資源簡介

15.1.2 線段的垂直平分線
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1．了解線段的垂直平分線的定義．
2．探索線段垂直平分線的性質(zhì)和判定，并能進行有關(guān)計算和證明．
3．了解互逆命題和互逆定理的概念，能夠由原命題寫出其逆命題．
【新知探究】
知識梳理1 線段的垂直平分線
知識梳理2 線段垂直分線和垂線的尺規(guī)作圖
知識梳理3 互逆命題和互逆定理
知識梳理1 線段的垂直平分線
1．定義：經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線．
線段的垂直平分線的性質(zhì)．
2．性質(zhì)：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等．書寫格式：如圖所示，點P在線段AB的垂直平分線上，則PA=PB．
3．判定：與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上．
如圖，若PA=PB，則點P在線段AB的垂直平分線上．
【例1】　（2025 輝南縣模擬）如圖，在△ABC中，∠A＝105°，AC的垂直平分線l交BC于點M，AB+BM＝BC，則∠B的度數(shù)為（　?。?br/>A．45° B．50° C．55° D．60°
【例2】　（2025 昭通模擬）如圖，在△ABC中，DE垂直平分AB．若BD＝6，CD＝3，則AC的長是（　?。?br/>A．12 B．10 C．9 D．8
【例3】?。?024秋 丹陽市期末）如圖，在△ABC中，DE是邊AC的垂直平分線，若AB＝2，BC＝3，則△ABE的周長為（　?。?br/>A．3 B．4 C．5 D．6
【例4】?。?025春 太原月考）如圖，在△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分線DE交AB于點D，交邊AC于點E，則△BCE的周長為（　　）
A．13 B．17 C．18 D．21
【例5】　（2025春 雁塔區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，BC邊的垂直平分線MN交AC邊于點D，交BC邊于點E連接BD．
（1）若CE＝6，△BDC的周長為28，求BD的長．
（2）若∠ADM＝70°，∠ABD＝20°，求∠A的度數(shù)．
知識梳理2 線段垂直分線和垂線的尺規(guī)作圖
（1）作線段的垂直平分線
①分別以點A和點B為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于C，D兩點；
②作直線CD．直線CD就是所求作的垂直平分線．
（2）經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線
①任意取一點M，使點M和點P在直線l的兩旁；
②以點P為圓心，PM長為半徑作弧，交直線l于A，B；
③分別以點A和點B為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于點N；
④作直線PN直線PN就是所求作的垂線．
【例6】?。?025春 朝陽區(qū)校級月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，以下結(jié)論不一定正確的是（　　）
A．∠BAD＝∠CAD B．∠AED＝∠C
C．AE＝BE D．∠BDE＝∠BAC
【例7】?。?025春 昭陽區(qū)月考）如圖，在△ABC中，∠C＝82°分別以點A，點B為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于M，N兩點，作直線MN交BC于點D，連接AD．若DA平分∠CDN，則∠CAD的度數(shù)為（　　）
A．35° B．36° C．37° D．38°
【例8】?。?025 立山區(qū)三模）如圖，在△ABC中，∠B＝34°，∠ACB＝78°，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，可知∠α＝（　?。?br/>A．66° B．77° C．78° D．101°
【例9】?。?025春 海陵區(qū)期末）如圖，有下列三種尺規(guī)作圖：①作一條線段的垂直平分線；②作一個角的平分線；③過直線上一點P作直線l的垂線．其中作法正確的個數(shù)是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
知識梳理3 互逆命題和互逆定理
1．如果兩個命題的題設(shè)、結(jié)論正好相反，那么這兩個命題叫作互逆命題．如果把其中一個叫作原命題，那么另一個叫作它的逆命題．
2．如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫作互逆定理，其中一個定理叫作另一個定理的逆定理．
3．說明
（1）一般地，原命題成立時，它的逆命題可能成立，也可能不成立．例如，關(guān)于垂直平分線的兩個互逆命題都是成立的；而命題“對頂角相等”成立，它的逆命題“如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角”卻不成立．
（2）在幾何中，有許多互逆的定理．例如，關(guān)于垂直平分線的兩個互逆命題是互逆定理，“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”和“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”也是互逆定理．
（3）命題有真有假，但定理都是真命題．
（4）每個命題都有逆命題，但定理不一定有逆定理．
【例10】?。?024 無錫模擬）下列命題中，其逆命題是真命題的命題個數(shù)有（　?。?br/>（1）線段垂直平分線上的任意一點到這條線段兩個端點的距離相等；
（2）對頂角相等；
（3）在三角形中，相等的角所對的邊也相等；
（4）到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【例11】?。?022秋 仁壽縣期末）命題“線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等”的逆命題是　 　 ．
【例12】　（2011春 灌南縣校級期末）“等腰三角形是軸對稱圖形”的逆命題是　 　 ．
【課后鞏固】
一、選擇題（共10小題）
1．（2025春 未央?yún)^(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于點F．若△ABC的周長為20，DC＝6，則AC的長為（　?。?br/>A．5 B．4 C．10 D．8
2．（2025春 墾利區(qū)期末）如圖，OG平分∠MON，點A，B是射線OM，ON上的點，連接AB．按以下步驟作圖：①以點B為圓心，任意長為半徑作弧，交AB于點C，交BN于點D；②分別以點C和點D為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧相交于點E；③作射線BE，交OG于點P，則∠BOP＝∠BPO．若∠OAB＝50°，則∠ABN的度數(shù)為（　　）
A．60° B．120° C．50° D．100°
3．（2025春 龍口市期末）如圖，在△ABC中，AC的垂直平分線交AB于點D，垂足為點E，CD平分∠ACB，若∠A＝48°，則∠B的度數(shù)為（　?。?br/>A．25° B．30° C．36° D．40°
4．（2025春 乾縣校級期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分線分別交AB、AC于點M、N，若NC＝3，BC＝4，則AC的長為（　?。?br/>A．9 B．8 C．7 D．6
5．（2025春 橋西區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于點D．若△ACD的周長為50cm，則AC+BC＝（　?。?br/>A．25cm B．40cm C．45cm D．50cm
6．（2025春 東港市期末）如圖，在△ABC中MP、NQ分別垂直平分AB、AC．若BC＝20cm，則△APQ的周長是（　　）
A．20cm B．10cm C．5cm D．15cm
7．（2025春 曲沃縣期末）如圖，已知∠AOB＝45°，以點O為圓心，適當(dāng)長度為半徑畫弧，分別交OA，OB于點M，N，再分別以點M，N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線OP，過點P作PQ∥OB交OA于點Q，則∠OPQ的度數(shù)是（　?。?br/>A．22.5° B．30° C．20° D．25°
8．（2025春 中寧縣期末）如圖在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分別以點A和點C為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M、N，作直線MN，交BC于點D，連接AD，則∠BAD的度數(shù)為（　　）
A．30° B．40° C．65° D．55°
9．（2025春 順德區(qū)期末）如圖，在△ABC中，DE垂直平分AB．若BD＝4，CD＝2，則AC的長是（　?。?br/>A．6 B．8 C．9 D．10
10．（2025春 包頭期末）如圖，在△ABC中，AB邊的垂直平分線EF分別交邊BC，AB于點E，F(xiàn)，過點A作AD⊥BC，垂足為點D，且點D為線段CE的中點，連接AE．若AC＝6，CD＝2，則BC的長為（　?。?br/>A．8 B．10 C．12 D．14
二、填空題（共10小題）
11．（2025春 薌城區(qū)校級月考）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分別以點A和點B為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點，作直線MN，交BC于點D，連接AD，則∠CAD的度數(shù)是　 　 ．
12．（2025春 薌城區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，AC邊的垂直平分線分別交BC、AC于點E、F，連接AE，作AD⊥BC于點D，且D為BE的中點．若∠C＝30°，則∠BAC＝ 　 　 °．
13．（2025春 膠州市校級月考）如圖，△ABC中，邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于點E、N，若∠BAC＝70°，則∠EAN＝ 　 　 °．
14．（2024秋 衡東縣期末）如圖，△ABC中，∠BAC＝108°，PM和QN分別是AB和AC的垂直平分線，則∠PAQ＝　 　 ．
15．（2025春 徐匯區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，∠C＝25°，AC的垂直平分線MN交BC于點N，且AB+BN＝BC，則∠B的度數(shù)是 　 　 °．
16．（2025春 惠濟區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB，AC于D，E兩點，且AC＝8，BC＝5，則△BCE的周長為 　 　 ．
17．（2025春 長安區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，AC＝5，BC＝3，線段AB的垂直平分線分別交AB，AC于點M，N，則△BNC的周長為 　 　 ．
18．（2025春 碑林區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點D在邊BC上，∠DAC＝2∠B，CE是AD的垂直平分線．若AD＝4，AC＝6，則BC的長為　 　 ．
19．（2025春 成華區(qū)校級期中）如圖，已知在△ABC中，AB＝5，BC＝11，且∠B＝2∠C．分別以A，C為圓心，大于的長為半徑，畫弧相交于M，N，過M，N作直線交BC于點D，連接AD，則△ACD的面積為　 　 ．
20．（2024秋 衡陽期末）如圖，∠ACB＝70°，CD是OA的垂直平分線，則∠ACD的度數(shù)為　 　 ．
三、解答題（共6小題）
21．（2025春 西安月考）尺規(guī)作圖：如圖，已知∠AOB，請作出它的角平分線OC（不寫作圖步驟，保留作圖痕跡）．
（2025春 富平縣期末）如圖，在△ABC中，點P為AC上一點，連接BP．請用尺規(guī)作圖法作BP的垂直平分線EF，使得直線EF交AB于點E，交BC于點F．（保留作圖痕跡，不寫作法）
23．（2025春 未央?yún)^(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，AB、AC的垂直平分線分別交線段BC于點D、E（點E在線段BD上）．
（1）若BC＝13，DE＝5，求△ADE的周長；
（2）若∠BAC＝80°，求∠DAE的度數(shù)．
24．（2025春 市中區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，DE垂直平分AB，分別交AB、BC于D、E點，MN垂直平分AC，分別交AC、BC于M、N點，若∠BAC＝100°，求∠EAN的度數(shù)．
25．（2025春 蒲城縣期末）如圖，在△ABC中，AB邊的垂直平分線DE，分別交AB、AC于點D、E，連接BE，點F在線段CE上，連接BF．
（1）若BF是CE的垂直平分線，請判斷AE與BC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）若BF是△BCE的角平分線，∠A＝35°，∠C＝80°，求∠CBF的度數(shù)．
26．（2025春 山丹縣校級期末）如圖，在△ABC中，BC邊上的垂直平分線DE交BC于點D，交AC于點E，AB＝4cm，AC＝8cm，求△ABE的周長．

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