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2024-2025學(xué)年湖南省張家界市慈利一中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.已知a為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)z=（a2-1）+（a+1）i為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)z的虛部為（　　）
A. 1 B. 2i C. ±1 D. 2
2.若||=1，||=，（-） =0，則與的夾角為（　　）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 135°
3.設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（　　）
A. 若α∩β=m，n∈α，n⊥m，則n⊥β B. 若m⊥α，n⊥β，n⊥m，則α⊥β
C. 若m∥α，n∥α，則m∥n D. 若α∥β，m α，n β，則m∥n
4.在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上的點(diǎn)，，點(diǎn)F是線段DE的中點(diǎn)，若=，則μ=（　　）
A. B. 1 C. D.
5.已知球O的表面積為4π，一圓臺(tái)的上、下底面圓周都在球O的球面上，且下底面過(guò)球心O，母線與下底面所成角為，則該圓臺(tái)的側(cè)面積為（　　）
A. B. C. D. 3π
6.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a2=tanA，b2=tanB，且a≠b,則角C=（　　）
A. B. C. D.
7.某數(shù)學(xué)興趣小組成員為測(cè)量某建筑的高度OP，選取了在同一水平面上的A，B，C三處，如圖.已知在A，B，C處測(cè)得該建筑頂部P的仰角分別為30°，45°，60°，，AB=10米，則該建筑的高度OP=（　　）
A. 米
B. 米
C. 米
D. 米
8.在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M，N分別是AB，AD上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足2AM+AN=1，設(shè)=x+y，則2x+3y的最小值為（　　）
A. 48 B. 49 C. 50 D. 51
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。
9.已知復(fù)數(shù)z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)，則（　　）
A. |z1|=|z2| B. z1 z2=|z1| |z2|
C. D.
10.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BC，CC1的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（　　）
A. 直線A1B與EF所成的角的大小為60°
B. 直線AD1∥平面DEF
C. 平面DEF⊥平面BCC1B1
D. 直線CD與平面DEF所成角的正弦值為
11.已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a,b,c,面積為，則下列說(shuō)法正確的是（　　）
A. cosAcosC的取值范圍是
B. 若D為邊AC的中點(diǎn)，且BD=1，則△ABC的面積的最大值為
C. 若△ABC是銳角三角形，則的取值范圍是
D. 若角B的平分線BE與邊AC相交于點(diǎn)E，且，則a+4c的最小值為10
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.復(fù)數(shù)，則= ______.
13.已知平面向量，，，向量在向量上的投影向量為，則= ______.
14.已知正四棱錐S-ABCD的底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為，SC的中點(diǎn)為E，過(guò)點(diǎn)E作與SC垂直的平面α，則平面α截正四棱錐S-ABCD所得的截面面積為_(kāi)_____.
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
15.(本小題15分)
已知向量和，則，，求：
（1）的值；
（2）的值；
（3）2+與的夾角θ的余弦值．
16.(本小題15分)
在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a,b,c,c2=a2+b2-ab,cos2B=sinC.
（1）求B；
（2）若b=1，求△ABC的面積.
17.(本小題15分)
如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面B1BCC1是正方形，M，N分別是A1B1，AC的中點(diǎn)，AB⊥平面BCM．
（Ⅰ）求證：平面B1BCC1⊥平面A1ABB1；
（Ⅱ）求證：A1N∥平面BCM；
（Ⅲ）若三棱柱ABC-A1B1C1的體積為10，求棱錐C1-BB1M的體積．
18.(本小題15分)
如圖，在△ABC中，已知AB=4，AC=10，∠BAC=60°，BC邊上的中點(diǎn)為M，點(diǎn)N是邊AC上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），AM，BN相交于點(diǎn)P.
（1）求BC；
（2）當(dāng)點(diǎn)N為AC中點(diǎn)時(shí)，求：∠MPN的余弦值；
（3）當(dāng)取得最小值時(shí)，設(shè)，求λ的值.
19.(本小題17分)
三角形中存在諸多特殊位置的點(diǎn)，并且這些特殊點(diǎn)都具備一定的特殊性質(zhì).意大利學(xué)者托里拆利在研究時(shí)發(fā)現(xiàn)：在三角形的三邊分別向其外側(cè)作等邊三角形，這三個(gè)等邊三角形的外接圓交于一點(diǎn)T，該點(diǎn)T即稱為托里拆利點(diǎn)（以下簡(jiǎn)稱“T點(diǎn)”）.通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)三角形中的“T點(diǎn)”滿足到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離和TA+TB+TC最小.當(dāng)△ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的點(diǎn)O即為“T點(diǎn)”；當(dāng)△ABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為“T點(diǎn)”.試用以上知識(shí)解決下面問(wèn)題：已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a,b,c.
（1）若，求A的大小；
（2）在（1）的條件下，若bc=4，設(shè)點(diǎn)P為△ABC的“T點(diǎn)”，求；
（3）若acosB-bcosA=c,設(shè)P點(diǎn)為△ABC的“T點(diǎn)”，，求實(shí)數(shù)t的最小值.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】ABC
10.【答案】ABD
11.【答案】ABC
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）∵，，，
∴==2；
（2）∵=4×4+4×2+4=28，
∴=；
（3）∵（+） ==2×2+4=8，
∴cos===．
16.【答案】解：（1）因?yàn)閏2=a2+b2-ab,
所以，
因?yàn)镃∈（0，π），所以，
因?yàn)閏os2B=sinC，所以，
因?yàn)椋裕?br/>所以，所以；
（2）由（1）知，，
由正弦定理得：，
得==，
所以△ABC的面積為=．
17.【答案】證明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCM，BC 平面BCM，∴AB⊥BC，
∵正方形B1BCC1，∴BB1⊥BC，
∵AB∩BB1=B，∴BC⊥平面A1ABB1，
∵BC 平面B1BCC1，∴平面B1BCC1⊥平面A1ABB1；
（Ⅱ）設(shè)BC中點(diǎn)為Q，連結(jié)NQ，MQ，
∵M(jìn)，N分別是A1B1，AC的中點(diǎn)，∴NQ∥AB，且NQ=AB，
∵AB∥A1B1，且AB=A1B1，∴NQ∥A1M，且NQ=A1M，
∴四邊形A1MQN是平行四邊形，∴A1N∥MQ，
∵M(jìn)Q 平面BCM，A1N
∴A1N∥平面BCM．
解：（Ⅲ）連結(jié)A1B，根據(jù)棱柱和棱錐的體積公式，
得到三棱錐B-A1B1C1的體積==，
∵M(jìn)為A1B1的中點(diǎn)，
∴棱錐C1-BB1M的體積===．
18.【答案】解：（1）∵AB=4，AC=10，∠BAC=60°，由余弦定理知：
BC2=AB2+AC2-2AB AC cos∠BAC=42+102-2×4×10×cos60°=76，
∴BC的值為；
（2）設(shè)，
∵M(jìn)、N分別為BC、AC的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
，
又，
∴，
即∠MPN的余弦值為；
（3）設(shè)，
則，
當(dāng)x=1即時(shí)，取最小值-1，
∴，
∵，
∴，
∵A，P，M三點(diǎn)共線，
∴，
即當(dāng)取得最小值時(shí)，λ的值為．
19.【答案】；
-2；
．
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