資源簡介 (共33張PPT)第二十二章 二次函數22.1.2 二次函數 y = ax2 的圖象和性質情境引入二次函數 y = ax2 (a>0) 的圖象與性質畫出 y = x2 的圖象.合作探究x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …y = x2 … … 94101941. 列表:在 y = x2 中自變量 x 可以取任意實數.列表表示幾組對應值:24-2-4O369xy2. 描點:根據表中 x,y 的數值在坐標平面中描點 (x,y).3. 連線:如圖,再用平滑的曲線順次連接各點,就得到y = x2 的圖象.點擊播放-33O369xy對稱軸與拋物線的交點叫做拋物線的頂點,它是拋物線的最低點,為 (0,0).這條拋物線關于 y 軸對稱,y 軸就是它的對稱軸.二次函數 y =x2 的圖象是一條曲線,形如物體拋射時所經過的路線,我們把它叫做拋物線 y = x2.當取更多個點時,二次函數 y = x2 的圖象如下:根據你以往學習函數圖象特征的經驗,說說二次函數 y = x2 的圖象有哪些特征,并與同伴交流.議一議xOy=x2y1. y=x2 的圖象是一條拋物線;2. 圖象開口向上;3. 圖象關于 y 軸對稱;4. 頂點 (0 ,0);5. 圖象有最低點.12-2O-114xy(-2,4)(-1,1)(2,4)(1,1)32問題:觀察二次函數 y = x2 的圖象,y 隨 x 的如何變化?從二次函數 y = x2 的圖象可以看出:當 x<0 時,y 隨 x 的增大而減小;當 x>0 時,y 隨 x 的增大而增大.例2 在同一直角坐標系中,畫出函數的圖象.解:列表如下:x ··· 4 3 2 1 0 1 2 3 4 ······ ···x ··· 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 ······ ···84.520.5084.520.584.520.5084.520.5O-222464-48描點、連線,如圖所示:xyy = 2x2點擊播放(2) 當 a>0 時,二次函數 y = ax2 的圖象開口大小有什么規律?O-222464-48xyy = 2x2當 a>0 時,a 越大,開口越小.思考:(1) 函數 的圖象與函數 的圖象相比,有什么共同點和不同點?共同點是開口向上,對稱軸是 y軸,頂點是原點,也是拋物線的最低點;不同點是開口大小不同,二次項系數大的開口反而小.對于拋物線 y = ax2 (a>0):拋物線開口向上,對稱軸是 y 軸,頂點是原點,頂點是拋物線的最低點,a 越大,即 | a |越大,拋物線 y = ax2 的開口就越小.知識要點在同一直角坐標系中,畫出函數 的圖象.合作探究解:列表如下.x … 4 3 2 1 0 1 2 3 4 …y=-x2 … … … … 9 4 10 1 9 4 8 2 0.50 8 4.5 2 0.5 4.5 16 16二次函數 y = ax2 (a<0) 的圖象和性質x ··· 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 ······ ··· 4.5 8 2 0.50 8 4.5 2 0.5O 22-2-4-64 4-8描點、連線,如圖所示.xyy = -2x2思考 (1)觀察函數 的圖象,這些拋物線有什么相同點和不同點? 22-2-4-64 4-8xyy = -2x2O當 a<0 時,a 越小,拋物線的開口越小.共同點是開口向下,對稱軸是y 軸,頂點是原點;不同點是開口大小不同,二次項系數越小,拋物線的開口越小.(2) 當 a<0 時,二次函數 y = ax2 的圖象開口大小有什么規律?對于拋物線 y = ax2 (a<0):拋物線開口向下,對稱軸是 y 軸,頂點是原點,頂點是拋物線的最高點,a 越小,即 | a |越大,拋物線 y = ax2 的開口越小.知識要點問題:觀察圖象,y 隨 x 的變化如何變化?y24-2-4O-3-6-9x從二次函數 y = -x2 的圖象可以看出:當 x<0 時,y 隨 x 的增大而增大;當 x>0 時,y 隨 x 的增大而減小.(2, 4)( 2, 4)(3, 9)( 3, 9)y=ax2 a > 0 a < 0圖象開口方向與大小對稱性頂點與最值增減性開口向上開口向下| a | 越大,開口越小關于 y 軸對稱,對稱軸是直線 x=0頂點坐標是原點(0,0)當 x = 0 時,y最小值 = 0當 x = 0 時,y最大值 = 0在對稱軸左側遞減在對稱軸右側遞增在對稱軸左側遞增在對稱軸右側遞減yOxyOx歸納總結觀察下列圖象,拋物線 y = ax2 與 y = ax2(a>0) 的關系是什么?二次項系數互為相反數時, 開口方向相反,開口大小相同,它們關于 x 軸對稱.xyOy = ax2y = ax2交流討論3. 函數 y = x2 的圖象的開口 ,對稱軸是 ,頂點是 ,頂點是拋物線的最 點;2. 函數 y = 3x2 的圖象的開口 ,對稱軸是 ,頂點是 ,頂點是拋物線的最 點;1. 函數 y = 4x2 的圖象的開口 ,對稱軸是 ,頂點是 ;向上向下y 軸y 軸(0,0)(0,0)4. 函數 y = 0.2x2 的圖象的開口 ,對稱軸是____,頂點是 .向上y 軸(0,0)向下y 軸(0,0)高低練一練例3 已知二次函數 y = x2.(1) 點 A(2,4) 在二次函數圖象上嗎?典例精析解:當 x = 2 時,y = 22 = 4,所以點 A(2,4) 在二次函數圖象上.解:點 A 關于 x 軸的對稱點 B 的坐標為 (2, 4),關于 y 軸的對稱點 C 的坐標為 ( 2,4).(2) 請分別寫出點 A 關于 x 軸的對稱點 B 的坐標,關于 y 軸的對稱點 C 的坐標;(3) 點 B、C 在二次函數 y = x2 的圖象上嗎?在二次函數y = x2 的圖象上嗎?解:由 (2) 可知,B (2, 4) ,C ( 2,4).當 x = 2 時,y = 22 = 4,所以點 B 在二次函數 y = x2 的圖象上;當 x = 2 時,y = ( 2)2 = 4,所以點 C 在二次函數 y = x2 的圖象上.例4 已知 y = (m + 1)x 是二次函數,且其圖象開口向上,求 m 的值和函數解析式.m2+m解:依題意有m + 1 > 0, ①m2 + m = 2. ②解②得 m1 = -2,m2 = 1.由①得 m > -1.∴ m = 1.此時,二次函數的解析式為 y = 2x2.已知 是二次函數,且當 x>0 時,y 隨 x 增大而增大,則 k = .分析: 是二次函數,即二次項的系數不為 0,x 的次數等于 2.由于當 x>0 時,y 隨 x 增大而增大,故二次項的系數大于 0.因此,解得,k = 2.2練一練例5 已知二次函數 y=ax2.(1) 若 a = 2,點( 2,y1)與(3,y2)在此二次函數的圖象上,則 y1_____ y2 (填“> ”“=”或“< ”);<(2) 若 a>0,點(2,y1)與(3,y2)在此二次函數的圖象上,則 y1_____ y2 (填“> ”“=”或“< ”);(3) 若 a<0,點(-2,y1)與(3,y2),(5,y3)在此二次函數的圖象上,則y1,y2,y3的大小關系是___________.<y1>y2>y3分析:(1)將 x = -2,3 分別代入 y = 2x2,得出 y1,y2 的值,再比較大小.(2)根據 a>0,當 x>0 時,y 隨 x 的增大而增大得出結論.(3)畫出草圖,在圖象上標出 y1,y2,y3,直觀得出結論.方法歸納二次函數 y = ax2 中比較函數值的大小的方法:① 直接代入法:將 x 的值分別代入函數解析式中,求出 y 值再比較大小,多用于 a 值確定的情況,如例5(1);②性質判斷法:結合二次函數的性質(增減性)及自變量x 之間的大小關系,得出其對應 y 值的大小關系;多用于自變量 x 在對稱軸同一側的情況,如例5(2);③草圖法:畫出二次函數的草圖,描點,根據圖象直接判斷 y 值的大小. 多用于 a 值不確定且 x 值不在對稱軸同側的情況,如例5(3).1. 函數 y = 5x2 的圖象的開口 ,對稱軸為 ,頂點是 ;在對稱軸的左側,y 隨 x 的增大而 ,在對稱軸的右側,y 隨 x 的增大而 .2. 函數 y = 3x2 的圖象的開口 ,對稱軸為 ,頂點是 ;在對稱軸的左側,y 隨 x 的增大而 ,在對稱軸的右側,y 隨 x 的增大而 .向上向下y 軸y 軸(0,0)(0,0)減小減小增大增大xxyyOO3. 如右圖,觀察函數 y = (k - 1)x2 的圖象,則 k 的取值范圍是 .xyk > 14. 說出下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點.開口方向對稱軸頂點向上向下向下向上y 軸y 軸y 軸y 軸(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)O5. 若拋物線 y = ax2 (a ≠ 0) 過點 ( 1,2),則(1) a 的值是 ;(2) 對稱軸是 ,開口 ;(3) 頂點坐標是 ,頂點是拋物線上的最 點,拋物線在 x 軸的 方(除頂點外);(4) 若 A(x1 , y1),B(x2 , y2) 在這條拋物線上,且 x1< x2<0,則 y1 y2.2y 軸向上(0,0)低上>6. 已知二次函數 y = x2,若 x≥m 時,y 最小值為 0,求實數 m 的取值范圍.解:在二次函數 y = x2 中,當 x = 0 時,y 有最小值,且 y最小值 = 0.∵ 當 x≥m 時,y最小值 = 0,∴ m≤0.7. 已知:如圖,直線 y=3x+4 與拋物線 y=x2 交于 A、B 兩點,求出 A、B 兩點的坐標,并求出兩交點與原點所圍成的三角形的面積.解:聯立∴ A (4,16),B ( 1,1).∵ 直線 y=3x+4 與 y 軸相交于點 C (0,4),即 CO=4,∴ S△ACO= ×4×4=8,S△BOC= ×4×1=2,∴ S△ABO=S△ACO+S△BOC=10.B解得如圖,二次函數 y=2x2 的圖象經過點(0,0),長方形ABCD 的頂點 A、B 在 x 軸上,C、D 恰好在二次函數的圖象上,B 點的橫坐標為 2,求圖中陰影部分的面積之和.能力提升解:∵ 二次函數 y=2x2 的圖象經過點 C,∴ 當 x=2 時,y=2×22=8. 即 BC = 8.∵ 拋物線和長方形都是軸對稱圖形,且圖中 y 軸為它們的對稱軸,∴ S陰影部分面積之和=2×8=16.∴ OA=OB.∴ 在長方形 ABCD 內,左邊陰影部分面積等于右邊空白部分面積.對于此類求不規則圖形的面積,可用等面積割補法,結合二次函數圖象的對稱性,將不規則圖形轉化為規則圖形以方便求解.注意二次函數y = ax2 的圖象及性質畫法描點法在對稱軸兩側對稱取點圖象拋物線軸對稱圖形性質重點關注4 個方面開口方向及大小對稱軸頂點坐標增減性 展開更多...... 收起↑ 資源預覽 縮略圖、資源來源于二一教育資源庫