資源簡介

§1　一元線性回歸
學習目標 1.結合實例，了解散點圖與曲線擬合、直線擬合的關系.　2.了解最小二乘法原理，了解一元線性回歸模型的含義及模型參數的統計意義.　3.了解回歸分析的基本思想方法和初步應用，針對實際問題，會用一元線性回歸模型進行預測.　4.通過變量間相關關系及散點圖的學習，培養數學抽象、直觀想象的核心素養.　5.通過一元線性回歸模型參數的最小二乘法估計方法求經驗回歸方程，提升數學建模、數據分析、數學運算的核心素養.
任務一　直線擬合
問題1.在一次對人體脂肪含量百分比和年齡的關系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數據：
年齡 23 27 39 41 45 49 50
脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2
年齡 53 54 56 57 58 60 61
脂肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
其中各年齡對應的脂肪數據是這個年齡人群脂肪含量的樣本平均數.根據上述數據，你能推斷出人體的脂肪含量與年齡之間存在怎樣的關系嗎？
提示：畫出散點圖，散點圖中的點散布在一條直線附近，推斷這兩個變量之間存在直線擬合關系.
直線擬合
1.成對數據與散點圖：每個點對應的一對數據(xi，yi)，稱為成對數據.這些點構成的圖稱為散點圖.
2.曲線擬合：從散點圖上可以看出，如果變量之間存在著某種關系，這些點會有一個大致趨勢，這種趨勢通常可以用一條光滑的曲線來近似地描述，這樣近似描述的過程稱為曲線擬合.
3.直線擬合：若在兩個變量X和Y的散點圖中，所有點看上去都在一條直線附近波動，此時就可以用一條直線來近似地描述這兩個量之間的關系，稱之為直線擬合.
[微提醒]　(1)兩個變量不滿足函數關系，但兩者確實有關系，這種關系稱為相關關系.(2)判斷兩個變量X和Y之間是曲線擬合還是直線擬合，常用的簡便方法就是繪制散點圖.
下表是某小賣部6天賣出熱茶的杯數(單位：杯)與當天氣溫(單位：℃)的對比表：
氣溫/℃ 26 18 13 10 4 －1
杯數/杯 20 24 34 38 50 64
(1)根據上表中的數據畫出散點圖；
(2)你能從散點圖中發現當天氣溫與賣出熱茶的杯數近似地呈現什么關系嗎？
解：(1)設當天氣溫為x ℃時，賣出熱茶的杯數為y杯，表中的數據制成散點圖如下圖.
(2)從散點圖中發現溫度與賣出熱茶的杯數所對應的點都在一條直線附近波動，所以溫度與賣出熱茶的杯數兩變量可以直線擬合.
1.繪制散點圖，如果發現點的分布從整體上看大致在一條直線附近，那么這兩個變量就可以直線擬合，注意不要受個別點的位置的影響.
2.準確理解回歸分析的基本思想、基本方法，掌握回歸分析的一些關鍵性詞語，是解決這類問題的基礎.
對點練1.某市104路公交車上午7：05—8：55時段在起點站每9分鐘發一班次.公交公司為了了解早高峰時段各班次上客情況，某日上午7：14—8：35記錄了在起點站各班次車輛上客的人數：
發車 時刻 7：14 7：23 7：32 7：41 7：50 7：59 8：08 8：17 8：26 8：35
上車乘 客數/人 10 13 13 18 17 15 12 9 3 3
請繪制這組成對數據的散點圖，并通過觀察散點圖大致判斷客車發車時刻與上車乘客人數是否可以直線擬合？
解：繪制散點圖如圖所示，
觀察散點圖可知，發車時刻與上車乘客人數所對應的點在一條曲線附近波動，所以發車時刻與上車乘客人數兩變量應該曲線擬合，而不適合直線擬合.
任務二　一元線性回歸方程
根據統計，某蔬菜基地西紅柿畝產量的增加量y(百千克)與某種液體肥料每畝使用量x(千克)之間的對應數據的散點圖如圖所示.思考并回答下面的問題：
問題2.依據數據的散點圖，推斷西紅柿畝產量的增加量Y 與液體肥料使用量X適合直線擬合還是曲線擬合？
提示：適合直線擬合.
問題3.如果西紅柿畝產量的增加量Y 與液體肥料使用量X直線擬合的話，如何求該直線方程？
提示：可以選取兩個點，使其余點盡量在該直線兩側分布.
1.最小二乘法
如果有n個點(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，可以用[yi－(a＋bxi)]2來刻畫這些點與直線Y＝a＋bX的接近程度，使得上式達到最小值的直線Y＝a＋bX就是要求的直線，這種方法稱為最小二乘法.
2.線性回歸方程
(1)直線方程Y＝＋X稱作Y關于X的線性回歸方程，相應的直線稱作Y關于X的回歸直線，，是這個線性回歸方程的系數.
(2)計算，的公式：＝＝，＝－.
[微提醒]　回歸直線Y＝＋X必經過樣本點的中心(，).
某連鎖日用品銷售公司下屬5個社區便利店某月的銷售額與利潤額如下表所示.
便利店編號 1 2 3 4 5
銷售額 X/萬元 30 60 45 80 89
利潤額Y/萬元 2.3 3.5 3.2 4.0 5.3
(1)繪制銷售額和利潤額的散點圖；
(2)若銷售額和利潤額可以直線擬合，試計算利潤額Y與銷售額 X的線性回歸方程.
解：(1)根據題意，作散點圖如下：
(2)＝＝60.8，
＝＝3.66，
所以＝
＝
＝＝≈0.043，
＝－≈1.046，
所以線性回歸方程為Y＝0.043X＋1.046.
求線性回歸方程的一般步驟
對點練2.為了探討學生的物理成績Y與數學成績X之間的關系，從某批學生中隨機抽取10名學生的成績，并已計算出xi＝758，＝58 732，yi＝774，xiyi＝59 686.試求物理成績Y關于數學成績X的線性回歸方程.
解：由已知數據可知，＝xi＝75.8，＝yi＝77.4，
＝＝≈0.8，
＝－＝77.4－0.8×75.8＝16.76，
所以Y關于X的線性回歸方程為Y＝0.8X＋16.76.
任務三　線性回歸方程的應用
(鏈教材P239例1)某公司為提升A款產品的核心競爭力，準備加大A款產品的研發投資，為確定投入A款產品的年研發費用，需了解年研發費用x(單位：萬元)對年利潤y(單位：萬元)的影響.該公司統計了最近8年每年投入A款產品的年研發費用與年利潤的數據，得到下圖所示的散點圖：
經數據分析知，變量Y與 X之間存在近似的線性關系.經計算得，xi＝80，yi＝200，＝250，＝500.
(1)建立Y關于 X的線性回歸方程Y＝X＋；
(2)若該公司對A款產品欲投入的年研發費用為30萬元，根據(1)得到的線性回歸方程，預測年利潤為多少萬元？
附：＝，＝－.
解：(1)因為xi＝80，yi＝200，
所以＝＝10，＝＝25.
因為＝250，＝500，
所以＝＝＝2.
所以＝－＝25－2×10＝5.
所以Y關于X的線性回歸方程為Y＝2X＋5.
(2)由(1)可得，Y＝2X＋5.
所以當X＝30時，Y＝2×30＋5＝65.
所以對A款產品投入30萬元年研發費用，年利潤約為65萬元.
1.正確理解，的公式和準確計算是求線性回歸方程的關鍵，由于計算量較大，所以在計算時應認真細致，謹防計算中出現錯誤.
2.利用所求出的線性回歸方程，可以進行估計與預測.
對點練3.假設關于某設備的使用年限X和所支出的維修費用Y(萬元)統計數據如下：
使用年限X 2 3 4 5 6
維修費用Y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
若有數據知Y與X可以直線擬合.其線性回歸方程為Y＝1.23X＋a，請估計使用10年時的維修費用是　　　　萬元.
答案：12.38
解析：由題意可得＝＝4，＝(2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.0)＝5，由線性回歸方程過點可得5＝1.23×4＋a，解得a＝0.08，故方程為Y＝1.23X＋0.08，把X＝10代入可得Y＝1.23×10＋0.08＝12.38.
任務再現 1.散點圖、直線擬合.2.一元線性回歸方程及其應用
方法提煉 公式法、數形結合思想
易錯警示 用最小二乘法求時，兩公式結構易混淆、帶入數據易出錯
1.下列關于散點圖的說法中，正確的是(　　)
A.任意給定統計數據，都可以繪制散點圖
B.從散點圖中可以看出兩個量是否具有一定的關系
C.從散點圖中可以看出兩個量的因果關系
D.從散點圖中無法看出數據的分布情況
答案：B
解析：散點圖不適合用于展示百分比占比的數據，另外數據量較少的數據也不適合用散點圖表示，故A錯誤；散點圖能看出兩個量是否具有一定的關系，但是不一定是因果關系，故B正確，C錯誤；散點圖中能看出數據的分布情況，故D錯誤.故選B.
2.一位母親記錄了兒子3歲～9歲的身高，由此建立的身高Y(單位：cm)與年齡X(單位：歲)的回歸模型為Y＝7.19X＋73.93.用這個模型預測這個孩子10歲時的身高，則下列敘述正確的是(　　)
A.身高一定是145.83 cm
B.身高在145.83 cm以上
C.身高在145.83 cm以下
D.身高在145.83 cm左右
答案：D
解析：X＝10時，Y＝7.19×10＋73.93＝145.83，但這是預測值，而不是精確值，所以只有D符合題意.故選D.
3.根據2010～2019年我國16～59歲人口比重統計數據Y，擬合了Y與年份X的線性回歸方程為Y＝－0.74X＋1 551，據此估計我國約從　　　　年開始16～59歲人口比重低于50％.
答案：2029
解析：令Y＝－0.74X＋1 551＜50，解得X＞≈2 028.4，所以估計我國約從2029年開始16～59歲人口比重低于50％.
4.下表是某單位1～4月份用水量(單位：百噸)的一組數據：
月份X 1 2 3 4
用水量Y 4 5 a 7
若由數據求得：用水量Y與月份X之間的線性回歸方程是Y＝X＋3.05，則表中a的值為　　　　.
答案：6.2
解析：由表格中的數據，可得＝(1＋2＋3＋4)＝，＝(4＋5＋a＋7)＝4＋，把(，4＋)代入回歸方程Y＝X＋3.05，可得4＋＝2.5＋3.05，解得a＝6.2.
課時分層評價47　一元線性回歸
(時間：60分鐘　滿分：100分)
(1—9，每小題5分，共45分)
1.下圖是根據X，Y的觀測數據(xi，yi)(i＝1，2，…，10)得到的散點圖，則變量X，Y能用線性回歸方程Y＝＋X來刻畫，且＜0的是(　　)
答案：A
解析：根據變量X，Y具有線性關系，則散點在某條直線附近，又＜0，所以散點從左上至右下.故選A.
2.下表是X和Y之間的一組數據，則Y關于X的回歸直線必過點(　　)
X 1 2 3 4
Y 1 3 5 7
A.(2，3) B.(1.5，4)
C.(2.5，4) D.(2.5，5)
答案：C
解析：回歸直線必過樣本點的中心(，)，即(2.5，4).故選C.
3.某醫學科研所對人體脂肪含量與年齡這兩個變量研究得到一組隨機樣本數據，運用Excel軟件計算得Y＝0.577X－0.448(X為人的年齡，Y為人體脂肪含量).對年齡為37歲的人來說，下面說法正確的是(　　)
A.年齡為37歲的人體內脂肪含量一定為20.90
B.年齡為37歲的人體內脂肪含量約為21.01
C.年齡為37歲的人群中的體內脂肪含量平均為20.90
D.年齡為37歲的人群中的大部分人的體內脂肪含量約為31.5
答案：C
解析：當X＝37時，Y＝0.577×37－0.448＝20.901≈20.90，由此估計，年齡為37歲的人群中的體內脂肪含量平均為20.90.故選C.
4.如下表給出5組數據(x，y)，為選出4組數據使其線性關系更強，且保留第1組數據，則應去掉(　　)
i 1 2 3 4 5
xi 5 4 3 2 －4
yi 3 2 7 1 －6
A. B.
C. D.
答案：B
解析：根據表格數據，得到散點圖如圖所示：
由散點圖可知數據偏離程度最高，故應該去掉數據.故選B.
5.科研人員在對人體的脂肪含量和年齡之間的關系的研究中發現，年齡X(歲)和脂肪含量占比Y(％)滿足經驗回歸方程Y＝0.58X－0.62，若已知某個體在其兩個年齡的脂肪含量占比相差10.44％，則兩年齡相差(　　)
A.15歲 B.17歲
C.18歲 D.20歲
答案：C
解析：設兩個年齡分別為x1，x2，脂肪含量占比分別為y1，y2，由Y＝0.58X－0.62得y1－y2＝0.58(x1－x2)，即10.44＝0.58，解得x1－x2＝18.故選C.
6.(多選題)為研究某種材料的抗震強度Y與抗壓強度X的關系，某研究部門得到下表中的樣本數據.若Y與X具有線性相關關系，且經驗回歸方程為Y＝0.1X＋，則下列說法正確的是(　　)
X 140 150 170 180 195
Y 23 24 26 28 28
A.＝9.1
B.當X增加1個單位時，Y增加約0.1個單位
C.抗壓強度變大，抗震強度一定增強
D.若抗壓強度為220時，抗震強度一定是31.1
答案：AB
解析：因為＝＝167，＝＝25.8，所以25.8＝0.1×167＋，解得＝9.1，故A正確；因此線性經驗回歸方程為Y＝0.1X＋9.1，可知當X增加1個單位時，Y增加約0.1個單位，故B正確；對于C，抗壓強度變大，有抗震強度增強的趨勢，但不一定增強，故C錯誤；對于D，當X＝220時，Y＝0.1×220＋9.1＝31.1，因此抗震強度約為31.1，故D錯誤.故選AB.
7.(2025·上海奉賢三模)為了研究某班學生的腳步X(單位：厘米)和身高Y(單位：厘米)之間有線性關系，設其回歸直線方程為Y＝4X＋70.該班某學生的腳長為24，據此估計其身高為　　　　厘米.
答案：166
解析：由題意知，令X＝24，則Y＝4×24＋70＝166，即該班某學生的腳長為24，據此估計其身高為166厘米.
8.(2025·山西運城高二期中)隨著夏季的來臨，遮陽帽開始暢銷，某商家為了解某種遮陽帽如何定價才可以獲得最大利潤，現對這種遮陽帽進行試銷售，經過統計發現銷售量Y(單位：頂)與單價X(單位：元)具有線性關系，且線性回歸方程為Y＝－3X＋200，若想要銷售量為80頂，則預計該遮陽帽的單價定為　　　　元.
答案：40
解析：若銷售量為80頂，則Y＝－3X＋200＝80，解得X＝40，所以預計單價應定為40元.
9.為了解某社區居民2024年家庭年收入與年支出的關系，隨機調查了該社區5戶家庭，得到如下統計數據表：
收入X(萬元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9
支出Y(萬元) 6.2 7.5 8.0 t 9.7
根據上表可得線性回歸方程為Y＝0.76X＋0.4，則t＝　　　　.
答案：8.6
解析：＝＝10，＝＝，故樣本點的中心的坐標為，代入Y＝0.76X＋0.4，得＝0.76×10＋0.4，解得t＝8.6.
10.(15分)(2025·江蘇徐州高二期中)下表提供了某廠進行技術改造后生產產品過程中記錄的產能X(單位：t)與相應的生產能耗Y(單位：t標準煤)的幾組對應數據：
X/t 3 4 5 6
Y/t標準煤 3.5 4 5 5.5
(1)求Y關于X的線性回歸方程Y＝X＋；
(2)已知該廠技術改造前100 t產品的生產能耗為90 t標準煤，試根據(1)中求出的線性回歸方程，預測該廠技術改造后100 t產品的生產能耗比技術改造前降低了多少t標準煤.
參考公式：
解：(1)＝4.5，＝4.5，xiyi＝84.5，xiyi－4＝3.5，
－4＝5，所以＝＝0.7，＝4.5－0.7×4.5＝1.35，
所以Y＝0.7X＋1.35.
(2)X＝100，Y＝71.35，即改造后預測生產能耗為71.35 t標準煤，
90－71.35＝18.65.
所以預測該廠技術改造后100 t產品的生產能耗比技術改造前降低了18.65 t標準煤.
(11—13，每小題5分，共15分)
11.已知一組數據大致呈線性分布，其回歸直線方程為Y＝2X－9，則yi的最小值為(　　)
A.－4 B.－8
C.－16 D.無法確定
答案：C
解析：回歸直線Y＝2X－9經過，且＝×＝，＝yi，代入回歸方程得yi＝×2－9＝n－8，即yi＝(n－8)n＝(n－4)2－16，所以當n＝4時，yi的最小值為－16.故選C.
12.(多選題)如圖是某地區2015年至2024年的空氣污染天數Y(單位：天)與年份X的折線圖.根據2015年至2019年的數據，2020年至2024年的數據，2015年至2024年的數據分別建立線性回歸模型Y＝X＋，Y＝X＋，Y＝X＋，則(　　)
A.＜＜ B.＜＜
C.＜＜ D.＜＜
答案：BC
解析：記三條回歸直線分別為l1：Y＝X＋，l2：Y＝X＋，l3：Y＝X＋，畫出這三條回歸直線的大致圖象，如圖所示：
由圖可知這三條回歸直線的斜率大小關系為＜＜＜0，截距大小關系為＞＞＞0.故選BC.
13.(2025·四川綿陽高二期末)某工廠為了對新研發的一種產品進行合理定價，將該產品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數據：
單價(元) 4 5 6 7 8 9
銷量(件) 90 84 83 80 75 68
由表中數據，求得線性回歸方程為Y＝－4X＋a，若在這些樣本點中任取一點，則它在回歸直線右上方的概率為　　　　.
答案：
解析：由已知＝＝6.5，＝＝80，又樣本中心(，)在回歸直線Y＝－4X＋a上，即80＝－4×6.5＋a，解得a＝106，所以回歸直線方程為Y＝－4X＋106，當X＝4時，Y＝－4×4＋106＝90，所以點在回歸直線上；當X＝5時，Y＝－4×5＋106＝86，所以點在回歸直線左下方；當X＝6時，Y＝－4×6＋106＝82，所以點在回歸直線右上方；當X＝7時，Y＝－4×7＋106＝78，所以點在回歸直線右上方；當X＝8時，Y＝－4×8＋106＝74，所以點在回歸直線右上方；當X＝9時，Y＝－4×9＋106＝70，所以點在回歸直線左下方.所以6個樣本點中在回歸直線右上方的有3個，所以在這些樣本點中任取一點，則它在回歸直線右上方的概率為.
14.(15分)(2025·陜西西安高二期末)某高科技公司組織大型招聘會，全部應聘人員的筆試成績統計如圖所示：
(1)求m的值，并估計全部應聘人員筆試成績的中位數；
(2)該公司2020—2024年每年招聘的新員工人數逐年增加，且這五年招聘的新員工總人數為500，若用這五年的數據求出每年招聘的新員工人數Y關于年份代碼X(X＝年份－2019)的線性回歸方程為Y＝X－2，請根據此回歸模型預測該公司2026年招聘的新員工人數是否會超過250.
解：(1)由題意得，0.004×10＋0.022×10＋0.03×10＋0.028×10＋10m＋0.004×10＝1，
解得m＝0.012，
前兩組的頻率之和為0.004×10＋0.022×10＝0.26，
前三組的頻率之和為0.004×10＋0.022×10＋0.03×10＝0.56，
所以中位數在區間內，
估計中位數為60＋×10＝68.
(2)依題意＝＝3，＝＝100，
把代入Y＝X－2中，有100＝3－2，解得＝34，
故線性回歸方程為Y＝34X－2，
當X＝7時，Y＝34×7－2＝238－2＝236＜250，
故預測該公司2026年招聘的新員工人數不超過250.
(15、16，每小題5分，共10分)
15.在研究變量X與Y之間的相關關系時，進行實驗后得到了一組樣本數據，，…，，，利用此樣本數據求得的經驗回歸方程為Y＝－1.5X＋，現發現數據誤差較大，剔除這對數據后，求得的經驗回歸方程為Y＝－6X＋21，且yi＝36，則＝(　　)
A.13.5 B.14
C.14.5 D.15
答案：A
解析：因為yi＝36，剔除異常數據后，＝×36＝6，因為點在Y＝－6X＋21上，所以6＝－6＋21，解得＝2.5，設利用原始數據求得的經驗回歸直線過點，則'＝＝3，'＝＝9，因為'＝－1.5'＋，所以＝9＋1.5×3＝13.5.故選A.
16.某地種植超級雜交稻，產量從第一期大面積畝產760千克，到第二期畝產810千克，第三期畝產860千克，第四期畝產1 030千克.將第一期視為第二期的父代，第二期視為第三期的父代，或第一期視為第三期的祖父代，并且認為子代的產量與父代的產量有關，則用線性回歸分析的方法預測第五期的產量為每畝　　　　千克.
附：用最小二乘法求得線性回歸方程為Y＝X＋，其中＝，＝－.
答案：1 384
解析：設父代產量為xi，子代產量為yi(i＝1，2，3)，則＝(760＋810＋860)＝810，＝＝900，所以(xi－)(yi－)＝(－50)×(－90)＋0×(－40)＋50×130＝11 000，
(xi－)2＝(760－810)2＋(810－810)2＋(860－810)2＝5 000，所以＝＝＝2.2，＝－＝900－2.2×810＝－882.則線性回歸方程為Y＝2.2X－882，當X＝1 030時，Y＝1 030×2.2－882＝1 384.所以預測第五期的產量為每畝1 384千克.
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§1　一元線性回歸
　
第七章　統計案例
學習目標
1.結合實例，了解散點圖與曲線擬合、直線擬合的關系.
2.了解最小二乘法原理，了解一元線性回歸模型的含義及模 型參數的統計意義.
3.了解回歸分析的基本思想方法和初步應用，針對實際問 題，會用一元線性回歸模型進行預測.
4.通過變量間相關關系及散點圖的學習，培養數學抽象、直 觀想象的核心素養.
5.通過一元線性回歸模型參數的最小二乘法估計方法求經驗 回歸方程，提升數學建模、數據分析、數學運算的核心
素養.
任務一　直線擬合
問題導思
問題1.在一次對人體脂肪含量百分比和年齡的關系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數據：
年齡 23 27 39 41 45 49 50
脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2
年齡 53 54 56 57 58 60 61
脂肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
其中各年齡對應的脂肪數據是這個年齡人群脂肪含量的樣本平均數.根據上述數據，你能推斷出人體的脂肪含量與年齡之間存在怎樣的關系嗎？
提示：畫出散點圖，散點圖中的點散布在一條直線附近，推斷這兩個變量之間存在直線擬合關系.
新知構建
直線擬合
1.成對數據與散點圖：每個點對應的一對數據(xi，yi)，稱為__________.這些點構成的圖稱為________.
2.曲線擬合：從散點圖上可以看出，如果變量之間存在著某種關系，這些點會有一個大致趨勢，這種趨勢通常可以用一條光滑的曲線來近似地描述，這樣近似描述的過程稱為__________.
3.直線擬合：若在兩個變量X和Y的散點圖中，所有點看上去都在一條直線附近波動，此時就可以用一條直線來近似地描述這兩個量之間的關系，稱之為__________.
成對數據
散點圖
曲線擬合
直線擬合
微提醒
(1)兩個變量不滿足函數關系，但兩者確實有關系，這種關系稱為相關關系.(2)判斷兩個變量X和Y之間是曲線擬合還是直線擬合，常用的簡便方法就是繪制散點圖.
下表是某小賣部6天賣出熱茶的杯數(單位：杯)與當天氣溫(單位：℃)的對比表：
典例
1
氣溫/℃ 26 18 13 10 4 －1
杯數/杯 20 24 34 38 50 64
(1)根據上表中的數據畫出散點圖；
解：設當天氣溫為x ℃時，賣出熱茶的杯數為y杯，表中的數據制成散點圖如下圖.
(2)你能從散點圖中發現當天氣溫與賣出熱茶的杯數近似地呈現什么關
系嗎？
解：從散點圖中發現溫度與賣出熱茶的杯數所對應的點都在一條直線附近波動，所以溫度與賣出熱茶的杯數兩變量可以直線擬合.
規律方法
1.繪制散點圖，如果發現點的分布從整體上看大致在一條直線附近，那么這兩個變量就可以直線擬合，注意不要受個別點的位置的影響.
2.準確理解回歸分析的基本思想、基本方法，掌握回歸分析的一些關鍵性詞語，是解決這類問題的基礎.
對點練1.某市104路公交車上午7：05—8：55時段在起點站每9分鐘發一班次.公交公司為了了解早高峰時段各班次上客情況，某日上午7：14—8：35記錄了在起點站各班次車輛上客的人數：
發車時刻 7：14 7：23 7：32 7：41 7：50 7：59 8：08 8：17 8：26 8：35
上車乘客數/人 10 13 13 18 17 15 12 9 3 3
請繪制這組成對數據的散點圖，并通過觀察散點圖大致判斷客車發車時刻與上車乘客人數是否可以直線擬合？
解：繪制散點圖如圖所示，

觀察散點圖可知，發車時刻與上車乘客人數所對應的點在一條曲線附近波動，所以發車時刻與上車乘客人數兩變量應該曲線擬合，而不適合直線
擬合.
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任務二　一元線性回歸方程
問題導思
根據統計，某蔬菜基地西紅柿畝產量的增加量y(百
千克)與某種液體肥料每畝使用量x(千克)之間的對
應數據的散點圖如圖所示.思考并回答下面的問題：
問題2.依據數據的散點圖，推斷西紅柿畝產量的增
加量Y 與液體肥料使用量X適合直線擬合還是曲線擬合？
提示：適合直線擬合.
問題3.如果西紅柿畝產量的增加量Y 與液體肥料使用量X直線擬合的話，如何求該直線方程？
提示：可以選取兩個點，使其余點盡量在該直線兩側分布.
新知構建
最小二乘法
線性回歸方程
回歸直線
線性回歸方程的系數
微提醒
某連鎖日用品銷售公司下屬5個社區便利店某月的銷售額與利潤額如下表所示.
典例
2
便利店編號 1 2 3 4 5
銷售額 X/萬元 30 60 45 80 89
利潤額Y/萬元 2.3 3.5 3.2 4.0 5.3
(1)繪制銷售額和利潤額的散點圖；
解：根據題意，作散點圖如下：
規律方法
求線性回歸方程的一般步驟
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任務三　線性回歸方程的應用
(鏈教材P239例1)某公司為提升A款產品的核心競爭力，準備加大A款產品的研發投資，為確定投入A款產品的年研發費用，需了解年研發費用x(單位：萬元)對年利潤y(單位：萬元)的影響.該公司統計了最近8年每年投入A款產品的年研發費用與年利潤的數據，得到下圖所示的散點圖：
典例
3
規律方法
對點練3.假設關于某設備的使用年限X和所支出的維修費用Y(萬元)統計數據如下：
使用年限X 2 3 4 5 6
維修費用Y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
若有數據知Y與X可以直線擬合.其線性回歸方程為Y＝1.23X＋a，請估計使用10年時的維修費用是　　　　萬元.
12.38
課堂小結
任務再現 1.散點圖、直線擬合.2.一元線性回歸方程及其應用
方法提煉 公式法、數形結合思想
易錯警示
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隨堂評價
√
1.下列關于散點圖的說法中，正確的是
A.任意給定統計數據，都可以繪制散點圖
B.從散點圖中可以看出兩個量是否具有一定的關系
C.從散點圖中可以看出兩個量的因果關系
D.從散點圖中無法看出數據的分布情況
散點圖不適合用于展示百分比占比的數據，另外數據量較少的數據也不適合用散點圖表示，故A錯誤；散點圖能看出兩個量是否具有一定的關系，但是不一定是因果關系，故B正確，C錯誤；散點圖中能看出數據的分布情況，故D錯誤.故選B.
√
2.一位母親記錄了兒子3歲～9歲的身高，由此建立的身高Y(單位：cm)與年齡X(單位：歲)的回歸模型為Y＝7.19X＋73.93.用這個模型預測這個孩子10歲時的身高，則下列敘述正確的是
A.身高一定是145.83 cm
B.身高在145.83 cm以上
C.身高在145.83 cm以下
D.身高在145.83 cm左右
X＝10時，Y＝7.19×10＋73.93＝145.83，但這是預測值，而不是精確值，所以只有D符合題意.故選D.
2029
4.下表是某單位1～4月份用水量(單位：百噸)的一組數據：
月份X 1 2 3 4
用水量Y 4 5 a 7
若由數據求得：用水量Y與月份X之間的線性回歸方程是Y＝X＋3.05，則表中a的值為　　　.
6.2
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課時分層評價
√
√
2.下表是X和Y之間的一組數據，則Y關于X的回歸直線必過點
A.(2，3) B.(1.5，4)
C.(2.5，4) D.(2.5，5)
X 1 2 3 4
Y 1 3 5 7
√
3.某醫學科研所對人體脂肪含量與年齡這兩個變量研究得到一組隨機樣本數據，運用Excel軟件計算得Y＝0.577X－0.448(X為人的年齡，Y為人體脂肪含量).對年齡為37歲的人來說，下面說法正確的是
A.年齡為37歲的人體內脂肪含量一定為20.90
B.年齡為37歲的人體內脂肪含量約為21.01
C.年齡為37歲的人群中的體內脂肪含量平均為20.90
D.年齡為37歲的人群中的大部分人的體內脂肪含量約為31.5
當X＝37時，Y＝0.577×37－0.448＝20.901≈20.90，由此估計，年齡為37歲的人群中的體內脂肪含量平均為20.90.故選C.
√
i 1 2 3 4 5
xi 5 4 3 2 －4
yi 3 2 7 1 －6

√
5.科研人員在對人體的脂肪含量和年齡之間的關系的研究中發現，年齡X(歲)和脂肪含量占比Y(％)滿足經驗回歸方程Y＝0.58X－0.62，若已知某個體在其兩個年齡的脂肪含量占比相差10.44％，則兩年齡相差
A.15歲 B.17歲
C.18歲 D.20歲
√
√
X 140 150 170 180 195
Y 23 24 26 28 28

X 140 150 170 180 195
Y 23 24 26 28 28
7.(2025·上海奉賢三模)為了研究某班學生的腳步X(單位：厘米)和身高Y(單位：厘米)之間有線性關系，設其回歸直線方程為Y＝4X＋70.該班某學生的腳長為24，據此估計其身高為　　　　厘米.
166
由題意知，令X＝24，則Y＝4×24＋70＝166，即該班某學生的腳長為24，據此估計其身高為166厘米.
8.(2025·山西運城高二期中)隨著夏季的來臨，遮陽帽開始暢銷，某商家為了解某種遮陽帽如何定價才可以獲得最大利潤，現對這種遮陽帽進行試銷售，經過統計發現銷售量Y(單位：頂)與單價X(單位：元)具有線性關系，且線性回歸方程為Y＝－3X＋200，若想要銷售量為80頂，則預計該遮陽帽的單價定為　　元.
40
若銷售量為80頂，則Y＝－3X＋200＝80，解得X＝40，所以預計單價應定為40元.
9.為了解某社區居民2024年家庭年收入與年支出的關系，隨機調查了該社區5戶家庭，得到如下統計數據表：
根據上表可得線性回歸方程為Y＝0.76X＋0.4，則t＝　　　　.
收入X(萬元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9
支出Y(萬元) 6.2 7.5 8.0 t 9.7
8.6

10.(15分)(2025·江蘇徐州高二期中)下表提供了某廠進行技術改造后生產產品過程中記錄的產能X(單位：t)與相應的生產能耗Y(單位：t標準煤)的幾組對應數據：
X/t 3 4 5 6
Y/t標準煤 3.5 4 5 5.5
√

√
√

13.(2025·四川綿陽高二期末)某工廠為了對新研發的一種產品進行合理定價，將該產品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數據：
由表中數據，求得線性回歸方程為Y＝－4X＋a，若在這些樣本點中任取一
點，則它在回歸直線右上方的概率為　　.
單價(元) 4 5 6 7 8 9
銷量(件) 90 84 83 80 75 68


單價(元) 4 5 6 7 8 9
銷量(件) 90 84 83 80 75 68
14.(15分)(2025·陜西西安高二期末)某高科技公司組織大型招聘會，全部應聘人員的筆試成績統計如圖所示：
√
1 384

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