資源簡介

2024-2025學年湖北省十堰市房縣一中高一（上）期末數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知集合A={-1，0，1}，B={0，1，4}，則A∩B=（　　）
A. {0} B. {1} C. {0，1} D. {-1，0，1，4}
2.已知，則cos593°=（　　）
A. B. C. D.
3.已知函數，則f（x）的單調遞增區間是（　　）
A. B.
C. D.
4.已知a=log30.3，b=log57，c=0.30.2，則（　　）
A. a＜b＜c B. a＜c＜b C. c＜a＜b D. b＜c＜a
5.一種藥在病人血液中會以每小時20%的比例衰減，這種藥在病人血液中低于400mg時病人就有危險，現給某病人的靜脈首次注射了這種藥2000mg,那么再次向病人補充這種藥的時間間隔不能超過（lg2≈0.3010，精確到0.1h）（　　）
A. 7.2h B. 3.6h C. 2.3h D. 1.0h
6.已知，則cos2α+cos2α=（　　）
A. B. C. D.
7.已知函數在區間上有且僅有一個零點，則ω的取值范圍為（　　）
A. B. C. D.
8.已知函數f（x）的定義域為R，對任意的a,b∈R，都有f（a+b）=f（a）f（b），當x＜0時，f（x）＞1，且f（0）≠0，若f（-2）=4，則不等式f（5x2-12x）＞16的解集是（　　）
A. 或 B.
C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。
9.下列幾種說法中，正確的是（　　）
A. 若a＞b,則
B. 若a＞1，b＞1，則a+b-1＜ab
C. 若a＞b＞0，m＞0，則
D. 若a＞b＞0，c＜d＜0，m＜0，則
10.已知函數f（x）=|sinx+cosx|+|sinx-cosx|，則下列關于函數f（x）的說法，正確的是（　　）
A. f（x）的一個周期為 B. f（x）的圖象關于對稱
C. f（x）在上單調遞增 D. f（x）的值域為
11.在人工神經網絡中，單個神經元輸入與輸出的函數關系可以稱為激勵函數.雙曲正切函數是一種激勵函數，定義雙曲正弦函數sinhx=，雙曲余弦函數coshx=，雙曲正切函數tanhx=，則（　　）
A. 雙曲正弦函數是增函數 B. 雙曲余弦函數是增函數
C. 雙曲正切函數是增函數 D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知冪函數f（x）=（m-1）xm的圖象過點M（2，a），則a= ______.
13.已知（π＜φ＜2π），則tanφ= .
14.設函數f（x）=（ex-m）ln（x+n），若f（x）≥0恒成立，求en+m的最小值為______.
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
（1）已知tanα=2，求；
（2）已知β是第三、四象限角，且sinβ-cosβ=，求tanβ.
16.(本小題15分)
已知函數，x∈R.
（1）求函數f（x）的最小正周期和單調遞減區間；
（2）求函數f（x）在區間上的最小值和最大值，并求出取得最值時x的值；
（3）求不等式-1≤f（x）≤1的解集.
17.(本小題15分)
已知函數f（x）=sin（2x+φ），，x∈R，且.
（1）求f（x）的最小正周期T和φ的值；
（2）求f（x）在區間上的最大值和最小值；
（3）若，且，求x的取值集合.
18.(本小題17分)
已知函數（a＞0，a≠1，b≠-2）是定義在（-2，2）上的奇函數.
（1）求f（0）和實數b的值；
（2）若f（x）滿足f（t2-2）+f（3t-2）＜0，求實數t的取值范圍；
（3）若0＜a＜1，問是否存在實數m,使得對定義域內的一切t,都有f（t+2）+f（1+mt2）＞0恒成立？
19.(本小題17分)
定義域為R的函數h（x）滿足：對任意x∈R，都有h（x+2π）=h（x）+h（2π），則稱h（x）具有性質P.
（1）分別判斷以下兩個函數是否具有性質P：m（x）=2x-1和n（x）=1-cosx；
（2）函數，判斷是否存在實數ω，φ，使f（x）具有性質P？若存在，求出ω，φ的值；若不存在，請說明理由；
（3）在（2）結論下，若方程（a為常數）在區間上恰有三個實數根x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），求sin（x3-x2-2x1）的值.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】BCD
10.【答案】ABD
11.【答案】ACD
12.【答案】4
13.【答案】2
14.【答案】
15.【答案】解：（1）因為tanα=2，
所以====；
（2）因為β是第三、四象限角，且sinβ-cosβ=①，
所以（sinβ-cosβ）2=sin2β+cos2β-2sinβcosβ=1-2sinβcosβ=，
所以sinβcosβ===＞0，
所以β是第三象限角，tanβ＞0，
可得（sinβ+cosβ）2=sin2β+cos2β+2sinβcosβ=1+2sinβcosβ=，
所以sinβ+cosβ=-②，
由①,②可得sinβ=-，cosβ=-，
所以tanβ==．
16.【答案】最小正周期為π；單調遞減區間是，k∈Z；
，；f（x）min=-1，；
．
17.【答案】解：（1）由f（）=sin（2×+φ）=1，得+φ=+2kπ，k∈Z，
所以φ=+2kπ，k∈Z，
又-＜φ＜，所以φ=，
所以f（x）=sin（2x+），則f（x）的最小正周期為T==π；
（2）當x∈[0，]時，2x+∈[，]，
所以當2x+=時，f（x）取得最大值1，
當2x+=時，f（x）取得最小值為，
即f（x）在區間上的最大值為1，最小值為 ；
（3）當時，由，得+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，
解得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
所以x的取值集合為{x|-≤x≤}．
18.【答案】解：（1）依題意，，
又f（x）是（-2，2）上的奇函數，則f（-x）=-f（x），
即，
即，
即，
整理得16-4x2=16-b2x2，于是b2=4，而b≠2，所以b=2；
（2）由（1）知，，
顯然函數在（-2，2）上單調遞減，
由奇函數性質及f（t2-2）+f（3t-2）＜0，得f（t2-2）＜-f（3t-2）=f（2-3t），
當0＜a＜1時，函數y=logax 在（0，+∞）上單調遞減，則f（x）在（-2，2）上單調遞增，
不等式化為-2＜r2-2＜2-3t＜2，解得0＜t＜1，
當a＞1時，函數y=log2x 在（0，+∞）上單調遞增，則f（x）在（-2，2）上單調遞減，
由奇函數性質及f（t-2）+f（3t-2）＜0，得f（t2-2）＜-f（3t-2）=f（2-3t），
不等式化為-2＜2-3t＜t2-2＜2，解得，
所以當0＜a＜1時，{t|0＜t＜1}；
當a＞1時，{t|}；
（3）假定存在實數m,對定義域內的一切t,都有f（t+2）+f（1+mt2）＞0恒成立，
即f（1+mt2）＞-f（t+2）=f（-t-2）恒成立，
當0＜a＜1時，由（2）知函數f（x）在（-2，2）上單調遞增，
不等式化為，整理得，
于是有-3＜mt2＜1對任意-4＜t＜0恒成立，則，
當-4＜t＜0時，，
因此，
有mt2+t+3＞0對任意-4＜t＜0恒成立，
設g（t）=mt2+t+3，
當m＞0時，函數g（t）=mt2+t+3的圖象開口向上，對稱軸，
（i）當Δ=1-12m＞0，即時，必有，
則，
（ii）當Δ=1-12m=0，即時，在t∈（-4，0）上恒成立，則，
（iii）當Δ=1-12m＜0，即時，g（t）＞0在t∈（-4，0）上恒成立，
則，
②當m＜0時，g（-4）=16m-1≤-1＜0，不沸足g（t）＞0在t∈（-4，0）上恒成立，
綜上得，，
所以存在m=，使得對定義域內的一切t,都有f（t+2）+f（1+mt2）＞0成立．
19.【答案】解：（1）根據題意可得：
m（x+2π）=2（x+2π）-1=2x+4π-1，m（2π）=4π-1，
故m（x+2π）≠m（x）+m（2π），
則函數m（x）=2x-1不具有性質P；
n（x+2π）=1-cos（x+2π）=1-cosx,n（2π）=1-cos2π=0，
故n（x+2π）=n（x）+n（2π），
則函數n（x）=1-cosx具有性質P；
（2）若f（x）具有性質P，則f（0+2π）=f（0）+f（2π），
則f（0）=sinφ=0，因為，所以φ=0，
則f（x）=sin（ωx），
由f（x+2π）=f（x）+f（2π）得：f（2kπ）=k f（2π）（ k∈Z），
若f（2π）≠0，則存在k0∈Z，使得，
而|f（x）|≤1，上式不成立，
故f（2π）=0，即sin（2ωπ）=0，因為，
所以3π＜2ωπ＜5π，則2ωπ=4π，
即ω=2，則f（x）=sin2x,
驗證：當ω=2，φ=0時，f（x）=sin2x,
則對任意x∈R，f（x+2π）=sin2（x+2π）=sin2x,f（x）+f（2π）=sin2x+sin4π=sin2x,
等式f（x+2π）=f（x）+f（2π）成立，
故存在ω=2，φ=0，使函數f（x）具有性質P；
（3）由（2）知，f（x）=sin2x,又在區間上恰有三個實數根x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），
所以在區間上恰有三個實數根x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），
令∈，所以sint=a在區間上恰有三個實數根t1，t2，t3（t1＜t2＜t3），
由函數y=sint的圖象知：t1+t2=π，t3=t1+2π，
則t3-t2-2t1=（t3-t1）-（t1+t2）=π，
即，
所以，
所以．
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