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廣東省廣州市白云區2024-2025學年九年級上學期期中數學試題
一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分．）
1．（2024九上·白云期中）下列圖形中，既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】軸對稱圖形；中心對稱及中心對稱圖形
【解析】【解答】A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；
B、是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；
C、不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項符合題意；
D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；
故答案為：C．
【分析】根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義逐項進行判斷，即可得出答案。
2．（2024九上·白云期中）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】一元二次方程的定義及相關的量
【解析】【解答】解：A、 含有兩個未知數，故本選項不符合題意；
B、 不是整式方程，故本選項不符合題意；
C、 ，符合一元二次方程的定義，故本選項符合題意；
D、 ，方程二次項系數可能為0，故本選項不符合題意；
故答案為：C.
【分析】本題根據一元二次方程必須滿足四個條件：（1）未知數的最高次數是2；（2）二次項系數不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個未知數．由這四個條件對四個選項進行驗證，滿足這四個條件者為符合題意答案．
3．（2024九上·白云期中）已知關于的方程的一個根為，則實數的值為
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【答案】A
【知識點】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：關于的方程的一個根為，
，
解得．
故答案為：A．
【分析】將代入求出k的值即可。
4．（2024九上·白云期中）關于二次函數，下列敘述正確的是（　　）
A．函數的圖象開口向下 B．對稱軸是軸
C．當時，有最大值 D．當時，隨的增大而增大
【答案】B
【知識點】二次函數y=ax²+bx+c的性質
【解析】【解答】解；∵二次函數解析式為，，
∴二次函數開口向上，對稱軸為y軸，故A說法錯誤，B說法正確，
∴當時，隨的增大而減小，當時，隨的增大而增大，故D說法錯誤，
∴當時，有最小值，故C說法錯誤，
故答案為：B．
【分析】根據二次函數圖象與系數的關系，二次函數的性質逐一分析判定。根據二次項系數大于0可得開口向上，一次項系數為0，可得對稱軸為軸，進而得到當時，隨的增大而減小，當時，隨的增大而增大，則當時，有最小值．
5．（2024九上·白云期中）將一元二次方程x2﹣4x+1＝0化成（x+h）2＝k的形式，則k等于（　　）
A．﹣1 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知識點】配方法的應用
【解析】【解答】解：方程x2﹣4x+1＝0，
移項，得：x2﹣4x=-1，
配方得：x2﹣4x+4＝3，即（x﹣2）2＝3，
則k＝3，
故答案為：B．
【分析】首先把常數項移到方程的右邊，然后再在方程兩邊都加上一次項系數一半的平方，即可得出k的值。
6．（2024九上·白云期中）已知，二次函數的圖象上有三個點，，，則有（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】二次函數圖象上點的坐標特征；二次函數y=ax²的性質；二次函數的對稱性及應用
【解析】【解答】解：∵，
∴的對稱軸為，開口向上，
∴圖象上的點離對稱軸越遠則的值越大，
∵，，，
∴，
∴，
故答案為：．
【分析】根據二次函數的增減性即可得出答案。
7．（2024九上·白云期中）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點都在方格線的格點上，將三角形ABC繞點P旋轉90°，得到△A'B'C'，則點P的坐標為（　　）
A．（0，4） B．（1，1） C．（1，2） D．（2，1）
【答案】C
【知識點】坐標與圖形性質；旋轉的性質
【解析】【解答】解：選兩組對應點，連接后作其中垂線，兩中垂線的交點即為點P，由圖知，旋轉中心P的坐標為（1，2）
故答案為：C．
【分析】根據對應點到旋轉中心的距離相等，只需作任意兩組對應點連線的垂直平分線，并取它們的交點即為點P，結合坐標系得出點P的坐標即可。
8．（2024九上·白云期中）若關于 的方程 有兩個不相等的實數根，則 的取值范圍是（　　）
A． B． 且
C． D． 且
【答案】B
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用；二次函數圖象與坐標軸的交點問題
【解析】【解答】∵方程 有兩個不相等的實數根，
∴m≠0，且△＞0，
∴m≠0，且 ＞0，
∴ 且 ，
故答案為：B.
【分析】利用判別式大于零和二次項系數不為零求解即可.
9．（2024九上·白云期中）已知一次函數y=x+c的圖象如圖，則二次函數y=ax2+bx+c在平面直角坐標系中的圖象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知識點】二次函數圖象與系數的關系；一次函數圖象、性質與系數的關系
【解析】【解答】解：由一次函數的圖象可得：<0， c>0，所以二次函數y=ax2+bx+c圖象的對稱軸=>0，與y軸的交點在正半軸，符合題意的只有A.
故答案為：A
【分析】由一次函數的圖象判斷出<0， c>0，再判斷二次函數的圖象特征，即可求出答案.
10．（2024九上·白云期中）拋物線y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數）與x軸的交點分別是( 1，0)，(3，0) ，下列結論：①4ac b2>0；②3a+c=0；③當a<0時，若直線y=2與已知拋物線有交點，則a<-；④若關于x的方程ax2+bx+c m=0（m>0，m為實數）的一個根為 3，則一定存在一個實數n(0A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【知識點】二次函數圖象與系數的關系；二次函數圖象與坐標軸的交點問題；利用二次函數圖象判斷一元二次方程根的情況；二次函數的對稱性及應用
【解析】【解答】解：①y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數）與x軸有兩個交點，∴ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數根，
∴Δ=b2-4ac＞0，
∴4ac-b2＜0，故①不正確；
②∵拋物線y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數）與x軸的交點分別是（-1，0），（3，0），
∴對稱軸的直線x=-=1，
∴b=-2a，
當x=-1時，y=0，
∴a-b+c=0，
把b=-2a代入得a-（-2a）+c=0，即3a+c=0，故②正確；
③∵拋物線y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數）與x軸的交點分別是（-1，0），（3，0），
∴y=ax2+bx+c=a（x+1）（x-3）=ax2-2ax-3a，
當x=1時，y=a-2a-3a=-4a，
∵a＜0，
∴-4a≥2，解得a≤-；故③不正確；
④若關于x的方程ax2+bx+c-m=0即ax2+bx+c=m的一個根為-3，則另一個根為5，
由0＜n＜m可知，a＞0，如圖所示，
由圖可知，關于x的方程ax2+bx+c-n=0有一個整數解為4．
故④正確；
綜上，正確的有②④．
故答案為：B．
【分析】①由圖像可知，拋物線與x軸相交有兩個交點，b2-4ac＞0，故而得出①不正確；
②由拋物線的對稱軸可知：b=-2a，把x=-1代入一元二次函數，即可得出 3a+c=0，故而②正確；
③首先求出拋物線的頂點縱坐標y=-4a，可得-4a≥2，解得a≤-，故而得出③不正確；
④根據拋物線的對稱性可得，ax2+bx+c-m=0（m＞0，m為實數）的另一個根5，因為 0二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分．）
11．（2024九上·白云期中）函數最大值是　 　．
【答案】2
【知識點】二次函數的最值
【解析】【解答】解：∵，∴此函數的頂點坐標是，
又∵，
即當時，函數有最大值2．
故答案是：2．
【分析】由拋物線的頂點式，可直接得出函數最大值是2.
12．（2024九上·白云期中）將拋物線 向上平移3個單位長度，再向右平移2個單位長度，所得到的拋物線解析式為　 　.
【答案】
【知識點】二次函數圖象的幾何變換
【解析】【解答】解：將拋物線y=2x2向上平移3個單位長度，再向右平移2個單位長度后，得到的拋物線的解析式為 ，
故答案為：
【分析】根據“左加右減、上加下減”的原則進行解答即可.
13．（2024九上·白云期中）已知 是關于 的方程 的一個根，則 　 　．
【答案】15
【知識點】一元二次方程的根
【解析】【解答】∵m是一元二次方程x2 2x 5=0的一個根，
∴m2-2m-5=0
∴m2-2m=5
∴3m2 6m=15
故答案為：15．
【分析】先求出m2-2m-5=0，再求出m2-2m=5，最后求解即可。
14．（2024九上·白云期中）小王去參加聚會，每兩人都互相贈送禮物，他發現參會人共送出禮物20件，若有人參加聚會，根據題意可列出方程為　 　．
【答案】
【知識點】列一元二次方程
【解析】【解答】解：設有人參加聚會，則每人送出件禮物，
由題意得：，
故答案為：．
【分析】設有人參加聚會，則每人送出件禮物，那么 共送出禮物 n（n-1）件，根據“共送禮物20件”，即可列出方程。
15．（2024九上·白云期中）如圖是二次函數的部分圖象，由圖象可知不等式的解集是　 　．
【答案】
【知識點】二次函數與不等式（組）的綜合應用；二次函數的對稱性及應用
【解析】【解答】解：由圖象可知拋物線的對稱軸為直線，與軸一個交點為，
∴拋物線與軸另一個交點為，
∴不等式的解集是，
故答案為：．
【分析】首先求出拋物線與x軸相交的另一個交點，觀察函數圖象可得出在兩個交點之間的部分（包括兩個交點），拋物線在x軸的上邊，即可得出不等式的解集是，
16．（2024九上·白云期中）如圖，為等腰直角三角形，，，D為線段的中點，在上任意取一點P，連接，將線段繞點A逆時針旋轉得到，的最小值為　 　．
【答案】1
【知識點】點到直線的距離；勾股定理；旋轉的性質；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：取的中點，連接，，如下圖：
由旋轉的性質可得，
∴
∵，分別為、的中點，
∴
∴
∴，的最小值就是的最小值，
∵點P在上
∴點時，最小，此時為等腰直角三角形
設，由勾股定理可得，
解得（負值舍去）
即的最小值為1
故答案為：1
【分析】取的中點，連接，，利用旋轉的性質、全等三角形的判定與性質以及點到直線的距離來求解DP'的最小值。通過構造輔助線和利用幾何性質，將問題轉化為求EP的最小值。
三、解答題（本小題共9小題，滿分72分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
17．（2024九上·白云期中）解一元二次方程：．
【答案】解：∵，
∴，
∴或，
解得：，.
【知識點】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】根據十字相乘法進行因式分解，再解方程即可求出答案.
18．（2024九上·白云期中）如圖，將Rt△ABC繞點A按順時針旋轉一定角度得到Rt△ADE，點B的對應點D恰好落在BC邊上．若AB=1，∠B=60°，求CD的長．
【答案】1
【知識點】等邊三角形的判定與性質；含30°角的直角三角形；旋轉的性質
【解析】【解答】∵∠BAC=90°，∠B=60°，
∴BC=2AB=2，根據旋轉的性質得：AD=AB，
而∠B=60°，
∴是等邊三角形，
∴BD=AB=1，
∴CD=BC-BD=2-1=1．
∴CD的長為1．
【分析】首先根據含30°銳角的直角三角形求得BC的長度，再根據旋轉性質得出△ABD為等邊三角形，得出BD=1，最后根據線段的差即可求得CD的長度。
19．（2024九上·白云期中）如圖所示的正方形網格中，△ABC的頂點均在格點上，在所給直角坐標系中解答下列問題：
（1）分別寫出點A的坐標 ，點B的坐標 .
（2）作出△ABC關于原點成中心對稱的△A1B1C1；
（3）已知點M的坐標為（1，4），請你在x軸上找一點P，使得|PM-PB|的值最大，并直接寫出點P的坐標 .
【答案】解：（1）A（-1，0），B（-2，-2）
（2）作圖如圖1，
（3）P（-5，0）.
【知識點】點的坐標；待定系數法求一次函數解析式；一次函數圖象與坐標軸交點問題；坐標與圖形變化﹣中心對稱；作圖﹣中心對稱
【解析】【解答】（1）根據網格可得出：A（-1，0），B（-2，-2）；
故答案為：（-1，0）；（-2，-2）；
（3）作圖如圖2，
作M點關于x軸對稱點N（1，-4），
連接BN，交x軸與點P，此時|PM-PB|的值最大，
根據點N（1，-4），點B（-2，-2），
則直線NB解析式為y=-x-，
令y=0，x=-5，
則P（-5，0）．
【分析】
（1）在平面直角坐標系中，根據網格可直接得出點A和點B的坐標；
（2）根據中心對稱點的作法分別得出分別作出A，B，C的對稱點A'，B'，C'，再順次連接即可得到圖形；
（3）作M點關于x軸對稱點N（1，-4），連接BN，利用待定系數法可得出直線BN的解析式，令y=0.即可得出直線BN與x軸的交點坐標，即為點P的坐標。
20．（2024九上·白云期中）某商場一月份的銷售額為125萬元，二月份的銷售額下降了20%，商場從三月份起加強管理，改善經營，使銷售額穩步上升，四月份的銷售額達到了144萬元．
（1）求二月份的銷售額；
（2）求三、四月份銷售額的平均增長率．
【答案】（1）解：（萬元）．
答：二月份的銷售額為100萬元．
（2）解：設三、四月份銷售額的平均增長率為，
依題意得：，
解得：，（不合題意，舍去）．
答：三、四月份銷售額的平均增長率為．
【知識點】一元二次方程的實際應用-百分率問題
【解析】【分析】（1）根據二月份的銷售額在一月份的基礎上下降了20%，即可列式，再進行計算即可；
（2）設三、四月份銷售額的平均增長率為，根據增長率計算公式a（1+x）n=m，即可得出方程，解方程并取正值即可。
（1）解：（萬元）．
答：二月份的銷售額為100萬元．
（2）設三、四月份銷售額的平均增長率為，
依題意得：，
解得：，（不合題意，舍去）．
答：三、四月份銷售額的平均增長率為．
21．（2024九上·白云期中）已知關于的一元二次方程．
（1）求證：該方程總有兩個實數根；
（2）若，且該方程的兩個實數根的差為2，求的值．
【答案】（1）證明：由題意得：，
∴，
∵，
∴，
∴該方程總有兩個實數根；
（2）解：設關于的一元二次方程的兩實數根為，則有：，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴．
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用；一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）
【解析】【分析】（1）根據二次方程判別式，可得該方程總有兩個實數根.
（2）設關于的一元二次方程的兩實數根為，根據二次方程根與系數的關系可得，根據題意建立方程，解方程即可求出答案.
22．（2024九上·白云期中）毛澤東故居景區有一商店銷售一種紀念品，這種商品的成本價為10元/件，已知銷售價不低于成本價，且物價部門規定這種商品的銷售價不高于20元/件，市場調查發現，該商品每天的銷售量y（件）與銷售價x（元/件）之間的函數關系如圖所示．
（1）求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）求每天的銷售利潤W（元）與銷售價x（元/件）之間的函數關系式，并求出每件銷售價為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？
【答案】（1）解：設y與x的函數解析式為，
將、代入，得：
解得：，
所以y與x的函數解析式為；
（2）解：根據題意知，，
，
當時，W隨x的增大而增大，
，
當時，W取得最大值，最大值為200，
答：每件銷售價為20元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤是200元．
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；二次函數的最值；二次函數的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】（1）根據、在直線上，利用待定系數法即可得出關于y與x的函數解析式；
（2）根據“總利潤每件的利潤銷售量”可得函數解析式，并將解析式轉化成頂點式，根據二次函數的最值即可得出答案。
（1）解：設y與x的函數解析式為，
將、代入，得：
解得：，
所以y與x的函數解析式為；
（2）解：根據題意知，，
，
當時，W隨x的增大而增大，
，
當時，W取得最大值，最大值為200，
答：每件銷售價為20元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤是200元．
23．（2024九上·白云期中）如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，點是拋物線在第二象限內的一個動點，連接，，設點的橫坐標為．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）請用含的代數式表示的面積；
（3）當的面積為時，求點的坐標．
【答案】（1）解：∵拋物線與軸交于（），（）兩點，
解得
∴拋物線的函數表達式
（2）解：連接，設，
∵拋物線與軸交于點，
∴當時，，
∴（），
∵在第二象限，
，
（3）解：由（）得，當的面積為時，，
解得
∵點在第二象限，
∴，
∴，
，
∴點的坐標為。
【知識點】因式分解法解一元二次方程；待定系數法求二次函數解析式；二次函數圖象上點的坐標特征；幾何圖形的面積計算-割補法；點的坐標與象限的關系
【解析】【分析】（1）根據（），（）兩點在拋物線上，根據待定系數即可求得拋物線的函數表達式；
（2）連接，根據點P在拋物線上，可設，并求出拋物線與y軸的交點（），從而根據面積割補法即可求解；
（3）根據（2）的結果，可得出=，解方程求解，并根據點P的位置，即可得出點P的坐標。
24．（2024九上·白云期中）（1）如圖1，四邊形是正方形，E，F分別在邊和上，且，請直接寫出線段之間的關系：_______．
（2）如圖2，等腰直角三角形，，，點E，F在邊上，且，請寫出之間的關系，并說明理由．
（3）如圖3，在中，，，點D，E在邊上，且，當，時，求的長．
【答案】（1）
（2），理由如下：
把繞點順時針旋轉得到，連接，
如下圖：
，
，
，
，
，
即，
，
又，
∴，
，
即，
在和中
，
，
（3）把繞點順時針旋轉得到，連接，
如下圖：
，
，
，
，
即，
又，
，
在和中
，
，
過點作，垂足為，
，
，
，
，
【知識點】勾股定理；正方形的性質；旋轉的性質；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中對應邊的關系
【解析】【解答】解：（1），理由如下：由旋轉可得，
∵四邊形為正方形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
【分析】（1）通過將△ADF繞點A順時針旋轉90°，使得AD與AB重合，得到GB＝DF，AF＝ AG，且∠BAG=∠DAF。利用SAS準則證明△AGE≌△AFE，得出GE＝EF，進而得到EF=BE+DF；
（2）通過將△AFD繞點A順時針旋轉90°得到△ABE'，利用旋轉的性質和SAS準則證明△AEE'≌△AEF，得出EE'=FE，再利用勾股定理得到BE2+DF2=EF2；
（3）通過將ACE繞點A順時針旋轉120°得到△ABP，利用旋轉的性質和SAS準則證明△AED≌△APD，得出ED＝PD。再利用勾股定理計算PD的長度，得到DE=14。
25．（2024九上·白云期中）已知在平面直角坐標系中，拋物線與x軸相交于點A，B（點A在點B左側），與y軸相交于點C．
（1）當時，求出點A，B的坐標；
（2）若拋物線頂點P在直線上，請求出點P坐標；
（3）若且拋物線在時，有最小值，求實數m的值．
【答案】（1）解：當時，拋物線為：，當時，則，
∴，即，
解得：，，
∵點A在點B左側，
∴，．
（2）∵的頂點坐標為，即，
∵拋物線頂點P在直線上，
∴，
解得：，，經檢驗符合題意；
當時，
∴，，
∴頂點坐標為：．
當時，
∴，，
∴頂點坐標為：．
（3）∵拋物線的對稱軸為直線，當時，如圖，則，
此時當時，函數取得最小值，
∴，
解得：，
當時，即，如圖，
此時當時，取得最小值，
∴，
解得：，經檢驗不符合題意舍去；
∵，∴，
當時，不符合題意舍去，
綜上：的值為：．
【知識點】二次函數的最值；待定系數法求二次函數解析式；二次函數圖象與坐標軸的交點問題；二次函數y=ax²+bx+c的性質；一次函數圖象上點的坐標特征
【解析】【分析】（1）首先根據待定系數法求得二次函數解析式，再令y=0.求出對應的自變量的值，即可得出A，B的坐標；
（2）首先求出拋物線的頂點坐標為，再 根據點P在直線上，即可得出關于m的方程，解方程即可得出答案；
（3）拋物線的對稱軸為直線，可以分成三種情況進行討論：①當時，②當時，當時，根據此時的最小值，即可求出m的值。
（1）解：當時，拋物線為：，
當時，則，
∴，即，
解得：，，
∵點A在點B左側，
∴，．
（2）∵的頂點坐標為，即，
∵拋物線頂點P在直線上，
∴，
解得：，，經檢驗符合題意；
當時，
∴，，
∴頂點坐標為：．
當時，
∴，，
∴頂點坐標為：．
（3）∵拋物線的對稱軸為直線，當時，
如圖，則，
此時當時，函數取得最小值，
∴，
解得：，
當時，即，如圖，
此時當時，取得最小值，
∴，
解得：，經檢驗不符合題意舍去；
∵，∴，
當時，不符合題意舍去，
綜上：的值為：．
1 / 1廣東省廣州市白云區2024-2025學年九年級上學期期中數學試題
一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分．）
1．（2024九上·白云期中）下列圖形中，既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024九上·白云期中）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024九上·白云期中）已知關于的方程的一個根為，則實數的值為
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
4．（2024九上·白云期中）關于二次函數，下列敘述正確的是（　　）
A．函數的圖象開口向下 B．對稱軸是軸
C．當時，有最大值 D．當時，隨的增大而增大
5．（2024九上·白云期中）將一元二次方程x2﹣4x+1＝0化成（x+h）2＝k的形式，則k等于（　　）
A．﹣1 B．3 C．4 D．5
6．（2024九上·白云期中）已知，二次函數的圖象上有三個點，，，則有（　　）
A． B． C． D．
7．（2024九上·白云期中）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點都在方格線的格點上，將三角形ABC繞點P旋轉90°，得到△A'B'C'，則點P的坐標為（　　）
A．（0，4） B．（1，1） C．（1，2） D．（2，1）
8．（2024九上·白云期中）若關于 的方程 有兩個不相等的實數根，則 的取值范圍是（　　）
A． B． 且
C． D． 且
9．（2024九上·白云期中）已知一次函數y=x+c的圖象如圖，則二次函數y=ax2+bx+c在平面直角坐標系中的圖象可能是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2024九上·白云期中）拋物線y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數）與x軸的交點分別是( 1，0)，(3，0) ，下列結論：①4ac b2>0；②3a+c=0；③當a<0時，若直線y=2與已知拋物線有交點，則a<-；④若關于x的方程ax2+bx+c m=0（m>0，m為實數）的一個根為 3，則一定存在一個實數n(0A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分．）
11．（2024九上·白云期中）函數最大值是　 　．
12．（2024九上·白云期中）將拋物線 向上平移3個單位長度，再向右平移2個單位長度，所得到的拋物線解析式為　 　.
13．（2024九上·白云期中）已知 是關于 的方程 的一個根，則 　 　．
14．（2024九上·白云期中）小王去參加聚會，每兩人都互相贈送禮物，他發現參會人共送出禮物20件，若有人參加聚會，根據題意可列出方程為　 　．
15．（2024九上·白云期中）如圖是二次函數的部分圖象，由圖象可知不等式的解集是　 　．
16．（2024九上·白云期中）如圖，為等腰直角三角形，，，D為線段的中點，在上任意取一點P，連接，將線段繞點A逆時針旋轉得到，的最小值為　 　．
三、解答題（本小題共9小題，滿分72分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
17．（2024九上·白云期中）解一元二次方程：．
18．（2024九上·白云期中）如圖，將Rt△ABC繞點A按順時針旋轉一定角度得到Rt△ADE，點B的對應點D恰好落在BC邊上．若AB=1，∠B=60°，求CD的長．
19．（2024九上·白云期中）如圖所示的正方形網格中，△ABC的頂點均在格點上，在所給直角坐標系中解答下列問題：
（1）分別寫出點A的坐標 ，點B的坐標 .
（2）作出△ABC關于原點成中心對稱的△A1B1C1；
（3）已知點M的坐標為（1，4），請你在x軸上找一點P，使得|PM-PB|的值最大，并直接寫出點P的坐標 .
20．（2024九上·白云期中）某商場一月份的銷售額為125萬元，二月份的銷售額下降了20%，商場從三月份起加強管理，改善經營，使銷售額穩步上升，四月份的銷售額達到了144萬元．
（1）求二月份的銷售額；
（2）求三、四月份銷售額的平均增長率．
21．（2024九上·白云期中）已知關于的一元二次方程．
（1）求證：該方程總有兩個實數根；
（2）若，且該方程的兩個實數根的差為2，求的值．
22．（2024九上·白云期中）毛澤東故居景區有一商店銷售一種紀念品，這種商品的成本價為10元/件，已知銷售價不低于成本價，且物價部門規定這種商品的銷售價不高于20元/件，市場調查發現，該商品每天的銷售量y（件）與銷售價x（元/件）之間的函數關系如圖所示．
（1）求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）求每天的銷售利潤W（元）與銷售價x（元/件）之間的函數關系式，并求出每件銷售價為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？
23．（2024九上·白云期中）如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，點是拋物線在第二象限內的一個動點，連接，，設點的橫坐標為．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）請用含的代數式表示的面積；
（3）當的面積為時，求點的坐標．
24．（2024九上·白云期中）（1）如圖1，四邊形是正方形，E，F分別在邊和上，且，請直接寫出線段之間的關系：_______．
（2）如圖2，等腰直角三角形，，，點E，F在邊上，且，請寫出之間的關系，并說明理由．
（3）如圖3，在中，，，點D，E在邊上，且，當，時，求的長．
25．（2024九上·白云期中）已知在平面直角坐標系中，拋物線與x軸相交于點A，B（點A在點B左側），與y軸相交于點C．
（1）當時，求出點A，B的坐標；
（2）若拋物線頂點P在直線上，請求出點P坐標；
（3）若且拋物線在時，有最小值，求實數m的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知識點】軸對稱圖形；中心對稱及中心對稱圖形
【解析】【解答】A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；
B、是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；
C、不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項符合題意；
D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；
故答案為：C．
【分析】根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義逐項進行判斷，即可得出答案。
2．【答案】C
【知識點】一元二次方程的定義及相關的量
【解析】【解答】解：A、 含有兩個未知數，故本選項不符合題意；
B、 不是整式方程，故本選項不符合題意；
C、 ，符合一元二次方程的定義，故本選項符合題意；
D、 ，方程二次項系數可能為0，故本選項不符合題意；
故答案為：C.
【分析】本題根據一元二次方程必須滿足四個條件：（1）未知數的最高次數是2；（2）二次項系數不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個未知數．由這四個條件對四個選項進行驗證，滿足這四個條件者為符合題意答案．
3．【答案】A
【知識點】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：關于的方程的一個根為，
，
解得．
故答案為：A．
【分析】將代入求出k的值即可。
4．【答案】B
【知識點】二次函數y=ax²+bx+c的性質
【解析】【解答】解；∵二次函數解析式為，，
∴二次函數開口向上，對稱軸為y軸，故A說法錯誤，B說法正確，
∴當時，隨的增大而減小，當時，隨的增大而增大，故D說法錯誤，
∴當時，有最小值，故C說法錯誤，
故答案為：B．
【分析】根據二次函數圖象與系數的關系，二次函數的性質逐一分析判定。根據二次項系數大于0可得開口向上，一次項系數為0，可得對稱軸為軸，進而得到當時，隨的增大而減小，當時，隨的增大而增大，則當時，有最小值．
5．【答案】B
【知識點】配方法的應用
【解析】【解答】解：方程x2﹣4x+1＝0，
移項，得：x2﹣4x=-1，
配方得：x2﹣4x+4＝3，即（x﹣2）2＝3，
則k＝3，
故答案為：B．
【分析】首先把常數項移到方程的右邊，然后再在方程兩邊都加上一次項系數一半的平方，即可得出k的值。
6．【答案】D
【知識點】二次函數圖象上點的坐標特征；二次函數y=ax²的性質；二次函數的對稱性及應用
【解析】【解答】解：∵，
∴的對稱軸為，開口向上，
∴圖象上的點離對稱軸越遠則的值越大，
∵，，，
∴，
∴，
故答案為：．
【分析】根據二次函數的增減性即可得出答案。
7．【答案】C
【知識點】坐標與圖形性質；旋轉的性質
【解析】【解答】解：選兩組對應點，連接后作其中垂線，兩中垂線的交點即為點P，由圖知，旋轉中心P的坐標為（1，2）
故答案為：C．
【分析】根據對應點到旋轉中心的距離相等，只需作任意兩組對應點連線的垂直平分線，并取它們的交點即為點P，結合坐標系得出點P的坐標即可。
8．【答案】B
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用；二次函數圖象與坐標軸的交點問題
【解析】【解答】∵方程 有兩個不相等的實數根，
∴m≠0，且△＞0，
∴m≠0，且 ＞0，
∴ 且 ，
故答案為：B.
【分析】利用判別式大于零和二次項系數不為零求解即可.
9．【答案】A
【知識點】二次函數圖象與系數的關系；一次函數圖象、性質與系數的關系
【解析】【解答】解：由一次函數的圖象可得：<0， c>0，所以二次函數y=ax2+bx+c圖象的對稱軸=>0，與y軸的交點在正半軸，符合題意的只有A.
故答案為：A
【分析】由一次函數的圖象判斷出<0， c>0，再判斷二次函數的圖象特征，即可求出答案.
10．【答案】B
【知識點】二次函數圖象與系數的關系；二次函數圖象與坐標軸的交點問題；利用二次函數圖象判斷一元二次方程根的情況；二次函數的對稱性及應用
【解析】【解答】解：①y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數）與x軸有兩個交點，∴ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數根，
∴Δ=b2-4ac＞0，
∴4ac-b2＜0，故①不正確；
②∵拋物線y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數）與x軸的交點分別是（-1，0），（3，0），
∴對稱軸的直線x=-=1，
∴b=-2a，
當x=-1時，y=0，
∴a-b+c=0，
把b=-2a代入得a-（-2a）+c=0，即3a+c=0，故②正確；
③∵拋物線y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數）與x軸的交點分別是（-1，0），（3，0），
∴y=ax2+bx+c=a（x+1）（x-3）=ax2-2ax-3a，
當x=1時，y=a-2a-3a=-4a，
∵a＜0，
∴-4a≥2，解得a≤-；故③不正確；
④若關于x的方程ax2+bx+c-m=0即ax2+bx+c=m的一個根為-3，則另一個根為5，
由0＜n＜m可知，a＞0，如圖所示，
由圖可知，關于x的方程ax2+bx+c-n=0有一個整數解為4．
故④正確；
綜上，正確的有②④．
故答案為：B．
【分析】①由圖像可知，拋物線與x軸相交有兩個交點，b2-4ac＞0，故而得出①不正確；
②由拋物線的對稱軸可知：b=-2a，把x=-1代入一元二次函數，即可得出 3a+c=0，故而②正確；
③首先求出拋物線的頂點縱坐標y=-4a，可得-4a≥2，解得a≤-，故而得出③不正確；
④根據拋物線的對稱性可得，ax2+bx+c-m=0（m＞0，m為實數）的另一個根5，因為 011．【答案】2
【知識點】二次函數的最值
【解析】【解答】解：∵，∴此函數的頂點坐標是，
又∵，
即當時，函數有最大值2．
故答案是：2．
【分析】由拋物線的頂點式，可直接得出函數最大值是2.
12．【答案】
【知識點】二次函數圖象的幾何變換
【解析】【解答】解：將拋物線y=2x2向上平移3個單位長度，再向右平移2個單位長度后，得到的拋物線的解析式為 ，
故答案為：
【分析】根據“左加右減、上加下減”的原則進行解答即可.
13．【答案】15
【知識點】一元二次方程的根
【解析】【解答】∵m是一元二次方程x2 2x 5=0的一個根，
∴m2-2m-5=0
∴m2-2m=5
∴3m2 6m=15
故答案為：15．
【分析】先求出m2-2m-5=0，再求出m2-2m=5，最后求解即可。
14．【答案】
【知識點】列一元二次方程
【解析】【解答】解：設有人參加聚會，則每人送出件禮物，
由題意得：，
故答案為：．
【分析】設有人參加聚會，則每人送出件禮物，那么 共送出禮物 n（n-1）件，根據“共送禮物20件”，即可列出方程。
15．【答案】
【知識點】二次函數與不等式（組）的綜合應用；二次函數的對稱性及應用
【解析】【解答】解：由圖象可知拋物線的對稱軸為直線，與軸一個交點為，
∴拋物線與軸另一個交點為，
∴不等式的解集是，
故答案為：．
【分析】首先求出拋物線與x軸相交的另一個交點，觀察函數圖象可得出在兩個交點之間的部分（包括兩個交點），拋物線在x軸的上邊，即可得出不等式的解集是，
16．【答案】1
【知識點】點到直線的距離；勾股定理；旋轉的性質；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：取的中點，連接，，如下圖：
由旋轉的性質可得，
∴
∵，分別為、的中點，
∴
∴
∴，的最小值就是的最小值，
∵點P在上
∴點時，最小，此時為等腰直角三角形
設，由勾股定理可得，
解得（負值舍去）
即的最小值為1
故答案為：1
【分析】取的中點，連接，，利用旋轉的性質、全等三角形的判定與性質以及點到直線的距離來求解DP'的最小值。通過構造輔助線和利用幾何性質，將問題轉化為求EP的最小值。
17．【答案】解：∵，
∴，
∴或，
解得：，.
【知識點】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】根據十字相乘法進行因式分解，再解方程即可求出答案.
18．【答案】1
【知識點】等邊三角形的判定與性質；含30°角的直角三角形；旋轉的性質
【解析】【解答】∵∠BAC=90°，∠B=60°，
∴BC=2AB=2，根據旋轉的性質得：AD=AB，
而∠B=60°，
∴是等邊三角形，
∴BD=AB=1，
∴CD=BC-BD=2-1=1．
∴CD的長為1．
【分析】首先根據含30°銳角的直角三角形求得BC的長度，再根據旋轉性質得出△ABD為等邊三角形，得出BD=1，最后根據線段的差即可求得CD的長度。
19．【答案】解：（1）A（-1，0），B（-2，-2）
（2）作圖如圖1，
（3）P（-5，0）.
【知識點】點的坐標；待定系數法求一次函數解析式；一次函數圖象與坐標軸交點問題；坐標與圖形變化﹣中心對稱；作圖﹣中心對稱
【解析】【解答】（1）根據網格可得出：A（-1，0），B（-2，-2）；
故答案為：（-1，0）；（-2，-2）；
（3）作圖如圖2，
作M點關于x軸對稱點N（1，-4），
連接BN，交x軸與點P，此時|PM-PB|的值最大，
根據點N（1，-4），點B（-2，-2），
則直線NB解析式為y=-x-，
令y=0，x=-5，
則P（-5，0）．
【分析】
（1）在平面直角坐標系中，根據網格可直接得出點A和點B的坐標；
（2）根據中心對稱點的作法分別得出分別作出A，B，C的對稱點A'，B'，C'，再順次連接即可得到圖形；
（3）作M點關于x軸對稱點N（1，-4），連接BN，利用待定系數法可得出直線BN的解析式，令y=0.即可得出直線BN與x軸的交點坐標，即為點P的坐標。
20．【答案】（1）解：（萬元）．
答：二月份的銷售額為100萬元．
（2）解：設三、四月份銷售額的平均增長率為，
依題意得：，
解得：，（不合題意，舍去）．
答：三、四月份銷售額的平均增長率為．
【知識點】一元二次方程的實際應用-百分率問題
【解析】【分析】（1）根據二月份的銷售額在一月份的基礎上下降了20%，即可列式，再進行計算即可；
（2）設三、四月份銷售額的平均增長率為，根據增長率計算公式a（1+x）n=m，即可得出方程，解方程并取正值即可。
（1）解：（萬元）．
答：二月份的銷售額為100萬元．
（2）設三、四月份銷售額的平均增長率為，
依題意得：，
解得：，（不合題意，舍去）．
答：三、四月份銷售額的平均增長率為．
21．【答案】（1）證明：由題意得：，
∴，
∵，
∴，
∴該方程總有兩個實數根；
（2）解：設關于的一元二次方程的兩實數根為，則有：，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴．
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用；一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）
【解析】【分析】（1）根據二次方程判別式，可得該方程總有兩個實數根.
（2）設關于的一元二次方程的兩實數根為，根據二次方程根與系數的關系可得，根據題意建立方程，解方程即可求出答案.
22．【答案】（1）解：設y與x的函數解析式為，
將、代入，得：
解得：，
所以y與x的函數解析式為；
（2）解：根據題意知，，
，
當時，W隨x的增大而增大，
，
當時，W取得最大值，最大值為200，
答：每件銷售價為20元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤是200元．
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；二次函數的最值；二次函數的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】（1）根據、在直線上，利用待定系數法即可得出關于y與x的函數解析式；
（2）根據“總利潤每件的利潤銷售量”可得函數解析式，并將解析式轉化成頂點式，根據二次函數的最值即可得出答案。
（1）解：設y與x的函數解析式為，
將、代入，得：
解得：，
所以y與x的函數解析式為；
（2）解：根據題意知，，
，
當時，W隨x的增大而增大，
，
當時，W取得最大值，最大值為200，
答：每件銷售價為20元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤是200元．
23．【答案】（1）解：∵拋物線與軸交于（），（）兩點，
解得
∴拋物線的函數表達式
（2）解：連接，設，
∵拋物線與軸交于點，
∴當時，，
∴（），
∵在第二象限，
，
（3）解：由（）得，當的面積為時，，
解得
∵點在第二象限，
∴，
∴，
，
∴點的坐標為。
【知識點】因式分解法解一元二次方程；待定系數法求二次函數解析式；二次函數圖象上點的坐標特征；幾何圖形的面積計算-割補法；點的坐標與象限的關系
【解析】【分析】（1）根據（），（）兩點在拋物線上，根據待定系數即可求得拋物線的函數表達式；
（2）連接，根據點P在拋物線上，可設，并求出拋物線與y軸的交點（），從而根據面積割補法即可求解；
（3）根據（2）的結果，可得出=，解方程求解，并根據點P的位置，即可得出點P的坐標。
24．【答案】（1）
（2），理由如下：
把繞點順時針旋轉得到，連接，
如下圖：
，
，
，
，
，
即，
，
又，
∴，
，
即，
在和中
，
，
（3）把繞點順時針旋轉得到，連接，
如下圖：
，
，
，
，
即，
又，
，
在和中
，
，
過點作，垂足為，
，
，
，
，
【知識點】勾股定理；正方形的性質；旋轉的性質；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中對應邊的關系
【解析】【解答】解：（1），理由如下：由旋轉可得，
∵四邊形為正方形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
【分析】（1）通過將△ADF繞點A順時針旋轉90°，使得AD與AB重合，得到GB＝DF，AF＝ AG，且∠BAG=∠DAF。利用SAS準則證明△AGE≌△AFE，得出GE＝EF，進而得到EF=BE+DF；
（2）通過將△AFD繞點A順時針旋轉90°得到△ABE'，利用旋轉的性質和SAS準則證明△AEE'≌△AEF，得出EE'=FE，再利用勾股定理得到BE2+DF2=EF2；
（3）通過將ACE繞點A順時針旋轉120°得到△ABP，利用旋轉的性質和SAS準則證明△AED≌△APD，得出ED＝PD。再利用勾股定理計算PD的長度，得到DE=14。
25．【答案】（1）解：當時，拋物線為：，當時，則，
∴，即，
解得：，，
∵點A在點B左側，
∴，．
（2）∵的頂點坐標為，即，
∵拋物線頂點P在直線上，
∴，
解得：，，經檢驗符合題意；
當時，
∴，，
∴頂點坐標為：．
當時，
∴，，
∴頂點坐標為：．
（3）∵拋物線的對稱軸為直線，當時，如圖，則，
此時當時，函數取得最小值，
∴，
解得：，
當時，即，如圖，
此時當時，取得最小值，
∴，
解得：，經檢驗不符合題意舍去；
∵，∴，
當時，不符合題意舍去，
綜上：的值為：．
【知識點】二次函數的最值；待定系數法求二次函數解析式；二次函數圖象與坐標軸的交點問題；二次函數y=ax²+bx+c的性質；一次函數圖象上點的坐標特征
【解析】【分析】（1）首先根據待定系數法求得二次函數解析式，再令y=0.求出對應的自變量的值，即可得出A，B的坐標；
（2）首先求出拋物線的頂點坐標為，再 根據點P在直線上，即可得出關于m的方程，解方程即可得出答案；
（3）拋物線的對稱軸為直線，可以分成三種情況進行討論：①當時，②當時，當時，根據此時的最小值，即可求出m的值。
（1）解：當時，拋物線為：，
當時，則，
∴，即，
解得：，，
∵點A在點B左側，
∴，．
（2）∵的頂點坐標為，即，
∵拋物線頂點P在直線上，
∴，
解得：，，經檢驗符合題意；
當時，
∴，，
∴頂點坐標為：．
當時，
∴，，
∴頂點坐標為：．
（3）∵拋物線的對稱軸為直線，當時，
如圖，則，
此時當時，函數取得最小值，
∴，
解得：，
當時，即，如圖，
此時當時，取得最小值，
∴，
解得：，經檢驗不符合題意舍去；
∵，∴，
當時，不符合題意舍去，
綜上：的值為：．
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