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22.1.2 二次函數y=ax^2的圖象和性質 課件(共33張PPT) 2025-2026學年度人教版數學九年級上冊

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22.1.2 二次函數y=ax^2的圖象和性質 課件(共33張PPT) 2025-2026學年度人教版數學九年級上冊

資源簡介

(共33張PPT)
第二十二章 二次函數
22.1.2 二次函數 y = ax2 的圖象和性質
情境引入
二次函數 y = ax2 (a>0) 的圖象與性質
畫出 y = x2 的圖象.
合作探究
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y = x2 …               … 
9
4
1
0
1
9
4
1. 列表:在 y = x2 中自變量 x 可以取任意實數.
列表表示幾組對應值:
2
4
-2
-4
O
3
6
9
x
y
2. 描點:根據表中 x,y 的數值在坐標平面中描點 (x,y).
3. 連線:如圖,再用平滑的曲線順次連接各點,就得到
y = x2 的圖象.
點擊播放
-3
3
O
3
6
9
x
y
對稱軸與拋物線的交
點叫做拋物線的頂點,
它是拋物線的最低點,
為 (0,0).
這條拋物線關于 y 軸對稱,y 軸就是它的對稱軸.
二次函數 y =x2 的圖象是一條曲線,形如物體拋射時所經過的路線,我們把它叫做拋物線 y = x2.
當取更多個點時,二次函數 y = x2 的圖象如下:
根據你以往學習函數圖象特征的經驗,說說二次函數 y = x2 的圖象有哪些特征,并與同伴交流.
議一議
x
O
y=x2
y
1. y=x2 的圖象是一條拋物線;
2. 圖象開口向上;
3. 圖象關于 y 軸對稱;
4. 頂點 (0 ,0);
5. 圖象有最低點.
1
2
-2
O
-1
1
4
x
y
(-2,4)
(-1,1)
(2,4)
(1,1)
3
2
問題:觀察二次函數 y = x2 的圖象,y 隨 x 的如何變化?
從二次函數 y = x2 的圖象
可以看出:
當 x<0 時,y 隨 x 的增大而減小;當 x>0 時,y 隨 x 的增大而增大.
例2 在同一直角坐標系中,畫出函數
的圖象.
解:列表如下:
x ··· 4 3 2 1 0 1 2 3 4 ···
··· ···
x ··· 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
··· ···
8
4.5
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
8
4.5
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
O
-2
2
2
4
6
4
-4
8
描點、連線,如圖所示:
x
y
y = 2x2
點擊播放
(2) 當 a>0 時,二次函數 y = ax2 的圖象開口大小有什么規律?
O
-2
2
2
4
6
4
-4
8
x
y
y = 2x2
當 a>0 時,a 越大,開口越小.
思考:(1) 函數 的圖象與函數 的圖象相比,有什么共同點和不同點?
共同點是開口向上,對稱軸是 y
軸,頂點是原點,也是拋物線的
最低點;不同點是開口大小不同,
二次項系數大的開口反而小.
對于拋物線 y = ax2 (a>0):
拋物線開口向上,對稱軸是 y 軸,頂點是原點,頂點是拋物線的最低點,a 越大,即 | a |越大,拋物線 y = ax2 的開口就越小.
知識要點
在同一直角坐標系中,畫出函數 的圖象.
合作探究
解:列表如下.
x … 4 3 2 1 0 1 2 3 4 …
y=-x2 …             … 
… …
9
4
1
0 
1
9
4
8
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
4.5
16
16
二次函數 y = ax2 (a<0) 的圖象和性質
x ··· 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
··· ···
4.5
8
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
O
2
2
-2
-4
-6
4
4
-8
描點、連線,如圖所示.
x
y
y = -2x2
思考 (1)觀察函數 的圖象,這些拋物線有什么相同點和不同點?
2
2
-2
-4
-6
4
4
-8
x
y
y = -2x2
O
當 a<0 時,a 越小,拋物線的開口越小.
共同點是開口向下,對稱軸是
y 軸,頂點是原點;不同點是
開口大小不同,二次項系數越小,拋物線的開口越小.
(2) 當 a<0 時,二次函數 y = ax2 的圖象開口大小有什么規律?
對于拋物線 y = ax2 (a<0):
拋物線開口向下,對稱軸是 y 軸,頂點是原點,頂點是拋物線的最高點,a 越小,即 | a |越大,拋物線 y = ax2 的開口越小.
知識要點
問題:觀察圖象,y 隨 x 的變化如何變化?
y
2
4
-2
-4
O
-3
-6
-9
x
從二次函數 y = -x2 的圖象可以看出:
當 x<0 時,y 隨 x 的增大而增大;當 x>0 時,y 隨 x 的增大而減小.
(2, 4)
( 2, 4)
(3, 9)
( 3, 9)
y=ax2 a > 0 a < 0
圖象
開口方向與大小
對稱性
頂點與最值
增減性
開口向上
開口向下
| a | 越大,開口越小
關于 y 軸對稱,對稱軸是直線 x=0
頂點坐標是原點(0,0)
當 x = 0 時,y最小值 = 0
當 x = 0 時,y最大值 = 0
在對稱軸左側遞減
在對稱軸右側遞增
在對稱軸左側遞增
在對稱軸右側遞減
y
O
x
y
O
x
歸納總結
觀察下列圖象,拋物線 y = ax2 與 y = ax2
(a>0) 的關系是什么?
二次項系數互為相反數時, 開口方向相反,開口大小相同,它們關于 x 軸對稱.
x
y
O
y = ax2
y = ax2
交流討論
3. 函數 y = x2 的圖象的開口 ,對稱軸是 ,
頂點是 ,頂點是拋物線的最 點;
2. 函數 y = 3x2 的圖象的開口 ,對稱軸是 ,頂點是 ,頂點是拋物線的最 點;
1. 函數 y = 4x2 的圖象的開口 ,對稱軸是 ,頂點是 ;
向上
向下
y 軸
y 軸
(0,0)
(0,0)
4. 函數 y = 0.2x2 的圖象的開口 ,對稱軸是____,頂點是 .
向上
y 軸
(0,0)
向下
y 軸
(0,0)


練一練
例3 已知二次函數 y = x2.
(1) 點 A(2,4) 在二次函數圖象上嗎?
典例精析
解:當 x = 2 時,y = 22 = 4,
所以點 A(2,4) 在二次函數圖象上.
解:點 A 關于 x 軸的對稱點 B 的坐標為 (2, 4),
關于 y 軸的對稱點 C 的坐標為 ( 2,4).
(2) 請分別寫出點 A 關于 x 軸的對稱點 B 的坐標,關于 y 軸的對稱點 C 的坐標;
(3) 點 B、C 在二次函數 y = x2 的圖象上嗎?在二次函數
y = x2 的圖象上嗎?
解:由 (2) 可知,B (2, 4) ,C ( 2,4).
當 x = 2 時,y = 22 = 4,
所以點 B 在二次函數 y = x2 的圖象上;
當 x = 2 時,y = ( 2)2 = 4,
所以點 C 在二次函數 y = x2 的圖象上.
例4 已知 y = (m + 1)x 是二次函數,且其圖象開口向上,求 m 的值和函數解析式.
m2+m
解:依題意有
m + 1 > 0, ①
m2 + m = 2. ②
解②得 m1 = -2,m2 = 1.
由①得 m > -1.
∴ m = 1.
此時,二次函數的解析式為 y = 2x2.
已知 是二次函數,且當 x>0 時,y 隨 x 增大而增大,則 k = .
分析: 是二次函數,即二次項的系數不為 0,x 的次數等于 2.由于當 x>0 時,y 隨 x 增大而增大,故二次項的系數大于 0.
因此,
解得,k = 2.
2
練一練
例5 已知二次函數 y=ax2.
(1) 若 a = 2,點( 2,y1)與(3,y2)在此二次函數的圖象上,
則 y1_____ y2 (填“> ”“=”或“< ”);

(2) 若 a>0,點(2,y1)與(3,y2)在此二次函數的圖象上,
則 y1_____ y2 (填“> ”“=”或“< ”);
(3) 若 a<0,點(-2,y1)與(3,y2),(5,y3)在此二次函數
的圖象上,則y1,y2,y3的大小關系是___________.

y1>y2>y3
分析:(1)將 x = -2,3 分別代入 y = 2x2,得出 y1,y2 的值,再比較大小.
(2)根據 a>0,當 x>0 時,y 隨 x 的增大而增大得出結論.
(3)畫出草圖,在圖象上標出 y1,y2,y3,直觀得出結論.
方法歸納
二次函數 y = ax2 中比較函數值的大小的方法:
① 直接代入法:將 x 的值分別代入函數解析式中,求出 y 值再比較大小,多用于 a 值確定的情況,如例5(1);
②性質判斷法:結合二次函數的性質(增減性)及自變量x 之間的大小關系,得出其對應 y 值的大小關系;多用于自變量 x 在對稱軸同一側的情況,如例5(2);
③草圖法:畫出二次函數的草圖,描點,根據圖象直接判斷 y 值的大小. 多用于 a 值不確定且 x 值不在對稱軸同側的情況,如例5(3).
1. 函數 y = 5x2 的圖象的開口 ,
對稱軸為 ,頂點是 ;
在對稱軸的左側,y 隨 x 的增大而 ,
在對稱軸的右側,y 隨 x 的增大而 .
2. 函數 y = 3x2 的圖象的開口 ,
對稱軸為 ,頂點是 ;
在對稱軸的左側,y 隨 x 的增大而 ,
在對稱軸的右側,y 隨 x 的增大而 .
向上
向下
y 軸
y 軸
(0,0)
(0,0)
減小
減小
增大
增大
x
x
y
y
O
O
3. 如右圖,觀察函數 y = (k - 1)x2 的圖象,則 k 的取值范圍是 .
x
y
k > 1
4. 說出下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點.
開口方向
對稱軸
頂點
向上
向下
向下
向上
y 軸
y 軸
y 軸
y 軸
(0,0)
(0,0)
(0,0)
(0,0)
O
5. 若拋物線 y = ax2 (a ≠ 0) 過點 ( 1,2),則
(1) a 的值是 ;
(2) 對稱軸是 ,開口 ;
(3) 頂點坐標是 ,頂點是拋物線上的最 點,
拋物線在 x 軸的 方(除頂點外);
(4) 若 A(x1 , y1),B(x2 , y2) 在這條拋物線上,且 x1< x2<0,
則 y1 y2.
2
y 軸
向上
(0,0)



6. 已知二次函數 y = x2,若 x≥m 時,y 最小值為 0,求實數 m 的取值范圍.
解:在二次函數 y = x2 中,
當 x = 0 時,y 有最小值,且 y最小值 = 0.
∵ 當 x≥m 時,y最小值 = 0,
∴ m≤0.
7. 已知:如圖,直線 y=3x+4 與拋物線 y=x2 交于 A、B 兩點,求出 A、B 兩點的坐標,并求
出兩交點與原點所圍成的三角形的面積.
解:聯立
∴ A (4,16),B ( 1,1).
∵ 直線 y=3x+4 與 y 軸相交于點 C (0,4),即 CO=4,
∴ S△ACO= ×4×4=8,S△BOC= ×4×1=2,
∴ S△ABO=S△ACO+S△BOC=10.
B
解得
如圖,二次函數 y=2x2 的圖象經過點(0,0),長方形ABCD 的頂點 A、B 在 x 軸上,C、D 恰好在二次函數的圖象上,B 點的橫坐標為 2,求圖中陰影部分的面積之和.
能力提升
解:∵ 二次函數 y=2x2 的圖象經過點 C,
∴ 當 x=2 時,y=2×22=8. 即 BC = 8.
∵ 拋物線和長方形都是軸對稱圖形,且圖中 y 軸為它們的對稱軸,
∴ S陰影部分面積之和=2×8=16.
∴ OA=OB.
∴ 在長方形 ABCD 內,左邊陰影部分面積等于右邊空白部分面積.
對于此類求不規則圖形的面積,可用等面積割補法,結合二次函數圖象的對稱性,將不規則圖形轉化為規則圖形以方便求解.
注意
二次函數
y = ax2 的圖象及性質
畫法
描點法
在對稱軸兩側對稱取點
圖象
拋物線
軸對稱圖形
性質
重點關注4 個方面
開口方向及大小
對稱軸
頂點坐標
增減性

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