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22.1.3 二次函數 y = a(x h)2 + k 的
圖象和性質
第二十二章 二次函數
第2課時 二次函數 y = a(x h)2 的圖象和性質
復習引入
a,k的符號 a>0，k>0 a>0，k<0 a<0，k>0 a<0，k<0
圖象
開口方向 對稱軸 頂點坐標 函數的增減性 最值 向上
向下
y 軸（直線 x = 0 ）
y 軸（直線 x = 0）
（0，k）
（0，k）
當x<0時，y隨x增大而減小；當x>0時，y隨x增大而增大.
當x<0時，y隨x增大而增大；當x>0時，y隨x增大而減小.
x = 0 時，y最小值 = k
x = 0 時，y最大值 = k
問題1 說說二次函數 y = ax2 + k (a≠0) 的圖象特征.
問題2 二次函數 y = ax2 + k (a≠0) 與 y = ax2 的圖象有何關系？
二次函數 y = ax2 + k (a≠0) 的圖象可以由 y = ax2 (a≠0)的圖象平移得到：
當 k ＞ 0 時，向上平移 k 個單位長度得到.
當 k ＜ 0 時，向下平移 -k 個單位長度得到.
問題3 函數 的圖象，能否由函數 的
圖象平移得到？
形狀開口均相同，應該也能.
二次函數 y = a(x - h)2 (a ≠ 0) 的圖象和性質
互動探究
引例：在如圖所示的坐標系中，畫出二次函數 與 的圖象．
解：先列表：
x ··· 3 2 1 0 1 2 3 ···
··· ···
··· ···
x
y
4
3
2
1
O
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
描點、連線，畫出這兩個函數的圖象
拋物線 開口方向 對稱軸 頂點坐標
向上
向上
y 軸
直線x = 2
(0，0)
(2，0)
根據所畫圖象，填寫下表：
x ··· 3 2 1 0 1 2 3 ···
··· ···
··· ···
2
4.5
2
0
0
2
2
4.5
8
8
-2
2
-2
-4
-6
4
-4
O
x
y
試一試 畫出二次函數
的圖象，并考察它們的開口方向、對稱軸和頂點．
拋物線 開口方向 對稱軸 頂點坐標
向下
直線 x = -1
( 1，0)
直線 x = 0
直線 x = 1
向下
向下
(0，0)
(1，0)
想一想：通過上述例子，得出函數 y = a(x - h)2 的圖象特征和性質是什么？
-2
2
-2
-4
-6
4
-4
O
x
y
二次函數 y = a(x - h)2 (a≠0) 的圖象和性質
y=a(x-h)2 a＞0 a＜0
開口方向
對稱軸
頂點坐標
最值
增減性
知識要點
向上
向下
直線 x = h
直線 x = h
(h，0)
(h，0)
當 x = h 時，y最小值 = 0
當 x = h 時，y最大值 = 0
當 x＜h 時，y 隨 x 的增大而減小；x＞h 時，y 隨 x 的增大而增大.
當 x＜h 時，y 隨 x 的增大而增大；x＞h 時，y隨 x 的增大而減小.
(1) 完成下表；
x … 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 …
y … 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 …
(2) 在如圖的坐標系中描點，畫出該二次函數的圖象．
例1 已知二次函數 y＝ (x﹣1)2．
-1
0
1
2
3
2
0
2
解：描點，畫出該二次函數圖象如右：
-1
2
2
4
1
-2
O
x
y
3
(3) 寫出該二次函數的圖象的對稱軸和頂點坐標；
(4) 當 x 取何值時，y 隨 x 的增大而增大？
解：對稱軸為直線 x = 1.
頂點坐標為 (1，0).
解：當 x＞1 時，y 隨 x 的增大而增大.
O
-1
2
2
4
4
-2
x
y
3
1
(5) 若 3≤x≤5，求 y 的取值范圍；
想一想：若 1≤x≤5，y 的取值范圍是什么？
解：∵當 x＞1 時，y 隨 x 的增大而增大，當 x = 3 時，y = 2；當 x = 5 時，y = 8，
∵當 1≤x≤5 時，y 的最小值為 0，
∴當 1≤x≤5時，y 的取值范圍是
0≤y≤8.
注意：限定了自變量的取值范圍求函數值的范圍時，應結合圖象根據增減性在自變量取值范圍內取最值
∴當 3≤x≤5 時，y 的取值范圍是 2≤y≤8.
O
-1
2
2
4
4
x
y
3
1
(6) 若拋物線上有兩點 A(x1，y1)，B(x2，y2)，且 x1＜x2＜1，試比較 y1 與 y2 的大小．
解：∵ m＞1，∴ 1＜m＜m + 1.
變式：若點 A(m，y1)，B(m + 1，y2) 在拋物線的圖象上，且 m＞1，試比較 y1，y2 的大小，并說明理由．
解：∵ 當 x＜1 時，y 隨 x 的增大而減小，
∴ 當 x1＜x2＜1 時，y1＞y2.
∵ 當 x＞1 時，y 隨 x 的增大而增大，
∴ y1＜y2.
O
-1
2
2
4
4
x
y
向右平移
1 個單位
向左平移
1 個單位
想一想
拋物線 ， 與拋物線 有什么關系？
O
2
2
-2
-4
-6
4
4
x
y
形狀、大小、開口方向都相同，只是位置不同.
二次函數 y = ax2 與 y = a(x - h)2 (a≠0) 的圖象的關系
知識要點
二次函數 y = a(x±h)2 與 y = ax2 (a≠0) 的圖象的關系
可以看作互相平移得到 (h > 0)：
左右平移規律：
自變量左加右減，括號外不變.
向右平移 h 個單位
y = a(x - h)2
向左平移 h 個單位
y = ax2
y = a(x + h)2
例2 拋物線 y＝ax2 向右平移 3 個單位長度后經過點
(－1，4)，求 a 的值和平移后的函數解析式．
解：拋物線 y＝ax2 向右平移 3 個單位長度后，得到的拋物線為 y＝a(x－3)2 ，
把 x＝－1，y＝4 代入，得 4＝a(－1－3)2，解得
∴ 平移后的函數解析式為 y＝ (x－3)2.
方法總結：根據拋物線左右平移的規律，向右平移 3個單位后，a 不變，自變量 x 應“減去 3”；若向左平移 3 個單位，自變量 x 應“加上 3”，即“左加右減”.
將二次函數 y＝－2x2 的圖象平移后，可得到二次函數 y＝－2(x＋1)2 的圖象，平移的方法是 (　　)
A. 向上平移 1 個單位長度 B. 向下平移 1 個單位長度
C. 向左平移 1 個單位長度　 D. 向右平移 1 個單位長度
練一練
C
1. 指出下列函數圖象的開口方向，對稱軸和頂點坐標.
拋物線 開口方向 對稱軸 頂點坐標
向上
直線 x = 3
(3，0)
直線 x = 2
直線 x = 1
向下
向上
(2，0)
(1，0)
2. 如果二次函數 y＝a(x﹣1)2 (a≠0) 的圖象在它的對稱軸右側部分是上升的，那么 a 的取值范圍是______．
a＞0
3. 把拋物線 y = -x2 沿著 x 軸方向平移 3 個單位長度，那么平移后的拋物線解析式是 .
y = -(x + 3)2 或 y = -(x - 3)2
4. 若 (- ，y1)，(- ，y2)，( ，y3) 為二次函數 y = (x - 2)2 圖象上的三點，則 y1，y2 ，y3 的大小關系為_____________.
y1 ＞y2 ＞ y3
5. 在同一坐標系中，畫出函數 y＝2x2 與 y＝2(x - 2)2 的圖象，并指出兩個圖象之間的平移關系．
解：圖象如圖.
函數 y= 2(x - 2)2 的圖象可由函數 y= 2x2 的圖象向右平移 2 個單位長度得到.
y
O
x
y = 2x2
2
已知二次函數 y＝(x﹣h)2 (h 為常數)，當自變量 x 的值滿足-1≤x≤3 時，與其對應的函數值 y 的最小值為 4，求 h 的值.
能力提升
思路分析
二次函數圖象的對稱軸 h 未知，故應分類討論：
分類討論
h＜ 1
1≤h≤3
h＞3
x = 1 時取最小值
x = 3 時取最小值
y 的最小值為 0
①
②
③
解：由題意知，當 x＞h 時，y 隨 x 的增大而增大，當 x＜h 時，y 隨 x 的增大而減小，故可分三種討論：
①若 h＜ 1≤x≤3，則當 x＝ 1 時，y 取得最小值 4，
可得( 1 h)2＝4，
解得 h＝1（舍）或 h＝ 3；
②若 1≤x≤3＜h，則當 x＝3 時，y 取得最小值 4，
可得 (3 h)2＝4，
解得 h＝1（舍）或 h＝5；
綜上可知，h 的值為 3 或 5.
③若 1＜h＜3，則當 x＝h 時，y 取得最小值為 0，
不是 4，
∴ 此種情況不符合題意，舍去．
平移規律：
自變量
左加右減，
括號外
保持不變.
復習y=ax2+k
探索 y =a(x±h)2的圖象及性質
圖象畫法
圖象的特征
描點法
平移法
開口方向及增減性
頂點坐標
對稱軸
平移關系
直線 x = h
(h，0)
a>0，開口向上；
a<0，開口向下.
a 的符號和 h 的值決定增減性
y = ax2

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