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21.2 解一元二次方程
第二十一章 一元二次方程
21.2.2 公式法
復習引入
解：方程整理得
配方得
開平方得
解得
1. 如何用配方法解方程 2x2 + 4x - 1 = 0
想一想 任何一個一元二次方程都可以寫成一般形式
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
能否也用配方法得出它的解呢？
合作探究
用配方法解一般形式一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
方程兩邊都除以 a，得
解：移項，得
配方，得
即
問題：對于方程①接下來能用直接開平方解嗎？
求根公式的推導
∵ a≠0，∴ 4a2 > 0.
而 b2－4ac 的符號有以下三種情況：
（1）b2－4ac ＞0，
這時 ＞0，由①得
則方程有兩個不相等的實數根
（2）b2 - 4ac = 0，
這時 = 0，由①可知，方程有兩個相等的實數根 x1 = x2 = - .
（3）b2 - 4ac ＜0，
這時 ＜0，由①可知 ＜0，而 x 取任何實數都不能使 ＜0，因此方程無實數根.
兩個不相等的實數根
兩個相等的實數根
沒有實數根
兩個實數根
判別式的情況
根的情況
我們把 b2 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 根的判別式，通常用希臘字母“Δ”表示，即 Δ = b2 4ac.
Δ > 0
Δ = 0
Δ < 0
Δ≥0
一元二次方程根的判別式
按要求完成下列表格：
練一練
的值
0
4
根的 情況
有兩個相等的實數根
沒有實數根
有兩個不相等的實數根
Δ
例1 已知一元二次方程 x2 + x = 1，下列判斷正確的是( )
A. 該方程有兩個相等的實數根
B. 該方程有兩個不相等的實數根
C. 該方程無實數根
D. 該方程根的情況不確定
解析：原方程即 x2 + x 1 = 0，a = 1，b = 1，c = 1，
∵ Δ = b2 4ac = 12 4×1×( 1) = 5＞0，
∴ 該方程有兩個不等的實數根，故選 B.
B
典例精析
例2 不解方程，判斷下列方程的根的情況：
（1）3x2 + 4x 3 = 0； （2）4x2 = 12x 9；
解：（1）a = 3，b = 4，c = 3，
∴ Δ = b2 4ac = 42 4×3×( 3) = 52＞0.
∴ 方程有兩個不相等的實數根．
（2）方程化為 4x2 12x + 9 = 0，a = 4，b = 12，c = 9，
∴ Δ = b2 4ac = ( 12)2 4×4×9 = 0.
∴ 方程有兩個相等的實數根．
（3）7y = 5( y2 + 1 ).
解：方程化為 5y2 7y + 5 = 0，a = 5，b = 7，c = 5，
∴ Δ = b2－4ac = ( 7)2－4×5×5 = 51＜0.
∴ 方程沒有實數根．
方法歸納
判斷一元二次方程根的情況的方法：
將方程整理為一般形式
ax2+bx+c=0
Δ = b2 4ac > 0
Δ = b2 4ac = 0
Δ = b2 4ac < 0
有兩個不等的實數根
有兩個相等的實數根
沒有實數根
例3 若關于 x 的一元二次方程 x2 + 8x + q = 0 有兩個不等的實數根，則 q 的取值范圍是 ( )
A. q≤4 B. q≥4
C. q＜16 D. q＞16
C
解析：方程有兩個不等的實數根，根據根的判別式，則 Δ = b2 4ac＞0，即 82 4q＞0. 解得 q＜16，故選 C.
典例精析
【變式題】二次項系數含字母
若關于 x 的一元二次方程 kx2 2x 1 = 0 有兩個不等的實數根，則 k 的取值范圍是 ( )
A. k > 1 B. k > 1 且 k≠0
C. k < 1 D. k < 1 且 k≠0
B
(-2)2 + 4k > 0
當一元二次方程二次項系數是字母時，一定要注意二次項系數不為 0，再根據“Δ”求字母的取值范圍.
歸納
方程有兩個不等的實數根
分析：
二次項系數不為 0
k≠0
k > 1 且 k≠0
【變式題】刪除限制條件“二次”
若關于 x 的方程 kx2 2x 1 = 0 有實數根，則 k 的取值范圍是( )
A. k≥ 1 B. k≥ 1且 k≠0
C. k < 1 D. k < 1 且 k≠0
分析：
分類討論
k = 0
k≠0
原方程變形為 2x 1 = 0，有實數根
Δ = 4 + 4k≥0
k≥ 1
A
由上可知，當 Δ≥0 時，方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0)的實數根可寫為 的形式，這個式子叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的求根公式.
注意：用公式法解一元二次方程時，首先要將方程化為一般式，然后當 Δ = b2 - 4ac≥0 時，才可以用求根公式.
用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.
用公式法解方程
視頻：求根公式的趣味記憶
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例4 用公式法解下列方程：
典例精析
(1) x2 4x 7 = 0；
方程有兩個不等的實數根
解：a = 1，b = 4，c = 7.
Δ = b2－4ac = ( 4)2－4×1×( 7) = 44＞0.
即
方程有兩個相等的實數根
x1 = x2
(2) 2x2 x + 1 = 0；
解：a = 2，b = ，c = 1.
Δ = b2－4ac = ( )2－4×2×1 = 0.
(3) 5x2－3x = x + 1；
方程有兩個不等的實數根
即
a = 5，b = －4，c = －1.
Δ = b2－4ac = (－4)2－4×5×(－1) = 36＞0.
解：方程化為 5x2－4x－1 = 0.
(4) x2 + 17 = 8x.
方程沒有實數根.
a = 1，b = 8，c = 17.
Δ = b2 4ac = ( 8)2 4×1×17 = 4＜0.
解：方程化為 x2－8x + 17 = 0.
要點歸納
公式法解方程的步驟
1. 變形：化已知方程為一般形式；
2. 確定系數：用 a，b，c 寫出各項系數；
3. 計算：b2 4ac 的值；
4. 判斷：若 Δ = b2 4ac≥0，則利用求根公式求出；
若 b2 4ac＜0，則方程沒有實數根.
1. 不解方程，判斷下列方程的根的情況：
（1）2x2 + 3x 4 = 0； （2）x2 x + = 0；
解：（1）a = 2，b = 3，c = 4，
∴ Δ = b2 4ac = 32 4×2×( 4) = 41＞0.
∴ 方程有兩個不等的實數根．
（2）a = 1，b = 1，c = ，
∴ Δ = b2 4ac = ( 1)2 4×1× = 0.
∴ 方程有兩個相等的實數根．
解：x2 x + 1 = 0，a = 1，b = 1，c = 1，
∴ Δ = b2 4ac = ( 1)2 4×1×1 = 3 < 0.
∴ 方程無實數根．
（3） x2 x + 1 = 0.
2. 解方程：x2 + 7x – 18 = 0.
解：a = 1，b = 7，c = 18，
∴ Δ = b2 - 4ac = 72 – 4×1×( 18 ) = 121 > 0，
即 x1 = 9， x2 = 2 .
3. 解方程：(x - 2) (1 - 3x) = 6.
解：去括號，得 x - 2 - 3x2 + 6x = 6，
化為一般式，得 3x2 - 7x + 8 = 0，
a = 3，b = -7，c = 8，
∴ Δ = b2 - 4ac = (-7 )2 – 4×3×8 = 49–96
= - 47 < 0，
∴ 原方程沒有實數根.
4. 解方程：2x2 - x + 3 = 0.
解： a = 2，b = ，c = 3 .
∴ Δ = b2 - 4ac = 27 - 4×2×3 = 3 > 0 ，
5. (1) 關于 x 的一元二次方程 有兩個實根，則 m 的取值范圍是 .
(2) 若關于 x 的一元二次方程 (m 1)x2 2mx + m = 2 有實數根．求 m 的取值范圍.
解：化為一般式，得 (m 1)x2 2mx + m 2 = 0．
Δ = 4m2 4(m 1)(m 2)≥0，且 m 1≠0.
解得
且 m≠1.
6. 不解方程，判斷關于 x 的方程
的根的情況.
解：
∴ 原方程有兩個實數根．
Δ ＝( k )2 4×1×k2 = 4k2.
∵ k2≥0，
∴ 4k2≥0，
即 Δ≥0.
能力提升：在等腰△ABC 中，三邊長分別為 a，b，c，其中 a = 5，若關于 x 的方程 x2 + (b + 2)x + 6 - b = 0 有兩個相等的實數根，求△ABC 的周長.
解：∵關于 x 的方程 x2 + (b + 2)x + 6 b = 0 有兩個相等的實數根，
∴ Δ = (b + 2)2 4(6 b) = b2 + 8b 20 = 0.
解得 b1= 10（舍去），b2 = 2.
由三角形的三邊關系，得 c = 5，
∴△ABC 的三邊長為 5，2，5，其周長為 5 + 2 + 5 = 12.
公式法
求根公式
步驟
一化（一般形式）；
二定（系數值）；
三求（求 b2 - 4ac 的值）；
四判（方程根的情況）；
五代（代求根公式計算）
務必將方程
化為一般形式
判斷一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)根情況的方法：
Δ =b2 4ac > 0
Δ =b2 4ac = 0
Δ =b2 4ac＜ 0
有兩個不等的實數根
有兩個相等的實數根
沒有實數根

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