資源簡介

§1　基本計數原理
1.1　分類加法計數原理
1.2　分步乘法計數原理
學習目標 1.通過實例，了解分類加法計數原理、分步乘法計數原理.　2.會用這兩個原理分析和解決一些簡單的實際計數問題.　3.通過對計數原理的學習，培養數學抽象素養；借助計數原理的實際應用，培養數學建模、邏輯推理、及數學運算素養.
任務一　分類加法計數原理
某人大代表明天要從濟南前往北京參加會議，他有兩類快捷途徑可供選擇，一是乘飛機，二是乘高鐵，假如這天飛機有3個航班可乘，高鐵有4個班次可乘.那么該代表從濟南到北京共有多少種快捷途徑可選呢？
問題1.該代表從濟南到北京的方案可以分為幾類？每類方案中各有幾種方法？
提示：兩類；乘飛機3種方法，乘高鐵4種方法.
問題2.該代表從濟南到北京共有多少種不同的方法？
提示：共3＋4＝7種方法.
分類加法計數原理
完成一件事，可以有n類辦法，在第1類辦法中有m1種方法，在第2類辦法中有m2種方法……在第n類辦法中有mn種方法.那么，完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種方法.(也稱“加法原理”)
[微提醒]　(1)完成這件事的若干種方法可以分成n類.(2)每類方法都可以完成這件事，且類與類之間兩兩不交.
在平面直角坐標系內，已知曲線方程＋＝1.
(1)若曲線方程表示的軌跡為圓，則這樣的圓有多少個？
(2)若曲線方程表示的軌跡為橢圓，則這樣的橢圓有多少個？
解：(1)因為a，b∈，所以a，b∈，
因為曲線方程表示的軌跡為圓，則a＝b，共有5種情況，
即這樣的圓有5個.
(2)由(1)知a，b∈
當焦點在x軸上，此時需a＞b，
當a＝2時，b沒有對應值，0個橢圓；
當a＝3時，共1個橢圓；
當a＝4時，共2個橢圓；
當a＝5時，共3個橢圓；
當a＝6時，共4個橢圓；
由分類加法計數原理，焦點在x軸上的橢圓有0＋1＋2＋3＋4＝10個；
焦點在y軸上與焦點在x軸上的橢圓個數相同，有10個；
綜上所述，滿足題意的橢圓共有10＋10＝20個.
利用分類加法計數原理計數時的解題思路及注意點
注意：分類時，首先要根據問題的特點確定一個合適的分類標準，然后在這個標準下分類，要做到分類“不重不漏”.
對點練1.(1)現有3幅不同的油畫，4幅不同的國畫，5幅不同的水彩畫，從這些畫中選一幅布置房間，則不同的選法共有(　　)
A.10種 B.12種
C.20種 D.36種
(2)自然數有一位數、兩位數、多位數，在一位數和兩位數的自然數中含有數字1的自然數的個數為　　　　.
答案：(1)B　(2)19
解析：(1)依題意，不同的選法共有3＋4＋5＝12種.故選B.
(2)一位數中含有數字1的有1個；兩位數中十位為1的有10個；十位不為1，個位數字為1的自然數有8個，故共有1＋10＋8＝19個.
任務二　分步乘法計數原理
一名志愿者從A地趕赴B地為游客提供導游服務，但需經過C地，已知從A地到C地每天有7個航班，從C地到B地每天有6趟火車.
問題3.該志愿者從A地到B地需要經歷幾個步驟？完成每一步各有幾種方法？
提示：兩個步驟；第一步有7種方法，第二步有6種方法.
問題4.該志愿者從A地到B地共有多少種不同的方法？
提示：7×6＝42種方法.
分步乘法計數原理
完成一件事需要經過n個步驟，缺一不可，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法，那么，完成這件事共有N＝m1·m2·…·mn種方法.(也稱“乘法原理”)
[微提醒]　(1)完成一件事有多個步驟，缺一不可. (2)每一步都有若干種方法.
一個袋子里裝有10張不同的中國移動手機卡，另一個袋子里裝有12張不同的中國聯通手機卡.某人手機是雙卡雙待機，想得到一張移動卡和一張聯通卡供自己今后使用，問一共有多少種不同的取法？
解：得到一張移動卡和一張聯通卡可分兩步進行：
第一步：從第一個袋子中任取一張移動手機卡，共有10種取法.
第二步：從第二個袋子中任取一張聯通手機卡，共有12種取法.
根據分步乘法計數原理共有10×12＝120 (種)取法.
利用分步乘法計數原理解題的一般思路及注意點
1.利用分步乘法計數原理解題的一般思路
(1)分步：將完成這件事的過程分成若干步；(2)計數：求出每一步中的方法數；
(3)結論：將每一步中的方法數相乘得最終結果.
2.注意點
應用分步乘法計數原理時，完成這件事情要分幾個步驟，只有每個步驟都完成了，才算完成這件事情，每個步驟缺一不可.
對點練2.(1)甲從3個短跑項目和5個球類項目中各選1個項目參加，則不同的選擇方案共有(　　)
A.8種 B.15種
C.20種 D.24種
(2)食堂有大葷菜3個、小葷菜3個、素菜4個、湯1個，如果要大葷、小葷、素菜、湯各一個組成一份三菜一湯的套餐，有　　　種不同的搭配方式.
答案：(1)B　(2)36
解析：(1)不同的選擇方案共有3×5＝15種.故選B.
(2)依題意得，選擇大葷菜有3種方法，小葷菜有3種方法，素菜有4種方法，湯有1種方法，根據分步乘法原理可得，一共有3×3×4×1＝36種不同的搭配方式.
任務三　兩個基本原理的應用
將三個分別標有A，B，C的球隨機放入編號為1，2，3，4的四個盒子中.求：
(1)1號盒中無球的不同放法種數；
(2)1號盒中有球的不同放法種數.
解：(1)1號盒中無球即A，B，C三個球只能放入2，3，4號盒子中，有3×3×3＝27(種)放法.
(2)1號盒中有球可分三類：一類是1號盒中有一個球，共有3×3×3＝27(種)放法，一類是1號盒中有兩個球，共有3×3＝9(種)放法，一類是1號盒中有三個球，有1種放法.
共有27＋9＋1＝37(種)放法.
[變式探究]
1.(變設問)本例中，球A只能放入1號盒中，共有多少不同放法種數？
解：球A只能放入1號盒中，有1種放法，球B，C各有4種放法，所以根據分步乘法原理，共有1×4×4＝16種放法.
2.(變設問)本例中，球A不能放入奇數號盒中，共有多少不同放法種數？
解：法一：球A不能放入奇數號盒中，只能放入2號盒或4號盒中2種情況，當球A放入2號盒時，根據分步乘法原理，有1×4×4＝16種放法；當球A放入4號盒時，也有1×4×4＝16種放法，再根據分類加法原理，所以共有16＋16＝32種放法.
法二：球A不能放入奇數號盒中，只能放入2號盒或4號盒中2種情況，球B，C各有4種放法，根據分步乘法原理，共有2×4×4＝32種放法.
1.在處理具體的應用題時，首先必須弄清是“分類”還是“分步”，其次要搞清“分類”或“分步”的具體標準是什么，選擇合理的標準處理事件，關鍵是看能否獨立完成這件事，避免計數的重復或遺漏.
2.對于一些比較復雜的既要運用分類加法計數原理又要運用分步乘法計數原理的問題，我們可以恰當地畫出示意圖或列出表格，使問題更加直觀、清晰.
對點練3.高二(1)班、(48)班、(62)班分別有7，5，9人參加創新技能大賽筆試.
(1)如果選一人當組長，那么有多少種不同的選法？
(2)如果張老師任組長，每班選一名副組長，那么有多少種不同的選法？
(3)如果推選兩名學生參賽，要求這兩人來自不同的班級，那么有多少種不同的選法？
解：(1)事件選一人當組長可分三類方案完成，
第一類，組長從(1)班選出，有7種選法，
第二類，組長從(48)班選出，有5種選法，
第三類，組長從(62)班選出，有9種選法，
根據分類加法計數原理，選一人當組長有7＋5＋9＝21種選法.
(2)如果張老師任組長，每班選一名副組長，則需要分三步，
第一步，從(1)班選一名同學擔任副組長，有7種選法，
第二步，從(48)班選一名同學擔任副組長，有5種選法，
第三步，從(62)班選一名同學擔任副組長，有9種選法，
根據分步乘法計數原理，每班選一名副組長共有7×5×9＝315種選法.
(3)事件推選兩名學生參賽，要求這兩人來自不同的班級，可分為三類方案，
第一類，若兩人來自(1)班和(48)班，有7×5＝35種選法，
第二類，若兩人來自(1)班和(62)班，有7×9＝63種選法，
第三類，若兩人來自(48)班和(62)班，有5×9＝45種選法，
綜上可知，這兩人來自不同的班級的不同的選法有35＋63＋45＝143種.
任務再現 1.分類加法計數原理.2.分步乘法計數原理.3.兩個基本原理的應用
方法提煉 分類討論、分類加法計數、分步乘法計數
易錯警示 “分類”與“分步”不清，導致計數錯誤
1.某選修課有10門體育課程和7門科學課程可供選擇，甲從中選修一門課程，則甲不同的選擇情況共有(　　)
A.17種 B.34種
C.35種 D.70種
答案：A
解析：由分類加法計數原理得，甲作出的不同的選擇情況共有10＋7＝17種，故A正確.故選A.
2.3名同學報名參加學校運動會的跳高、跳遠比賽項目，每人限報一項，不同的報法種數是(　　)
A.9 B.8
C.6 D.5
答案：B
解析：依題意每位同學均有2種報名方法，按照分步乘法計數原理可知一共有2×2×2＝8種不同的報法.故選B.
3.如圖，從甲地到乙地有2條路，從乙地到丁地有3條路；從甲地到丙地有4條路，從丙地到丁地有2條路，則從甲地去丁地，共有　　　　　種不同的走法.
答案：14
解析：分兩類，第一類，從甲到乙再到丁，共有2×3＝6種；第二類，從甲到丙再到丁，共有4×2＝8種，根據分類計數原理可得，共有6＋8＝14種，故從甲地到丁地共有14種不同的走法.
4.已知a，b均為集合A＝中的元素，則對應的所有可能的直線y＝x有　　　條.
答案：13
解析：第一類：當a，b取值相同時，＝1，表示1條直線；第二類：當a，b取值不同時，分兩步：第一步，排分母，有4種情況，第二步，排分子，有3種情況，共計12種情況，且值都不相等，所以所有可能的直線有12＋1＝13條.
課時分層評價30　分類加法計數原理　分步乘法計數原理
(時間：60分鐘　滿分：100分)
(1—9，每小題5分，共45分)
1.從6名班委中選出2人分別擔任正、副班長，則不同的選法種數為(　　)
A.11 B.12
C.30 D.36
答案：C
解析：由題意，共有6×＝30種選法.故選C.
2.某商場東面和西面均有4個門，北面和南面均有3個門，若某人從其中的任意一個門進入商場，則進入商場的不同方式共有(　　)
A.12種 B.24種
C.7種 D.14種
答案：D
解析：由題意進入商場的不同方式共有4＋4＋3＋3＝14種.故選D.
3.某公交車上有6位乘客，沿途有4個?？空荆丝拖萝嚨目赡芊绞接?　　)
A.64種 B.46種
C.360種 D.15種
答案：B
解析：由題意，每一位乘客都有4種選擇，故乘客下車的可能方式有4×4×4×4×4×4＝46種.故選B.
4.如圖，只閉合兩個開關將一條電路從A處到B處接通，可構成線路的條數為(　　)
A.2 B.4
C.5 D.8
答案：B
解析：依題意，一條電路從A處到B處接通，A處并聯電路開關閉合一個，有2種方法；B處并聯電路開關閉合一個，只能閉合下面兩個中的一個，有2種方法，根據分步計數原理，共有2×2＝4種方法.故選B.
5.某女生有3件不同顏色的襯衣，4件不同花樣的裙子，另有3套不同樣式的連衣裙，“五一”節選擇一套服裝參加歌舞演出，則不同的選擇方式有(　　)
A.9種 B.10種
C.15種 D.24種
答案：C
解析：依題意可知，有兩類衣服可選，第一類：選擇襯衣和裙子，共有3×4＝12種選擇；第二類：選擇連衣裙，共有3種選擇；所以共有12＋3＝15種選擇.故選C.
6.(多選題)從集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取兩個互不相等的數a，b組成復數a＋bi，下列說法正確的有(　　)
A.其中虛數有36個 B.其中虛數有12個
C.其中純虛數有6個 D.其中純虛數有7個
答案：AC
解析：若a＋bi為虛數，則虛數虛部不能為0，第一步選虛部，有6種選擇；第二步，選擇實部，有6種選擇.根據分步乘法計數原理可得，虛數有36個，故A正確，B錯誤；若a＋bi為純虛數，則虛數虛部不能為0，且實部為0，根據分步乘法計數原理可得，純虛數為6個，故C正確，D錯誤.故選AC.
7.滿足A∪B＝的集合A，B共有　　　　　組.
答案：9
解析：當A＝ 時，B＝；當A＝時，B＝；當A＝時，B＝；當A＝時，B＝或 ，故共有1＋2＋2＋4＝9組.
8.甲、乙、丙、丁四人打算從北京、上海、西安、長沙四個城市中任選一個前去游玩，其中甲去過北京，所以甲不去北京，則不同的選法有　　　　種.
答案：192
解析：因為甲不去北京，應該分步完成：第一步，甲在上海、西安、長沙三個城市中任選一個，有3種選法；第二步，乙、丙、丁從北京、上海、西安、長沙四個城市中分別任選一個，有4×4×4＝64種選法；由分步乘法計數原理，可得不同選法有：3×64＝192種.
9.某校為加強學生的美感教育，開設了音樂、美術、舞蹈、戲曲四門選修課程.甲、乙兩位同學各自準備從中選擇兩門進行學習，且甲不會選擇舞蹈課程，則甲、乙兩位同學選擇的兩門課程中僅有一門相同的情況共有　　　種.
答案：12
解析：若乙選擇舞蹈課程，則僅有一門相同的情況共有3×2＝6種；若乙沒有選擇舞蹈課程，則僅有一門相同的情況共有3×2＝6種，綜上，共有12種情況.
10.(15分)集合A＝，B＝.現從A，B中各取一個元素作為點P的坐標.
(1)可以得到多少個不同的點？
(2)在這些點中，位于第一象限的有幾個？
解：(1)一個點的坐標由x，y兩個元素確定，若它們有一個不同，則表示不同的點，
又集合A與B中的元素互不相同，
所以可分為兩類：
第一類：選A中的元素為x，B中的元素為y，有3×4＝12(個)不同的點；
第二類：選A中的元素為y，B中的元素為x，有4×3＝12(個)不同的點.
由分類加法計數原理得不同的點的個數為12＋12＝24.
(2)第一象限內的點x，y必須為正數，從而只能取A，B中的正數，
又集合A與B中的元素互不相同，
所以可分為兩類：
第一類：選A中的正元素為x，B中的正元素為y，有2×2＝4(個)不同的點；
第二類：選A中的正元素為y，B中的正元素為x，有2×2＝4(個)不同的點.
由分類加法計數原理得不同的點的個數為4＋4＝8.
(11—13，每小題5分，共15分)
11.有紅、黃、藍的小旗各一面，從中選用1面、2面或3面升上旗桿，并且不同的順序表示不同的信號，則可表示不同的信號種數為(　　)
A.6 B.12
C.14 D.15
答案：D
解析：掛一面旗時，有3種情況；掛兩面旗時，有3×2＝6種；掛三面旗時，有3×2×1＝6種，所以共3＋6＋6＝15種.故選D.
12.(多選題)有4名同學報名參加三個不同的社團，則下列說法中正確的是(　　)
A.每名同學限報其中一個社團，則不同的報名方法共有34種
B.每名同學限報其中一個社團，則不同的報名方法共有43種
C.每個社團限報一個人且每名同學限報其中一個社團，則不同的報名方法共有24種
D.每個社團限報一個人且每名同學限報其中一個社團，則不同的報名方法共有33種
答案：AC
解析：對于A、B選項，第1個同學有3種報法，第2個同學有3種報法，后面的2個同學也有3種報法，根據分步計數原理共有34種結果，A正確，B錯誤；對于C、D選項，每個社團限報一個人且每名同學限報其中一個社團，則第1個社團有4種選擇，第2個社團有3種選擇，第3個社團有2種選擇，根據分步計數原理共有4×3×2＝24種結果，C正確，D錯誤.故選AC.
13.已知直線ax＋by＋c＝0中的a，b，c是取自集合{－2，－1，0，1，2}中的3個不同的元素，并且該直線的傾斜角為銳角，那么，這樣的直線的條數是　　　　.
答案：11
解析：設傾斜角為θ，tan θ＝－＞0，則ab＜0，不妨設a＞0，則b＜0，若c＝0，a有2種取法，b有2種取法，排除1個重復(a＝2，b＝－2與a＝1，b＝－1)，故這樣的直線有2×2－1＝3條；若c≠0，a有2種取法，b有2種取法，c有2種取法，且其中任兩條直線均不相同，故這樣的直線有2×2×2＝8條，從而，符合要求的直線有3＋8＝11條.
14.(15分)某城市地鐵公司為鼓勵人們綠色出行，決定按照乘客經過地鐵站的數量實施分段優惠政策，不超過12站的地鐵票價如下表：
乘坐站數 0＜x≤3 3＜x≤7 7＜x≤12
票價(元) 2 4 6
現有甲、乙兩位乘客同時從起點乘坐同一輛地鐵，已知他們乘坐地鐵都不超過12站，且他們各自在每個站下地鐵的可能性是相同的.
(1)若甲、乙兩人共付費6元，則甲、乙下地鐵的方案共有多少種？
(2)若甲、乙兩人共付費8元，則甲比乙先下地鐵的方案共有多少種？
解：(1)由已知可得，甲、乙兩人共付費6元，則甲、乙一人付費2元一人付費4元，
又付費2元的乘坐站數有1，2，3三種選擇，付費4元的乘坐站數有4，5，6，7四種選擇，
所以甲、乙下地鐵的方案共有(3×4)×2＝24(種).
(2)甲、乙兩人共付費8元，則甲、乙一人付費2元一人付費6元或兩人都付費4元；
當甲付費2元，乙付費6元時，甲乘坐站數有1，2，3三種選擇，乙乘坐站數有8，9，10，11，12五種選擇，此時，共有3×5＝15(種)方案；
當兩人都付費4元時，若甲在第4站下地鐵，則乙可在第5，6，7站下地鐵，有3種方案；
若甲在第5站下地鐵，則乙可在第6，7站下地鐵，有2種方案；
若甲在第6站下地鐵，則乙可在第7站下地鐵，有1種方案；
綜上，甲比乙先下地鐵的方案共有15＋3＋2＋1＝21(種).
(15、16，每小題5分，共10分)
15.(創新題)1 800的不同的正奇數因數的個數為(　　)
A.6 B.9
C.12 D.48
答案：B
解析：由題意得，1 800＝23×32×52，則1 800的正因數p＝2r×3s×5t，由題意，r＝0，s可取0，1，2；t可取0，1，2；根據分步乘法計數原理，可得不同的正奇數因數有1×3×3＝9個.故選B.
16.(新情境)已知集合A＝，若a，b，c∈A且互不相等，則使得指數函數y＝ax，對數函數y＝logb x，冪函數y＝xc中至少有兩個函數在(0，＋∞)上為嚴格增函數的有序數對(a，b，c)的個數是　　　　.
答案：24
解析：由題意可知，滿足指數函數y＝ax，對數函數y＝logb x的a，b取值只有4個，分別為，，2，3；而使它們在(0，＋∞)上為嚴格增函數的取值a，b都只有兩個，分別是2，3；而滿足冪函數y＝xc的c的取值有6個(全部)，使得冪函數y＝xc在(0，＋∞)上是嚴格增
函數的取值有4個，即，，2，3；由于a，b，c∈A且互不相等，有三種情況：第一種：指數函數y＝ax，對數函數y＝logb x在(0，＋∞)上是嚴格增函數，而冪函數y＝xc不滿足，共有2×1×2＝4種；第二種：指數函數y＝ax，冪函數y＝xc在(0，＋∞)上是嚴格增函數，而對數函數y＝logb x不滿足，共有2×2×2＝8種；第三種：對數函數y＝logb x，冪函數y＝xc在(0，＋∞)上是嚴格增函數，而指數函數y＝ax不滿足，共有2×2×2＝8種；第四種：三個函數在(0，＋∞)上都是嚴格增函數，共有2×1×2＝4種；利用分類加法計數原理可得共有4＋8＋8＋4＝24種.
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1.1　分類加法計數原理
1.2　分步乘法計數原理
　
第五章　§1　基本計數原理
學習目標
1.通過實例，了解分類加法計數原理、分步乘法計數原理.　
2.會用這兩個原理分析和解決一些簡單的實際計數問題.
3.通過對計數原理的學習，培養數學抽象素養；借助計數原 理的實際應用，培養數學建模、邏輯推理、及數學運算
素養.
任務一　分類加法計數原理
問題導思
某人大代表明天要從濟南前往北京參加會議，他有兩類快捷途徑可供選擇，一是乘飛機，二是乘高鐵，假如這天飛機有3個航班可乘，高鐵有4個班次可乘.那么該代表從濟南到北京共有多少種快捷途徑可選呢？
問題1.該代表從濟南到北京的方案可以分為幾類？每類方案中各有幾種
方法？
提示：兩類；乘飛機3種方法，乘高鐵4種方法.
問題2.該代表從濟南到北京共有多少種不同的方法？
提示：共3＋4＝7種方法.
新知構建
分類加法計數原理
完成一件事，可以有n類辦法，在第1類辦法中有m1種方法，在第2類辦法中有m2種方法……在第n類辦法中有mn種方法.那么，完成這件事共有N＝________________種方法.(也稱“加法原理”)
m1＋m2＋…＋mn
微提醒
(1)完成這件事的若干種方法可以分成n類.(2)每類方法都可以完成這件事，且類與類之間兩兩不交.
典例
1
規律方法
利用分類加法計數原理計數時的解題思路及注意點
注意：分類時，首先要根據問題的特點確定一個合適的分類標準，然后在這個標準下分類，要做到分類“不重不漏”.
√
對點練1.(1)現有3幅不同的油畫，4幅不同的國畫，5幅不同的水彩畫，從這些畫中選一幅布置房間，則不同的選法共有
A.10種 B.12種
C.20種 D.36種
依題意，不同的選法共有3＋4＋5＝12種.故選B.
(2)自然數有一位數、兩位數、多位數，在一位數和兩位數的自然數中含有數字1的自然數的個數為　　.
19
一位數中含有數字1的有1個；兩位數中十位為1的有10個；十位不為1，個位數字為1的自然數有8個，故共有1＋10＋8＝19個.
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任務二　分步乘法計數原理
問題導思
一名志愿者從A地趕赴B地為游客提供導游服務，但需經過C地，已知從A地到C地每天有7個航班，從C地到B地每天有6趟火車.
問題3.該志愿者從A地到B地需要經歷幾個步驟？完成每一步各有幾種
方法？
提示：兩個步驟；第一步有7種方法，第二步有6種方法.
問題4.該志愿者從A地到B地共有多少種不同的方法？
提示：7×6＝42種方法.
新知構建
分步乘法計數原理
完成一件事需要經過n個步驟，缺一不可，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法，那么，完成這件事共有N＝____________種方法.(也稱“乘法原理”)
m1·m2·…·mn
微提醒
(1)完成一件事有多個步驟，缺一不可.(2)每一步都有若干種方法.
一個袋子里裝有10張不同的中國移動手機卡，另一個袋子里裝有12張不同的中國聯通手機卡.某人手機是雙卡雙待機，想得到一張移動卡和一張聯通卡供自己今后使用，問一共有多少種不同的取法？
解：得到一張移動卡和一張聯通卡可分兩步進行：
第一步：從第一個袋子中任取一張移動手機卡，共有10種取法.
第二步：從第二個袋子中任取一張聯通手機卡，共有12種取法.
根據分步乘法計數原理共有10×12＝120 (種)取法.
典例
2
規律方法
利用分步乘法計數原理解題的一般思路及注意點
1.利用分步乘法計數原理解題的一般思路
(1)分步：將完成這件事的過程分成若干步；(2)計數：求出每一步中的方法數；
(3)結論：將每一步中的方法數相乘得最終結果.
2.注意點
應用分步乘法計數原理時，完成這件事情要分幾個步驟，只有每個步驟都完成了，才算完成這件事情，每個步驟缺一不可.
√
對點練2.(1)甲從3個短跑項目和5個球類項目中各選1個項目參加，則不同的選擇方案共有
A.8種 B.15種
C.20種 D.24種
不同的選擇方案共有3×5＝15種.故選B.
(2)食堂有大葷菜3個、小葷菜3個、素菜4個、湯1個，如果要大葷、小葷、素菜、湯各一個組成一份三菜一湯的套餐，有　　　種不同的搭配方式.
36
依題意得，選擇大葷菜有3種方法，小葷菜有3種方法，素菜有4種方法，湯有1種方法，根據分步乘法原理可得，一共有3×3×4×1＝36種不同的搭配方式.
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任務三　兩個基本原理的應用
將三個分別標有A，B，C的球隨機放入編號為1，2，3，4的四個盒子中.求：
(1)1號盒中無球的不同放法種數；
解：1號盒中無球即A，B，C三個球只能放入2，3，4號盒子中，有3×3×3＝27(種)放法.
(2)1號盒中有球的不同放法種數.
解：1號盒中有球可分三類：一類是1號盒中有一個球，共有3×3×3＝27(種)放法，一類是1號盒中有兩個球，共有3×3＝9(種)放法，一類是1號盒中有三個球，有1種放法.
共有27＋9＋1＝37(種)放法.
典例
3
變式探究
1.(變設問)本例中，球A只能放入1號盒中，共有多少不同放法種數？
解：球A只能放入1號盒中，有1種放法，球B，C各有4種放法，所以根據分步乘法原理，共有1×4×4＝16種放法.
2.(變設問)本例中，球A不能放入奇數號盒中，共有多少不同放法種數？
解：法一：球A不能放入奇數號盒中，只能放入2號盒或4號盒中2種情況，當球A放入2號盒時，根據分步乘法原理，有1×4×4＝16種放法；當球A放入4號盒時，也有1×4×4＝16種放法，再根據分類加法原理，所以共有16＋16＝32種放法.
法二：球A不能放入奇數號盒中，只能放入2號盒或4號盒中2種情況，球B，C各有4種放法，根據分步乘法原理，共有2×4×4＝32種放法.
規律方法
1.在處理具體的應用題時，首先必須弄清是“分類”還是“分步”，其次要搞清“分類”或“分步”的具體標準是什么，選擇合理的標準處理事件，關鍵是看能否獨立完成這件事，避免計數的重復或遺漏.
2.對于一些比較復雜的既要運用分類加法計數原理又要運用分步乘法計數原理的問題，我們可以恰當地畫出示意圖或列出表格，使問題更加直觀、清晰.
對點練3.高二(1)班、(48)班、(62)班分別有7，5，9人參加創新技能大賽
筆試.
(1)如果選一人當組長，那么有多少種不同的選法？
解：事件選一人當組長可分三類方案完成，
第一類，組長從(1)班選出，有7種選法，
第二類，組長從(48)班選出，有5種選法，
第三類，組長從(62)班選出，有9種選法，
根據分類加法計數原理，選一人當組長有7＋5＋9＝21種選法.
(2)如果張老師任組長，每班選一名副組長，那么有多少種不同的選法？
解：如果張老師任組長，每班選一名副組長，則需要分三步，
第一步，從(1)班選一名同學擔任副組長，有7種選法，
第二步，從(48)班選一名同學擔任副組長，有5種選法，
第三步，從(62)班選一名同學擔任副組長，有9種選法，
根據分步乘法計數原理，每班選一名副組長共有7×5×9＝315種選法.
(3)如果推選兩名學生參賽，要求這兩人來自不同的班級，那么有多少種不同的選法？
解：事件推選兩名學生參賽，要求這兩人來自不同的班級，可分為三類
方案，
第一類，若兩人來自(1)班和(48)班，有7×5＝35種選法，
第二類，若兩人來自(1)班和(62)班，有7×9＝63種選法，
第三類，若兩人來自(48)班和(62)班，有5×9＝45種選法，
綜上可知，這兩人來自不同的班級的不同的選法有35＋63＋45＝143種.
課堂小結
任務再現 1.分類加法計數原理.2.分步乘法計數原理.3.兩個基本原理的應用
方法提煉 分類討論、分類加法計數、分步乘法計數
易錯警示 “分類”與“分步”不清，導致計數錯誤
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隨堂評價
√
1.某選修課有10門體育課程和7門科學課程可供選擇，甲從中選修一門課程，則甲不同的選擇情況共有
A.17種 B.34種
C.35種 D.70種
由分類加法計數原理得，甲作出的不同的選擇情況共有10＋7＝17種，故A正確.故選A.
√
2.3名同學報名參加學校運動會的跳高、跳遠比賽項目，每人限報一項，不同的報法種數是
A.9 B.8
C.6 D.5
依題意每位同學均有2種報名方法，按照分步乘法計數原理可知一共有2×2×2＝8種不同的報法.故選B.
3.如圖，從甲地到乙地有2條路，從乙地到丁地有3條路；從甲地到丙地有4條路，從丙地到丁地有2條路，則從甲地去丁地，共有　　　　種不同的走法.
14
分兩類，第一類，從甲到乙再到丁，共有2×3＝6種；第二類，從甲到丙再到丁，共有4×2＝8種，根據分類計數原理可得，共有6＋8＝14種，故從甲地到丁地共有14種不同的走法.
13
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課時分層評價
√
1.從6名班委中選出2人分別擔任正、副班長，則不同的選法種數為
A.11 B.12
C.30 D.36
√
2.某商場東面和西面均有4個門，北面和南面均有3個門，若某人從其中的任意一個門進入商場，則進入商場的不同方式共有
A.12種 B.24種
C.7種 D.14種
由題意進入商場的不同方式共有4＋4＋3＋3＝14種.故選D.
√
3.某公交車上有6位乘客，沿途有4個停靠站，乘客下車的可能方式有
A.64種 B.46種
C.360種 D.15種
由題意，每一位乘客都有4種選擇，故乘客下車的可能方式有4×4×4× 4×4×4＝46種.故選B.
√
4.如圖，只閉合兩個開關將一條電路從A處到B處接通，可構成線路的條數為
A.2 B.4
C.5 D.8
依題意，一條電路從A處到B處接通，A處并聯電路開關閉合一個，有2種方法；B處并聯電路開關閉合一個，只能閉合下面兩個中的一個，有2種方法，根據分步計數原理，共有2×2＝4種方法.故選B.
√
5.某女生有3件不同顏色的襯衣，4件不同花樣的裙子，另有3套不同樣式的連衣裙，“五一”節選擇一套服裝參加歌舞演出，則不同的選擇方式有
A.9種 B.10種
C.15種 D.24種
依題意可知，有兩類衣服可選，第一類：選擇襯衣和裙子，共有3×4＝12種選擇；第二類：選擇連衣裙，共有3種選擇；所以共有12＋3＝15種選擇.故選C.
√
√
6.(多選題)從集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取兩個互不相等的數a，b組成復數a＋bi，下列說法正確的有
A.其中虛數有36個 B.其中虛數有12個
C.其中純虛數有6個 D.其中純虛數有7個
若a＋bi為虛數，則虛數虛部不能為0，第一步選虛部，有6種選擇；第二步，選擇實部，有6種選擇.根據分步乘法計數原理可得，虛數有36個，故A正確，B錯誤；若a＋bi為純虛數，則虛數虛部不能為0，且實部為0，根據分步乘法計數原理可得，純虛數為6個，故C正確，D錯誤.故選AC.
9
8.甲、乙、丙、丁四人打算從北京、上海、西安、長沙四個城市中任選一個前去游玩，其中甲去過北京，所以甲不去北京，則不同的選法有　 種.
192
因為甲不去北京，應該分步完成：第一步，甲在上海、西安、長沙三個城市中任選一個，有3種選法；第二步，乙、丙、丁從北京、上海、西安、長沙四個城市中分別任選一個，有4×4×4＝64種選法；由分步乘法計數原理，可得不同選法有：3×64＝192種.
9.某校為加強學生的美感教育，開設了音樂、美術、舞蹈、戲曲四門選修課程.甲、乙兩位同學各自準備從中選擇兩門進行學習，且甲不會選擇舞蹈課程，則甲、乙兩位同學選擇的兩門課程中僅有一門相同的情況共有
　　種.
12
若乙選擇舞蹈課程，則僅有一門相同的情況共有3×2＝6種；若乙沒有選擇舞蹈課程，則僅有一門相同的情況共有3×2＝6種，綜上，共有12種情況.
(2)在這些點中，位于第一象限的有幾個？
解：第一象限內的點x，y必須為正數，從而只能取A，B中的正數，
又集合A與B中的元素互不相同，
所以可分為兩類：
第一類：選A中的正元素為x，B中的正元素為y，有2×2＝4(個)不同的點；
第二類：選A中的正元素為y，B中的正元素為x，有2×2＝4(個)不同的點.
由分類加法計數原理得不同的點的個數為4＋4＝8.
√
11.有紅、黃、藍的小旗各一面，從中選用1面、2面或3面升上旗桿，并且不同的順序表示不同的信號，則可表示不同的信號種數為
A.6 B.12
C.14 D.15
掛一面旗時，有3種情況；掛兩面旗時，有3×2＝6種；掛三面旗時，有3×2×1＝6種，所以共3＋6＋6＝15種.故選D.
√
√
12.(多選題)有4名同學報名參加三個不同的社團，則下列說法中正確的是
A.每名同學限報其中一個社團，則不同的報名方法共有34種
B.每名同學限報其中一個社團，則不同的報名方法共有43種
C.每個社團限報一個人且每名同學限報其中一個社團，則不同的報名方法共有24種
D.每個社團限報一個人且每名同學限報其中一個社團，則不同的報名方法共有33種
對于A、B選項，第1個同學有3種報法，第2個同學有3種報法，后面的2個同學也有3種報法，根據分步計數原理共有34種結果，A正確，B錯誤；對于C、D選項，每個社團限報一個人且每名同學限報其中一個社團，則第1個社團有4種選擇，第2個社團有3種選擇，第3個社團有2種選擇，根據分步計數原理共有4×3×2＝24種結果，C正確，D錯誤.故選AC.
13.已知直線ax＋by＋c＝0中的a，b，c是取自集合{－2，－1，0，1，2}中的3個不同的元素，并且該直線的傾斜角為銳角，那么，這樣的直線的條數是　　.
11
14.(15分)某城市地鐵公司為鼓勵人們綠色出行，決定按照乘客經過地鐵站的數量實施分段優惠政策，不超過12站的地鐵票價如下表：
乘坐站數 0＜x≤3 3＜x≤7 7＜x≤12
票價(元) 2 4 6
現有甲、乙兩位乘客同時從起點乘坐同一輛地鐵，已知他們乘坐地鐵都不超過12站，且他們各自在每個站下地鐵的可能性是相同的.
(1)若甲、乙兩人共付費6元，則甲、乙下地鐵的方案共有多少種？
解：由已知可得，甲、乙兩人共付費6元，則甲、乙一人付費2元一人付費4元，
又付費2元的乘坐站數有1，2，3三種選擇，付費4元的乘坐站數有4，5，6，7四種選擇，
所以甲、乙下地鐵的方案共有(3×4)×2＝24(種).
(2)若甲、乙兩人共付費8元，則甲比乙先下地鐵的方案共有多少種？
解：甲、乙兩人共付費8元，則甲、乙一人付費2元一人付費6元或兩人都付費4元；
當甲付費2元，乙付費6元時，甲乘坐站數有1，2，3三種選擇，乙乘坐站數有8，9，10，11，12五種選擇，此時，共有3×5＝15(種)方案；
乘坐站數 0＜x≤3 3＜x≤7 7＜x≤12
票價(元) 2 4 6
當兩人都付費4元時，若甲在第4站下地鐵，則乙可在第5，6，7站下地鐵，有3種方案；
若甲在第5站下地鐵，則乙可在第6，7站下地鐵，有2種方案；
若甲在第6站下地鐵，則乙可在第7站下地鐵，有1種方案；
綜上，甲比乙先下地鐵的方案共有15＋3＋2＋1＝21(種).
乘坐站數 0＜x≤3 3＜x≤7 7＜x≤12
票價(元) 2 4 6
15.(創新題)1 800的不同的正奇數因數的個數為
A.6 B.9
C.12 D.48
√
24


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