資源簡介

廣東省惠州市仲愷區2024—2025學年下學期八年級數學期末考試試卷
1．（2025八下·惠州期末）當時，下列式子有意義的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·惠州期末）為慶祝神舟十八號載人飛船的成功發射，某學校“鯤鵬”航天社團開展航天知識競賽活動，經過篩選，決定從甲乙丙丁四名同學中選擇一名同學代表，該社團參加比賽，經過統計，四名同學成績的平均數（單位：分）及方差（單位：分2）如表所示：
　 甲 乙 丙 丁
平均數 96 96 98 98
方差 1.0 0.4 0.2 0.6
如果要選一名成績好且狀態穩定的同學參賽，那么應該選擇（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．（2025八下·惠州期末）下列式子正確的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八下·惠州期末）在下列條件下不是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025八下·惠州期末）如圖，在中，對角線與相交于點，則下列結論一定正確的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八下·惠州期末）2024年4月23日是第29個世界讀書日．某校舉行了演講大賽，演講得分按“演講內容”占、“語言表達”占、“形象風度”占進行計算，某選手這三項的得分依次為80，95，80，則這位選手的最后得分是（　　）
A．86 B．85.5 C．86.5 D．88
7．（2025八下·惠州期末）如圖，在作線段的垂直平分線時，小聰是這樣操作的：分別以點A和點B為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點C，D，則直線即為所求．根據他的作圖方法可知四邊形一定是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四邊形
8．（2025八下·惠州期末）如圖，入射光線遇到平面鏡（軸）上的點后，反射光線交軸于點，若光線滿足的一次函數關系式為，則的值是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八下·惠州期末）如圖①是第14屆數學教育大會會標，中心圖案來源于我國古代數學家趙爽的“弦圖”．如圖②所示的“弦圖”是由4個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的邊長為13，的長為5，則小正方形的邊長為（　　）
A．7 B．6 C．5 D．12
10．（2025八下·惠州期末）在我國古代數學名著《算法統宗》里有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉．良工高士素好奇，算出索長有幾？”譯文：“有一架秋千，當它靜止時，踏板離地1尺，將它往前推送10尺（水平距離）時，秋千的踏板就和身高為5尺的人一樣高，秋千的繩索始終是拉直的，試問繩索有多長？”設繩索長為x尺，則x滿足的方程為（　　）
A．x2=102+（x-5-1）2 B．x2＝（x﹣5）2+102
C．x2＝102+（x+1-5）2 D．x2＝（x+1）2+102
11．（2025八下·惠州期末）最簡二次根式與可以合并，則a= 　 　 ．
12．（2025八下·惠州期末）將直線y＝2x－1向下平移3個單位后得到的直線表達式為　 　．
13．（2025八下·惠州期末）如圖，數軸上點O、A所表示的數分別是0，3，過點A作數軸，個單位長度，以O為圓心，長為半徑畫弧交數軸上A點的左側一點C，則點C表示的數是　 　 ．
14．（2025八下·惠州期末）已知 中， ， ， ，點D、E、F分別為三邊中點，則 的周長為　 　.
15．（2025八下·惠州期末）如圖，正方形的邊長為8，在上，且，是上的一動點，求的最小值．
16．（2025八下·惠州期末）計算：
17．（2025八下·惠州期末）如圖，在平行四邊形中，E，F分別是，的中點，求證：．
18．（2025八下·惠州期末）如圖，在由邊長為1的小正方形組成的5×6的網格中，△ABC的三個頂點均在格點上，請按要求解決下列問題：
（1）通過計算判斷△ABC的形狀；
（2）在圖中確定一個格點D，連接AD、CD，使四邊形ABCD為平行四邊形，并求出 ABCD的面積．
19．（2025八下·惠州期末）綜合與實踐：探究水龍頭滴水量與時間的關系
學校開展“珍惜水資源，從點滴做起”的主題活動，八年級同學們積極響應，參與到一項關于水龍頭滴水情況的實踐調查中，旨在了解日常生活中被忽視的水資源浪費問題．
【任務一】同學們領取一個帶有精確刻度、能顯示水量的容器，放置在一個關閉不嚴、正在滴水的水龍頭下方，以下同學們記錄的不同時間下容器內的水量數據：
時間 t/min 0 5 10 15 20
水量 w/mL 0 10 20 30 40
【任務二】（1）建立平面直角坐標系，以橫軸表示時間t，縱軸表示水w，描出表格每組數據所對應的點，連接這些點，觀察它們分布規律；
【任務三】（2）試寫出漏水量w關于時間t的函數解析式；
【任務四】（3）依據函數解析式，估算在這種狀態下一天（24小時）會浪費多少升水
20．（2025八下·惠州期末）人工智能是新一輪科技革命和產業變革的重要驅動力量，等模型的發布，給人們的工作生活帶來極大的便利．某校為了激發同學們對人工智能的興趣，普及人工智能知識，組織七、八年級學生參加了人工智能科普測試．現從七、八兩個年級各抽取10人記錄下他們的測試得分并進行整理和分析（積分用x表示，共分為四組：A：，B：，C：，D：），下面給出了部分信息：
七年級10人的得分：；
八年級10人的得分在B組中的分數為：；
兩組數據的平均數、中位數、眾數如下表所示：
年級 平均數 中位數 眾數
七 76.8 83 a
八 76.8 b 84
根據以上信息，解答下列問題：
（1）填空：_______，________，______；
（2）根據以上數據，你認為哪個年級在此次人工智能科普測試中表現更好，請說明理由（一條理由即可）；
（3）若七年級有360人參與測試，八年級有400人參與測試，請估計七、八兩個年級得分在A組的人數之和．
21．（2025八下·惠州期末）物理課上，老師帶著科技小組進行物理實驗.同學們將一根不可拉伸的繩子繞過定滑輪，一端拴在滑塊上，另一端拴在物體上，滑塊放置在水平地面的直軌道上，通過滑塊的左右滑動來調節物體的升降．實驗初始狀態如圖所示，物體靜止在直軌道上，物體到滑塊的水平距離是，物體到定滑輪的垂直距離是．（實驗過程中，繩子始終保持繃緊狀態，定滑輪、滑塊和物體的大小忽略不計）
（1）求繩子的總長度；
（2）如圖，若物體升高，求滑塊向左滑動的距離．
22．（2025八下·惠州期末）在學習一元一次不等式與一次函數中，小明在同一個坐標系中發現直線l1：y1＝kx+b（k≠0）與x軸交于點A且與直線l2：y2＝x交于點B，并且有如下信息：①當x＞2時，y1＜y2；當x＜2時，y1＞y2．②當y1＜0時，x＜﹣4．
根據信息解答下列問題：
（1）求直線l1的表達式．
（2）過點A的直線l3：y3＝與直線l2交于點C，求△ABC的面積．
（3）若點D是x軸上的動點，點E是直線AB上的動點，是否存在以A、C、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的D點坐標．若不存在，請說明理由．
23．（2025八下·惠州期末）寬與長的比是（約為）的矩形叫做黃金矩形．黃金矩形給我們以協調、勻稱的美感．世界各國許多著名的建筑，為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設計
【操作發現】下面，我們用寬為的矩形紙片折疊黃金矩形
第一步，在一張矩形紙片的一端，利用圖①的方法折出一個正方形，然后把紙片展平；
第二步，如圖②，把這個正方形折成兩個相等的矩形，再把紙片展平；
第三步，折出內側矩形的對角線，并把折到圖③中所示的處；
第四步，展平紙片，按照所得的點折出 ，使，則圖④中就會出現黃金矩形
【問題解決】
（1）圖③中， ；
（2）如圖③，判斷四邊形的形狀，并說明理由；
（3）請寫出圖④的個黃金矩形，并分別說明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知識點】分式有無意義的條件；二次根式有無意義的條件
【解析】【解答】解：A、當時，，分式無意義，故此選項不符合題意；
B、當時，被開方數為負數，二次根式無意義，故此選項不符合題意；
C、當時，被開方數，為負數，二次根式無意義，故此選項不符合題意；
D、當時，被開方數，二次根式有意義，故此選項符合題意；
故選：D．
【分析】本題考查有意義的條件，選項給出了分式和二次根式兩種類型，分式有意義的條件是分母不為0，二次根式有意義的條件是被開方數大于等于0，選項中只有D項當x=1時分母不為0，且根號下是非負數.
2．【答案】C
【知識點】方差
【解析】【解答】解：丙、丁兩名同學的平均數高于甲、乙兩名同學的平均數，
丙的方差小于丁的方差，
∴丙同學的成績好且狀態穩定，
故選：C．
【分析】方差表示一組數據的波動情況，方差越小，數據越穩定.
3．【答案】B
【知識點】開平方（求平方根）；求算術平方根
【解析】【解答】解：A、，所以本選項不符合題意；
B、，所以本選項符合題意；
C、，所以本選項不符合題意；
D、，所以本選項不符合題意；
故選：B．
【分析】結果的符號由根號前的符號決定，所以ACD錯誤，B正確．
4．【答案】C
【知識點】三角形內角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：、由可得，根據勾股定理的逆定理可知是直角三角形，該選項不合題意；
、∵，
∴設，，，
∴，根據勾股定理的逆定理可知是直角三角形，該選項不合題意；
、∵，
∴設，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴不是直角三角形，該選項符合題意；
、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，該選項不合題意；
故選：C．
【分析】本題選擇不是直角三角形的是，那么就需明白，滿足什么條件的三角形是直角三角形：有一個角是90°的三角形是直角三角形；兩銳角互余的三角形是直角三角形以及三邊滿足兩短邊的平方和等于最長邊的平方的三角形是直角三角形，只有C項不能滿足以上三條任意一條.
5．【答案】C
【知識點】平行四邊形的性質
【解析】【解答】解：A．平行四邊形對角線互相平分，即，，只有平行四邊形是矩形時，一般平行四邊形，該選項錯誤，不符合題意；
B．平行四邊形對邊相等，即，，只有平行四邊形是菱形時，一般平行四邊形，該選項錯誤，不符合題意；
C．因為四邊形是平行四邊形，所以，根據兩直線平行，內錯角相等，可得，該選項正確，符合題意；
D．平行四邊形鄰角互補，即，只有平行四邊形是矩形時，一般平行四邊形，該選項錯誤，不符合題意；
故選：C ．
【分析】 本題考查平行四邊形的性質 ，平行四邊形的性質有：對邊平行且相等，對角相等，對角線互相平分，對邊平行又會導致內錯角相等，而C項的兩個角是內錯角，所以一定相等.
6．【答案】A
【知識點】加權平均數及其計算
【解析】【解答】解：由題意得，，
故選：A．
【分析】根據加權平均數的定義求解即可．
7．【答案】B
【知識點】線段垂直平分線的性質；菱形的判定
【解析】【解答】解：∵分別以點A和點B為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點C，D，
∴，
∴四邊形是菱形．
故選：B．
【分析】根據基本作圖，得到，因為四邊相等的四邊形是菱形，可以判定四邊形是菱形．
8．【答案】B
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；三角形全等及其性質；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵，
∴，
如圖，延長交軸于點，
由題意可得：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
將代入得：，
解得：，
故選：B．
【分析】根據兩點間距離可得，延長交軸于點，由題意可得：，再根據全等三角形判定定理可得，則，即，再根據待定系數法將點Q坐標代入解析式即可求出答案.
9．【答案】A
【知識點】勾股定理；正方形的性質；“趙爽弦圖”模型
【解析】【解答】解：四邊形是正方形，
，
，
，
即，
在中，，
，
．
故選：A．
【分析】本題所示圖形為趙爽線圖，而趙爽線圖與勾股定理息息相關，已知AD=13，AE=5，所以DH=5，在中，可由勾股定理求得AH的長度為12，所以小正方形的邊長為12-5=7.
10．【答案】C
【知識點】勾股定理；一元二次方程的應用-幾何問題；勾股定理的實際應用-其他問題
【解析】【解答】根據題意做出簡圖如下：
其中AC=x，BC=10，AB=x+1-5
中，由得，
故選C．
【分析】根據題意做出簡圖如下，尋找三邊之間的數量關系，在中應用勾股定理即可．
11．【答案】3
【知識點】最簡二次根式；同類二次根式
【解析】【解答】解：∵最簡二次根式與可以合并，
∴，
解得：，
故答案為：3．
【分析】因為題干所給兩個二次根式為最簡二次根式，且二者可以合并，所以它們的被開方數相等，即2a-1=5，所以可以求得a的值.
12．【答案】
【知識點】一次函數圖象的平移變換
【解析】【解答】解：直線y＝2x－1向下平移3個單位后得到的直線表達式為y＝2x－1－3=2x－4，
即y=2x－4，
故答案為y=2x－4．
【分析】
根據一次函數平移的規律解答．一次函數平移的規律為：左加右減，上加下減．
13．【答案】
【知識點】實數在數軸上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：∵⊥數軸，
∴，
∵數軸上點O、A所表示的數分別是0，3，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴點C表示的數是，
故答案為：．
【分析】在Rt△OAB中，利用勾股定理可得，因為OC是由OB旋轉得到，所以OC=，所以C點表示得數為．
14．【答案】9
【知識點】三角形的中位線定理
【解析】【解答】解：如圖，
∵點D，E分別AB、BC的中點，
∴DE= AC=3.5，
同理，DF= BC=3，EF= AB=2.5，
∴△DEF的周長=DE+EF+DF=9，
故答案為：9.
【分析】根據三角形中位線定理分別求出DE、EF、DF，計算即可.
15．【答案】解：∵四邊形是正方形，
∴點關于的對稱點是點．
連接，，且交于點，與交于點，此時的值最小．
∵，正方形的邊長為8，
∴，．
由，知．
又∵點與點關于對稱，
∴且平分．∴．
∴．
∴的最小值是10
【知識點】勾股定理；正方形的性質；四邊形-動點問題；將軍飲馬模型-一線兩點（一動兩定）
【解析】【分析】本題問的最小值，很明顯的線段之和最小問題，此類題型為將軍飲馬模型，解決方法是找到其中一點的對稱點并與另外一點連接，得到的線段的長度就等于二者之和的最小值，本題中，就需要找D點或M點關于AC的對稱點，因為四邊形ABCD是正方形所以點D的對稱點相對好找，即B點，連接BM，則線段BM的長度就是二者之和的最小值，而BM的長度可以由勾股定理求得.
16．【答案】解：原式
．
【知識點】完全平方公式及運用；二次根式的混合運算
【解析】【分析】本題的計算方法是先按照完全平方公式進行計算，再合并同類項即可.
17．【答案】證明：∵四邊形是平行四邊形，
，
∵E，F分別是，的中點，
，，
，
∴四邊形是平行四邊形，
．
【知識點】平行四邊形的判定與性質
【解析】【分析】因為四邊形是平行四邊形，所以，再由E，F分別是，的中點，可得，從而由一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，得到四邊形是平行四邊形，進而證得．
18．【答案】解：（1）由題意可得，AB＝＝，AC＝＝2，BC＝＝5，
∵()2＋(2)2＝25＝52，即AB2＋AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）過點A作AD∥BC，過點C作CD∥AB，直線AD和CD的交點就是D的位置，格點D的位置如圖，
∴平行四邊形ABCD的面積為：AB×AC＝×2＝10．
【知識點】勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四邊形的判定；平行四邊形的面積
【解析】【分析】（1）在Rt△AEB中根據勾股定理求出AB的長，同理，根據勾股定理求出BC、AC的長，可發現AB、BC、AC間的數量關系滿足AB2＋AC2＝BC2，利用勾股定理的逆定理即可判斷△ABC為直角三角形；
（2）根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，可得過點A作AD∥BC，過點C作CD∥AB，直線AD和CD的交點就是D的位置．根據平行四邊形ABCD的面積為△ABC面積的2倍即可得出平行四邊形的面積．
19．【答案】解：（1）描出表格每對數據所對應的點如下：
由圖象可知，這些點分布在同一條直線上．
（2）∵這些點分布在同一條直線上，
∴與之間是一次函數的關系，
設關于的函數解析式為（為常數，且），
將坐標代，
得，
解得，
∴關于的函數解析式為.
（3）（分鐘），
當時，，
，
答：在這種狀態下一天（24小時）會浪費2.88升水
【知識點】一次函數的圖象；待定系數法求一次函數解析式；一次函數的其他應用
【解析】【分析】（1）按照圖表所給數據，在坐標系下描點、連線，觀察得出這些點分布在一條直線上；
（2）因為圖像呈現出直線狀態，所以可以得出w與t之間是一次函數關系，利用圖標所給數據，用待定系數法進行求解即可；
（3）由于表達式中t的單位是分鐘，要想求出一天中水的浪費數量，需要先進行單位換算，求出一天有多少分鐘，再把求出的t值代入到表達式中求w的值即可．
20．【答案】（1）83，，20
（2）解：八年級掌握垃圾分類知識比較好，
理由：八年級的中位數高于七年級的中位數，說明八年級學生掌握的較好.
（3）解：∵人，人，
∴七、八兩個年級得分在A組的人數之和為：人．
【知識點】用樣本估計總體；扇形統計圖；中位數；眾數
【解析】【解答】（1）解：∵七年級10人的分數中83出現的次數最多，
∴眾數．
∵八年級C組人數：，
八年級D組人數：，
八年級B組人數：4，
∴八年級A組人數：，
∴，
∴．
∵八年級成績排在第5和第6位的是84和97，
∴．
故答案為：86，，20.
【分析】（1）利用眾數、中位數的定義及計算方法求出a、b的值，再利用“A”的人數除以總人數可得m的值；
（2）利用中位數的定義及性質分析求解即可；
（3）先分別求出七、八年級“A”組的人數，再相加即可.
（1）解：∵七年級10人的分數中83出現的次數最多，
∴眾數．
∵八年級C組人數：，
八年級D組人數：，
八年級B組人數：4，
∴八年級A組人數：，
∴，
∴．
∵八年級成績排在第5和第6位的是84和97，
∴．
故答案為：86，，20；
（2）解：八年級掌握垃圾分類知識比較好，
理由：八年級的中位數高于七年級的中位數，說明八年級學生掌握的較好；
（3）解：∵人，人，
∴七、八兩個年級得分在A組的人數之和為：人．
21．【答案】（1）解：根據題意得，，，
，
，
答：繩子的總長度為；
（2）解：如下圖所示，
：
根據題意得，，，，
，
，
答：滑塊向左滑動的距離為．
【知識點】勾股定理；勾股定理的應用
【解析】【分析】根據Rt中直角邊的長度是，的長度是，利用勾股定理求出斜邊的長度，繩子的長度就是斜邊與直角邊的長度之和；
物體升高，則斜邊的長度增加，斜邊的長度增加為，利用勾股定理求出的長度，用的長度減去的長度，就是滑塊向左滑動的距離．
（1）解：根據題意得，，，
，
，
答：繩子的總長度為；
（2）解：如下圖所示，
：
根據題意得，，，，
，
，
答：滑塊向左滑動的距離為．
22．【答案】解：（1）∵當x＞2時，；當x＜2時，，∴點B的橫坐標為2，當x＝2時，，∴直線，的交點坐標為B（2，3），∵當時，x＜﹣4，∴直線與x軸的交點坐標為A（﹣4，0），將A（﹣4，0），B（2，3）代入y1＝kx+b中，∴，解得：，∴直線的表達式為；（2）聯立，解得：，∴直線，的交點坐標為C（，），∴；（3）存在，∵點E是直線AB上的動點，點D是x軸上的動點，∴設E點坐標為（，），D點坐標為（m，0），又∵A（，0），C（，），在以A、C、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形中，①當AC，DE為平行四邊形的對角線時，，解得，∴此時D點坐標為（2，0），②當AD，CE為平行四邊形的對角線時，，解得，此時D點坐標為（2，0），③當AE，CD為平行四邊形的對角線時，，解得，此時D點坐標為（﹣10，0），綜上，滿足條件的點D的坐標為（2，0）或（﹣10，0）
（1）解：（1）∵當x＞2時，；當x＜2時，，
∴點B的橫坐標為2，
當x＝2時，，
∴直線，的交點坐標為B（2，3），
∵當時，x＜﹣4，
∴直線與x軸的交點坐標為A（﹣4，0），
將A（﹣4，0），B（2，3）代入y1＝kx+b中，
∴，
解得：，
∴直線的表達式為；
（2）解：聯立，
解得：，
∴直線，的交點坐標為C（，），
∴；
（3）解：存在，點D的坐標為（2，0）或（﹣10，0）
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；一次函數與二元一次方程（組）的關系；一次函數的性質；一次函數中的動態幾何問題；一次函數中的面積問題
【解析】【解答】解：存在，
∵點E是直線AB上的動點，點D是x軸上的動點，
∴設E點坐標為（，），D點坐標為（m，0），
又∵A（，0），C（，），
在以A、C、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形中，
①當AC，DE為平行四邊形的對角線時，
，解得，
∴此時D點坐標為（2，0），
②當AD，CE為平行四邊形的對角線時，
，解得，
此時D點坐標為（2，0），
③當AE，CD為平行四邊形的對角線時，
，解得，
此時D點坐標為（﹣10，0），
綜上，滿足條件的點D的坐標為（2，0）或（﹣10，0）
【分析】（1）由題意 l1 的圖像過A點和B點，所以本題要求 l1 的表達式，采用待定系數法，所以需要先求出A點和B點的確切坐標，由 ①當x＞2時，y1＜y2；當x＜2時，y1＞y2 可知，x=2是兩函數大小發生變化的點，即它們的交點，所以得出點B的橫坐標為2，代入到 l2 中可求得點B的坐標，由 ②當y1＜0時，x＜﹣4 可求得點A的坐標；
（2）求 △ABC 的面積，首先要求出各頂點的坐標，此三角形只有頂點C的坐標未知，因為點C是l2 與 l3 的交點，所以聯立方程組即可求得C點的坐標；觀察△ABC在坐標系下的位置，求其面積需采用割補法，以x軸為分界線，分成兩個標準三角形，分別利用公式求其面積，再相加即可；
（3）因為點E是直線AB上的動點 ，所以可以設E點的坐標為（，），因為點D是x軸上的動點 ，所以可以設D點的坐標為（m，0），然后分類討論，當AC，DE為平行四邊形的對角線時，當AD，CE為平行四邊形的對角線時，當AE，CD為平行四邊形的對角線時三種情況列方程組求解．
23．【答案】（1）
（2）解：四邊形是菱形．理由如下：
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∵把折到圖③中所示的處，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是菱形；
（3）解：黃金矩形有矩形，矩形．理由如下：
如圖④，連接
∵四邊形是正方形，矩形紙片的寬為，
∴，，
∵四邊形和四邊形是兩相相等的矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴四邊形和四邊形都是矩形，
∵，，
∴，，
∴，
∴矩形是黃金矩形，
∵，
∴矩形是黃金矩形．
【知識點】勾股定理；菱形的判定；矩形的性質；正方形的性質；翻折變換（折疊問題）
【解析】【解答】（1）解：由折疊過程知：，，，
∴，
故答案為：；
【分析】 （1）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求得AB的長度；
（2）根據折疊的性質可以得到，而四條邊相等的四邊形是菱形，所以可以得出結論；
（3）因為寬與長的比是 的矩形是黃金矩形，所以只需找到符合此比例的矩形即可.
（1）解：由折疊過程知：，，，
∴，
故答案為：；
（2）解：四邊形是菱形．理由如下：
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∵把折到圖③中所示的處，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是菱形；
（3）解：黃金矩形有矩形，矩形．理由如下：
如圖④，連接
∵四邊形是正方形，矩形紙片的寬為，
∴，，
∵四邊形和四邊形是兩相相等的矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴四邊形和四邊形都是矩形，
∵，，
∴，，
∴，
∴矩形是黃金矩形，
∵，
∴矩形是黃金矩形．
1 / 1廣東省惠州市仲愷區2024—2025學年下學期八年級數學期末考試試卷
1．（2025八下·惠州期末）當時，下列式子有意義的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】分式有無意義的條件；二次根式有無意義的條件
【解析】【解答】解：A、當時，，分式無意義，故此選項不符合題意；
B、當時，被開方數為負數，二次根式無意義，故此選項不符合題意；
C、當時，被開方數，為負數，二次根式無意義，故此選項不符合題意；
D、當時，被開方數，二次根式有意義，故此選項符合題意；
故選：D．
【分析】本題考查有意義的條件，選項給出了分式和二次根式兩種類型，分式有意義的條件是分母不為0，二次根式有意義的條件是被開方數大于等于0，選項中只有D項當x=1時分母不為0，且根號下是非負數.
2．（2025八下·惠州期末）為慶祝神舟十八號載人飛船的成功發射，某學校“鯤鵬”航天社團開展航天知識競賽活動，經過篩選，決定從甲乙丙丁四名同學中選擇一名同學代表，該社團參加比賽，經過統計，四名同學成績的平均數（單位：分）及方差（單位：分2）如表所示：
　 甲 乙 丙 丁
平均數 96 96 98 98
方差 1.0 0.4 0.2 0.6
如果要選一名成績好且狀態穩定的同學參賽，那么應該選擇（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【知識點】方差
【解析】【解答】解：丙、丁兩名同學的平均數高于甲、乙兩名同學的平均數，
丙的方差小于丁的方差，
∴丙同學的成績好且狀態穩定，
故選：C．
【分析】方差表示一組數據的波動情況，方差越小，數據越穩定.
3．（2025八下·惠州期末）下列式子正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】開平方（求平方根）；求算術平方根
【解析】【解答】解：A、，所以本選項不符合題意；
B、，所以本選項符合題意；
C、，所以本選項不符合題意；
D、，所以本選項不符合題意；
故選：B．
【分析】結果的符號由根號前的符號決定，所以ACD錯誤，B正確．
4．（2025八下·惠州期末）在下列條件下不是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知識點】三角形內角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：、由可得，根據勾股定理的逆定理可知是直角三角形，該選項不合題意；
、∵，
∴設，，，
∴，根據勾股定理的逆定理可知是直角三角形，該選項不合題意；
、∵，
∴設，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴不是直角三角形，該選項符合題意；
、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，該選項不合題意；
故選：C．
【分析】本題選擇不是直角三角形的是，那么就需明白，滿足什么條件的三角形是直角三角形：有一個角是90°的三角形是直角三角形；兩銳角互余的三角形是直角三角形以及三邊滿足兩短邊的平方和等于最長邊的平方的三角形是直角三角形，只有C項不能滿足以上三條任意一條.
5．（2025八下·惠州期末）如圖，在中，對角線與相交于點，則下列結論一定正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】平行四邊形的性質
【解析】【解答】解：A．平行四邊形對角線互相平分，即，，只有平行四邊形是矩形時，一般平行四邊形，該選項錯誤，不符合題意；
B．平行四邊形對邊相等，即，，只有平行四邊形是菱形時，一般平行四邊形，該選項錯誤，不符合題意；
C．因為四邊形是平行四邊形，所以，根據兩直線平行，內錯角相等，可得，該選項正確，符合題意；
D．平行四邊形鄰角互補，即，只有平行四邊形是矩形時，一般平行四邊形，該選項錯誤，不符合題意；
故選：C ．
【分析】 本題考查平行四邊形的性質 ，平行四邊形的性質有：對邊平行且相等，對角相等，對角線互相平分，對邊平行又會導致內錯角相等，而C項的兩個角是內錯角，所以一定相等.
6．（2025八下·惠州期末）2024年4月23日是第29個世界讀書日．某校舉行了演講大賽，演講得分按“演講內容”占、“語言表達”占、“形象風度”占進行計算，某選手這三項的得分依次為80，95，80，則這位選手的最后得分是（　　）
A．86 B．85.5 C．86.5 D．88
【答案】A
【知識點】加權平均數及其計算
【解析】【解答】解：由題意得，，
故選：A．
【分析】根據加權平均數的定義求解即可．
7．（2025八下·惠州期末）如圖，在作線段的垂直平分線時，小聰是這樣操作的：分別以點A和點B為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點C，D，則直線即為所求．根據他的作圖方法可知四邊形一定是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四邊形
【答案】B
【知識點】線段垂直平分線的性質；菱形的判定
【解析】【解答】解：∵分別以點A和點B為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點C，D，
∴，
∴四邊形是菱形．
故選：B．
【分析】根據基本作圖，得到，因為四邊相等的四邊形是菱形，可以判定四邊形是菱形．
8．（2025八下·惠州期末）如圖，入射光線遇到平面鏡（軸）上的點后，反射光線交軸于點，若光線滿足的一次函數關系式為，則的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；三角形全等及其性質；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵，
∴，
如圖，延長交軸于點，
由題意可得：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
將代入得：，
解得：，
故選：B．
【分析】根據兩點間距離可得，延長交軸于點，由題意可得：，再根據全等三角形判定定理可得，則，即，再根據待定系數法將點Q坐標代入解析式即可求出答案.
9．（2025八下·惠州期末）如圖①是第14屆數學教育大會會標，中心圖案來源于我國古代數學家趙爽的“弦圖”．如圖②所示的“弦圖”是由4個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的邊長為13，的長為5，則小正方形的邊長為（　　）
A．7 B．6 C．5 D．12
【答案】A
【知識點】勾股定理；正方形的性質；“趙爽弦圖”模型
【解析】【解答】解：四邊形是正方形，
，
，
，
即，
在中，，
，
．
故選：A．
【分析】本題所示圖形為趙爽線圖，而趙爽線圖與勾股定理息息相關，已知AD=13，AE=5，所以DH=5，在中，可由勾股定理求得AH的長度為12，所以小正方形的邊長為12-5=7.
10．（2025八下·惠州期末）在我國古代數學名著《算法統宗》里有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉．良工高士素好奇，算出索長有幾？”譯文：“有一架秋千，當它靜止時，踏板離地1尺，將它往前推送10尺（水平距離）時，秋千的踏板就和身高為5尺的人一樣高，秋千的繩索始終是拉直的，試問繩索有多長？”設繩索長為x尺，則x滿足的方程為（　　）
A．x2=102+（x-5-1）2 B．x2＝（x﹣5）2+102
C．x2＝102+（x+1-5）2 D．x2＝（x+1）2+102
【答案】C
【知識點】勾股定理；一元二次方程的應用-幾何問題；勾股定理的實際應用-其他問題
【解析】【解答】根據題意做出簡圖如下：
其中AC=x，BC=10，AB=x+1-5
中，由得，
故選C．
【分析】根據題意做出簡圖如下，尋找三邊之間的數量關系，在中應用勾股定理即可．
11．（2025八下·惠州期末）最簡二次根式與可以合并，則a= 　 　 ．
【答案】3
【知識點】最簡二次根式；同類二次根式
【解析】【解答】解：∵最簡二次根式與可以合并，
∴，
解得：，
故答案為：3．
【分析】因為題干所給兩個二次根式為最簡二次根式，且二者可以合并，所以它們的被開方數相等，即2a-1=5，所以可以求得a的值.
12．（2025八下·惠州期末）將直線y＝2x－1向下平移3個單位后得到的直線表達式為　 　．
【答案】
【知識點】一次函數圖象的平移變換
【解析】【解答】解：直線y＝2x－1向下平移3個單位后得到的直線表達式為y＝2x－1－3=2x－4，
即y=2x－4，
故答案為y=2x－4．
【分析】
根據一次函數平移的規律解答．一次函數平移的規律為：左加右減，上加下減．
13．（2025八下·惠州期末）如圖，數軸上點O、A所表示的數分別是0，3，過點A作數軸，個單位長度，以O為圓心，長為半徑畫弧交數軸上A點的左側一點C，則點C表示的數是　 　 ．
【答案】
【知識點】實數在數軸上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：∵⊥數軸，
∴，
∵數軸上點O、A所表示的數分別是0，3，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴點C表示的數是，
故答案為：．
【分析】在Rt△OAB中，利用勾股定理可得，因為OC是由OB旋轉得到，所以OC=，所以C點表示得數為．
14．（2025八下·惠州期末）已知 中， ， ， ，點D、E、F分別為三邊中點，則 的周長為　 　.
【答案】9
【知識點】三角形的中位線定理
【解析】【解答】解：如圖，
∵點D，E分別AB、BC的中點，
∴DE= AC=3.5，
同理，DF= BC=3，EF= AB=2.5，
∴△DEF的周長=DE+EF+DF=9，
故答案為：9.
【分析】根據三角形中位線定理分別求出DE、EF、DF，計算即可.
15．（2025八下·惠州期末）如圖，正方形的邊長為8，在上，且，是上的一動點，求的最小值．
【答案】解：∵四邊形是正方形，
∴點關于的對稱點是點．
連接，，且交于點，與交于點，此時的值最小．
∵，正方形的邊長為8，
∴，．
由，知．
又∵點與點關于對稱，
∴且平分．∴．
∴．
∴的最小值是10
【知識點】勾股定理；正方形的性質；四邊形-動點問題；將軍飲馬模型-一線兩點（一動兩定）
【解析】【分析】本題問的最小值，很明顯的線段之和最小問題，此類題型為將軍飲馬模型，解決方法是找到其中一點的對稱點并與另外一點連接，得到的線段的長度就等于二者之和的最小值，本題中，就需要找D點或M點關于AC的對稱點，因為四邊形ABCD是正方形所以點D的對稱點相對好找，即B點，連接BM，則線段BM的長度就是二者之和的最小值，而BM的長度可以由勾股定理求得.
16．（2025八下·惠州期末）計算：
【答案】解：原式
．
【知識點】完全平方公式及運用；二次根式的混合運算
【解析】【分析】本題的計算方法是先按照完全平方公式進行計算，再合并同類項即可.
17．（2025八下·惠州期末）如圖，在平行四邊形中，E，F分別是，的中點，求證：．
【答案】證明：∵四邊形是平行四邊形，
，
∵E，F分別是，的中點，
，，
，
∴四邊形是平行四邊形，
．
【知識點】平行四邊形的判定與性質
【解析】【分析】因為四邊形是平行四邊形，所以，再由E，F分別是，的中點，可得，從而由一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，得到四邊形是平行四邊形，進而證得．
18．（2025八下·惠州期末）如圖，在由邊長為1的小正方形組成的5×6的網格中，△ABC的三個頂點均在格點上，請按要求解決下列問題：
（1）通過計算判斷△ABC的形狀；
（2）在圖中確定一個格點D，連接AD、CD，使四邊形ABCD為平行四邊形，并求出 ABCD的面積．
【答案】解：（1）由題意可得，AB＝＝，AC＝＝2，BC＝＝5，
∵()2＋(2)2＝25＝52，即AB2＋AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）過點A作AD∥BC，過點C作CD∥AB，直線AD和CD的交點就是D的位置，格點D的位置如圖，
∴平行四邊形ABCD的面積為：AB×AC＝×2＝10．
【知識點】勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四邊形的判定；平行四邊形的面積
【解析】【分析】（1）在Rt△AEB中根據勾股定理求出AB的長，同理，根據勾股定理求出BC、AC的長，可發現AB、BC、AC間的數量關系滿足AB2＋AC2＝BC2，利用勾股定理的逆定理即可判斷△ABC為直角三角形；
（2）根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，可得過點A作AD∥BC，過點C作CD∥AB，直線AD和CD的交點就是D的位置．根據平行四邊形ABCD的面積為△ABC面積的2倍即可得出平行四邊形的面積．
19．（2025八下·惠州期末）綜合與實踐：探究水龍頭滴水量與時間的關系
學校開展“珍惜水資源，從點滴做起”的主題活動，八年級同學們積極響應，參與到一項關于水龍頭滴水情況的實踐調查中，旨在了解日常生活中被忽視的水資源浪費問題．
【任務一】同學們領取一個帶有精確刻度、能顯示水量的容器，放置在一個關閉不嚴、正在滴水的水龍頭下方，以下同學們記錄的不同時間下容器內的水量數據：
時間 t/min 0 5 10 15 20
水量 w/mL 0 10 20 30 40
【任務二】（1）建立平面直角坐標系，以橫軸表示時間t，縱軸表示水w，描出表格每組數據所對應的點，連接這些點，觀察它們分布規律；
【任務三】（2）試寫出漏水量w關于時間t的函數解析式；
【任務四】（3）依據函數解析式，估算在這種狀態下一天（24小時）會浪費多少升水
【答案】解：（1）描出表格每對數據所對應的點如下：
由圖象可知，這些點分布在同一條直線上．
（2）∵這些點分布在同一條直線上，
∴與之間是一次函數的關系，
設關于的函數解析式為（為常數，且），
將坐標代，
得，
解得，
∴關于的函數解析式為.
（3）（分鐘），
當時，，
，
答：在這種狀態下一天（24小時）會浪費2.88升水
【知識點】一次函數的圖象；待定系數法求一次函數解析式；一次函數的其他應用
【解析】【分析】（1）按照圖表所給數據，在坐標系下描點、連線，觀察得出這些點分布在一條直線上；
（2）因為圖像呈現出直線狀態，所以可以得出w與t之間是一次函數關系，利用圖標所給數據，用待定系數法進行求解即可；
（3）由于表達式中t的單位是分鐘，要想求出一天中水的浪費數量，需要先進行單位換算，求出一天有多少分鐘，再把求出的t值代入到表達式中求w的值即可．
20．（2025八下·惠州期末）人工智能是新一輪科技革命和產業變革的重要驅動力量，等模型的發布，給人們的工作生活帶來極大的便利．某校為了激發同學們對人工智能的興趣，普及人工智能知識，組織七、八年級學生參加了人工智能科普測試．現從七、八兩個年級各抽取10人記錄下他們的測試得分并進行整理和分析（積分用x表示，共分為四組：A：，B：，C：，D：），下面給出了部分信息：
七年級10人的得分：；
八年級10人的得分在B組中的分數為：；
兩組數據的平均數、中位數、眾數如下表所示：
年級 平均數 中位數 眾數
七 76.8 83 a
八 76.8 b 84
根據以上信息，解答下列問題：
（1）填空：_______，________，______；
（2）根據以上數據，你認為哪個年級在此次人工智能科普測試中表現更好，請說明理由（一條理由即可）；
（3）若七年級有360人參與測試，八年級有400人參與測試，請估計七、八兩個年級得分在A組的人數之和．
【答案】（1）83，，20
（2）解：八年級掌握垃圾分類知識比較好，
理由：八年級的中位數高于七年級的中位數，說明八年級學生掌握的較好.
（3）解：∵人，人，
∴七、八兩個年級得分在A組的人數之和為：人．
【知識點】用樣本估計總體；扇形統計圖；中位數；眾數
【解析】【解答】（1）解：∵七年級10人的分數中83出現的次數最多，
∴眾數．
∵八年級C組人數：，
八年級D組人數：，
八年級B組人數：4，
∴八年級A組人數：，
∴，
∴．
∵八年級成績排在第5和第6位的是84和97，
∴．
故答案為：86，，20.
【分析】（1）利用眾數、中位數的定義及計算方法求出a、b的值，再利用“A”的人數除以總人數可得m的值；
（2）利用中位數的定義及性質分析求解即可；
（3）先分別求出七、八年級“A”組的人數，再相加即可.
（1）解：∵七年級10人的分數中83出現的次數最多，
∴眾數．
∵八年級C組人數：，
八年級D組人數：，
八年級B組人數：4，
∴八年級A組人數：，
∴，
∴．
∵八年級成績排在第5和第6位的是84和97，
∴．
故答案為：86，，20；
（2）解：八年級掌握垃圾分類知識比較好，
理由：八年級的中位數高于七年級的中位數，說明八年級學生掌握的較好；
（3）解：∵人，人，
∴七、八兩個年級得分在A組的人數之和為：人．
21．（2025八下·惠州期末）物理課上，老師帶著科技小組進行物理實驗.同學們將一根不可拉伸的繩子繞過定滑輪，一端拴在滑塊上，另一端拴在物體上，滑塊放置在水平地面的直軌道上，通過滑塊的左右滑動來調節物體的升降．實驗初始狀態如圖所示，物體靜止在直軌道上，物體到滑塊的水平距離是，物體到定滑輪的垂直距離是．（實驗過程中，繩子始終保持繃緊狀態，定滑輪、滑塊和物體的大小忽略不計）
（1）求繩子的總長度；
（2）如圖，若物體升高，求滑塊向左滑動的距離．
【答案】（1）解：根據題意得，，，
，
，
答：繩子的總長度為；
（2）解：如下圖所示，
：
根據題意得，，，，
，
，
答：滑塊向左滑動的距離為．
【知識點】勾股定理；勾股定理的應用
【解析】【分析】根據Rt中直角邊的長度是，的長度是，利用勾股定理求出斜邊的長度，繩子的長度就是斜邊與直角邊的長度之和；
物體升高，則斜邊的長度增加，斜邊的長度增加為，利用勾股定理求出的長度，用的長度減去的長度，就是滑塊向左滑動的距離．
（1）解：根據題意得，，，
，
，
答：繩子的總長度為；
（2）解：如下圖所示，
：
根據題意得，，，，
，
，
答：滑塊向左滑動的距離為．
22．（2025八下·惠州期末）在學習一元一次不等式與一次函數中，小明在同一個坐標系中發現直線l1：y1＝kx+b（k≠0）與x軸交于點A且與直線l2：y2＝x交于點B，并且有如下信息：①當x＞2時，y1＜y2；當x＜2時，y1＞y2．②當y1＜0時，x＜﹣4．
根據信息解答下列問題：
（1）求直線l1的表達式．
（2）過點A的直線l3：y3＝與直線l2交于點C，求△ABC的面積．
（3）若點D是x軸上的動點，點E是直線AB上的動點，是否存在以A、C、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的D點坐標．若不存在，請說明理由．
【答案】解：（1）∵當x＞2時，；當x＜2時，，∴點B的橫坐標為2，當x＝2時，，∴直線，的交點坐標為B（2，3），∵當時，x＜﹣4，∴直線與x軸的交點坐標為A（﹣4，0），將A（﹣4，0），B（2，3）代入y1＝kx+b中，∴，解得：，∴直線的表達式為；（2）聯立，解得：，∴直線，的交點坐標為C（，），∴；（3）存在，∵點E是直線AB上的動點，點D是x軸上的動點，∴設E點坐標為（，），D點坐標為（m，0），又∵A（，0），C（，），在以A、C、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形中，①當AC，DE為平行四邊形的對角線時，，解得，∴此時D點坐標為（2，0），②當AD，CE為平行四邊形的對角線時，，解得，此時D點坐標為（2，0），③當AE，CD為平行四邊形的對角線時，，解得，此時D點坐標為（﹣10，0），綜上，滿足條件的點D的坐標為（2，0）或（﹣10，0）
（1）解：（1）∵當x＞2時，；當x＜2時，，
∴點B的橫坐標為2，
當x＝2時，，
∴直線，的交點坐標為B（2，3），
∵當時，x＜﹣4，
∴直線與x軸的交點坐標為A（﹣4，0），
將A（﹣4，0），B（2，3）代入y1＝kx+b中，
∴，
解得：，
∴直線的表達式為；
（2）解：聯立，
解得：，
∴直線，的交點坐標為C（，），
∴；
（3）解：存在，點D的坐標為（2，0）或（﹣10，0）
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；一次函數與二元一次方程（組）的關系；一次函數的性質；一次函數中的動態幾何問題；一次函數中的面積問題
【解析】【解答】解：存在，
∵點E是直線AB上的動點，點D是x軸上的動點，
∴設E點坐標為（，），D點坐標為（m，0），
又∵A（，0），C（，），
在以A、C、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形中，
①當AC，DE為平行四邊形的對角線時，
，解得，
∴此時D點坐標為（2，0），
②當AD，CE為平行四邊形的對角線時，
，解得，
此時D點坐標為（2，0），
③當AE，CD為平行四邊形的對角線時，
，解得，
此時D點坐標為（﹣10，0），
綜上，滿足條件的點D的坐標為（2，0）或（﹣10，0）
【分析】（1）由題意 l1 的圖像過A點和B點，所以本題要求 l1 的表達式，采用待定系數法，所以需要先求出A點和B點的確切坐標，由 ①當x＞2時，y1＜y2；當x＜2時，y1＞y2 可知，x=2是兩函數大小發生變化的點，即它們的交點，所以得出點B的橫坐標為2，代入到 l2 中可求得點B的坐標，由 ②當y1＜0時，x＜﹣4 可求得點A的坐標；
（2）求 △ABC 的面積，首先要求出各頂點的坐標，此三角形只有頂點C的坐標未知，因為點C是l2 與 l3 的交點，所以聯立方程組即可求得C點的坐標；觀察△ABC在坐標系下的位置，求其面積需采用割補法，以x軸為分界線，分成兩個標準三角形，分別利用公式求其面積，再相加即可；
（3）因為點E是直線AB上的動點 ，所以可以設E點的坐標為（，），因為點D是x軸上的動點 ，所以可以設D點的坐標為（m，0），然后分類討論，當AC，DE為平行四邊形的對角線時，當AD，CE為平行四邊形的對角線時，當AE，CD為平行四邊形的對角線時三種情況列方程組求解．
23．（2025八下·惠州期末）寬與長的比是（約為）的矩形叫做黃金矩形．黃金矩形給我們以協調、勻稱的美感．世界各國許多著名的建筑，為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設計
【操作發現】下面，我們用寬為的矩形紙片折疊黃金矩形
第一步，在一張矩形紙片的一端，利用圖①的方法折出一個正方形，然后把紙片展平；
第二步，如圖②，把這個正方形折成兩個相等的矩形，再把紙片展平；
第三步，折出內側矩形的對角線，并把折到圖③中所示的處；
第四步，展平紙片，按照所得的點折出 ，使，則圖④中就會出現黃金矩形
【問題解決】
（1）圖③中， ；
（2）如圖③，判斷四邊形的形狀，并說明理由；
（3）請寫出圖④的個黃金矩形，并分別說明理由．
【答案】（1）
（2）解：四邊形是菱形．理由如下：
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∵把折到圖③中所示的處，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是菱形；
（3）解：黃金矩形有矩形，矩形．理由如下：
如圖④，連接
∵四邊形是正方形，矩形紙片的寬為，
∴，，
∵四邊形和四邊形是兩相相等的矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴四邊形和四邊形都是矩形，
∵，，
∴，，
∴，
∴矩形是黃金矩形，
∵，
∴矩形是黃金矩形．
【知識點】勾股定理；菱形的判定；矩形的性質；正方形的性質；翻折變換（折疊問題）
【解析】【解答】（1）解：由折疊過程知：，，，
∴，
故答案為：；
【分析】 （1）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求得AB的長度；
（2）根據折疊的性質可以得到，而四條邊相等的四邊形是菱形，所以可以得出結論；
（3）因為寬與長的比是 的矩形是黃金矩形，所以只需找到符合此比例的矩形即可.
（1）解：由折疊過程知：，，，
∴，
故答案為：；
（2）解：四邊形是菱形．理由如下：
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∵把折到圖③中所示的處，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是菱形；
（3）解：黃金矩形有矩形，矩形．理由如下：
如圖④，連接
∵四邊形是正方形，矩形紙片的寬為，
∴，，
∵四邊形和四邊形是兩相相等的矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴四邊形和四邊形都是矩形，
∵，，
∴，，
∴，
∴矩形是黃金矩形，
∵，
∴矩形是黃金矩形．
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