(zhì)求概率.3.正態(tài)分布的應用
方法提煉 轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)形結(jié)合
易錯警示 概率區(qū)間轉(zhuǎn)化不等價
返回
隨堂評價
√
√
√
√
91
100
返回
課時分層評價
√
√
√
√
√
√
√

0.6
5
由題意得μ＝400，由3σ原則，得400＋3σ≤415，解得σ≤5，所以σ的最大值是5.
9.為了解高三復習備考情況，某校組織了一次階段考試.經(jīng)數(shù)據(jù)分析，高三全體考生的數(shù)學成績近似服從正態(tài)分布X～N(100，17.52).已知成績在117.5分以上(不含117.5分)的學生有80人，則此次參加考試的學生成績低于82.5分的概率為　　　?。蝗绻煽兇笥?35分的為特別優(yōu)秀，那么本次數(shù)學考試成績特別優(yōu)秀的大約有　　人.(若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5)
0.158 65
11

√

√
√
√

13.(雙空題)(2025·江蘇南通高二期中)某工廠生產(chǎn)的A產(chǎn)品的長度l(單位：cm)服從正態(tài)分布N(5，32)，按長度l分為5級：l≥10為一級，8≤l＜10為二級，6≤l＜8為三級，4≤l＜6為四級，l＜4為廢品.將一級與二級產(chǎn)品稱為優(yōu)品.對該工廠生產(chǎn)的A產(chǎn)品進行隨機抽查，每次抽取1個，則抽到優(yōu)品的概率p≈　　(精確到0.1).若抽出的是優(yōu)品，則抽查終止，否則繼續(xù)抽查直到抽到優(yōu)品，則抽查次數(shù)不超過兩次的概率約為　　　.
附：P(μ－σ＜Z≤μ＋σ)≈0.682 6，P(μ－2σ＜Z≤μ＋2σ)≈0.954 4，P(μ－3σ＜Z≤μ＋3σ)≈0.997 4
0.2
0.36
√

72

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