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2024-2025學年湖北省武漢市常青第一學校九年級（下）質檢數學試卷（3月份）
一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.有理數-2025的相反數是（　　）
A. 2025 B. C. -2025 D.
2.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　　）
A. B. C. D.
3.下列成語描述的事件屬于隨機事件的是（　　）
A. 旭日東升 B. 畫餅充饑 C. 守株待兔 D. 竹籃打水
4.下列計算正確的是（　　）
A. 3a2÷6a2=2a2 B. （a3）2=a5
C. （-2ab2）3=-6a3b6 D. a3 a4=a7
5.由6個相同的小正方體搭成的幾何體，那么這個幾何體的主視圖是（　　）
A.
B.
C.
D.
6.若拋物線上有，，三點，則，，的大小關系為 ．
A. B. C. D.
7.一個不透明的袋子里裝著質地、大小都相同的3個紅球和2個藍球，隨機從中摸出一球，不再放回袋中，充分攪勻后再隨機摸出一球，兩次都摸到紅球的概率是（　　）
A. B. C. D.
8.如圖，在扇形MON中，∠MON=105°，P為OM邊上一點且OP=2，連接PN，將△OPN沿PN折疊，點O恰好落在上的點Q處，則陰影部分的面積為（　　）
A.
B.
C.
D.
9.如圖，正方形ABCD邊長為6，E為線段BD上一點，F為CD邊上一點，滿足AE=EF，EF與AC相交于點G，且2OG=CG，則CF的長度為（　　）
A.
B.
C.
D.
10.如圖，四邊形OABC為矩形，A，C分別在坐標軸上，B（4，3），BD=1，將AD繞點A順時針旋轉45°得AD'，AD'交x軸于點E，則點E的橫坐標為（　　）
A. B. C. D.
二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。
11.6382億用科學記數法表示為______.
12.計算的結果是______.
13.如圖，菱形OABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，∠AOC=45°，，OB與AC交于點D，若反比例函數經過點D，則k= ______.
14.如圖，為了測量某風景區內一座古塔CD的高度，某校數學興趣小組的同學分別在古塔對面的高樓AB的底部B和頂部A處分別測得古塔頂部C的仰角分別為45°和30°，已知高樓AB的高為24m，則古塔CD的高度為是______m（≈1.732，≈1.414，結果保留一位小數）．
15.拋物線y=ax2+bx+c（a＜0）的圖象與x軸交于（-2，0），（x1，0），其中-1＜x1＜0.下列五個結論：①abc＞0；②a-b+c＜0；③2a-c＜0；④a-b＞0；⑤關于x的一元二次方程a（x+2）（x-x1）+1=0有兩個不相等的實數根.其中正確的有______.
16.如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E，F分別在邊DC，BC上，且BF=CE，AE平分∠CAD，連接DF，分別交AE，AC于點G，M.P是線段AG上的一個動點，過點P作PN⊥AC，垂足為N，連接PM.則PM+PN的最小值為______，S△ADM= ______.
三、解答題：本題共8小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.(本小題9分)
解不等式組：，并指出它的所有的非負整數解.
18.(本小題9分)
如圖，在△ABC中，AD是角平分線，DE∥AC交AB于點E，DF∥AB交AC于點F.
（1）判定四邊形AEDF的形狀，并證明你的結論；
（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形AEDF是正方形？
19.(本小題9分)
某校為增強學生秋季流疾防控意識，開展了預防流疾知識競賽.現從該校七、八年級學生中各隨機抽取10名學生的競賽成績（100分制）進行整理、描述和分析（成績得分用x表示，共分成四組：A.80≤x＜85，B.85≤x＜90，C.90≤x＜95，D.95x100），下面給出了部分信息：七年級10名學生的競賽成績是：96，84，88，89，90，82，96，99，96，100；八年級10名學生的競賽成績在C組中的數據是：94，92，93；
七、八年級抽取的學生競賽成績統計表
年級 平均數 中位數 眾數 方差
七年級 92 93 a 35.4
八年級 92 b 100 35
根據以上信息，解答下列問題：
（1）直接寫出上述圖表中a= ______，b= ______，m= ______；
（2）該校七年級有400名學生，八年級有500名學生參加了此次競賽，估計該校七、八年級參加此次競賽成績優秀（x≥90）的學生有多少名？
20.(本小題9分)
如圖，AB為⊙O直徑，E為⊙O上一點，AC平分∠EAB，過點C作CD⊥AD交AE的延長線于點D，連接BD.
（1）求證：CD為⊙O的切線；
（2）若，，求線段BD的長度.
21.(本小題9分)
如圖，在7×7的正方形網格中，A，B，C均為小正方形的頂點，E是AC與網格線的交點.用無刻度的直尺畫圖，保留畫圖痕跡.
（1）在圖1中，將線段AB繞點A逆時針旋轉90°得到線段AM；在AC上畫點N，使.
（2）在圖2中，在BC上畫點F（不與點C重合），使EF=EC；并找出F關于AB的對稱點G.
22.(本小題9分)
如圖1，懸索橋兩端主塔塔頂之間的主索，其形狀可近似地看作拋物線，水平橋面與主索之間用垂直吊索連接.已知兩端主塔之間水平距離為800m,兩主塔塔頂距橋面的高度為42m,主索最低點P離橋面的高度為2m,若以橋面所在直線為x軸，拋物線的對稱軸為y軸，建立如圖2所示的平面直角坐標系.
（1）求這條拋物線對應的函數表達式；
（2）若在拋物線最低點P左下方橋梁上的點M（-30，-1）處放置一個射燈，該射燈光線恰好經過點P和右側主索最高點D.
（ⅰ）求主索到射燈光線的最大豎直距離；
（ⅱ）現將這個射燈沿水平方向向右平移，并保持光線與原光線平行，若要保證該射燈所射出的光線能照到右側主索.則最多向右平移______米.
23.(本小題9分)
（1）[問題背景]如圖1，在四邊形ABCD中，對角線BD平分∠ABC，且滿足∠BAD=∠BDC，求證BD2=AB BC；
（2）[嘗試應用]如圖2，在平行四邊形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于點E，F為CD上一點，且∠BEF=∠BAD，CF=2DF.若AB=4，BC=6，求EF的長；
（3）[拓展創新]如圖3，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6，點E在BA的延長線上，且，過點A作AF⊥AE交EC于點F，直接寫出的值.
24.(本小題9分)
如圖，直線交x軸于點A，交y軸于點B，點C在y軸上，CB=OB，經過點A，C的拋物線y=ax2-x+c交直線AB于另一點D.
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P為直線AB上方拋物線上一點，過點P作PF⊥x軸于點F，交AB于點E.當PE=3EF時，求點P的坐標；
（3）拋物線與x軸的另一個交點為K，過點T（t,-1）（t＜0）的任意直線MN（不與y軸平行）與拋物線交于點M，N，直線KM，KN分別交y軸于點G，H，是否存在t的值使得OG與OH的積為定值？若存在，求t的值，若不存在，請說明理由.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】6.382×1011
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】23.7
15.【答案】③④⑤
16.【答案】
17.【答案】解：，
由①得：x＜2，
由②得：x≥-2，
∴不等式的解集為-2≤x＜2，
非負整數解為：0，1．
18.【答案】菱形，見解析；
∠ BAC=90°．
19.【答案】96，93.5，40；
590名．
20.【答案】見解析；
．
21.【答案】見解析．
22.【答案】解：（1）由題意可知，拋物線的頂點為（0，2），
設拋物線的解析式為：y=ax2+2，
∵D（400，42），
∴42=a×4002+2．
解得：a=，
∴解析式為：y=+2；
（2）（ⅰ）設直線MD為y=kx+b,
將M（-30，-1），P（0，2）代入可得，
解得：，
直線MD解析式為y=x+2；
如圖，作垂直于x軸的直線交MD于N，交拋物線于點L，
設點N的坐標為（n,n+2），則L為（n,n2+2），
當n＞0時，NL=n+2-n2-2=-n2+n=-（n-200）2+10，
故n=200時有最大值10；
當n＜0時，NL=n2+2-n-2=n2-n=（n-200）2-10，
∵n＜200時，NL隨n的增大而減小，-30≤n≤400，
∴當n=-30時，NL有最大值為：+3<10,
綜上所述，最大距離為10；
（ⅱ）100.
23.【答案】證明過程詳見解答；
；
．
24.【答案】y=-x2-x+4；
（-2，4）；
t=-4，定值為2．
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