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22.1.3 二次函數 y = a(x - h)2 + k 的
圖象和性質
第二十二章 二次函數
第1課時 二次函數 y = ax2 + k 的圖象和性質
情境引入
這個函數的圖象是如何畫出來的？
x
y
O
在同一坐標系內畫出二次函數 的圖象，并考察它們的開口方向、對稱軸和頂點坐標、頂點高低、函數最值、函數增減性.
合作探究
解：先列表：
x ··· 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
··· ···
··· ···
二次函數 y = ax2 + k (a＞0) 的圖象和性質
y
x
3
2
1
o
1
2
3
1
2
3
4
5
6
描點、連線，畫出這兩個函數的圖象.
7
8
9
10
根據圖象回答下列問題:
(1) 圖象的形狀都是 ；
(2) 圖形的開口方向 ；
(3) 對稱軸都是 ；
(4) 從上而下頂點坐標分別是
_________________；
拋物線
向上
y 軸
(0，1)，
(0， 1)
y
x
3
2
1
o
1
2
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(5) 頂點都是最____點，函數都有最____值，從上而下最小值分別為_______、________；
(6) 函數的增減性都相同： ___________________________
___________________________.
低
小
y = 1
y = 1
對稱軸左側 y 隨 x 增大而減小，
對稱軸右側 y 隨 x 增大而增大
y
x
3
2
1
o
1
2
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
想一想：通過上述例子，函數 y = ax2 + k (a＞0) 的性質是什么？
例1 關于二次函數 y = 2x2 + 4，下列說法錯誤的是 ( )
A．其圖象的開口方向向上
B．當 x = 0 時，y 有最大值 4
C．其圖象的對稱軸是 y 軸
D．其圖象的頂點坐標為 (0，4)
B
典例精析
做一做：
在同一坐標系內畫出下列二次函數的圖象并考察它們的開口方向、對稱軸和頂點坐標、頂點高低、函數最值、函數增減性.
2
O
-2
2
x
y
-2
-4
二次函數 y = ax2 + k (a＜0) 的圖象和性質
根據圖象回答下列問題:
(1)圖象的形狀都是 .
(2)三條拋物線的開口方向 ；
(3)對稱軸都是 ；
(4) 從上而下頂點坐標分別是
_____________________；
2
O
-2
2
x
y
-2
-4
拋物線
向下
y 軸
( 0，0)，
( 0，2)，
( 0， 2)
(5)頂點都是最____點，函數都有最____值，從上而下最大值分別為_______、_______﹑________.
(6) 函數的增減性都相同： __________________________
___________________________.
2
O
-2
2
x
y
-2
-4
高
大
y = 0
y = 2
y = 2
對稱軸左側 y 隨 x 增大而增大，
對稱軸右側 y 隨 x 增大而減小
二次函數 y = ax2 + k (a ≠ 0) 的性質
y = ax2 + k a＞0 a＜0
開口方向
對稱軸
頂點坐標
最值
增減性
要點歸納
向上
向下
y 軸
y 軸
(0，k)
當 x = 0 時，y最小值 = k
當 x = 0 時，y最大值 = k
當 x＜0 時，y 隨 x 的增大而減小；x＞0 時，y 隨 x 的增大而增大.
當 x＞0 時，y 隨 x 的增大而減小；x＜0 時，y 隨 x 的增大而增大.
(0，k)
例2 關于拋物線 y = x2 + 1 與 y = x2 1，下列說法正確的是（　　）
A．開口方向相同
B．頂點相同
C．對稱軸相同
D．當 x＞0 時，y 隨 x 的增大而增大
C
典例精析
做一做：填寫下表，畫出二次函數 y = 2x ， y = 2x2 + 1 ，y = 2x2 1的圖象.
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 …
y = 2x2 + 1 … …
y = 2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 …
y = 2x2 -1 … …
3.5
1
0.5
1
0.5
1
3.5
5.5
1.5
3
1.5
1
3
5.5
二次函數 y = ax2 + k (a≠0) 的圖象及平移
x
y
O
-2
2
2
4
6
4
-4
8
y = 2x2 + 1
y = 2x2
y = 2x2 1
觀察上述圖象，說說它們之間的區別與聯系.
-1
解析式
y = 2x2
y = 2x2 + 1
y = 2x2 1
+1
1
點的坐標
函數對應值表
x … 1.5 1 0 1
y=2x2-1 …
y=2x2 …
y=2x2+1 …
4.5
3.5
5.5
2
1
3
2
1
(x， )
(x， )
(x， )
2x2 1
2x2
2x2 + 1
從數的角度探究
3
1
0
1
x
y
O
-2
2
2
4
6
4
-4
8
y = 2x2 + 1
y = 2x2
y = 2x2 1
從形的角度探究
可以發現，把拋物線y = 2x2 向 平移 1 個單位長度，就得到拋物線 ；把拋物線 y = 2x2 向 平移 1 個單位長度，就得到拋物線
.
下
y = 2x2 + 1
上
-1
y = 2x2 - 1
二次函數 y = ax2 + k (a≠0)的圖象可以由 y = ax2 的圖象平移得到：
當 k > 0 時，向上平移 k 個單位長度得到.
當 k < 0 時，向下平移 -k 個單位長度得到.
二次函數 y=ax2+k(a≠0)與 y=ax2(a≠0) 的圖象的關系
上下平移規律：
平方項不變，常數項上加下減.
知識要點
二次函數 y＝－3x2＋1 的圖象是將 (　　)
A．拋物線 y＝－3x2 向左平移 3 個單位長度得到
B．拋物線 y＝－3x2 向左平移 1 個單位長度得到
C．拋物線 y＝3x2 向上平移 1 個單位長度得到
D．拋物線 y＝－3x2 向上平移 1 個單位長度得到
練一練
D
想一想
1. 要得到函數 y = ax2 + k (a≠0) 的圖象有哪些方法？
2. 拋物線 y = ax2 + k (a≠0) 中的 a 決定什么？k 決定什么？它的對稱軸是什么？頂點坐標怎樣表示？
第一種方法：平移法，兩步，即第一步畫 y = ax2 的圖象，再向上（或向下）平移︱k︱單位；
第二種方法：描點作圖法，三步，即列表、描點和連線.
a 決定開口方向和大小，k 決定頂點的縱坐標；
對稱軸為 y 軸；頂點坐標為 (0，k).
例3 在直角坐標系中，函數 y＝3x 與 y＝ x2 + 1 的圖象
大致是（ ）
A
B
C
D
D
分析：∵ y＝3x 的比例系數 k＝3＞0，∴ y 隨 x 的增大而增大，即直線從左到右呈上升趨勢，故排除 A、C.
又∵ 二次函數 y＝ x2 + 1 的圖象開口向下，∴ 排除 B.
在同一直角坐標系中，一次函數 y＝ax＋k 和二次函數 y＝ax2＋k 的圖象可能是 (　　)
方法總結：熟記一次函數 y＝kx＋b 在不同情況下所在的象限，以及熟練掌握二次函數的有關性質 (開口方向、對稱軸、頂點坐標等) 是解決問題的關鍵．
D
變式訓練
1. 拋物線 y = 2x2 向下平移 4 個單位，就得到拋物線
___________.　　
2. 填表：
y = 2x2 4
函數 開口方向 頂點 對稱軸 有最高(低)點
y = 3x2
y = 3x2＋1
y = -4x2-5
向上
向上
向下
(0，0)
(0，1)
(0， 5)
y 軸
y 軸
y 軸
有最低點
有最低點
有最高點
3. 已知 (m，n) 在 y = ax2 + a (a≠0) 的圖象上，則點 ( m，n) ____ (填“在”或“不在”) y = ax2 + a (a≠0) 的圖象上.
4. 若 y = x2 + k 2 的頂點是原點，則 k____；若頂點位于 x 軸上方，則 k____；若頂點位于 x 軸下方，則 k .
在
= 2
> 2
< 2
5. 已知拋物線 y = (a 2)x2 + a2 2 的最高點為 (0，2)，則 a =____.
2
6. 已知拋物線 y = ax2 + k.
(1)若該拋物線的形狀與 y = 2x2 相同，開口方向相反，且頂點坐標為 (0， 3)，則該拋物線的解析式為__________；
(2) 若拋物線 y = ax2 + k 向上平移兩個單位后得到的拋物線的解析式為 y = 0.5x2 1，則 a =_____，k =____；
(3) 若拋物線 y = ax2 + k 的最小值為 4，且經過點(1，5)，則該拋物線的解析式是_________，將此拋物線向下平移 3 個單位，得到的新的拋物線的解析式是__________.
y = 2x2 3
0.5
3
y = x2 + 4
y = x2 + 1
能力提升 如圖，拋物線 y＝x2－4 與 x 軸交于A、B 兩點，點 P 為拋物線上一點，且 S△PAB＝4，求 P 點的坐標．
解：拋物線 y＝x2－4，令 y＝0，得到 x＝2 或 －2，
即 A 點的坐標為(－2，0)，B 點的坐標為 (2，0)，
∴AB＝4. 設 P 點縱坐標為 b，∵S△PAB＝4，
∴ ×4| b |＝4，∴| b |＝2，即 b＝2或－2.
當 b＝2 時，x2－4＝2，解得 x＝± ，
此時 P 點坐標為( ，2)，(－ ，2)；
當 b＝－2 時，x2－4＝－2，解得 x＝± ，
此時 P 點坐標為( ，－2)，(－ ，－2).
二次函數 y = ax2 + k (a≠0) 的圖象和性質
圖象
性質
與 y = ax2 (a≠0)的關系
1. 開口方向由 a 的符號決定；
2. k 決定頂點位置；
3. 對稱軸是 y 軸
增減性結合開口方向和對稱軸才能確定
平移規律：
k 正向上；
k 負向下

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