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22.1.3 二次函數 y = a(x h)2 + k 的
圖象和性質
第二十二章 二次函數
第3課時 二次函數 y = a(x h)2 + k 的圖象和性質
(1) y = ax2；
(2) y = ax2 + k；
(3) y = a(x - h)2.
復習引入
1. 說出下列函數圖象的開口方向，對稱軸，頂點，最值和增減變化情況：
y
y
y
y
x
x
x
x
O
O
O
O
y
y
y
y
x
x
x
x
O
O
O
O
y
y
x
x
O
O
2. 請說出拋物線 y = -2x2 的開口方向、頂點坐標、對稱
軸及最值.
3.把 y = -2x2的圖象
向上平移3個單位長度
y=-2x2+3
向左平移2個單位長度
y=-2(x+2)2
4. 請猜測一下，二次函數 y = -2(x + 2)2 + 3 的圖象是否可以由 y = -2x2 平移得到？學完本課時你就會明白.
開口向上，頂點坐標是 (0，0)，對稱軸是 y 軸，y最大值 = 0
二次函數 y=a(x - h)2 + k 的圖象和性質
例1 畫出函數 的圖象，并指出它的開口方向、對稱軸和頂點坐標.
探究歸納
…
…
…
…
2
1
0
-1
-2
-3
-4
x
解：先列表；
再描點、連線.
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
2
4
x
-2
-4
-6
y
O
-2
-4
直線 x = -1
開口向下；
對稱軸是直線 x = -1；
頂點坐標是 (-1，-1).
試一試
畫出二次函數 y = 2(x + 1)2 - 2 的圖象，并說出它的開口方向、對稱軸和頂點坐標.
開口向上；
對稱軸是直線 x = -1；
頂點坐標是 (-1，-2).
-2
2
x
y
O
-2
4
6
8
-4
2
4
二次函數 y = a( x - h )2 + k 的圖象和性質
y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0
開口方向 向上 向下
對稱軸 直線 x = h 直線 x = h
頂點坐標 （h，k） （h，k）
最值 當 x = h 時，y最小值 = k 當 x = h 時，y最大值 = k
增減性 當 x＜h 時，y 隨 x 的增大而減小；x＞h 時，y 隨 x 的增大而增大. 當 x＜h 時，y 隨 x 的增大而增大；x＞h 時，y 隨 x 的增大而減小.
知識要點
頂點式
例2 二次函數 y＝ 2(x + 1)2 4，下列說法正確的是( )
A．圖象開口向上
B．圖象的對稱軸為直線 x＝1
C．圖象的頂點坐標為 (1，4)
D．當 x＜ 1 時，y 隨 x 的增大而增大
D
例3 已知拋物線 y＝a(x 3)2 + 2 經過點 (1， 2)．
（1）指出拋物線的對稱軸；
（2）求 a 的值；
解：（1）由 y＝a(x﹣3)2 + 2 可知其頂點為 (3，2)，
對稱軸為直線 x＝3.
（2）∵ 拋物線 y＝a(x﹣3)2 + 2 經過點(1，-2)，
∴ -2＝a(1 - 3)2 + 2，
∴ a＝-1.
（3）若點 A(m，y1)、B(n，y2) (m＜n＜3) 都在該拋物線上，試比較 y1 與 y2 的大小．
∴ y1＜y2.
解：∵ y＝﹣(x﹣3)2 + 2，
∴ 此函數的圖象開口向下，
當 x＜3 時，y 隨 x 的增大而增大.
∵ 點 A(m，y1)，B(n，y2) (m＜n＜3) 都在該拋物線上，
二次函數 y = a(x + h)2 + k 與 y = ax2 (a≠0) 的關系
探究歸納
例4 怎樣移動拋物線 就可以得到拋物線 ？
向左平移1個單位長度
平移方法1
1 個單位長度
向下平移
2
4
x
-2
-4
y
O
-2
-4
怎樣移動拋物線 可以得到拋物線 ？
平移方法2
向左平移
向下平移
1個單位
1 個單位
2
4
x
-2
-4
y
O
-2
-4
知識要點
二次函數 y = ax2 與 y = a(x±h)2±k 的關系
圖象的形狀和開口方向均相同，可以通過互相平移得到.
y = ax2
y = ax2±k
y = a(x±h)2
y = a( x±h )2±k
上下
平移
左右
平移
上下
平移
左右
平移
平移規律(設 h＞0，k＞0)：
簡記為：
上下平移，
常數項上加下減；
左右平移，
自變量左加右減.
二次項系數 a 不變.
例5 將拋物線 y = 2x2 向左平移 4 個單位長度，再向上平移 1 個單位長度得到的拋物線的解析式為 (　　)
A．y = 2(x 4)2 1 B．y = 2(x + 4)2 + 1
C．y = 2(x 4)2 + 1 D．y = 2(x + 4)2 1
B
將拋物線 y＝5(x﹣1)2 + 1 向上平移 2 個單位長度，再向右平移 3 個單位長度，則所得拋物線的解析式為(　　)
A．y＝5(x + 2)2 + 3 B．y＝5(x﹣4)2﹣1
C．y＝5(x﹣4)2 + 3 D．y＝5(x﹣3)2 + 4
變式訓練
C
例6 已知二次函數 y＝a(x－1)2－k 的圖象如圖所示，則一次函數 y＝ax＋k 的大致圖象是 (　　)
解析：根據二次函數開口向上得 a＞0，根據 －k 是二次函數頂點坐標的縱坐標，得出 k＞0，故一次函數 y＝ax＋k 的圖象經過第一、二、三象限．故選 A.
A
例7 要修建一個圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管.在水管的頂端安裝一個噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為 1 m 處達到最高，高度為 3 m，水柱落地處離池中心 3 m，水管應多長
C(3，0)
B(1，3)
A
x
O
y
1
2
3
1
2
3
解：建立如圖的平面直角坐標系，
點( 1，3 )是圖中這段拋物線的頂點.
因此可設這段拋物線對應的函數解析式為
∵ 這段拋物線經過點 ( 3，0 )，
∴ 0 = a(3－1)2＋3.
解得
∴ 拋物線的解析式為
y = a(x－1)2＋3 (0≤x≤3).
當 x = 0 時，y = 2.25.
答：水管長應為 2.25 m.
a = - .
3
4
y = (x－1)2＋3 (0≤x≤3).
3
4
-
二次函數 開口方向 對稱軸 頂點坐標
y = 2(x＋3)2＋5
向上
(1，－2)
向下
向下
(3，7)
(2，－6)
向上
直線 x = －3
直線 x = 1
直線 x = 3
直線 x = 2
(－3，5)
y =－3(x－1)2－2
y = 4(x－3)2＋7
y =－5(2－x)2－6
1. 完成下列表格：
2. 拋物線 y = -3x2 + 2 的圖象先向右平移 2 個單位長度，再向上平移 1 個單位長度，得到的拋物線解析式為_________________.
3. 拋物線 y = 2x2 不動，把 x 軸、y 軸分別向上、向左平移 3 個單位長度，則在新坐標系下，此拋物線的解析式為_______________.
y = 2(x - 3)2 - 3
4. 已知函數 y＝﹣(x﹣4)2﹣1.
(3) 怎樣移動拋物線 y＝﹣x2，就可以得到拋物線
y＝﹣(x﹣4)2﹣1
(1) 指出函數圖象的開口方向是　 　，對稱軸是 　
　 ，頂點坐標為　 　 ；
(2) 當 x　 　 時，y 隨 x 的增大而減小；
向下
直線 x＝4
(4，﹣1)
＞4
解：將拋物線 y＝﹣x2 向右平移 4 個單位，再向下平移 1 個單位就可以得到拋物線 y＝﹣(x﹣4)2﹣1.
5. 已知二次函數 y＝a(x－1)2－4 的圖象經過點 (3，0)．
(1) 求 a 的值；
(2) 若 A(m，y1)、B(m＋n，y2) (n＞0) 是該函數圖象上的兩點，當 y1＝y 2 時，求 m、n 之間的數量關系．
(1) 將 (3，0) 代入 y＝a(x－1)2－4， 得 0＝4a－4，
(2) 方法一:根據題意，得 y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4，
∵ y1＝y2，
∴ (m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即 (m－1)2＝(m＋n－1)2.
∵ n＞0，∴m－1＝－(m＋n－1)，化簡，得 2m＋n＝2.
解：
解得 a＝1.
方法二：
∵ 拋物線 y＝a(x－1)2－4 的對稱軸是直線 x = 1，
∴ 當 y1＝y 2 時，A、B 兩點關于直線 x = 1 對稱.
∴ ，化簡，得 2m＋n＝2.
要點歸納：對于拋物線 y＝a(x－h)2 + k(a≠0) 上的兩個不同點 M(x1，y1)，N(x2，y2)，若 y1 = y2，則必有
，即 x1 + x2 = 2h.
一般地，拋物線 y = a( x - h )2 + k (a≠0) 與 y = ax2 (a≠0)
的形狀相同，位置不同.
二次函數
y = a(x - h)2 + k (a ≠ 0) 的圖象和性質
圖象特點
當a＞0，開口向上；當a＜0，開口向下.
對稱軸是 x = h，
頂點坐標是 (h，k)
平移規律
左右平移：自變量左加右減；
上下平移：常數項上加下減.

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