資源簡介

21.3 二次函數與一元二次方程考點題型專項訓練
知識點1：二次函數與一元二次方程
根的判別式 二次函數的圖象 二次函數與x軸的交點坐標 一元二次方程根的情況
△＞0 拋物線與x軸交于，兩點，且， 此時稱拋物線與x軸相交 一元二次方程 有兩個不相等的實數根
△＝0 拋物線與x軸交切于這一點，此時稱拋物線與x軸相切 一元二次方程 有兩個相等的實數根
△＜0 拋物線與x軸無交點，此時稱拋物線與x軸相離 一元二次方程 在實數范圍內無解（或稱無實數根）
【題型1 由二次函數圖象確定相應方程根的情況】
【例1】（23-24九年級·北京·階段練習）若二次函數y＝2x2+4x﹣c與x軸的一個交點是（1，0），則關于x的一元二次方程x2﹣＝﹣2x的根為 ．
【變式1-1】（23-24九年級·全國·專題練習）已知二次函數的圖象如圖所示，則關于x的一元二次方程的根為 ．
【變式1-2】（23-24·陜西西安·模擬預測）已知二次函數的部分圖象如圖所示，則下列結論正確的是（ ）
A．
B．關于x的一元二次方程的根是，
C．
D．
【變式1-3】（23-24·廣東廣州·一模）已知拋物線y＝x2﹣2mx+3m與x軸的一個交點為（2，0），并且該拋物線與x軸的兩個交點橫坐標的值恰好是等腰△ABC的兩條邊，則△ABC的周長為 ．
【題型2 由二次函數圖象與坐標軸的交點情況求字母的值】
【例2】（23-24·安徽合肥·模擬預測）已知關于x的函數的圖象與坐標軸共有兩個不同的交點，則實數a的可能值有（　　）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【變式2-1】（23-24·廣東廣州·二模）若關于的方程有兩個不相等的實數根，則拋物線的頂點在第 象限．
【變式2-2】（23-24九年級·浙江杭州·期中）拋物線y＝x2＋ax＋3的對稱軸為直線x＝1.若關于x的方程x2＋ax＋3﹣t＝0（t為實數），在﹣2＜x＜3的范圍內有實數根，則t的取值范圍是（ ）
A．6＜t＜11 B．t≥2 C．2≤t＜11 D．2≤t＜6
【變式2-3】（23-24九年級·云南曲靖·期末）已知拋物線的圖象與坐標軸有3個交點.
(1)求k的取值范圍
(2)若拋物線的圖象經過點，求k值．
【題型3 確定x軸與拋物線的截線長】
【例3】（23-24九年級·江西南昌·期末）如圖，已知拋物線C：的對稱軸為直線，且拋物線經過M兩點，與x軸交于點N．

(1)點N（ ， ）；
(2)若拋物線與拋物線C關于y軸對稱，求拋物線的解析式；
(3)若拋物線的解析式為，拋物線的頂點坐標為，與x軸的交點坐標為A，（點A在點的左邊）
①求：的值；
②判斷拋物線的頂點，…，是否在一條直線上，若在，請直接寫出直線解析式；不在，請說明理由．
【變式3-1】（23-24九年級·福建福州·期末）在平面直角坐標系xOy中，已知，拋物線y＝mx2+4mx﹣5m．
(1)求拋物線與x軸兩交點間的距離；
(2)當m＞0時，過A（0，2）點作直線l平行于x軸，與拋物線交于C、D兩點（點C在點D左側），C、D橫坐標分別為x1、x2，且x2﹣x1＝8，求拋物線的解析式．
【變式3-2】（23-24九年級·廣東汕頭·期末）若拋物線與x軸交于、兩點，若，則c的最大值是 ．
【變式3-3】（23-24九年級·湖南長沙·期末）定義：如果拋物線與軸交于點，，那么我們把線段叫做雅禮弦，兩點之間的距離稱為拋物線的雅禮弦長．
(1)求拋物線的雅禮弦長；
(2)求拋物線的雅禮弦長的取值范圍；
(3)設，為正整數，且，拋物線的雅禮弦長為，拋物線的雅禮弦長為，，試求出與之間的函數關系式，若不論為何值，恒成立，求，的值．
【題型4 拋物線與x軸交點上的四點問題】
【例4】（23-24九年級·山東臨沂·期末）已知拋物線的圖象與x軸的兩交點的橫坐標分別、，而的兩根為、，則、β、M、N的大小順序為（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-1】（23-24九年級·江蘇無錫·階段練習）已知關于x的一元二次方程 的兩個根為、（）則實數，，，的大小關系為： ．
【變式4-2】（23-24九年級·浙江杭州·期末）“如果二次函數的圖像與軸有兩個交點，那么一元二次方程有兩個不相等的實數根．”請根據這句話的理解，解決以下問題；若、是關于的方程的兩根，且，則，，，的大小關關系是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】（23-24·江西贛州·二模）在平面坐標系中，拋物線與軸交于，兩點，其中．現將此拋物線向上平移，平移后的拋物線與軸交于，兩點，且，下列結論正確的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
知識點2：利用二次函數的圖象求一元二次方程的近似解
（1）作出函數的圖象，并由圖象確定方程的解的個數；
（2）由圖象與y=h的交點位置確定交點橫坐標的范圍；
（3）觀察圖象求得方程的根（由于作圖或觀察存在誤差，由圖象求得的根一般是近似的）．
【題型5 圖象法確定一元二次方程的近似根】
【例5】（23-24九年級·北京通州·期末）有這樣一個問題：探究函數的圖象與性質．
嘉瑤根據學習函數的經驗，對函數的圖象與性質進行了探究．
下面是嘉瑤的探究過程，請補充完整：
（1）函數的圖象與軸 交點；（填寫“有”或“無”）
（2）下表是y與x的幾組對應值：
x … …
y … n …
則n的值為 ；
（3）如圖，在平面直角坐標系xOy中，嘉瑤描出各對對應值為坐標的點．請你根據描出的點，幫助嘉瑤畫出該函數的大致圖象；
（4）請你根據探究二次函數與一元二次方程關系的經驗，結合圖象直接寫出方程的根約為 ．（結果精確到0.1）
【變式5-1】（23-24九年級·浙江臺州·期末）二次函數自變量與函數值的對應關系如下表，設一元二次方程的根為，，且，則下列說法正確的是（ ）
0 0.5 1 1.5 2 2.5
0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 0.13
A． B．
C． D．
【變式5-2】（23-24九年級·安徽黃山·期末）如圖是二次函數的圖象，圖象上有兩點分別為，，則方程的一個解只可能是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-3】（23-24九年級·浙江寧波·期末）二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）自變量x與函數y的對應值如下表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … m﹣4 m﹣2 m﹣ m m﹣ m﹣2 m﹣4 …
若1＜m＜1，則一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根x1,x2的取值范圍是 　．
知識點3：二次函數與一元二次不等式的關系
（1）將一元二次不等式轉化為（或）的形式；
（2）明確二次項系數a的正負、對稱軸在y軸哪側，并計算的值；
（3）作出不等式對應的二次函數的草圖；
（4）二次函數在x軸上方的圖象對應的函數值大于零，在x軸下方的圖象對應的函數值小于零.
【題型6 圖象法解一元二次不等式】
【例6】（23-24九年級·內蒙古赤峰·期中）閱讀理解：
自主學習，請閱讀下列解題過程．
解一元二次不等式：．
解：設，解得，，則拋物線與x軸的交點坐標為和，畫出二次函數的大致圖像（如圖所示），由圖像可知：當或時函數圖像位于x軸上方，此時，即，所以，一元二次不等式的解集為或．
通過對上述解題過程的學習，按其解題的思路和方法解答下列問題：
(1)上述解題過程中，滲透的數學思想有______．
(2)借助閱讀材料直接寫出一元二次不等式，的解集為______．
(3)用類似的方法解一元二次不等式：．
【變式6-1】（23-24九年級·重慶·學業(yè)考試）如圖，已知拋物線與直線交于兩點．則關于的不等式的解集是（ ）

A．或 B．或 C． D．
【變式6-2】（23-24九年級·江蘇泰州·期中）二次函數圖象如圖所示，則關于的不等式的解集為 ．

【變式6-3】（23-24九年級·浙江溫州·期中）二次函數的圖象如圖，對稱軸為直線．若關于的一元二次方程（為實數）在的范圍內有解，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【題型7 二次函數與一次函數的綜合運用】
【例7】（23-24九年級·山東臨沂·期中）如圖，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，直線經過、兩點，點是第二象限內拋物線上一點.
(1)求拋物線的解析式；
(2)連接、，求面積的最大值；
(3)若點關于直線的對稱點恰好落在直線上，求點的坐標.
【變式7-1】（23-24九年級·安徽六安·期中）如圖，拋物線與x軸交于點、B，與y軸交于點C，其對稱軸為直線．

（1）若一次函數的圖象經過點A，則點所在的象限是 ；
（2）若點M是拋物線的頂點，且，則 ．
【變式7-2】（23-24九年級·河北張家口·期末）題目：“如圖，拋物線與直線相交于點和點．點是直線上的一個動點，將點向左平移3個單位長度得到點，若線段與拋物線只有一個公共點，直接寫出點的橫坐標的取值范圍．”對于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，丁答：，則正確的是（ ）

A．只有甲答的對 B．甲、乙答案合在一起才完整
C．甲、丙答案合在一起才完整 D．甲、丁答案合在一起才完整
【變式7-3】（23-24九年級·寧夏銀川·期中）如圖，在平面直角坐標系中，直線l與x軸交于點，與y軸交于點，拋物線經過點A，B，且對稱軸是直線．
(1)求拋物線的解析式；
(2)在y軸上找一點Q（不與點O重合），使為等腰三角形，請直接寫出點Q的坐標；
(3)點P是直線l下方拋物線上的一動點，過點P作軸，垂足為C，交直線l于點D，過點P作，垂足為M．求的最大值及此時P點的坐標．
【題型8 由拋物線與線段的交點個數問題求字母取值范圍】
【例8】（2024·貴州貴陽·九年級期末）在平面直角坐標系內，已知點A（﹣1，0），點B（1，1）都在直線上，若拋物線y＝ax2﹣x+1（a≠0）與線段AB有兩個不同的交點，則a的取值范圍是（ ）
A．a≤﹣2 B．a＜ C．1≤a＜或a≤﹣2 D．﹣2≤a＜
【變式8-1】（23-24九年級·河北石家莊·期末）在平面直角坐標系中，已知點，，若拋物線與線段有交點，且與軸相交于點，則下列四種說法：①當時，拋物線與軸有唯一公共點；②當時，隨的增大而增大；③點的縱坐標的最大值為2；④拋物線與軸的兩交點的距離的最大值為．其中正確的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【變式8-2】（23-24九年級·安徽合肥·期末）在平面直角坐標系中，已知拋物線，則：
（1）該拋物線的對稱軸為直線 ；
（2）已知該拋物線與軸有交點，現有點，若線段與拋物線只有一個公共點，結合函數圖像，則的取值范圍為 ．
【變式8-3】（23-24·福建福州·模擬預測）已知二次函數．
(1)當時，
①若該函數圖像的對稱軸為直線，且過點，求該函數的表達式；
②若方程有兩個相等的實數根，求證：；
(2)若，已知點，點，當二次函數的圖像與線段有交點時，直接寫出a的取值范圍．
【題型9 由幾何變換后得交點個數確定字母的取值范圍】
【例9】（23-24·河南新鄉(xiāng)·二模）如圖，已知拋物線與軸交于點，，與軸交于點，作直線：．
(1)求二次函數解析式；
(2)已知點的坐標為，將線段沿直線向下平移得到線段，使點始終在直線上，若線段與拋物線有交點，請求出點的橫坐標的取值范圍．
【變式9-1】（23-24九年級·廣東東莞·期中）已知拋物線的圖象如圖①所示，現將拋物線在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象其余部分不變，得到一個新圖象如圖②，當直線與圖象②有多于2個公共點時，則b的取值范圍為 ．
【變式9-2】（23-24·吉林長春·一模）對于某一函數給出如下定義：對于任意實數m， 當自變量x≥m時，函數y關于x的函數圖象為，將G沿直線x=m翻折后得到的函數圖象為，函數G的圖象由和兩部分共同組成，則函數G為原函數的“對折函數”，如函數y=x（x≥2）的對折函數為
（1）寫出函數y = 2x+1（x≥ 1）的對折函數；
（2）若函數y =2x 2（x≥）的對折函數與x軸交于點A，B(點A在點B的左側)，與y軸交于點C，求△ABC的周長；
（3）若點P(m，5)在函數y = 4( x≥ 1)的對折函數的圖象上，求m的值；
（4）當函數y= 4(x≥n)的對折函數與x軸有不同的交點個數時，直接寫出n的取值范圍
【變式9-3】（23-24九年級·重慶渝中·階段練習）如圖，拋物線交軸于兩點，與軸交于點．
圖⑴ 圖⑵
(1)求這個拋物線的解析式．
(2)若點是直線上方拋物線上一個動點，過作軸交直線于，過作軸交軸于，以為鄰邊構造矩形，求矩形周長的最大值及此時點的坐標．
(3)如圖（2），將線段向上平移1個單位長度，平移后的線段記作．然后將拋物線沿射線進行平移，平移的距離記為．若平移后的拋物線與線段有交點，請直接寫出的取值范圍．
答案詳解
【題型1 由二次函數圖象確定相應方程根的情況】
【例1】（23-24九年級·北京·階段練習）若二次函數y＝2x2+4x﹣c與x軸的一個交點是（1，0），則關于x的一元二次方程x2﹣＝﹣2x的根為 ．
【詳解】解：由x2﹣＝﹣2x得到：2x2+4x﹣c＝0，
∵二次函數y＝2x2+4x﹣c的圖象與x軸的一個交點為（1，0），對稱軸是直線x＝﹣＝﹣1，
∴二次函數y＝2x2+4x﹣c的圖象與x軸的另一個交點為（﹣3，0），
∴關于x的一元二次方程x2﹣＝﹣2x的根為：x1＝1，x2＝﹣3．
故答案是：x1＝1，x2＝﹣3．
【變式1-1】（23-24九年級·全國·專題練習）已知二次函數的圖象如圖所示，則關于x的一元二次方程的根為 ．
【詳解】解：根據圖象知，拋物線與x軸的一個交點是，對稱軸是直線．
設該拋物線與x軸的另一個交點是．則，
解得，，
即該拋物線與x軸的另一個交點是．
所以關于x的一元二次方程的根為．
故答案是：．
【變式1-2】（23-24·陜西西安·模擬預測）已知二次函數的部分圖象如圖所示，則下列結論正確的是（ ）
A．
B．關于x的一元二次方程的根是，
C．
D．
【詳解】解：由函數圖像可知開口向下，與軸交于正半軸，
，，
∵對稱軸為，
∴，
∴，故A不符合題意；
∵拋物線與軸交于，對稱軸為直線，
∴拋物線與軸的另一個交點為，
∴關于x的一元二次方程的根是，；故B不符合題意；
∵拋物線與軸交于，，對稱軸為直線，
∴，
解得：，
∴∵，
∴，故C符合題意；
∴；
∴錯誤，故D不符合題意；
故選：C．
【變式1-3】（23-24·廣東廣州·一模）已知拋物線y＝x2﹣2mx+3m與x軸的一個交點為（2，0），并且該拋物線與x軸的兩個交點橫坐標的值恰好是等腰△ABC的兩條邊，則△ABC的周長為 ．
【答案】14
【詳解】拋物線與軸交于點（，）
拋物線的解析式為：
解得：，
拋物線與軸另外的交點坐標為（，）
拋物線與軸的兩個交點橫坐標的值恰好是等腰的兩條邊
當為的腰，為的底時，，該情況不成立；
當為的腰，為的底時，的周長為
故答案為：
【題型2 由二次函數圖象與坐標軸的交點情況求字母的值】
【例2】（23-24·安徽合肥·模擬預測）已知關于x的函數的圖象與坐標軸共有兩個不同的交點，則實數a的可能值有（　　）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【答案】A
【詳解】解：函數的圖象與坐標軸共有兩個不同的交點，
當時，此時與兩坐標軸兩個交點，
當時，則或，
解得，或，
由上可得，的值是0，或1，共4個．
故選：A．
【變式2-1】（23-24·廣東廣州·二模）若關于的方程有兩個不相等的實數根，則拋物線的頂點在第 象限．
【答案】四
【詳解】解：∵方程有兩個不相等的實數根，
∴，
解得：，
∴，，
∴拋物線的頂點在第四象限，
故答案為：四；
【變式2-2】（23-24九年級·浙江杭州·期中）拋物線y＝x2＋ax＋3的對稱軸為直線x＝1.若關于x的方程x2＋ax＋3﹣t＝0（t為實數），在﹣2＜x＜3的范圍內有實數根，則t的取值范圍是（ ）
A．6＜t＜11 B．t≥2 C．2≤t＜11 D．2≤t＜6
【答案】C
【詳解】解：∵的對稱軸為直線，
∴，
∴，
∴一元二次方程的實數根可以看做與函數的交點問題，
∵方程在的范圍內有實數根，
當時，，
當時，，
當時，，
函數在時有最小值2，
∴，
故選：C．
【變式2-3】（23-24九年級·云南曲靖·期末）已知拋物線的圖象與坐標軸有3個交點.
(1)求k的取值范圍
(2)若拋物線的圖象經過點，求k值．
【詳解】（1）∵拋物線的圖象與坐標軸有3個交點，
∴拋物線與軸一個交點，與軸兩個交點，
∴方程有兩不等實數根，
∴，
解得
（2）把代入得，
解得，
由（1）可得，
∴．
【題型3 確定x軸與拋物線的截線長】
【例3】（23-24九年級·江西南昌·期末）如圖，已知拋物線C：的對稱軸為直線，且拋物線經過M兩點，與x軸交于點N．

(1)點N（ ， ）；
(2)若拋物線與拋物線C關于y軸對稱，求拋物線的解析式；
(3)若拋物線的解析式為，拋物線的頂點坐標為，與x軸的交點坐標為A，（點A在點的左邊）
①求：的值；
②判斷拋物線的頂點，…，是否在一條直線上，若在，請直接寫出直線解析式；不在，請說明理由．
【詳解】（1）解：∵M、N兩點關于拋物線的對稱軸直線對稱，且，
∴點N的橫坐標為：，
∴點N的坐標為；
故答案為：，0；
（2）解：∵，，且拋物線與拋物線C關于y軸對稱，
∴拋物線與x軸的交點坐標分別為，拋物線與y軸的交點為；
設拋物線的解析式為，
代入，得，
解得，
∴；
（3）解：①令，得，
∴，其中，
∴；
②不在一條直線上．
，
設所在直線的解析式為：，
，
∴，
∴，
把點代入，
，
∴點不在直線上．
∴頂點不在一條直線上．
【變式3-1】（23-24九年級·福建福州·期末）在平面直角坐標系xOy中，已知，拋物線y＝mx2+4mx﹣5m．
(1)求拋物線與x軸兩交點間的距離；
(2)當m＞0時，過A（0，2）點作直線l平行于x軸，與拋物線交于C、D兩點（點C在點D左側），C、D橫坐標分別為x1、x2，且x2﹣x1＝8，求拋物線的解析式．
【詳解】（1）令y＝0得：
mx2+4mx﹣5m＝0，
∴m（x2+4x﹣5）＝0，
∵m為二次函數二次項系數，
∴m≠0，
∴x2+4x﹣5＝0，
∴x1＝﹣5，x2＝1，
∴與x軸交點坐標為（﹣5，0）和（1，0），
∴與x軸兩交點間的距離為1﹣（﹣5）＝6；
（2）∵直線l過點（0，2）且平行于x軸，
∴直線l的解析式為y＝2，
∴y＝mx2+4mx﹣5m中令y＝2得：
∴2＝mx2+4mx﹣5m，
∴mx2+4mx﹣5m﹣2＝0，
∴x1+x2＝﹣4，x1x2＝﹣5﹣，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝16+20+，
∵x2﹣x1＝8，
∴（x1﹣x2）2＝64，
∴36+＝64，
∴m＝，
∴．
【變式3-2】（23-24九年級·廣東汕頭·期末）若拋物線與x軸交于、兩點，若，則c的最大值是 ．
【答案】0
【詳解】∵拋物線與x軸交于、兩點，
∴，
∴，
∴，
解得，
∵，
∴
∴，
解得，
故c的范圍是，
c的最大值是0．
故答案為：0
【變式3-3】（23-24九年級·湖南長沙·期末）定義：如果拋物線與軸交于點，，那么我們把線段叫做雅禮弦，兩點之間的距離稱為拋物線的雅禮弦長．
(1)求拋物線的雅禮弦長；
(2)求拋物線的雅禮弦長的取值范圍；
(3)設，為正整數，且，拋物線的雅禮弦長為，拋物線的雅禮弦長為，，試求出與之間的函數關系式，若不論為何值，恒成立，求，的值．
【詳解】（1）解：，
，
，，
雅禮弦長；
（2），，
，
，，
，
，
當時，最小值為，
當時，最大值小于，
；
（3）由題意，令，
，，
則，
同理，
，
，
要不論為何值，恒成立，
即：恒成立，
由題意得：，，
解得：，
，為正整數，且，
則，或，．
【題型4 拋物線與x軸交點上的四點問題】
【例4】（23-24九年級·山東臨沂·期末）已知拋物線的圖象與x軸的兩交點的橫坐標分別、，而的兩根為、，則、β、M、N的大小順序為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】解：∵a=1>0
∴拋物線的開口向上，與x軸的兩個交點的橫坐標分別是、
又∵的兩根是拋物線與直線y=2的交點橫坐標，且
∴拋物線的圖象如圖，

由圖象可知：
故選：B．
【變式4-1】（23-24九年級·江蘇無錫·階段練習）已知關于x的一元二次方程 的兩個根為、（）則實數，，，的大小關系為： ．
【答案】/
【詳解】解：設函數，
當時，
，或，
當時，
由題意可知： 的兩個根為、（），由于拋物線開口向上，由拋物線的圖象可知：，
故答案為：
【變式4-2】（23-24九年級·浙江杭州·期末）“如果二次函數的圖像與軸有兩個交點，那么一元二次方程有兩個不相等的實數根．”請根據這句話的理解，解決以下問題；若、是關于的方程的兩根，且，則，，，的大小關關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：∵m、n（m＜n）是關于x的方程1-（x-a）（x-b）=0的兩根，
∴二次函數y=-（x-a）（x-b）+1的圖象與x軸交于點（m，0）、（n，0），
∴將y=-（x-a）（x-b）+1的圖象往下平移一個單位可得二次函數y=-（x-a）（x-b）的圖象，
二次函數y=-（x-a）（x-b）的圖象與x軸交于點（a，0）、（b，0）．
畫出兩函數圖象，觀察函數圖象可知：m＜a＜b＜n．
故選：A．
【變式4-3】（23-24·江西贛州·二模）在平面坐標系中，拋物線與軸交于，兩點，其中．現將此拋物線向上平移，平移后的拋物線與軸交于，兩點，且，下列結論正確的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【詳解】解：拋物線與軸相交于，兩點，
拋物線的對稱軸為直線，
將此拋物線向上平移，平移后的拋物線與軸相交于，兩點，
拋物線的對稱軸為直線，
拋物線向上平移對稱軸不變，
，
即，
拋物線開口向下，
將此拋物線向上平移，平移后的拋物線與軸兩交點間距離會變長，
，
故選：C．
知識點2：利用二次函數的圖象求一元二次方程的近似解
（1）作出函數的圖象，并由圖象確定方程的解的個數；
（2）由圖象與y=h的交點位置確定交點橫坐標的范圍；
（3）觀察圖象求得方程的根（由于作圖或觀察存在誤差，由圖象求得的根一般是近似的）．
【題型5 圖象法確定一元二次方程的近似根】
【例5】（23-24九年級·北京通州·期末）有這樣一個問題：探究函數的圖象與性質．
嘉瑤根據學習函數的經驗，對函數的圖象與性質進行了探究．
下面是嘉瑤的探究過程，請補充完整：
（1）函數的圖象與軸 交點；（填寫“有”或“無”）
（2）下表是y與x的幾組對應值：
x … …
y … n …
則n的值為 ；
（3）如圖，在平面直角坐標系xOy中，嘉瑤描出各對對應值為坐標的點．請你根據描出的點，幫助嘉瑤畫出該函數的大致圖象；
（4）請你根據探究二次函數與一元二次方程關系的經驗，結合圖象直接寫出方程的根約為 ．（結果精確到0.1）
【答案】（1）無；（2）-4；（3）見解析；（4），或
【詳解】由題意可得：，故與y軸無交點；
故填：無；
把x=1代入函數式，得：n= 4 ；
故填：；
根據表中數據描點連線如圖：
將表示為函數的形式，即函數與x軸的交點，根據圖像可得：，或；
故填：，或．
【變式5-1】（23-24九年級·浙江臺州·期末）二次函數自變量與函數值的對應關系如下表，設一元二次方程的根為，，且，則下列說法正確的是（ ）
0 0.5 1 1.5 2 2.5
0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 0.13
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】解：由表格可得：
當時，；
當時，，
又∵一元二次方程的根為，，且，
∴，，
故選：A．
【變式5-2】（23-24九年級·安徽黃山·期末）如圖是二次函數的圖象，圖象上有兩點分別為，，則方程的一個解只可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：∵二次函數圖象上有兩點分別為，，
∴方程的一個解，
∴方程的解為：，
即．
故選：C．
【變式5-3】（23-24九年級·浙江寧波·期末）二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）自變量x與函數y的對應值如下表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … m﹣4 m﹣2 m﹣ m m﹣ m﹣2 m﹣4 …
若1＜m＜1，則一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根x1,x2的取值范圍是 　．
【答案】﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3
【詳解】∵1＜m＜1，
∴－1＜m－2＜－，＜m－＜1，
∴y=0在y=m－2與y=m－之間，
∴對應的x的值在－1與0之間，及2與3之間，即－1＜x1＜0，2＜x2＜3．
故答案為：－1＜x1＜0，2＜x2＜3．
知識點3：二次函數與一元二次不等式的關系
（1）將一元二次不等式轉化為（或）的形式；
（2）明確二次項系數a的正負、對稱軸在y軸哪側，并計算的值；
（3）作出不等式對應的二次函數的草圖；
（4）二次函數在x軸上方的圖象對應的函數值大于零，在x軸下方的圖象對應的函數值小于零.
【題型6 圖象法解一元二次不等式】
【例6】（23-24九年級·內蒙古赤峰·期中）閱讀理解：
自主學習，請閱讀下列解題過程．
解一元二次不等式：．
解：設，解得，，則拋物線與x軸的交點坐標為和，畫出二次函數的大致圖像（如圖所示），由圖像可知：當或時函數圖像位于x軸上方，此時，即，所以，一元二次不等式的解集為或．
通過對上述解題過程的學習，按其解題的思路和方法解答下列問題：
(1)上述解題過程中，滲透的數學思想有______．
(2)借助閱讀材料直接寫出一元二次不等式，的解集為______．
(3)用類似的方法解一元二次不等式：．
【詳解】（1）解：根據解題過程中，滲透了轉化思想和數形結合思想．
故答案為：轉化思想和數形結合．
（2）解：由圖像可知：當時函數圖像位于x軸及其下方，此時，即，
∴一元二次不等式的解集為：．
故答案為：．
（3）解：設，解得：，
∴拋物線與x軸的交點坐標為和．
如圖：畫出二次函數的圖像，
有圖像可知：當時，函數圖像位于x軸上方，此時，即，
∴一元二次不等式的解集為：．
【變式6-1】（23-24九年級·重慶·學業(yè)考試）如圖，已知拋物線與直線交于兩點．則關于的不等式的解集是（ ）

A．或 B．或 C． D．
【答案】B
【詳解】∵拋物線與直線交于，
∴不等式為：或，
故選：．
【變式6-2】（23-24九年級·江蘇泰州·期中）二次函數圖象如圖所示，則關于的不等式的解集為 ．

【答案】
【詳解】解：∵由函數圖象可知，當時，函數圖象在軸的下方（包括交點），
∴函數的圖象與軸的交點為，，把作為一個整體，代入上面的函數中，）
∴不等式的解集為，
故答案為：．
【變式6-3】（23-24九年級·浙江溫州·期中）二次函數的圖象如圖，對稱軸為直線．若關于的一元二次方程（為實數）在的范圍內有解，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：對稱軸為直線x=-=1，
解得b=-2，
所以二次函數解析式為y=x2-2x，
y=（x-1）2-1，
x=1時，y=-1，
x=-2時，y=4-2×（-2）=8，
∵x2+bx-t=0的解相當于y=x2+bx與直線y=t的交點的橫坐標，
∴當-1≤t＜8時，在-1＜x＜4的范圍內有解．
故選：C．
【題型7 二次函數與一次函數的綜合運用】
【例7】（23-24九年級·山東臨沂·期中）如圖，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，直線經過、兩點，點是第二象限內拋物線上一點.
(1)求拋物線的解析式；
(2)連接、，求面積的最大值；
(3)若點關于直線的對稱點恰好落在直線上，求點的坐標.
【詳解】（1）解：在中，令，得；令，得，
，，
把、兩點的坐標分別代入線，
可得，
解得：，
拋物線的解析式為；
（2）作軸交于點，如圖，
設，則，
點是第二象限內拋物線上一點
；
，
，
當時，的最大值為，
面積的最大值為；
（3）連接、，交直線于點，如圖，
令，
解得：，，
，
，，
，
∴，
點、關于直線對稱，
，
，
點是縱坐標為，
．
【變式7-1】（23-24九年級·安徽六安·期中）如圖，拋物線與x軸交于點、B，與y軸交于點C，其對稱軸為直線．

（1）若一次函數的圖象經過點A，則點所在的象限是 ；
（2）若點M是拋物線的頂點，且，則 ．
【詳解】（1）∵拋物線開口向上，
∴，
又∵對稱軸為，
∴，
又過點，
∴，
∴，
∴點在第四象限，
故答案為：四；
（2）又∵拋物線過，
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為，
∴，，
連接，則，

∴，
解得（負舍），
故答案為：．
【變式7-2】（23-24九年級·河北張家口·期末）題目：“如圖，拋物線與直線相交于點和點．點是直線上的一個動點，將點向左平移3個單位長度得到點，若線段與拋物線只有一個公共點，直接寫出點的橫坐標的取值范圍．”對于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，丁答：，則正確的是（ ）

A．只有甲答的對 B．甲、乙答案合在一起才完整
C．甲、丙答案合在一起才完整 D．甲、丁答案合在一起才完整
【答案】B
【詳解】解：將點的坐標代入拋物線表達式得：，解得，
將點的坐標代入直線表達式得：，解得，
拋物線的解析式為，直線的解析式為，
當點在線段上時，線段與拋物線只有一個公共點，
，的距離為3，而A，B的水平距離是3，故此時只有一個交點，即，
當點在點的右側時，當時，拋物線和交于拋物線的頂點，即時，線段與拋物線只有一個公共點，
綜上所述，或，即甲、乙答案合在一起才完整，
故選：B．
【變式7-3】（23-24九年級·寧夏銀川·期中）如圖，在平面直角坐標系中，直線l與x軸交于點，與y軸交于點，拋物線經過點A，B，且對稱軸是直線．
(1)求拋物線的解析式；
(2)在y軸上找一點Q（不與點O重合），使為等腰三角形，請直接寫出點Q的坐標；
(3)點P是直線l下方拋物線上的一動點，過點P作軸，垂足為C，交直線l于點D，過點P作，垂足為M．求的最大值及此時P點的坐標．
【詳解】（1）解：設拋物線的解析式為，
∵拋物線的對稱軸為直線，
∴．
把A，B兩點坐標代入解析式，得，
解得：，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：∵ ，
∴，
∴，
∵為等腰三角形，點Q在y軸上（不與點O重合），
當時，
，
或；
當時，
，
，
；
綜上所述，，或；
（3）解：∵在中，，
∴．
∵軸，，
∴．
在中，，，
∴，
∴．
在中，，，
∴．
設直線l的解析式為，
把A，B兩點的坐標代入解析式，得，
解得：，
∴直線l的解析式為；
設點P的坐標為，則，
∴．
∵，
∴當時，有最大值是，此時最大，
∴，
當時，，
∴，
∴的最大值是，此時的P點坐標是．
【題型8 由拋物線與線段的交點個數問題求字母取值范圍】
【例8】（2024·貴州貴陽·九年級期末）在平面直角坐標系內，已知點A（﹣1，0），點B（1，1）都在直線上，若拋物線y＝ax2﹣x+1（a≠0）與線段AB有兩個不同的交點，則a的取值范圍是（ ）
A．a≤﹣2 B．a＜ C．1≤a＜或a≤﹣2 D．﹣2≤a＜
【答案】C
【詳解】∵拋物線y＝ax2﹣x+1（a≠0）與線段AB有兩個不同的交點，
∴令＝ax2﹣x+1，則2ax2﹣3x+1＝0
∴△＝9﹣8a＞0
∴a＜
①當a＜0時，
解得：a≤﹣2
∴a≤﹣2
②當a＞0時，
解得：a≥1
∴1≤a＜
綜上所述：1≤a＜或a≤﹣2
故選C．
【變式8-1】（23-24九年級·河北石家莊·期末）在平面直角坐標系中，已知點，，若拋物線與線段有交點，且與軸相交于點，則下列四種說法：①當時，拋物線與軸有唯一公共點；②當時，隨的增大而增大；③點的縱坐標的最大值為2；④拋物線與軸的兩交點的距離的最大值為．其中正確的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【詳解】解：①把代入，得，
方程即為，
∵，
∴方程有兩個相等的實數根，
∴拋物線與x軸有唯一公共點，
即當時，拋物線與x軸有唯一公共點，故①正確；
②∵中，
，開口向上，對稱軸是直線，
∴當時，y隨x的增大而增大，
∴當時，y隨x的增大而增大，故②正確；
③∵拋物線與線段有交點，且與y軸相交于點C，
∴拋物線過點時，點C的縱坐標最大，
把代入，得，解得，
此時拋物線是，即，
此時點C的坐標為，即點C的縱坐標的最大值為20，故③錯誤；
④∵拋物線與線段AB有交點，
∴拋物線過點時，與x軸的兩交點間的距離最大，
把代入，得，解得，
此時拋物線是，
解方程，得，，
所以拋物線與x軸的兩交點間的距離的最大值為，故④正確．
故選：B．
【變式8-2】（23-24九年級·安徽合肥·期末）在平面直角坐標系中，已知拋物線，則：
（1）該拋物線的對稱軸為直線 ；
（2）已知該拋物線與軸有交點，現有點，若線段與拋物線只有一個公共點，結合函數圖像，則的取值范圍為 ．
【答案】 1 或
【詳解】解：（1）∵，
∴拋物線的對稱軸為直線；
故答案為：1；
（2）∵拋物線與x軸有交點，
∴，
即；
當時，，即拋物線與y軸的交點C的坐標為，
∵點Q的縱坐標也為m，
∴拋物線與y軸的交點與點Q在同一直線上，即軸；
①當分時，如圖，
則或時，線段與拋物線只有一個公共點；
解得：或；
∴；
故答案為：1；
②當時，如圖，
則或時，線段與拋物線只有一個公共點；
解得：或；
∴；
綜上，滿足條件的m取值范圍為：或．
故答案為：或．
【變式8-3】（23-24·福建福州·模擬預測）已知二次函數．
(1)當時，
①若該函數圖像的對稱軸為直線，且過點，求該函數的表達式；
②若方程有兩個相等的實數根，求證：；
(2)若，已知點，點，當二次函數的圖像與線段有交點時，直接寫出a的取值范圍．
【詳解】（1）解：①∵，對稱軸為直線，
∴，
∴，
把點代入得，，
∴該函數的表達式為；
②∵方程有兩個相等的實數根，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∴，
∴拋物線的頂點為，
把代入得，，
解得或，
∴拋物線與x軸的交點為、，
當拋物線過點時，，
解得，
如圖，根據越大，拋物線的開口越小，當時，二次函數的圖像與線段有交點，
當拋物線過點時，，
解得，
如圖，當時，二次函數的圖像與線段有交點，
綜上所述，當或時，二次函數的圖像與線段有交點．
【題型9 由幾何變換后得交點個數確定字母的取值范圍】
【例9】（23-24·河南新鄉(xiāng)·二模）如圖，已知拋物線與軸交于點，，與軸交于點，作直線：．
(1)求二次函數解析式；
(2)已知點的坐標為，將線段沿直線向下平移得到線段，使點始終在直線上，若線段與拋物線有交點，請求出點的橫坐標的取值范圍．
【詳解】（1）過點，，
，
解得，
二次函數解析式為；
（2），
，
設直線解析式為，將代入解析式得：
，
解得，
直線解析式為，
設交拋物線于，則點坐標為，
，
，
，
，
即，
解得或，
在直線的上方，應在直線上方，
，
綜上所述，的取值范圍為或．
【變式9-1】（23-24九年級·廣東東莞·期中）已知拋物線的圖象如圖①所示，現將拋物線在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象其余部分不變，得到一個新圖象如圖②，當直線與圖象②有多于2個公共點時，則b的取值范圍為 ．
【詳解】解：拋物線的解析式為，
拋物線的頂點坐標為，
根據翻折變換，關于軸的對稱點為，
當直線與圖象②恰有3個公共點時，如圖所示：此時，

當直線與軸重合時，與圖象②有2個公共點，此時，
當直線處于直線與直線之間時，與圖象②有4個公共點，此時，
當直線位于直線上方時，與圖象②有2個公共點，此時，
由圖可知：當直線與圖象②有多于2個公共點時，則b的取值范圍為，
故答案為：．
【變式9-2】（23-24·吉林長春·一模）對于某一函數給出如下定義：對于任意實數m， 當自變量x≥m時，函數y關于x的函數圖象為，將G沿直線x=m翻折后得到的函數圖象為，函數G的圖象由和兩部分共同組成，則函數G為原函數的“對折函數”，如函數y=x（x≥2）的對折函數為
（1）寫出函數y = 2x+1（x≥ 1）的對折函數；
（2）若函數y =2x 2（x≥）的對折函數與x軸交于點A，B(點A在點B的左側)，與y軸交于點C，求△ABC的周長；
（3）若點P(m，5)在函數y = 4( x≥ 1)的對折函數的圖象上，求m的值；
（4）當函數y= 4(x≥n)的對折函數與x軸有不同的交點個數時，直接寫出n的取值范圍
【詳解】(1)如圖1，設對折點為A，則點A( 1，3)，設對折圖象與x軸的交點為A． B，
當y = 2x+1=0時，x=時，即點B(，0)，則點C( ，0)，
設直線AC為：
解得：
所以：直線AC的表達式為：y=2x+5，
故y= 2x+1(x 1)的對折函數為：
(2)由對折函數的定義得拐點坐標為： ，，
同理可得：函數y=2x 2()的對折函數
點C(0， 2)，
則AB=5，AC=，BC=，
則△ABC的周長為：
(3)令y= 4=0，則x= 1或3，如下圖：即點A． B的坐標為( 1，0)、(3，0)，
則對折后函數的頂點坐標為( 3， 4)，該函數表達式為：y= 4，
即對折函數為
將點P(m，5)代入y= 4得：
解得：（舍去）
將點P(m，5)代入y= 4，
解得：（舍去）
綜上：m=4或 6
(4)①當n< 1時，如圖3:
此時x=n在點A( 1，0)的左側，
從圖中可以看出：函數與x軸有4個交點(A、B． C． D)；
②當n= 1時，x=n過點A，從圖2可以看出：函數與x軸有3個交點；
③如圖：同理：當 1④如圖：同理：當n=3時，函數與x軸有3個交點；
⑤同理：當n>3時，無交點
【變式9-3】（23-24九年級·重慶渝中·階段練習）如圖，拋物線交軸于兩點，與軸交于點．
圖⑴ 圖⑵
(1)求這個拋物線的解析式．
(2)若點是直線上方拋物線上一個動點，過作軸交直線于，過作軸交軸于，以為鄰邊構造矩形，求矩形周長的最大值及此時點的坐標．
(3)如圖（2），將線段向上平移1個單位長度，平移后的線段記作．然后將拋物線沿射線進行平移，平移的距離記為．若平移后的拋物線與線段有交點，請直接寫出的取值范圍．
【詳解】（1）將點的坐標代入拋物線中得：
，解得：
∴這個拋物線的解析式是：．
（2）設點P的坐標為，
由矩形的性質可知，點D的橫坐標為a，點Q的縱坐標為．
在拋物線中，令，得，
所以點，又，可設直線的解析式為：
代入，解得：
∴直線的解析式為：
∵點均在直線上，
將Q點縱坐標代入直線的解析式中得：，解得：
∴
∴矩形的周長：
當時，，此時L的最大值為6，此時
即矩形周長的最大值是6，此時點．
（3）∵拋物線沿直線向右平移，直線的方程為
∴每水平向右平移個單位，則同時垂直向上平移m個單位，
故可設平移后的拋物線方程為：
根據題意可知四邊形邊長為1的正方形．則，
①當拋物線右支與相交時（如圖），
解得：，
∴
∵
∴
②當拋物線左支與相交時（如圖），有
解得：
∴
∵
∴
綜合①②可知，t的取值范圍是：與

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