資源簡介

4.2　超幾何分布
學習目標 1.通過具體實例，了解超幾何分布的概念及特征，掌握超幾何分布的均值的計算，培養數學抽象、數學運算的核心素養.　2.了解二項分布與超幾何分布的區別與聯系，會用超幾何分布解決一些簡單的實際問題，培養學生數學建模、數學運算的核心素養.
任務一　超幾何分布
問題1.已知4件產品中有2件次品，從中任取2件，記取出次品件數為X.試問：
(1)取出的次品數X服從二項分布嗎？
(2)你能寫出X的分布列嗎？
提示：(1)X不服從二項分布.
(2)隨機變量X的取值為0，1，2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.
故X的分布列為P(X＝k)＝(k＝0，1，2).
超幾何分布：一般地，設有N件產品，其中有M(M≤N)件次品.從中任取n(n≤N)件產品，用X表示取出的n件產品中次品的件數，那么P(X＝k)＝，max{0，n－(N－M)}≤k≤min{n，M}，其中n≤N，M≤N，n，M，N∈N＋.若一個隨機變量X的分布列由上式確定，則稱隨機變量X服從參數為N，M，n的超幾何分布.
[微提醒]　(1)在超幾何分布的模型中，“任取n件”應理解為“不放回地一次取一件，連續取n件”.(2)超幾何分布的特點：①不放回抽樣；②考察對象分兩類；③實質是古典概型.
角度1　超幾何分布的判斷
(多選題)下列隨機變量中，服從超幾何分布的有(　　)
A.拋擲三枚骰子，向上面的點數是6的骰子的個數X
B.有一批種子的發芽率為70％，任取10顆種子做發芽試驗，試驗中發芽的種子的個數X
C.從3臺甲型彩電和2臺乙型彩電中任取2臺，記X表示所取的2臺彩電中甲型彩電的臺數
D.在10道數學題中有6道選擇題和4道非選擇題，任意取出4道，記取到的選擇題數X
答案：CD
解析：A、B是獨立重復試驗問題，服從二項分布，不服從超幾何分布，故A、B不符合題意；C、D符合超幾何分布的特征，樣本都分為兩類，隨機變量X表示抽取n件樣本中某類樣本被抽取的件數，服從超幾何分布，故選CD.
角度2　超幾何分布的概率與分布列
(鏈教材P217例4)某校高三年級某班的數學課外活動小組中有6名男生，4名女生，從中選出4人參加數學競賽考試，用X表示其中的男生人數.求X的分布列.
解：依題意知，隨機變量X服從超幾何分布，
所以P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3，4).
所以P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝；P(X＝2)＝＝；P(X＝3)＝＝；P(X＝4)＝＝.
所以X的分布列為
X 0 1 2 3 4
P
[變式探究]
1.(變設問)本例中，求所選出4人中至少1位男生的概率.
解：法一：所選出4人中至少1位男生的概率為P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＋＋＝.
法二：所選出4人中至少1位男生的概率為P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－＝.
2.(變條件)如果把本例中的條件“從中選出4人參加數學競賽考試”改為“從中選出5人參加數學競賽考試”，求X的分布列.
解：由題意得P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4，5)，
所以P(X＝1)＝＝；P(X＝2)＝＝；P(X＝3)＝＝；
P(X＝4)＝＝；P(X＝5)＝＝.
故X的分布列為
X 1 2 3 4 5
P
1.判斷一個隨機變量是否服從超幾何分布的依據
(1)總體是否可分為兩類明確的對象(多類對象可轉化為兩類對象).
(2)是否為不放回抽樣.
(3)隨機變量是否為樣本中其中一類個體的個數.
2.求超幾何分布的分布列的步驟
對點練1.(1)下列隨機事件中的隨機變量X服從超幾何分布的是(　　)
A.將一枚硬幣連拋3次，記正面向上的次數為X
B.某射手的射擊命中率為0.8，現對目標射擊1次，記命中的次數為X
C.從7男3女共10名學生干部中選出5名學生干部，記選出女生的人數為X
D.盒中有4個白球和3個黑球，每次從中摸出1個球且不放回，記第一次摸出黑球時摸取的次數為X
答案：C
解析：對于A，將一枚硬幣連拋3次，記正面向上的次數為X，則X服從二項分布，故A不滿足；對于B，某射手的射擊命中率為0.8，現對目標射擊1次，記命中的次數為X，則X服從兩點分布，故B不滿足；對于C，從7男3女共10名學生干部中選出5名學生干部，記選出女生的人數為X，則X服從超幾何分布，故C滿足；對于D，盒中有4個白球和3個黑球，每次從中摸出1個球且不放回，記第一次摸出黑球時摸取的次數為X，則X不服從超幾何分布，故D不滿足.故選C.
(2)端午節賽龍舟是我國的傳統習俗，某地一共有8支龍舟隊伍，其中專業隊2支，業余隊6支，從中隨機取出3支隊伍.
①求既有專業隊又有業余隊的概率；
②設X表示取到業余隊的個數，求隨機變量X的分布列.
解：①依題意，既有專業隊又有業余隊的概率為＝.
②X的可能取值為1，2，3，
則P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
所以X的分布列為
X 1 2 3
P
任務二　超幾何分布的均值
問題2.我們已經知道，若隨機變量X～B(n，p)，則其均值EX＝np，方差DX＝np(1－p)，用起來非常方便，同樣，隨機變量X服從超幾何分布，猜想一下有沒有類似的結論呢？
提示：設隨機變量X服從超幾何分布，則X可以解釋為從包含M件次品的N件產品中，不放回地隨機抽取n件產品中的次品數.令p＝，則p是N件產品的次品率，而是抽取的n件產品的次品率，我們猜想E()＝p，即EX＝np.
超幾何分布的均值：一般地，當隨機變量X服從參數為N，M，n的超幾何分布時，其均值為EX＝.
超幾何分布的方差公式推導起來繁瑣，且不太好記憶，課標不再作要求，只需利用方差的定義求解即可.
(鏈教材P218練習T2)學校要從5名男生和2名女生中隨機抽取2人參加社區志愿者服務，若用X表示抽取的志愿者中女生的人數.
(1)求抽取的2人恰有1個女生的概率；
(2)請寫出隨機變量X的分布列、均值EX與方差DX.
解：(1)依題意知，抽取的2人恰有1個女生的概率P＝＝.
(2)由題意可知X的可能取值為0，1，2，
則P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
所以X的分布列為
X 0 1 2
P
故EX＝0×＋1×＋2×＝(也可直接用EX＝＝＝).
DX＝(0－)2×＋(1－)2×＋(2－)2×＝.
1.求解超幾何分布的分布列與均值
(1)驗證隨機變量服從超幾何分布，代入公式計算隨機變量取值的概率.
(2)求分布列，計算隨機變量的均值.
2.若一個隨機變量X的分布列服從超幾何分布，則EX＝或用均值的定義求解亦可.
對點練2.某高校實行提前自主招生，老師從6個不同的試題中隨機抽取4個讓學生作答，至少答對3個才能通過初試，已知某學生能答對這6個試題中的4個.
(1)求該學生能通過自主招生初試的概率；
(2)若該學生答對的題數為X，求X的分布列以及均值.
解：(1)該學生通過自主招生初試的概率P＝＋＝.
(2)該學生答對題的數量X的可能取值為2，3，4，
則P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
所以X的分布列為
X 2 3 4
P
EX＝2×＋3×＋4×＝(或EX＝＝＝).
任務三　超幾何分布的簡單應用
某人工智能研究實驗室開發出一款全新聊天機器人棋型，它能夠通過學習和理解人類的語言來進行對話.聊天機器人棋型的開發主要采用RLHF(人類反饋強化學習)技術，在測試它時，如果輸入的問題沒有語法錯誤，則它的回答被采納的概率為90％，當出現語法錯誤時，它的回答被采納的概率為50％.
(1)在某次測試中輸入了7個問題，聊天機器人棋型的回答有5個被采納，現從這7個問題中抽取4個，以ξ表示抽取的問題中回答被采納的問題個數，求ξ的分布列和均值；
(2)設輸入的問題出現語法錯誤的概率為p，若聊天機器人棋型的回答被采納的概率為80％，求p的值.
解：(1)由題可知ξ的所有取值為2，3，4，且ξ服從超幾何分布，
P(ξ＝2)＝＝＝，P(ξ＝3)＝＝＝，P(ξ＝4)＝＝＝，
故ξ的分布列為
ξ 2 3 4
P
則Eξ＝2×＋3×＋4×＝.
(2)記“輸入的問題沒有語法錯誤”為事件A，記“輸入的問題有語法錯誤”為事件B，記“回答被采納”為事件C，
由已知得，P(C)＝0.8，P(C｜A)＝0.9，P(C｜B)＝0.5，P(B)＝p，P(A)＝1－p，
所以由全概率公式得P(C)＝P(A)·P(C｜A)＋P(B)·P(C｜B)＝0.9(1－p)＋0.5p＝0.9－0.4p＝0.8，
解得p＝0.25.
解決超幾何分布應用問題的步驟
第一步：將現實生活問題轉化為數學問題；
第二步：判斷問題是否符合超幾何分布模型；
第三步：根據超幾何分布的有關知識求解.
對點練3.(2025·河南信陽期末)袋中有8個除顏色外完全相同的小球，其中1個黑球，3個白球，4個紅球.
(1)若從袋中一次性取出兩個小球，即取到的紅球個數為X，求X的分布列和均值；
(2)若從袋中不放回地取3次，每次取一個小球，取到黑球記0分，取到白球記2分，取到紅球記4分，求在最終得分為8分的條件下，恰取到一個紅球的概率.
解：(1)由題意得，X的可能取值為0，1，2，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
所以X的分布列為
X 0 1 2
P
所以EX＝0×＋1×＋2×＝1.
(2)設事件A＝“最后得分為8分”，事件B＝“恰取到一個紅球”.
由題意，最后得分為8分有兩種情況：摸出2個白球1個紅球或1個黑球2個紅球，
所以P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
所以P(B｜A)＝＝＝.
任務再現 1.超幾何分布的概念及均值.2.超幾何分布的簡單應用(利用超幾何分布求概率)
方法提煉 公式法、類比法
易錯警示 超幾何分布模型的判斷及概率的計算
1.一批零件共有10個，其中有3個不合格品，從這批零件中隨機抽取2個進行檢測，則恰有1個不合格品的概率為(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：由題意知，恰有1個不合格品的概率為P＝＝.故選C.
2.設10件產品中有3件次品，從中抽取2件進行檢查，則抽得次品數的期望為(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：法一：設抽得次品數為X，則隨機變量X的可能取值有0，1，2，則P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，所以EX＝0×＋1×＋2×＝.故選D.
法二：EX＝＝＝.故選D.
3.(2025·河北石家莊期中)有一個摸獎游戲，在一個口袋中裝有7個紅球和3個白球，這些球除顏色外完全相同，一次性從中摸出6個球，至少摸到2個白球就中獎，則中獎的概率為　　　　.
答案：
解析：記中獎為事件A，則P(A)＝＝，所以中獎的概率為.
4.廠家在產品出廠前，需對產品做檢驗，廠家將一批產品發給商家時，商家按合同規定也需隨機抽取一定數量的產品做檢驗，以決定是否接收這批產品.若廠家發給商家20件產品，其中有3件不合格，按合同規定該商家從中任取2件進行檢驗，只有2件都合格時才接收這批產品，否則拒收.則該商家拒收這批產品的概率是　　　　.
答案：
解析：由題意知，這20件產品中有20－3＝17件合格品，所以該商家接收這批產品的概率為P＝＝＝，故商家拒收這批產品的概率為1－P＝1－＝.
課時分層評價45　超幾何分布
(時間：60分鐘　滿分：100分)
(1—9，每小題5分，共45分)
1.一個袋中有6個同樣大小的黑球，編號為1，2，3，4，5，6，還有4個同樣大小的白球，編號為7，8，9，10.現從中任取4個球，有如下幾種變量，其中服從超幾何分布的是(　　)
A.X表示取出的最大號碼
B.X表示取出的最小號碼
C.X表示取出的號碼之和
D.X表示取出的黑球個數
答案：D
解析：由超幾何分布的概念知D符合.故選D.
2.國家提出“鄉村振興”戰略，各地紛紛響應.某縣有7個自然村，其中有4個自然村根據自身特點推出鄉村旅游，被評為“旅游示范村”.現要從該縣7個自然村里選出3個作宣傳，則恰有2個村是“旅游示范村”的概率為(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
解析：由題可得，恰有2個村是“旅游示范村”的概率為P＝＝.故選B.
3.(2025·福建龍巖高二期中)一箱零件中共有12個零件，其中有3個是尺寸不達標的，從這箱零件中任意選取4個，則不達標的零件全部取到的概率為(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：因為一箱零件中共有12個零件，其中有3個是尺寸不達標的，從中任意選取4個，由超幾何分布概率計算公式，可知不達標的零件全部取到的概率為P＝＝.故選A.
4.搖獎器內有10個小球，其中8個小球上標有數字2，2個小球上標有數字5，現搖出3個小球，規定所得獎金X(元)為這3個小球上所標數字之和，則獲得12元獎金的概率是(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：當搖出的3個小球有1個標有數字2，2個標有數字5時，X＝12，故P(X＝12)＝＝.故選A.
5.(2024·廣東江門高二檢測)一箱蘋果共有12個蘋果，其中有n(2＜n＜7)個是爛果，從這箱蘋果中隨機抽取3個，恰有2個爛果的概率為，則n＝(　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
答案：B
解析：依題意可得＝，即＝，整理得n2－13n＋36＝0，解得n＝4或9，因為2＜n＜7，所以n＝4.故選B.
6.(多選題)袋中有10個大小相同的球，其中6個黑球，4個白球，現從中任取4個球，則下列結論中正確的是(　　)
A.取出的白球個數X服從二項分布
B.取出的黑球個數Y服從超幾何分布
C.取出2個白球的概率為
D.若取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，則總得分最大的概率為
答案：BD
解析：對于A，B，取出的白球個數X，黑球個數Y均服從超幾何分布，故A錯誤，B正確；對于C，取出2個白球的概率為＝，故C錯誤；對于D，若取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，則取出4個黑球的總得分最大，所以總得分最大的概率為＝，故D正確.故選BD.
7.某醫院派出16名護士、4名內科醫生組成支援隊伍，現在需要從這20人中任意選取3人去A城市支援，設X表示其中內科醫生的人數，則P(X＝2)＝　　　　.
答案：
解析：由題意得P(X＝2)＝＝＝.
8.從3臺甲型彩電和2臺乙型彩電中任取2臺，若設X表示所取的2臺彩電中甲型彩電的臺數，則P(X＝1)＝　　　　.
答案：
解析：X＝1表示的結果是抽取的2臺彩電中有甲型和乙型彩電各1臺，故所求概率P(X＝1)＝＝.
9.(雙空題)某袋中裝有大小相同、質地均勻的黑球和白球共5個.從袋中隨機取出3個球，恰全為黑球的概率為，則黑球的個數為　　　　.若記取出3個球中黑球的個數為X，則EX＝　　　　.
答案：3　
解析：設袋中黑球有n個，則從袋中隨機取出3個球，恰全為黑球的概率為P＝＝，可得n＝3；取出3個球中黑球的個數X服從超幾何分布，所以EX＝＝＝.
10.(15分)小明從4雙鞋中，隨機一次取出2只.
(1)求取出的2只鞋不來自同一雙的概率；
(2)若這4雙鞋中，恰有一雙是小明的，記取出的2只鞋中含有小明的鞋的只數為X，求X的分布列及均值EX.
解：(1)由題可得，取出2只鞋不來自同一雙的概率為＝.
(2)由題可知X的取值為0，1，2，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
故X的分布列為
X 0 1 2
P
所以EX＝0×＋1×＋2×＝.
(11—13，每小題5分，共15分)
11.(2025·江蘇泰州期末)袋中有10個大小相同的球，其中6個黑球，4個白球，現從中任取4個球，記隨機變量X為其中白球的個數，隨機變量Y為其中黑球的個數，若取出一個白球得2分，取出一個黑球得1分，隨機變量Z為取出4個球的總得分，則P(｜Z－6｜≤1)＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
解析：由題意可知X，Y均服從超幾何分布，且X＋Y＝4，Z＝2X＋Y，由｜Z－6｜≤1，得5≤Z≤7，所以Z＝5，Z＝6，Z＝7，因為P(Z＝5)＝P(X＝1，Y＝3)＝＝，P(Z＝6)＝P(X＝2，Y＝2)＝＝，P(Z＝7)＝P(X＝3，Y＝1)＝＝，所以P＝P(Z＝5)＋P(Z＝6)＋P(Z＝7)＝＋＋＝.故選B.
12.(多選題)(2025·山東聊城高二期末)如圖，我國傳統珠算算具算盤每個檔(掛珠的桿)上有7顆算珠，用梁隔開，梁上面2顆叫上珠，下面5顆叫下珠，若從某一檔的7顆算珠中任選3顆，記上珠的個數為X，下珠的個數比上珠的個數多Y，則(　　)
A.P＝ B.EX＝
C.EY＝ D.DY＝
答案：BCD
解析：由題意知，X＝0，1，2.P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝＝，則P(X≠1)＝＋＝，EX＝1×＋2×＝，故A錯誤，B正確；由題意知，Y＝－1，1，3.P(Y＝－1)＝P(X＝2)＝，P(Y＝1)＝P(X＝1)＝，P(Y＝3)＝P(X＝0)＝，EY＝＝，DY＝＋＋＝，故C，D正確.故選BCD.
13.(2025·陜西寶雞高二期中)在20件產品中可能存在次品，從中抽取2件檢查，其次品數為ξ，已知P＝，且該產品的次品率不超過30％，則這20件產品的次品率為　　　　.
答案：10％
解析：設20件產品中有x件次品，則P＝＝＝，解得x＝2或x＝18.因為次品率不超過30％，所以x＝2，所以次品率為＝10％.
14.(15分)(2025·廣東廣州高二期中)某企業使用新技術對某款芯片進行試生產，該廠家生產了兩批同種規格的芯片，第一批占60％，次品率為6％；第二批占40％，次品率為5％.為確保質量，現在將兩批芯片混合，工作人員從中抽樣檢查.
(1)從混合的芯片中任取1個，求這個芯片是合格品的概率；
(2)若在兩批產品混合前采取分層抽樣方法抽取一個樣本容量為10的樣本，再從樣本中抽取3個芯片，求這3個芯片含第二批芯片數X的分布列和均值.
解：(1)設事件B為“任取一個芯片是合格品”，事件A1為“產品取自第一批”，事件A2為“產品取自第二批”，
則P(A1)＝0.6，P(A2)＝0.4，P＝0.94，P＝0.95，
所以P(B)＝P(A1)P＋P(A2)P＝0.6×0.94＋0.4×0.95＝0.944.
(2)由條件可知第一批芯片抽取10×60％＝6個，第二批芯片抽取10×40％＝4個，
則X的可能取值為0，1，2，3，
則P(X＝0)＝＝＝；P(X＝1)＝＝＝；
P(X＝2)＝＝＝；P(X＝3)＝＝＝；
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
所以EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(15、16，每小題5分，共10分)
15.《易·系辭上》有“河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中華文化，陰陽術數之源，其中河圖排列結構是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如圖，白圈為陽數，黑點為陰數.若從這10個數中任取3個數，則這3個數中至多有1個陰數的概率為(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：由題意知，10個數中，1，3，5，7，9為陽數，2，4，6，8，10為陰數，若任取的3個數中有0個陰數，則概率為＝；若任取的3個數中有1個陰數，則概率為＝；故這3個數中至多有1個陰數的概率為P＝＋＝.故選A.
16.(創新題)已知在的二項展開式中，第6項為常數項，若在展開式中任取3項，其中有理項的個數為ξ，則Eξ＝　　　　.
答案：
解析：的通項為Tk＋1＝(－)k＝，由題意＝0，解得n＝10，若要取到有理項，則需要10－2k能被3整除，則k＝2，5，8，即在的二項展開式中，有理項有3項，無理項有8項，若在展開式中任取3項，其中有理項的個數為ξ，可知ξ的所有可能取值為0，1，2，3，P＝＝，P＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P＝＝，所以Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.
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4.2　超幾何分布
　
第六章　§4　二項分布與超幾何分布
學習目標
1.通過具體實例，了解超幾何分布的概念及特征，掌握超幾 何分布的均值的計算，培養數學抽象、數學運算的核心
素養.
2.了解二項分布與超幾何分布的區別與聯系，會用超幾何分 布解決一些簡單的實際問題，培養學生數學建模、數學運 算的核心素養.
任務一　超幾何分布
問題導思
新知構建
超幾何分布
微提醒
(1)在超幾何分布的模型中，“任取n件”應理解為“不放回地一次取一件，連續取n件”.(2)超幾何分布的特點：①不放回抽樣；②考察對象分兩類；③實質是古典概型.
角度1　超幾何分布的判斷
(多選題)下列隨機變量中，服從超幾何分布的有
A.拋擲三枚骰子，向上面的點數是6的骰子的個數X
B.有一批種子的發芽率為70％，任取10顆種子做發芽試驗，試驗中發芽的種子的個數X
C.從3臺甲型彩電和2臺乙型彩電中任取2臺，記X表示所取的2臺彩電中甲型彩電的臺數
D.在10道數學題中有6道選擇題和4道非選擇題，任意取出4道，記取到的選擇題數X
典例
1
√
√
A、B是獨立重復試驗問題，服從二項分布，不服從超幾何分布，故A、B不符合題意；C、D符合超幾何分布的特征，樣本都分為兩類，隨機變量X表示抽取n件樣本中某類樣本被抽取的件數，服從超幾何分布，故選CD.
典例
1
所以X的分布列為
X 0 1 2 3 4
P
X 1 2 3 4 5
P
規律方法
1.判斷一個隨機變量是否服從超幾何分布的依據
(1)總體是否可分為兩類明確的對象(多類對象可轉化為兩類對象).
(2)是否為不放回抽樣.
(3)隨機變量是否為樣本中其中一類個體的個數.
規律方法
2.求超幾何分布的分布列的步驟
√
對點練1.(1)下列隨機事件中的隨機變量X服從超幾何分布的是
A.將一枚硬幣連拋3次，記正面向上的次數為X
B.某射手的射擊命中率為0.8，現對目標射擊1次，記命中的次數為X
C.從7男3女共10名學生干部中選出5名學生干部，記選出女生的人數為X
D.盒中有4個白球和3個黑球，每次從中摸出1個球且不放回，記第一次摸出黑球時摸取的次數為X
對于A，將一枚硬幣連拋3次，記正面向上的次數為X，則X服從二項分布，故A不滿足；對于B，某射手的射擊命中率為0.8，現對目標射擊1次，記命中的次數為X，則X服從兩點分布，故B不滿足；對于C，從7男3女共10名學生干部中選出5名學生干部，記選出女生的人數為X，則X服從超幾何分布，故C滿足；對于D，盒中有4個白球和3個黑球，每次從中摸出1個球且不放回，記第一次摸出黑球時摸取的次數為X，則X不服從超幾何分布，故D不滿足.故選C.
X 1 2 3
P
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任務二　超幾何分布的均值
問題導思
新知構建
典例
3
X 0 1 2
P
規律方法

X 2 3 4
P
返回
任務三　超幾何分布的簡單應用
典例
4
故ξ的分布列為
ξ 2 3 4
P
(2)設輸入的問題出現語法錯誤的概率為p，若聊天機器人棋型的回答被采納的概率為80％，求p的值.
解：記“輸入的問題沒有語法錯誤”為事件A，記“輸入的問題有語法錯誤”為事件B，記“回答被采納”為事件C，
由已知得，P(C)＝0.8，P(C｜A)＝0.9，P(C｜B)＝0.5，P(B)＝p，P(A)＝1－p，
所以由全概率公式得P(C)＝P(A)·P(C｜A)＋P(B)·P(C｜B)＝0.9(1－p)＋0.5p＝0.9－0.4p＝0.8，
解得p＝0.25.
規律方法
解決超幾何分布應用問題的步驟
第一步：將現實生活問題轉化為數學問題；
第二步：判斷問題是否符合超幾何分布模型；
第三步：根據超幾何分布的有關知識求解.
X 0 1 2
P
課堂小結
任務再現 1.超幾何分布的概念及均值.2.超幾何分布的簡單應用(利用超幾何分布求概率)
方法提煉 公式法、類比法
易錯警示 超幾何分布模型的判斷及概率的計算
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隨堂評價
√
√

3.(2025·河北石家莊期中)有一個摸獎游戲，在一個口袋中裝有7個紅球和3個白球，這些球除顏色外完全相同，一次性從中摸出6個球，至少摸到2個
白球就中獎，則中獎的概率為　　.
4.廠家在產品出廠前，需對產品做檢驗，廠家將一批產品發給商家時，商家按合同規定也需隨機抽取一定數量的產品做檢驗，以決定是否接收這批產品.若廠家發給商家20件產品，其中有3件不合格，按合同規定該商家從中任取2件進行檢驗，只有2件都合格時才接收這批產品，否則拒收.則該
商家拒收這批產品的概率是　　.

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課時分層評價
√
1.一個袋中有6個同樣大小的黑球，編號為1，2，3，4，5，6，還有4個同樣大小的白球，編號為7，8，9，10.現從中任取4個球，有如下幾種變量，其中服從超幾何分布的是
A.X表示取出的最大號碼
B.X表示取出的最小號碼
C.X表示取出的號碼之和
D.X表示取出的黑球個數
由超幾何分布的概念知D符合.故選D.
√
√

√
√
√
√

7.某醫院派出16名護士、4名內科醫生組成支援隊伍，現在需要從這20人中任意選取3人去A城市支援，設X表示其中內科醫生的人數，則P(X＝2)
＝　　.
8.從3臺甲型彩電和2臺乙型彩電中任取2臺，若設X表示所取的2臺彩電中
甲型彩電的臺數，則P(X＝1)＝　　.
3

X 0 1 2
P
√

√
√
√

10％

所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P


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