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陽(yáng)泉一中2025年高二分班考試試題
學(xué)科： 數(shù)學(xué) 考試時(shí)間 120 分鐘 分值 150分
客觀題
選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1.已知，若集合，，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2.設(shè)，則（ ）
A． B． C． D．
3.已知向量，若，則（ ）
A． B． C．1 D．2
4.已知隨機(jī)事件A，B，C中，A與B互斥，B與C對(duì)立，且P(A)＝0.3，P(C)＝0.6，則P(A∪B)=()
A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9
5.已知為銳角，，則（ ）．
A． B． C． D．
6.設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，，是兩條不同的直線，且，
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
7.正四棱臺(tái)的上 下底面的邊長(zhǎng)分別為2，4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則其體積為（ ）
A． B． C． D．
8.設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9.某地一年之內(nèi)12個(gè)月的降水量分別為56,46,53,48,51,53,71,58,56,56,64,66，則關(guān)于該地區(qū)的月降水量，以下說法正確的是(　　)
A．20%分位數(shù)為51 B．75%分位數(shù)為61
C．中位數(shù)為56 D．平均數(shù)為57
10.下列說法正確的是(　　)
A．若x<1，則函數(shù)y＝x＋的最小值為3
B．若x＋2y＝2，則函數(shù)2x＋4y的最小值為4
C．函數(shù)y＝＋的最小值為3＋2
D．若x，y>0，且x＋y＋xy＝2，則2x＋y的最小值為2－3
11.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，，，則（ ）
A． B．
C． D．
主觀題
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12.已知向量，滿足，，則 ．
13.函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇0，+∞），且滿足，函數(shù)的值域是A， 若集合 {y|y＝f（x），0≤x≤a}可取得A中所有值，則a的取值范圍為 　 　．
14.設(shè),則使得<的的取值范圍是 ．
四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15.如圖所示是總體的一個(gè)樣本頻率分布直方圖，且在[15,18)內(nèi)的頻數(shù)為8.
(1)求樣本在[15,18)內(nèi)的頻率；
(2)求樣本容量；
(3)若在[12,15)內(nèi)的小矩形面積為0.06，求在[18,33]內(nèi)的頻數(shù)．
16.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為.已知.
（1）求的值；
（2）若，求的面積.
17.已知函數(shù)f(x)＝2sin ·cos ＋2sin2－1(ω>0,0<φ<π，x∈R)為奇函數(shù)，對(duì) x∈R，f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立，且min＝.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g(x)的圖象，當(dāng)x∈時(shí)，求函數(shù)g(x)的值域．
18.已知函數(shù)f(x)＝log3＋kx(k∈R)為偶函數(shù)．
(1)求k的值；
(2)若函數(shù)g(x)＝＋m·9x－1，x∈，是否存在實(shí)數(shù)m，使得g(x)的最小值為0，若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
19.如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，，點(diǎn)F在AC上，.

(1)證明：平面；
(2)證明：平面平面BEF；
(3)求二面角的正弦值.
參考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
A B D B C A D D ABC BCD AC
(1,3)
15.解　(1)由樣本頻率分布直方圖得樣本在[15,18)內(nèi)的頻率等于
×3＝.(4分)
(2)∵樣本在[15,18)內(nèi)的頻數(shù)為8，由(1)可知，樣本容量為8÷＝50.(4分)
(3)∵在[12,15)內(nèi)的小矩形面積為0.06，故樣本在[12,15)內(nèi)的頻率為0.06，故樣本在[15,33)內(nèi)的頻數(shù)為50×(1－0.06)＝47，又在[15,18)內(nèi)的頻數(shù)為8，故在[18,33)內(nèi)的頻數(shù)為47－8＝39.(5分)
16.
解：（1）由，得，.(3分)
所以..(4分)
（2）由可得，..(2分)
，由正弦定理知：..(2分)
又，.(2分)
所以..(2分)
17.解　(1)由 x∈R，f(x1)≤f(x)≤f(x2)，得f(x)min＝f(x1)，f(x)max＝f(x2)，
因?yàn)閨x1－x2|min＝，
所以f(x)的最小正周期T＝π.(2分)
f(x)＝2sincos＋2sin2－1
＝sin－cos
＝2sin，(2分)
因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，
所以φ－＝kπ，k∈Z，
即φ＝kπ＋，k∈Z，
因?yàn)?<φ<π，所以φ＝，
所以f(x)＝2sin ωx，
因?yàn)門＝＝π，所以ω＝2，
所以f(x)＝2sin 2x，(2分)
由2kπ－≤2x≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z.(2分)
(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，
得y＝2sin＝2sin的圖象，
再把橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，得g(x)＝2sin的圖象，.(4分)
由x∈，
得4x－∈，.(2分)
所以sin∈，
所以2sin∈，
所以g(x)的值域?yàn)?.(1分)
18.解　(1)由函數(shù)f(x)是偶函數(shù)可知，f(x)＝f(－x)，即log3(3x＋1)＋kx＝log3(3－x＋1)－kx，
所以log3＝－2kx，(4分)
即x＝－2kx對(duì)一切x∈R恒成立，
所以k＝－.(2分)
(2)由(1)知，g(x)＝3x＋m·9x，x∈，令t＝3x∈[1,5]，.
則h(t)＝mt2＋t..(2分)
①當(dāng)m＝0時(shí)，h(t)＝t在[1,5]上單調(diào)遞增，
故h(t)min＝h＝1，不符合題意；.(2分)
②當(dāng)m>0時(shí)，h(t)圖象的對(duì)稱軸為t＝－<0，則h(t)在[1,5]上單調(diào)遞增，故h(t)min＝h(1)＝m＋1>1，不符合題意；.(2分)
③當(dāng)m<0時(shí)，
h(t)圖象的對(duì)稱軸為t＝－>0.
(ⅰ)當(dāng)－<3，即m<－時(shí)，
h(t)min＝h(5)＝25m＋5，
令h(t)min＝0，
解得m＝－，符合題意；.(2分)
(ⅱ)當(dāng)－≥3，即－≤m<0時(shí)，h(t)min＝h(1)＝m＋1，
令h(t)min＝0，解得m＝－1(舍)．.(2分)
綜上，存在m＝－，使得g(x)的最小值為0..(1分)
19.【詳解】（1）連接，設(shè)，則，，，
則，
解得，.(2分)則為的中點(diǎn)，由分別為的中點(diǎn)，

于是，即，則四邊形為平行四邊形，.(2分)
，又平面平面，.(2分)
所以平面.
（2）法一：由（1）可知，則，得，.(1分)
因此，則，.有，.(2分)
又，平面，.(1分)
則有平面，.(1分)又平面，所以平面平面.
法二：因?yàn)椋^點(diǎn)作軸平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
，
在中，，
在中，，
設(shè)，所以由可得：，
可得：，所以，.(2分)
則，所以，，
設(shè)平面的法向量為，
則，得，
令，則，所以，.(1分)
設(shè)平面的法向量為，
則，得，
令，則，所以，.(1分)
，.(1分)
所以平面平面BEF；

（3）法一：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，設(shè)，
由，得，且，
又由（2）知，，則為二面角的平面角，(1分)
因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，因此為的重心，
即有，又，即有，
，解得，同理得，(2分)
于是，即有，則，
從而，，
在中，，(2分)
于是，，(1分)
所以二面角的正弦值為.

法二：平面的法向量為，.(1分)
平面的法向量為，(1分)
所以，(2分)
因?yàn)椋裕?2分)
故二面角的正弦值為.

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