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廣東省廣州市第二中學(xué)2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分。每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題意．）
1．（2024九上·廣州開(kāi)學(xué)考）在下列四個(gè)實(shí)數(shù)中，的倒數(shù)是（　?。?br/>A． B． C． D．
2．（2024九上·廣州開(kāi)學(xué)考）下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（　?。?br/>A． B． C． D．
3．（2024九上·廣州開(kāi)學(xué)考）已知一組數(shù)據(jù)：，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是4，則眾數(shù)是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2024九上·廣州開(kāi)學(xué)考）如圖，Rt中，，，，以點(diǎn)為圓心，為半徑作弧，弧與數(shù)軸的正半軸交于點(diǎn)，則點(diǎn)所表示的數(shù)是（　?。?br/>A． B．2.2 C． D．．
5．（2024九上·廣州開(kāi)學(xué)考）如圖，平地上A、B兩點(diǎn)被池塘隔開(kāi)，測(cè)量員在岸邊選一點(diǎn)C，并分別找到和的中點(diǎn)D、E，測(cè)量得米，則A、B兩點(diǎn)間的距離為（　?。?br/>A．30米 B．32米 C．36米 D．48米
6．（2024九上·廣州開(kāi)學(xué)考）一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第（　　）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
7．（2024九上·廣州開(kāi)學(xué)考）如圖，的周長(zhǎng)為，的周長(zhǎng)為27cm，則對(duì)角線的長(zhǎng)為（　?。ヽm．
A．27 B．17 C．12 D．10
8．（2024九上·廣州開(kāi)學(xué)考）如圖，在中，，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交于點(diǎn)，分別以為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．若，則長(zhǎng)為（　?。?br/>A． B． C．5 D．10
9．（2024九上·廣州開(kāi)學(xué)考）已知A、B兩地相距600米，甲、乙兩人同時(shí)從A地出發(fā)前往B地，所走路程（米）與行駛時(shí)間（分）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（　?。?br/>A．甲每分鐘走100米
B．兩分鐘后乙每分鐘走50米
C．甲比乙提前3分鐘到達(dá)B地
D．當(dāng)或6時(shí)，甲乙兩人相距100米
10．（2024九上·廣州開(kāi)學(xué)考）已知是一次函數(shù)圖象上不同的兩個(gè)點(diǎn)，若記，則當(dāng)時(shí)，的取值范圍是（　?。?br/>A． B． C． D．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分．）
11．（2024九上·廣州開(kāi)學(xué)考）若二次根式 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是　 ?。?br/>12．（2024九上·廣州開(kāi)學(xué)考）計(jì)算： =　 　.
13．（2024九上·廣州開(kāi)學(xué)考） 已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為5、12、13，則△ABC的面積為　 ?。?br/>14．（2024九上·廣州開(kāi)學(xué)考）甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行射擊測(cè)試，他們成績(jī)的平均數(shù)相同，方差分別是，則這三位同學(xué)發(fā)揮最穩(wěn)定的是　 　
15．（2024九上·廣州開(kāi)學(xué)考）如圖，已知函數(shù)y=ax+b和y=kx的圖象交于點(diǎn)P，則根據(jù)圖象可得，關(guān)于x，y的二元一次方程組 的解是　 ?。?br/>16．（2024九上·廣州開(kāi)學(xué)考）如圖，四邊形為正方形，為對(duì)角線上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，以，為鄰邊作矩形，連接．給出以下結(jié)論：
①矩形是正方形；　　②；
③平分；　?、埽?br/>其中正確的序號(hào)為　 　．
三、解答題（本大題共9小題，共72分、解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）
17．（2024九上·廣州開(kāi)學(xué)考）解方程：．
18．（2024九上·廣州開(kāi)學(xué)考）如圖、點(diǎn)在同一直線上，，，．求證：．
19．（2024九上·廣州開(kāi)學(xué)考）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．
20．（2024九上·廣州開(kāi)學(xué)考）如圖，在矩形中，延長(zhǎng)到，使，延長(zhǎng)到，使，連接．
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）連接EB，若，，求的長(zhǎng)．
21．（2024九上·廣州開(kāi)學(xué)考）某校為了解學(xué)生一周課外閱讀情況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生調(diào)查了他們一周課外閱讀時(shí)間，并將數(shù)據(jù)進(jìn)行整理制成如下統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)解答以下問(wèn)題：
（1）本次調(diào)查的總?cè)藬?shù)是　 ?。?br/>（2）抽查的這些學(xué)生一周平均課外閱讀時(shí)間是多少？
（3）若該校共有2000個(gè)學(xué)生，諸估計(jì)該校學(xué)生一周課外閱讀時(shí)間不少于3小時(shí)的人數(shù)．
22．（2024九上·廣州開(kāi)學(xué)考）有煤油溫度計(jì)，該溫度計(jì)的左側(cè)是華氏溫度，右側(cè)是攝氏溫度．已知華氏溫度與攝氏溫度之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，小明通過(guò)觀察溫度計(jì)，得到如下表所示的數(shù)據(jù)．
攝氏溫度值 0 10 20 30 40
華氏溫度值 32 50 68 86 104
（1）請(qǐng)根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)求出一次函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)解析式，求出華氏溫度為時(shí)對(duì)應(yīng)的攝氏溫度（結(jié)果保留一位小數(shù)）；
（3）華氏溫度的值與對(duì)應(yīng)的攝氏溫度的值有相等的可能嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
23．（2024九上·廣州開(kāi)學(xué)考）如圖，直線與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)，直線與關(guān)于軸對(duì)稱．
（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)在的內(nèi)部（不包含邊界），求的取值范圍；
（3）為坐標(biāo)原點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)的直線將分成的兩部分面積之比為，求該直線的解析式．
24．（2024九上·廣州開(kāi)學(xué)考）如圖1，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），連接．
（1）當(dāng)時(shí)，求的周長(zhǎng)；
（2）將沿折疊得到，延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)．
①如圖2，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)；
②當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，小方同學(xué)認(rèn)為的長(zhǎng)度是一個(gè)定值，而小程同學(xué)認(rèn)為的長(zhǎng)度才是一個(gè)定值，你認(rèn)為誰(shuí)說(shuō)的對(duì)呢？說(shuō)出你的理由．
25．（2024九上·廣州開(kāi)學(xué)考）已知直線．
（1）當(dāng)為何值時(shí)，直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)？
（2）若直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，，并求出此時(shí)的面積；
（3）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，若某個(gè)點(diǎn)到軸、軸的距離之和為2，則稱該點(diǎn)為“元元點(diǎn)”，如點(diǎn)，
，都是“元元點(diǎn)”．若直線上至少有一個(gè)“元元點(diǎn)”，求的取值范圍．
答案解析部分
1．【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)的倒數(shù)
【解析】【解答】解：由倒數(shù)的定義可知，的倒數(shù)是．
故選：B．
【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義即可求出答案.
2．【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】最簡(jiǎn)二次根式
【解析】【解答】解：A、不是最簡(jiǎn)根式，故不符合題意；
B、被開(kāi)方數(shù)中含有分母，故不符合題意；
C、是最簡(jiǎn)根式，故符合題意；
D、，不是最簡(jiǎn)根式，故不符合題意；
故答案為：C．
【分析】利用最簡(jiǎn)二次根式的定義（①被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；②被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式）逐項(xiàng)分析判斷即可.
3．【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】平均數(shù)及其計(jì)算；眾數(shù)
【解析】【解答】 解：由題意可得：
解得：x=6
∴該組數(shù)據(jù)為：1，3，4，6，6
∴出現(xiàn)次數(shù)最多的為6，則眾數(shù)為6
故答案為：D
【分析】根據(jù)平均數(shù)的定義可得x值，再根據(jù)眾數(shù)的定義即可求出答案.
4．【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】運(yùn)用勾股定理在數(shù)軸上標(biāo)出無(wú)理數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∵以點(diǎn)為圓心，為半徑作弧，弧與數(shù)軸的正半軸交于點(diǎn)
∴
∴點(diǎn)所表示的數(shù)是
故答案為：A
【分析】根據(jù)勾股定理可得OB，再根據(jù)圓弧性質(zhì)，結(jié)合數(shù)軸上點(diǎn)的位置關(guān)系即可求出答案.
5．【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】三角形的中位線定理
【解析】【解答】解：∵D、E分別是AC、BC中點(diǎn)，
∴DE是的中位線，
∴，
∵DE=16米，
∴AB=32米，
∴A、B兩點(diǎn)間的距離為32米.
故選：B.
【分析】根據(jù)連接三角形任意兩邊中點(diǎn)的連線叫中位線，三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半即可求解.
6．【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】一次函數(shù)圖象、性質(zhì)與系數(shù)的關(guān)系
【解析】【解答】解：∵k=-3<0，b=4
∴函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一，二，四象限
故答案為：C
【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案.
7．【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)
【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形
∴AD=BC，AB=DC
∵的周長(zhǎng)為
∴AB+BC+AD+DC=30
∴AB+BC=15
∵的周長(zhǎng)為27cm
∴AB+BC+AC=27
∴AC=12
故答案為：C
【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)可得AB+BC=15，再根據(jù)三角形周長(zhǎng)即可求出答案.
8．【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)
【解析】【解答】解：設(shè)AE交BF于點(diǎn)O，連接EF
由題意可得：AB=AF，AE⊥BF
∴OB=OF，∠BAE=∠EAF
∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴AD∥BC
∴∠EAF=∠AEB
∴∠BAE=∠AEB
∴AB=BE=AF
∵AF∥BE
∴四邊形ABEF是平行四邊形
∵AB=AF
∴四邊形ABEF是菱形
∴
在Rt△AOB中，
∴AE=2OA=
故答案為：B
【分析】設(shè)AE交BF于點(diǎn)O，連接EF，由題意可得：AB=AF，AE⊥BF，根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可得OB=OF，∠BAE=∠EAF，再根據(jù)平行四邊形性質(zhì)可得AD∥BC，則∠EAF=∠AEB，即∠BAE=∠AEB，再根據(jù)菱形判定定理可得四邊形ABEF是菱形，則，再根據(jù)勾股定理即可求出答案.
9．【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】通過(guò)函數(shù)圖象獲取信息
【解析】【解答】解：由圖象可得：
甲每分鐘走600÷6=100米，A正確
乙到達(dá)B地的時(shí)間為2+(600-300)÷50=8分鐘，則甲比乙提前8-6=2分鐘，B錯(cuò)誤
兩分鐘后乙每分鐘走(500-300)÷(6-2)=50米，C正確
當(dāng)x=2時(shí)，甲乙相距300-100×2=100米
當(dāng)x=6時(shí)，甲乙相距600-500=100米，D正確
故答案為：B
【分析】根據(jù)圖象信息逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可求出答案.
10．【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】一次函數(shù)圖象、性質(zhì)與系數(shù)的關(guān)系；不等式的性質(zhì)
【解析】【解答】解：∵，且m>0
∴x1-x2與y1-y2同號(hào)
∵是一次函數(shù)圖象上不同的兩個(gè)點(diǎn)
∴y隨x的增大而增大
∴a+2>0
∴a>-2
故答案為：D
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)可得x1-x2與y1-y2同號(hào)，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案.
11．【答案】x≥1
【知識(shí)點(diǎn)】二次根式有無(wú)意義的條件
【解析】【解答】解：∵式子 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，
∴x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案為：x≥1．
【分析】要使二次根式有意義，則被開(kāi)方數(shù)≥0，建立不等式，求解即可。
12．【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算
【解析】【解答】解：原式=3-=2.
【分析】根據(jù)二次根式加減運(yùn)算法則計(jì)算即可。即先將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后把被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式合并起來(lái)。
13．【答案】30
【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵△ABC的三邊長(zhǎng)分別為5，12，13，
∴52+122=132，
∴△ABC是直角三角形，兩直角邊是5，12，
∴△ABC的面積為：×5×12=30，
故答案為：30．
【分析】首先根據(jù)三邊長(zhǎng)度可利用勾股定理的逆定理判斷三角形為直角三角形，然后利用三角形的面積公式計(jì)算即可解答．
14．【答案】甲
【知識(shí)點(diǎn)】方差
【解析】【解答】解：∵
∴甲同學(xué)發(fā)揮最穩(wěn)定
故答案為：甲
【分析】方差表示一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況，方差越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定.
15．【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】一次函數(shù)與二元一次方程（組）的關(guān)系
【解析】【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)y=ax+b和y=kx的圖象交于點(diǎn)P（1，1），
所以方程組 的解是 ．
故答案為 ．
【分析】根據(jù)方程組的解就是兩個(gè)相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)圖象即可求出答案.
16．【答案】①③④
【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等及其性質(zhì)；三角形全等的判定；矩形的判定與性質(zhì)；正方形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的判定
【解析】【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作EM⊥BC，EN⊥CD
∵四邊形ABCD是正方形
∴∠BCD=90°，∠ECN=45°
∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°
∴NE=NC
∴四邊形DEFG是矩形
∴∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°
∴∠DEN=∠MEF
在△DEN和△MEF中
∴△DEN≌△MEF(ASA)
∴ED=EF
∴矩形DEFG是正方形，①正確
∴DE=DG，∠EDC+∠CDG=90°
∵四邊形ABCD是正方形
∴AD=DC，∠ADE+∠EDC=90°
∴∠ADE=∠CDG
在△ADE和△CDG中
∴△ADE≌△CDG(SAS)
∴AE=CG，∠DAE=∠DCG=45°
∵∠DCF=90°
∴CG平分∠DCF，③正確
當(dāng)DE⊥AC時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)F重合，則CF=0，CE≠0
∴CE不一定等于，②錯(cuò)誤
過(guò)點(diǎn)G作GT⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T，則∠T=∠EMF=90°
∵EF=FG，∠EFG=90°
∴∠EFM+∠GFT=90°，∠GFT=∠FGT=90°
∴∠EFM=∠FGT
∴△EFM≌△FGT(AAS)
∴FT=EM
∵，④正確
故答案為：①③④
【分析】過(guò)點(diǎn)E作EM⊥BC，EN⊥CD，根據(jù)正方形可得∠BCD=90°，∠ECN=45°，再根據(jù)角之間的關(guān)系可得∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°，則NE=NC，根據(jù)矩形判定定理可得四邊形DEFG是矩形，則∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°，即∠DEN=∠MEF，再根據(jù)全等三角形判定定理可得△DEN≌△MEF(ASA)，則ED=EF，再根據(jù)正方形判定定理可判斷①；則DE=DG，∠EDC+∠CDG=90°，根據(jù)正方形性質(zhì)可得∠ADE=∠CDG，再根據(jù)全等三角形判定定理可得△ADE≌△CDG(SAS)，則AE=CG，∠DAE=∠DCG=45°，再根據(jù)角平分線判定定理可判斷③；當(dāng)DE⊥AC時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)F重合，則CF=0，CE≠0，CE不一定等于，可判斷②；過(guò)點(diǎn)G作GT⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T，則∠T=∠EMF=90°，根據(jù)角之間的關(guān)系可得∠EFM=∠FGT，再根據(jù)全等三角形判定定理可得△EFM≌△FGT(AAS)，則FT=EM，再根據(jù)邊之間的關(guān)系即可求出答案.
17．【答案】解：，
即，
∴，
解得：．
【知識(shí)點(diǎn)】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】對(duì)右邊的式子進(jìn)行分解，然后移項(xiàng)，再提取公因式(2x-1)可得(2x-1)(x-2)=0，據(jù)此求解.
18．【答案】證明：∵AD∥BC
∴∠A=∠C
∵AE=CF
∴AE+EF=EF+FC，即AF=CE
在△ADF和△CBE中
∴△ADF和△CBE(SAS)
∴
【知識(shí)點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；三角形全等及其性質(zhì)；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根據(jù)直線平行性質(zhì)可得∠A=∠C，再根據(jù)邊之間的關(guān)系可得AF=CE，再根據(jù)全等三角形判定定理及性質(zhì)即可求出答案.
19．【答案】解：原式=
=
=a-b
∵，
∴原式=3023-2024=-1
【知識(shí)點(diǎn)】平方差公式及應(yīng)用；分式的混合運(yùn)算；求代數(shù)式的值-直接代入求值
【解析】【分析】根據(jù)分式的混合運(yùn)算，結(jié)合平方差公式化簡(jiǎn)，再將a，b值代入即可求出答案.
20．【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形
∴∠AOC=90°
∴AO⊥OC，即AD⊥EC
∵DO=AO，EO=CO
∴四邊形AEDC是平行四邊形
∴平行四邊形AEDC是菱形
（2）解：連接EB
∵四邊形AEDC是菱形，∠AED=60°
∴∠AEO=30°
∵∠AOE=90°，AE=4
∴
∴
∴
∵四邊形ABCO是矩形
∴BC=OA=2，∠BCE=90°
∴
【知識(shí)點(diǎn)】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)
【解析】【分析】（1）根據(jù)矩形性質(zhì)可得∠AOC=90°，即AD⊥EC，再根據(jù)菱形判定定理即可求出答案.
（2）連接EB，根據(jù)菱形性質(zhì)可得∠AEO=30°，再根據(jù)含30°角的直角三角形性質(zhì)可得，再根據(jù)勾股定理可得EO，再根據(jù)矩形性質(zhì)可得BC=OA=2，∠BCE=90°，再根據(jù)勾股定理即可求出答案.
21．【答案】（1）40
（2）解：由題意可得：
這些學(xué)生一周平均課外閱讀時(shí)間為小時(shí)
（3）解：由題意可得：
人
∴該校學(xué)生一周課外閱讀時(shí)間不少于3小時(shí)的人數(shù)為1400人
【知識(shí)點(diǎn)】條形統(tǒng)計(jì)圖；平均數(shù)及其計(jì)算；用樣本所占百分比估計(jì)總體數(shù)量
【解析】【解答】解：（1）本次調(diào)查的學(xué)生總數(shù)為：4+8+15+10+3=40人
故答案為：40
【分析】（1）將所有人數(shù)相加即可求出答案，
（2）根據(jù)平均數(shù)定義即可求出答案.
（3）根據(jù)2000乘以不少于3小時(shí)的占比即可求出答案.
22．【答案】（1）解：設(shè)一次函數(shù)解析式為y=kx+b
將x=0，y=32和x=10，y=50代入解析式可得：
，解得：
∴ 一次函數(shù)的解析式為
（2）解：當(dāng)y=0時(shí)，得：
解得：x≈-17.8
∴華氏溫度為時(shí)對(duì)應(yīng)的攝氏溫度為-17.8℃
（3）解：華氏溫度的值與對(duì)應(yīng)的攝氏溫度的值有相等的可能，理由如下
當(dāng)y=x時(shí)，
解得：x=-40
∴當(dāng)攝氏溫度是-40℃，對(duì)應(yīng)華氏溫度是-40°F，兩者數(shù)值相等
【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；一次函數(shù)的其他應(yīng)用
【解析】【分析】（1）設(shè)一次函數(shù)解析式為y=kx+b，根據(jù)待定系數(shù)法將x=0，y=32和x=10，y=50代入解析式即可求出答案.
（2）將y=0代入解析式即可求出答案.
（3）將y=x代入解析式，解方程即可求出答案.
23．【答案】（1）解：由題意可得：
當(dāng)x=0時(shí)，y=3，當(dāng)y=0時(shí)，x=-3
∴A(-3，0)，C(0，3)
∵直線與關(guān)于軸對(duì)稱
∴點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱
∴B(3，0)
（2）解：設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b
將點(diǎn)C(0，3)，B(3，0)代入可得：
，解得：
∴直線BC的解析式為：y=-x+3
當(dāng)點(diǎn)P在直線CA上時(shí)，m+3=2，解得：m=-1
當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上時(shí)，-m+3=2，解得：m=1
∴當(dāng)點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部時(shí)，m的取值范圍為-1（3）解：由題意可得：
①設(shè)直線L交AC于點(diǎn)K，，過(guò)點(diǎn)K作KH⊥AB于點(diǎn)H
∴
∴，解得：HK=2
在y=x+3中，令y=2，即2=x+3，解得：x=-1
∴K(-1，2)
設(shè)直線l解析式為y=px
∴2=-p，即p=-2
∴直線l的解析式為y=-2x
②設(shè)直線l交BC于點(diǎn)T，，過(guò)點(diǎn)T作TH'⊥AB于點(diǎn)H'
同理可得：，解得：TH'=2
在y=-x+3中，令y=2，即2=-x+3，解得：x=1
∴T(1，2)
則直線l的解析式為y=2x
綜上所述，直線l的解析式為y=-2x或y=2x
【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；兩一次函數(shù)圖象相交或平行問(wèn)題；關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征；一次函數(shù)中的面積問(wèn)題
【解析】【分析】（1）根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得A，C坐標(biāo)，再根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得B點(diǎn)坐標(biāo).
（2）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，根據(jù)待定系數(shù)法將點(diǎn)B，C坐標(biāo)代入解析式可得直線BC的解析式為：y=-x+3，分別求出點(diǎn)P在直線CA，BC上時(shí)m的值，即可求出點(diǎn)P在三角形ABC內(nèi)部時(shí)，m的取值范圍.
（3）根據(jù)三角形面積可得，分情況討論：①設(shè)直線L交AC于點(diǎn)K，，過(guò)點(diǎn)K作KH⊥AB于點(diǎn)H，則，根據(jù)三角形面積建立返程，可得HK，求出點(diǎn)K坐標(biāo)，設(shè)直線l解析式為y=px，根據(jù)待定系數(shù)法將點(diǎn)K坐標(biāo)代入解析式即可求出答案；②設(shè)直線l交BC于點(diǎn)T，，過(guò)點(diǎn)T作TH'⊥AB于點(diǎn)H'，討論即可求出答案.
24．【答案】（1）解：∵四邊形ABCD是正方形
∴∠ABE=90°
∵BE=1，AB=4
∴
∴的周長(zhǎng)為
（2）解： ① 由折疊性質(zhì)可得，∠EMA=∠B=90°，BE=EM，∠BEA=∠MEA
∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)
∴EM=EC
在Rt△EMF和Rt△ECF中
EF=EF，EM=EC
∴△EMF≌△ECF
∴∠MEF=∠CEF，MF=CF
∵∠BEA=∠MEA
∴
∴∠EFM=∠AEM
∵∠EMF=∠AME
∴△AEM∽△EFM
∴
∴
∴CF=MF=1
②當(dāng)點(diǎn)F在DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，AF+CE-CF為定值，小程同學(xué)說(shuō)得對(duì)
當(dāng)點(diǎn)F在線段DC上時(shí)，AF+CE+CF為定值，小方同學(xué)說(shuō)得對(duì)，理由如下：
延長(zhǎng)EM交DC于點(diǎn)H，交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接AH
由題意可得：AM=AB=AD
∵HM⊥AF，HD⊥AD
∴△AMH≌△ADH
∴DH=MH
∵∠HDG=∠HMF，∠DHG=∠MHF，DH=MH
∴△HDG≌△HMF
∴DG=MF，HG=HF
∵AD∥BC
∴∠AEB=∠EAG
∵∠AEB=∠AEG
∴∠EAG=∠AEG
∴EG=AG=AF
如圖，當(dāng)點(diǎn)F在DC延長(zhǎng)線上時(shí)，AF+CE-CF=EG+CE-CF
∵EG=EH+GH，GH=HF=CH=CF
EH=EM+MH=BE+DH
∴AF+CE-CF=BE+EC+CH+DH=2BC=8
如圖，當(dāng)點(diǎn)F在線段DC上時(shí)，AF+CE+CF=EG+EC+CF
∵GH=HF，EH=BE+DH，EG=GH+EH
∴AF+CE+CF=HF+BE+DH+EC+CF=2BC=8
∴當(dāng)點(diǎn)F在DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，AF+CE-CF為定值，小程同學(xué)說(shuō)得對(duì)；當(dāng)點(diǎn)F在線段DC上時(shí)，AF+CE+CF為定值，小方同學(xué)說(shuō)得對(duì).
【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等及其性質(zhì)；勾股定理；翻折變換（折疊問(wèn)題）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質(zhì)-對(duì)應(yīng)邊
【解析】【分析】（1）根據(jù)正方形性質(zhì)可得∠ABE=90°，再根據(jù)勾股定理可得AE，再根據(jù)三角形周長(zhǎng)即可求出答案.
（2）①由折疊性質(zhì)可得，∠EMA=∠B=90°，BE=EM，∠BEA=∠MEA，根據(jù)全等三角形判定定理可得△EMF≌△ECF，則∠MEF=∠CEF，MF=CF，再根據(jù)角之間的關(guān)系可得∠EFM=∠AEM，再跟矩形相似三角形判定定理可得△AEM∽△EFM，則，代值計(jì)算即可求出答案.
②延長(zhǎng)EM交DC于點(diǎn)H，交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接AH，由題意可得：AM=AB=AD，根據(jù)全等三角形判定定理可得△AMH≌△ADH，則DH=MH，再根據(jù)全等三角形判定定理可得△HDG≌△HMF，則DG=MF，HG=HF，再根據(jù)直線平行性質(zhì)可得∠AEB=∠EAG，則∠EAG=∠AEG，再根據(jù)等角對(duì)等邊可得EG=AG=AF，分情況討論：當(dāng)點(diǎn)F在DC延長(zhǎng)線上時(shí)，AF+CE-CF=EG+CE-CF；當(dāng)點(diǎn)F在線段DC上時(shí)，AF+CE+CF=EG+EC+CF，再根據(jù)邊之間的關(guān)系即可求出答案.
25．【答案】（1）解：∵直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)
∴將(0，0)代入解析式可得：3k-1=0
解得：
∴當(dāng)時(shí)，直線l經(jīng)過(guò)原點(diǎn)
（2）解：令x=0，則y=3k-1
令y=0，則
∴
∴
∵
∴
解得：或
當(dāng)時(shí)，
∴
∴
當(dāng)時(shí)，
∴
∴
（3）解：設(shè)“元元點(diǎn)”的坐標(biāo)為(x，y)
由題意可得：|x|+|y|=2
∴滿足條件的點(diǎn)在直線y=2-|x|和y=|x|-2所圍成的邊界上
直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(-3，-4)
當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，-2)時(shí)，，此時(shí)直線與正方形有交點(diǎn)，即存在“元元點(diǎn)”
當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2，0)時(shí)，k=3，此時(shí)直線與正方形有交點(diǎn)，即存在“元元點(diǎn)”
∴當(dāng)時(shí)，線上至少有一個(gè)“元元點(diǎn)”
【知識(shí)點(diǎn)】一次函數(shù)的性質(zhì)；一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；一次函數(shù)中的線段周長(zhǎng)問(wèn)題；一次函數(shù)中的面積問(wèn)題
【解析】【分析】（1）根據(jù)題意將原點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式即可求出答案.
（2）根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得，再根據(jù)題意建立方程，解方程可得k值，再跟據(jù)三角形面積即可求出答案.
（3）設(shè)“元元點(diǎn)”的坐標(biāo)為(x，y)，由題意可得：|x|+|y|=2，則滿足條件的點(diǎn)在直線y=2-|x|和y=|x|-2所圍成的邊界上，直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(-3，-4)，根據(jù)題意當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，-2)時(shí)，，此時(shí)直線與正方形有交點(diǎn)，即存在“元元點(diǎn)”，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2，0)時(shí)，k=3，此時(shí)直線與正方形有交點(diǎn)，即存在“元元點(diǎn)”，即可求出答案.
1 / 1廣東省廣州市第二中學(xué)2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分。每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題意．）
1．（2024九上·廣州開(kāi)學(xué)考）在下列四個(gè)實(shí)數(shù)中，的倒數(shù)是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)的倒數(shù)
【解析】【解答】解：由倒數(shù)的定義可知，的倒數(shù)是．
故選：B．
【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義即可求出答案.
2．（2024九上·廣州開(kāi)學(xué)考）下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】最簡(jiǎn)二次根式
【解析】【解答】解：A、不是最簡(jiǎn)根式，故不符合題意；
B、被開(kāi)方數(shù)中含有分母，故不符合題意；
C、是最簡(jiǎn)根式，故符合題意；
D、，不是最簡(jiǎn)根式，故不符合題意；
故答案為：C．
【分析】利用最簡(jiǎn)二次根式的定義（①被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；②被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式）逐項(xiàng)分析判斷即可.
3．（2024九上·廣州開(kāi)學(xué)考）已知一組數(shù)據(jù)：，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是4，則眾數(shù)是（　?。?br/>A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】平均數(shù)及其計(jì)算；眾數(shù)
【解析】【解答】 解：由題意可得：
解得：x=6
∴該組數(shù)據(jù)為：1，3，4，6，6
∴出現(xiàn)次數(shù)最多的為6，則眾數(shù)為6
故答案為：D
【分析】根據(jù)平均數(shù)的定義可得x值，再根據(jù)眾數(shù)的定義即可求出答案.
4．（2024九上·廣州開(kāi)學(xué)考）如圖，Rt中，，，，以點(diǎn)為圓心，為半徑作弧，弧與數(shù)軸的正半軸交于點(diǎn)，則點(diǎn)所表示的數(shù)是（　?。?br/>A． B．2.2 C． D．．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】運(yùn)用勾股定理在數(shù)軸上標(biāo)出無(wú)理數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∵以點(diǎn)為圓心，為半徑作弧，弧與數(shù)軸的正半軸交于點(diǎn)
∴
∴點(diǎn)所表示的數(shù)是
故答案為：A
【分析】根據(jù)勾股定理可得OB，再根據(jù)圓弧性質(zhì)，結(jié)合數(shù)軸上點(diǎn)的位置關(guān)系即可求出答案.
5．（2024九上·廣州開(kāi)學(xué)考）如圖，平地上A、B兩點(diǎn)被池塘隔開(kāi)，測(cè)量員在岸邊選一點(diǎn)C，并分別找到和的中點(diǎn)D、E，測(cè)量得米，則A、B兩點(diǎn)間的距離為（　　）
A．30米 B．32米 C．36米 D．48米
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】三角形的中位線定理
【解析】【解答】解：∵D、E分別是AC、BC中點(diǎn)，
∴DE是的中位線，
∴，
∵DE=16米，
∴AB=32米，
∴A、B兩點(diǎn)間的距離為32米.
故選：B.
【分析】根據(jù)連接三角形任意兩邊中點(diǎn)的連線叫中位線，三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半即可求解.
6．（2024九上·廣州開(kāi)學(xué)考）一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第（　?。┫笙蓿?br/>A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】一次函數(shù)圖象、性質(zhì)與系數(shù)的關(guān)系
【解析】【解答】解：∵k=-3<0，b=4
∴函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一，二，四象限
故答案為：C
【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案.
7．（2024九上·廣州開(kāi)學(xué)考）如圖，的周長(zhǎng)為，的周長(zhǎng)為27cm，則對(duì)角線的長(zhǎng)為（　　）cm．
A．27 B．17 C．12 D．10
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)
【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形
∴AD=BC，AB=DC
∵的周長(zhǎng)為
∴AB+BC+AD+DC=30
∴AB+BC=15
∵的周長(zhǎng)為27cm
∴AB+BC+AC=27
∴AC=12
故答案為：C
【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)可得AB+BC=15，再根據(jù)三角形周長(zhǎng)即可求出答案.
8．（2024九上·廣州開(kāi)學(xué)考）如圖，在中，，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交于點(diǎn)，分別以為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．若，則長(zhǎng)為（　?。?br/>A． B． C．5 D．10
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)
【解析】【解答】解：設(shè)AE交BF于點(diǎn)O，連接EF
由題意可得：AB=AF，AE⊥BF
∴OB=OF，∠BAE=∠EAF
∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴AD∥BC
∴∠EAF=∠AEB
∴∠BAE=∠AEB
∴AB=BE=AF
∵AF∥BE
∴四邊形ABEF是平行四邊形
∵AB=AF
∴四邊形ABEF是菱形
∴
在Rt△AOB中，
∴AE=2OA=
故答案為：B
【分析】設(shè)AE交BF于點(diǎn)O，連接EF，由題意可得：AB=AF，AE⊥BF，根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可得OB=OF，∠BAE=∠EAF，再根據(jù)平行四邊形性質(zhì)可得AD∥BC，則∠EAF=∠AEB，即∠BAE=∠AEB，再根據(jù)菱形判定定理可得四邊形ABEF是菱形，則，再根據(jù)勾股定理即可求出答案.
9．（2024九上·廣州開(kāi)學(xué)考）已知A、B兩地相距600米，甲、乙兩人同時(shí)從A地出發(fā)前往B地，所走路程（米）與行駛時(shí)間（分）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（　　）
A．甲每分鐘走100米
B．兩分鐘后乙每分鐘走50米
C．甲比乙提前3分鐘到達(dá)B地
D．當(dāng)或6時(shí)，甲乙兩人相距100米
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】通過(guò)函數(shù)圖象獲取信息
【解析】【解答】解：由圖象可得：
甲每分鐘走600÷6=100米，A正確
乙到達(dá)B地的時(shí)間為2+(600-300)÷50=8分鐘，則甲比乙提前8-6=2分鐘，B錯(cuò)誤
兩分鐘后乙每分鐘走(500-300)÷(6-2)=50米，C正確
當(dāng)x=2時(shí)，甲乙相距300-100×2=100米
當(dāng)x=6時(shí)，甲乙相距600-500=100米，D正確
故答案為：B
【分析】根據(jù)圖象信息逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可求出答案.
10．（2024九上·廣州開(kāi)學(xué)考）已知是一次函數(shù)圖象上不同的兩個(gè)點(diǎn)，若記，則當(dāng)時(shí)，的取值范圍是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】一次函數(shù)圖象、性質(zhì)與系數(shù)的關(guān)系；不等式的性質(zhì)
【解析】【解答】解：∵，且m>0
∴x1-x2與y1-y2同號(hào)
∵是一次函數(shù)圖象上不同的兩個(gè)點(diǎn)
∴y隨x的增大而增大
∴a+2>0
∴a>-2
故答案為：D
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)可得x1-x2與y1-y2同號(hào)，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案.
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分．）
11．（2024九上·廣州開(kāi)學(xué)考）若二次根式 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是　 ?。?br/>【答案】x≥1
【知識(shí)點(diǎn)】二次根式有無(wú)意義的條件
【解析】【解答】解：∵式子 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，
∴x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案為：x≥1．
【分析】要使二次根式有意義，則被開(kāi)方數(shù)≥0，建立不等式，求解即可。
12．（2024九上·廣州開(kāi)學(xué)考）計(jì)算： =　 　.
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算
【解析】【解答】解：原式=3-=2.
【分析】根據(jù)二次根式加減運(yùn)算法則計(jì)算即可。即先將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后把被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式合并起來(lái)。
13．（2024九上·廣州開(kāi)學(xué)考） 已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為5、12、13，則△ABC的面積為　 ?。?br/>【答案】30
【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵△ABC的三邊長(zhǎng)分別為5，12，13，
∴52+122=132，
∴△ABC是直角三角形，兩直角邊是5，12，
∴△ABC的面積為：×5×12=30，
故答案為：30．
【分析】首先根據(jù)三邊長(zhǎng)度可利用勾股定理的逆定理判斷三角形為直角三角形，然后利用三角形的面積公式計(jì)算即可解答．
14．（2024九上·廣州開(kāi)學(xué)考）甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行射擊測(cè)試，他們成績(jī)的平均數(shù)相同，方差分別是，則這三位同學(xué)發(fā)揮最穩(wěn)定的是　 　
【答案】甲
【知識(shí)點(diǎn)】方差
【解析】【解答】解：∵
∴甲同學(xué)發(fā)揮最穩(wěn)定
故答案為：甲
【分析】方差表示一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況，方差越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定.
15．（2024九上·廣州開(kāi)學(xué)考）如圖，已知函數(shù)y=ax+b和y=kx的圖象交于點(diǎn)P，則根據(jù)圖象可得，關(guān)于x，y的二元一次方程組 的解是　 ?。?br/>【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】一次函數(shù)與二元一次方程（組）的關(guān)系
【解析】【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)y=ax+b和y=kx的圖象交于點(diǎn)P（1，1），
所以方程組 的解是 ．
故答案為 ．
【分析】根據(jù)方程組的解就是兩個(gè)相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)圖象即可求出答案.
16．（2024九上·廣州開(kāi)學(xué)考）如圖，四邊形為正方形，為對(duì)角線上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，以，為鄰邊作矩形，連接．給出以下結(jié)論：
①矩形是正方形；　?、?；
③平分；　　④．
其中正確的序號(hào)為　 ?。?br/>【答案】①③④
【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等及其性質(zhì)；三角形全等的判定；矩形的判定與性質(zhì)；正方形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的判定
【解析】【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作EM⊥BC，EN⊥CD
∵四邊形ABCD是正方形
∴∠BCD=90°，∠ECN=45°
∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°
∴NE=NC
∴四邊形DEFG是矩形
∴∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°
∴∠DEN=∠MEF
在△DEN和△MEF中
∴△DEN≌△MEF(ASA)
∴ED=EF
∴矩形DEFG是正方形，①正確
∴DE=DG，∠EDC+∠CDG=90°
∵四邊形ABCD是正方形
∴AD=DC，∠ADE+∠EDC=90°
∴∠ADE=∠CDG
在△ADE和△CDG中
∴△ADE≌△CDG(SAS)
∴AE=CG，∠DAE=∠DCG=45°
∵∠DCF=90°
∴CG平分∠DCF，③正確
當(dāng)DE⊥AC時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)F重合，則CF=0，CE≠0
∴CE不一定等于，②錯(cuò)誤
過(guò)點(diǎn)G作GT⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T，則∠T=∠EMF=90°
∵EF=FG，∠EFG=90°
∴∠EFM+∠GFT=90°，∠GFT=∠FGT=90°
∴∠EFM=∠FGT
∴△EFM≌△FGT(AAS)
∴FT=EM
∵，④正確
故答案為：①③④
【分析】過(guò)點(diǎn)E作EM⊥BC，EN⊥CD，根據(jù)正方形可得∠BCD=90°，∠ECN=45°，再根據(jù)角之間的關(guān)系可得∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°，則NE=NC，根據(jù)矩形判定定理可得四邊形DEFG是矩形，則∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°，即∠DEN=∠MEF，再根據(jù)全等三角形判定定理可得△DEN≌△MEF(ASA)，則ED=EF，再根據(jù)正方形判定定理可判斷①；則DE=DG，∠EDC+∠CDG=90°，根據(jù)正方形性質(zhì)可得∠ADE=∠CDG，再根據(jù)全等三角形判定定理可得△ADE≌△CDG(SAS)，則AE=CG，∠DAE=∠DCG=45°，再根據(jù)角平分線判定定理可判斷③；當(dāng)DE⊥AC時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)F重合，則CF=0，CE≠0，CE不一定等于，可判斷②；過(guò)點(diǎn)G作GT⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T，則∠T=∠EMF=90°，根據(jù)角之間的關(guān)系可得∠EFM=∠FGT，再根據(jù)全等三角形判定定理可得△EFM≌△FGT(AAS)，則FT=EM，再根據(jù)邊之間的關(guān)系即可求出答案.
三、解答題（本大題共9小題，共72分、解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）
17．（2024九上·廣州開(kāi)學(xué)考）解方程：．
【答案】解：，
即，
∴，
解得：．
【知識(shí)點(diǎn)】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】對(duì)右邊的式子進(jìn)行分解，然后移項(xiàng)，再提取公因式(2x-1)可得(2x-1)(x-2)=0，據(jù)此求解.
18．（2024九上·廣州開(kāi)學(xué)考）如圖、點(diǎn)在同一直線上，，，．求證：．
【答案】證明：∵AD∥BC
∴∠A=∠C
∵AE=CF
∴AE+EF=EF+FC，即AF=CE
在△ADF和△CBE中
∴△ADF和△CBE(SAS)
∴
【知識(shí)點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；三角形全等及其性質(zhì)；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根據(jù)直線平行性質(zhì)可得∠A=∠C，再根據(jù)邊之間的關(guān)系可得AF=CE，再根據(jù)全等三角形判定定理及性質(zhì)即可求出答案.
19．（2024九上·廣州開(kāi)學(xué)考）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．
【答案】解：原式=
=
=a-b
∵，
∴原式=3023-2024=-1
【知識(shí)點(diǎn)】平方差公式及應(yīng)用；分式的混合運(yùn)算；求代數(shù)式的值-直接代入求值
【解析】【分析】根據(jù)分式的混合運(yùn)算，結(jié)合平方差公式化簡(jiǎn)，再將a，b值代入即可求出答案.
20．（2024九上·廣州開(kāi)學(xué)考）如圖，在矩形中，延長(zhǎng)到，使，延長(zhǎng)到，使，連接．
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）連接EB，若，，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形
∴∠AOC=90°
∴AO⊥OC，即AD⊥EC
∵DO=AO，EO=CO
∴四邊形AEDC是平行四邊形
∴平行四邊形AEDC是菱形
（2）解：連接EB
∵四邊形AEDC是菱形，∠AED=60°
∴∠AEO=30°
∵∠AOE=90°，AE=4
∴
∴
∴
∵四邊形ABCO是矩形
∴BC=OA=2，∠BCE=90°
∴
【知識(shí)點(diǎn)】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)
【解析】【分析】（1）根據(jù)矩形性質(zhì)可得∠AOC=90°，即AD⊥EC，再根據(jù)菱形判定定理即可求出答案.
（2）連接EB，根據(jù)菱形性質(zhì)可得∠AEO=30°，再根據(jù)含30°角的直角三角形性質(zhì)可得，再根據(jù)勾股定理可得EO，再根據(jù)矩形性質(zhì)可得BC=OA=2，∠BCE=90°，再根據(jù)勾股定理即可求出答案.
21．（2024九上·廣州開(kāi)學(xué)考）某校為了解學(xué)生一周課外閱讀情況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生調(diào)查了他們一周課外閱讀時(shí)間，并將數(shù)據(jù)進(jìn)行整理制成如下統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)解答以下問(wèn)題：
（1）本次調(diào)查的總?cè)藬?shù)是　 ??；
（2）抽查的這些學(xué)生一周平均課外閱讀時(shí)間是多少？
（3）若該校共有2000個(gè)學(xué)生，諸估計(jì)該校學(xué)生一周課外閱讀時(shí)間不少于3小時(shí)的人數(shù)．
【答案】（1）40
（2）解：由題意可得：
這些學(xué)生一周平均課外閱讀時(shí)間為小時(shí)
（3）解：由題意可得：
人
∴該校學(xué)生一周課外閱讀時(shí)間不少于3小時(shí)的人數(shù)為1400人
【知識(shí)點(diǎn)】條形統(tǒng)計(jì)圖；平均數(shù)及其計(jì)算；用樣本所占百分比估計(jì)總體數(shù)量
【解析】【解答】解：（1）本次調(diào)查的學(xué)生總數(shù)為：4+8+15+10+3=40人
故答案為：40
【分析】（1）將所有人數(shù)相加即可求出答案，
（2）根據(jù)平均數(shù)定義即可求出答案.
（3）根據(jù)2000乘以不少于3小時(shí)的占比即可求出答案.
22．（2024九上·廣州開(kāi)學(xué)考）有煤油溫度計(jì)，該溫度計(jì)的左側(cè)是華氏溫度，右側(cè)是攝氏溫度．已知華氏溫度與攝氏溫度之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，小明通過(guò)觀察溫度計(jì)，得到如下表所示的數(shù)據(jù)．
攝氏溫度值 0 10 20 30 40
華氏溫度值 32 50 68 86 104
（1）請(qǐng)根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)求出一次函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)解析式，求出華氏溫度為時(shí)對(duì)應(yīng)的攝氏溫度（結(jié)果保留一位小數(shù)）；
（3）華氏溫度的值與對(duì)應(yīng)的攝氏溫度的值有相等的可能嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）解：設(shè)一次函數(shù)解析式為y=kx+b
將x=0，y=32和x=10，y=50代入解析式可得：
，解得：
∴ 一次函數(shù)的解析式為
（2）解：當(dāng)y=0時(shí)，得：
解得：x≈-17.8
∴華氏溫度為時(shí)對(duì)應(yīng)的攝氏溫度為-17.8℃
（3）解：華氏溫度的值與對(duì)應(yīng)的攝氏溫度的值有相等的可能，理由如下
當(dāng)y=x時(shí)，
解得：x=-40
∴當(dāng)攝氏溫度是-40℃，對(duì)應(yīng)華氏溫度是-40°F，兩者數(shù)值相等
【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；一次函數(shù)的其他應(yīng)用
【解析】【分析】（1）設(shè)一次函數(shù)解析式為y=kx+b，根據(jù)待定系數(shù)法將x=0，y=32和x=10，y=50代入解析式即可求出答案.
（2）將y=0代入解析式即可求出答案.
（3）將y=x代入解析式，解方程即可求出答案.
23．（2024九上·廣州開(kāi)學(xué)考）如圖，直線與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)，直線與關(guān)于軸對(duì)稱．
（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)在的內(nèi)部（不包含邊界），求的取值范圍；
（3）為坐標(biāo)原點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)的直線將分成的兩部分面積之比為，求該直線的解析式．
【答案】（1）解：由題意可得：
當(dāng)x=0時(shí)，y=3，當(dāng)y=0時(shí)，x=-3
∴A(-3，0)，C(0，3)
∵直線與關(guān)于軸對(duì)稱
∴點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱
∴B(3，0)
（2）解：設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b
將點(diǎn)C(0，3)，B(3，0)代入可得：
，解得：
∴直線BC的解析式為：y=-x+3
當(dāng)點(diǎn)P在直線CA上時(shí)，m+3=2，解得：m=-1
當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上時(shí)，-m+3=2，解得：m=1
∴當(dāng)點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部時(shí)，m的取值范圍為-1（3）解：由題意可得：
①設(shè)直線L交AC于點(diǎn)K，，過(guò)點(diǎn)K作KH⊥AB于點(diǎn)H
∴
∴，解得：HK=2
在y=x+3中，令y=2，即2=x+3，解得：x=-1
∴K(-1，2)
設(shè)直線l解析式為y=px
∴2=-p，即p=-2
∴直線l的解析式為y=-2x
②設(shè)直線l交BC于點(diǎn)T，，過(guò)點(diǎn)T作TH'⊥AB于點(diǎn)H'
同理可得：，解得：TH'=2
在y=-x+3中，令y=2，即2=-x+3，解得：x=1
∴T(1，2)
則直線l的解析式為y=2x
綜上所述，直線l的解析式為y=-2x或y=2x
【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；兩一次函數(shù)圖象相交或平行問(wèn)題；關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征；一次函數(shù)中的面積問(wèn)題
【解析】【分析】（1）根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得A，C坐標(biāo)，再根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得B點(diǎn)坐標(biāo).
（2）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，根據(jù)待定系數(shù)法將點(diǎn)B，C坐標(biāo)代入解析式可得直線BC的解析式為：y=-x+3，分別求出點(diǎn)P在直線CA，BC上時(shí)m的值，即可求出點(diǎn)P在三角形ABC內(nèi)部時(shí)，m的取值范圍.
（3）根據(jù)三角形面積可得，分情況討論：①設(shè)直線L交AC于點(diǎn)K，，過(guò)點(diǎn)K作KH⊥AB于點(diǎn)H，則，根據(jù)三角形面積建立返程，可得HK，求出點(diǎn)K坐標(biāo)，設(shè)直線l解析式為y=px，根據(jù)待定系數(shù)法將點(diǎn)K坐標(biāo)代入解析式即可求出答案；②設(shè)直線l交BC于點(diǎn)T，，過(guò)點(diǎn)T作TH'⊥AB于點(diǎn)H'，討論即可求出答案.
24．（2024九上·廣州開(kāi)學(xué)考）如圖1，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），連接．
（1）當(dāng)時(shí)，求的周長(zhǎng)；
（2）將沿折疊得到，延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)．
①如圖2，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)；
②當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，小方同學(xué)認(rèn)為的長(zhǎng)度是一個(gè)定值，而小程同學(xué)認(rèn)為的長(zhǎng)度才是一個(gè)定值，你認(rèn)為誰(shuí)說(shuō)的對(duì)呢？說(shuō)出你的理由．
【答案】（1）解：∵四邊形ABCD是正方形
∴∠ABE=90°
∵BE=1，AB=4
∴
∴的周長(zhǎng)為
（2）解： ① 由折疊性質(zhì)可得，∠EMA=∠B=90°，BE=EM，∠BEA=∠MEA
∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)
∴EM=EC
在Rt△EMF和Rt△ECF中
EF=EF，EM=EC
∴△EMF≌△ECF
∴∠MEF=∠CEF，MF=CF
∵∠BEA=∠MEA
∴
∴∠EFM=∠AEM
∵∠EMF=∠AME
∴△AEM∽△EFM
∴
∴
∴CF=MF=1
②當(dāng)點(diǎn)F在DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，AF+CE-CF為定值，小程同學(xué)說(shuō)得對(duì)
當(dāng)點(diǎn)F在線段DC上時(shí)，AF+CE+CF為定值，小方同學(xué)說(shuō)得對(duì)，理由如下：
延長(zhǎng)EM交DC于點(diǎn)H，交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接AH
由題意可得：AM=AB=AD
∵HM⊥AF，HD⊥AD
∴△AMH≌△ADH
∴DH=MH
∵∠HDG=∠HMF，∠DHG=∠MHF，DH=MH
∴△HDG≌△HMF
∴DG=MF，HG=HF
∵AD∥BC
∴∠AEB=∠EAG
∵∠AEB=∠AEG
∴∠EAG=∠AEG
∴EG=AG=AF
如圖，當(dāng)點(diǎn)F在DC延長(zhǎng)線上時(shí)，AF+CE-CF=EG+CE-CF
∵EG=EH+GH，GH=HF=CH=CF
EH=EM+MH=BE+DH
∴AF+CE-CF=BE+EC+CH+DH=2BC=8
如圖，當(dāng)點(diǎn)F在線段DC上時(shí)，AF+CE+CF=EG+EC+CF
∵GH=HF，EH=BE+DH，EG=GH+EH
∴AF+CE+CF=HF+BE+DH+EC+CF=2BC=8
∴當(dāng)點(diǎn)F在DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，AF+CE-CF為定值，小程同學(xué)說(shuō)得對(duì)；當(dāng)點(diǎn)F在線段DC上時(shí)，AF+CE+CF為定值，小方同學(xué)說(shuō)得對(duì).
【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等及其性質(zhì)；勾股定理；翻折變換（折疊問(wèn)題）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質(zhì)-對(duì)應(yīng)邊
【解析】【分析】（1）根據(jù)正方形性質(zhì)可得∠ABE=90°，再根據(jù)勾股定理可得AE，再根據(jù)三角形周長(zhǎng)即可求出答案.
（2）①由折疊性質(zhì)可得，∠EMA=∠B=90°，BE=EM，∠BEA=∠MEA，根據(jù)全等三角形判定定理可得△EMF≌△ECF，則∠MEF=∠CEF，MF=CF，再根據(jù)角之間的關(guān)系可得∠EFM=∠AEM，再跟矩形相似三角形判定定理可得△AEM∽△EFM，則，代值計(jì)算即可求出答案.
②延長(zhǎng)EM交DC于點(diǎn)H，交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接AH，由題意可得：AM=AB=AD，根據(jù)全等三角形判定定理可得△AMH≌△ADH，則DH=MH，再根據(jù)全等三角形判定定理可得△HDG≌△HMF，則DG=MF，HG=HF，再根據(jù)直線平行性質(zhì)可得∠AEB=∠EAG，則∠EAG=∠AEG，再根據(jù)等角對(duì)等邊可得EG=AG=AF，分情況討論：當(dāng)點(diǎn)F在DC延長(zhǎng)線上時(shí)，AF+CE-CF=EG+CE-CF；當(dāng)點(diǎn)F在線段DC上時(shí)，AF+CE+CF=EG+EC+CF，再根據(jù)邊之間的關(guān)系即可求出答案.
25．（2024九上·廣州開(kāi)學(xué)考）已知直線．
（1）當(dāng)為何值時(shí)，直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)？
（2）若直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，，并求出此時(shí)的面積；
（3）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，若某個(gè)點(diǎn)到軸、軸的距離之和為2，則稱該點(diǎn)為“元元點(diǎn)”，如點(diǎn)，
，都是“元元點(diǎn)”．若直線上至少有一個(gè)“元元點(diǎn)”，求的取值范圍．
【答案】（1）解：∵直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)
∴將(0，0)代入解析式可得：3k-1=0
解得：
∴當(dāng)時(shí)，直線l經(jīng)過(guò)原點(diǎn)
（2）解：令x=0，則y=3k-1
令y=0，則
∴
∴
∵
∴
解得：或
當(dāng)時(shí)，
∴
∴
當(dāng)時(shí)，
∴
∴
（3）解：設(shè)“元元點(diǎn)”的坐標(biāo)為(x，y)
由題意可得：|x|+|y|=2
∴滿足條件的點(diǎn)在直線y=2-|x|和y=|x|-2所圍成的邊界上
直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(-3，-4)
當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，-2)時(shí)，，此時(shí)直線與正方形有交點(diǎn)，即存在“元元點(diǎn)”
當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2，0)時(shí)，k=3，此時(shí)直線與正方形有交點(diǎn)，即存在“元元點(diǎn)”
∴當(dāng)時(shí)，線上至少有一個(gè)“元元點(diǎn)”
【知識(shí)點(diǎn)】一次函數(shù)的性質(zhì)；一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；一次函數(shù)中的線段周長(zhǎng)問(wèn)題；一次函數(shù)中的面積問(wèn)題
【解析】【分析】（1）根據(jù)題意將原點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式即可求出答案.
（2）根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得，再根據(jù)題意建立方程，解方程可得k值，再跟據(jù)三角形面積即可求出答案.
（3）設(shè)“元元點(diǎn)”的坐標(biāo)為(x，y)，由題意可得：|x|+|y|=2，則滿足條件的點(diǎn)在直線y=2-|x|和y=|x|-2所圍成的邊界上，直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(-3，-4)，根據(jù)題意當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，-2)時(shí)，，此時(shí)直線與正方形有交點(diǎn)，即存在“元元點(diǎn)”，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2，0)時(shí)，k=3，此時(shí)直線與正方形有交點(diǎn)，即存在“元元點(diǎn)”，即可求出答案.
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