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(共24張PPT)
22.1.1 二次函數
第二十二章 二次函數
迪拜音樂噴泉是世界上最大的噴泉，也是最壯觀的噴泉．觀察視頻噴泉有時會形成一條條曲線．這些曲線能否用函數關系式表示？
視頻引入
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思考：視頻中得到的優美曲線可以用函數來表示嗎
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1. 什么是函數
一般地，在一個變化的過程中，如果有兩個變量 x 與 y，并且對于 x 的每一個確定的值，y 都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說 x 是自變量，y 是 x 的函數.
3. 一元二次方程的一般形式是什么？
一般地，形如 y = kx + b (k，b 是常數，k ≠ 0) 的函數叫做一次函數. 當 b = 0 時，一次函數 y = kx (k 是常數，k ≠ 0) 就叫做正比例函數.
2. 什么是一次函數？正比例函數？
ax2+bx+c=0 (a≠0)
二次函數的相關概念
探究歸納
問題1 正方體六個面是全等的正方形，設正方體棱長為 x，表面積為 y，則 y 關于 x 的關系式為 .
y = 6x2
此式表示了正方體的表面積 y 與棱長 x 之間的關系，對于 x 的每一個值，y 都有唯一一個對應值，即 y 是 x 的函數.
問題2 n 個球隊參加比賽，每兩隊之間進行一場比賽，比賽的場次數 m 與球隊數 n 有什么關系？
分析：每個球隊 n 要與其他 個球隊各比賽一場，甲隊對乙隊的比賽與乙隊對甲隊的比賽是同一
場比賽，所以比賽的場次數為
(n 1)
解：
此式表示了比賽的場次數 m 與球隊數 n 之間的關系，對于 n 的每一個值，m 都有一個對應值，即m是n的函數.
.
問題3 某種產品現在的年產量是 20 t，計劃今后兩年增加產量. 如果每年都比上一年的產量增加 x 倍，那么兩年后這種產品的產量 y 將隨計劃所定的 x 的值而確定，y 與 x 之間的關系怎樣表示？
分析：原產量是 20 t，一年后的產量是 t，再經過一年后的產量是 t，即兩年后的產量
y =__________t.
20(1 + x)
20(1 + x)2
20(1 + x)2
此式表示了兩年后的產量 y 與計劃增產的倍數 x 之間的關系，對于 x 的每一個值，y 都有唯一一個對應值，即 y 是 x 的函數.
答：y = 20x2 + 40x + 20.
想一想
問題 1~3 中函數關系式有什么共同點
函數都是用
自變量的二次整式表示的
y = 6x2
y = 20x2 + 40x + 20
二次函數的定義：
一般地，形如 y = ax + bx + c (a，b，c 是常數，a≠0) 的函數叫做二次函數.其中 x 是自變量，a，b，c 分別是函數解析式的二次項系數、一次項系數和常數項.
(1) a，b，c 為常數，且 a≠0；
(2) 等號左邊是變量 y，右邊是關于自變量 x 的整式；
(3) 等式的右邊自變量的最高次數為 2，可以沒有一次項和常數項，但不能沒有二次項.
溫馨提示：
歸納總結
例1 下列函數中哪些是二次函數 為什么 (x 是自變量)
① y = ax2 + bx + c； ② y = 3 2x ； ③ y = x2；
④ ； ⑤ y = x + x + 25； ⑥ y = (x + 3) x .
不一定是，缺少 a，b，c 是常數，且 a ≠ 0 的條件.
不是，等式右邊是分式.
不是，x 的最高次數是 3.
y = 6x + 9
典例精析
判斷一個函數是不是二次函數，先看原函數和整理化簡后的形式再作判斷.二次函數除了有一般形式 y = ax2 + bx + c (a≠0) 之外，還有一些特殊形式，如 y = ax2，y = ax2 + bx，y = ax2 + c 等.
方法歸納
例2 若函數 是二次函數，
求 m 的值.
∴ m = 3.
解：
由題意得
本題易忽略二次項系數不為 0 這一限制條件，從而得出 m = -1 的錯誤答案，需要引起重視.
歸納
典例精析
針對訓練
已知二次函數 .
(1) 求 k 的值；
(2) 當 x = 0.5 時，y 的值是多少？
解：
(1) 由題意，得
解得
將 x = 0.5 代入函數關系式 ，得
(2) 由(1)得，
問題 矩形綠地的長為 x m，面積為 y m2.
（1）若該矩形綠地的長為寬的 2 倍，則寬為 m， y 與 x 之間的關系式為__________.
（2）若該矩形綠地的長比寬多 6 m，則寬為______m， y 與 x 之間的關系式為___________.
想一想 自變量的取值范圍是_________.
想一想 自變量的取值范圍是___________.
0.5x
y = 0.5x2
x＞0
(x 6)
y = x(x 6)
x＞6
根據實際問題列二次函數關系式
例3 如圖，用一段長為 30 米的籬笆圍成一個一邊靠墻 (墻的長度不限) 的矩形菜園 ABCD，設 AB 邊長為 x 米，求菜園的面積 y (單位：平方米) 與 x (單位：米) 的函數關系式.
解：∵ AB 邊長為 x 米，
∴ y＝ (30－x)x＝
∴ AD 邊長為 (30－x) 米.
(0＜x＜30).
在根據實際問題列二次函數關系式時，要注意自變量的取值范圍.
注意
例4 某工廠生產的某種產品按質量分為 10 個檔次，第 1 檔次 (最低檔次) 的產品一天能生產 95 件，每件利潤 6 元．每提高一個檔次，每件利潤增加 2 元，但一天產量減少 5 件. 若生產第 x 檔次的產品一天的總利潤為 y 元(其中 x 為正整數，且 1≤x≤10)，求出 y 關于 x 的函數關系式.
∴y＝[6＋2(x－1)][95 5(x－1)].
解：由題意得，第 x 檔次，提高了 (x－1) 檔，利潤增加了
2(x－1) 元，產量減少了 5(x－1) 件．
即 y＝－10x2＋180x＋400 (其中 x 是正整數，且1≤x≤10).
1. 下列函數是二次函數的是( )
A．y＝2x＋1 B．
C．y＝3x2＋1 D．
C
2. 函數 y = (m - n)x2 + mx + n 是二次函數的條件是( )
A. m，n 是常數,且 m≠0 B. m，n 是常數，且 n≠0
C. m，n 是常數,且 m≠n D. m，n 為任意實數
C
3. 把 y = (2 - 3x)(6 + x) 變成 y = ax + bx + c 的形式，
二次項為_____，一次項系數為_____，常數項
為 .
-3x2
-16
12
4. 已知函數 y = 3x2m-1－5.
① 當 m =＿＿時，y 是關于 x 的一次函數；
② 當 m =＿＿時，y 是關于 x 的二次函數.
1
5. 若函數 是二次函數.
(1) 求 a 的值；
(2) 求函數關系式；
(3) 當 x = -2 時，y 的值是多少？
解：
(1) 由題意，得
解得
(2) 當 a = 1 時，函數關系式為 .
(3) 將 x = 2 代入函數關系式中，得
6. 寫出下列各函數關系式：
(1) 寫出圓的面積 y (cm2) 與它的周長 x (cm) 之間的函數
關系式；
(2) 菱形的兩條對角線的和為 26 cm，求其面積 S (cm2)
與一對角線長 x ( cm ) 之間的函數關系式．
(x＞0).
7. 某商店經銷一種銷售成本為每千克 40 元的商品，根據市場分析，若按每千克 50 元銷售，一個月能售出 500 kg，銷售單價每漲 1 元，月銷售量就減少 10 kg，針對這種商品的銷售情況，請解答下列問題：
（1）當銷售價為每千克 55 元時，計算月銷售量和銷售利潤分別為多少；
（2）設銷售價為每千克 x 元，月銷售利潤為 y 元，求 y 與 x 的函數關系式 (不必寫出自變量 x 的取值范圍).
解：(1) 當銷售價為每千克 55 元時，由題意，得
月銷售量為 500 (55 50)×10 = 450 (kg)，
每千克銷售利潤為 55 40 = 15 (元)，
月銷售利潤為 450×15 = 6750 (元).
(2) 當銷售價為每千克 x 元時，由題意，得
月銷售量為 [500 (x 50)×10] kg.
每千克銷售利潤為 (x 40) 元.
月銷售利潤 y = [500 (x 50)×10](x 40)，
整理，得 y = -10x2 + 1400x 40000.
8. 矩形的周長為 16 cm，它的一邊長為 x cm，面積為
y cm2.
(1) 寫出 y 與 x 之間的函數解析式及自變量 x 的取值范圍；
(2) 當 x = 3 時，求矩形的面積.
解：(1) y＝(8 x)x＝ x2＋8x (0＜x＜8).
(2) 當 x＝3 時，y＝ 32＋8×3＝15 (cm2) .
二次函數
定 義
y = ax + bx + c(a≠0)
一般形式
形如 y = ax + bx + c (a，b，c 是常數，a ≠ 0) 的函數叫做二次函數.其中 x 是自變量，a，b，c 分別是函數解析式的二次項系數、一次項系數和常數項
特殊形式
y = ax2；
y = ax2 + bx；
y = ax2 + c (a ≠ 0，a，b，c 是常數)

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