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22.1.4 二次函數 y = ax2 + bx + c 的
圖象和性質
第二十二章 二次函數
第1課時 二次函數 y = ax2 + bx + c 的圖象和性質
y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0
開口方向
頂點坐標
對稱軸
增減性
最值
向上
向下
(h，k)
(h，k)
x = h
x = h
當 x＜h 時，y 隨著 x 的增大而減小；當 x＞h 時
y 隨著 x 的增大而增大.
當 x＜h 時，y 隨著 x 的增大而增大；當 x＞h 時，y 隨著 x 的增大而減小.
x = h 時，y最小值 = k
x = h 時，y最大值 = k
拋物線 y = a(x - h)2 + k 可以由拋物線 y = ax2 經過平移得到
頂點坐標 對稱軸 最值
y = -2x2
y = -2x2 - 5
y = -2(x + 2)2
y = -2(x + 2)2 - 4
y = (x - 4)2 + 3
y = -x2 + 2x
y = 3x2 + x - 6
(0，0)
y 軸
0
(0，-5)
y 軸
-5
(-2，0)
直線 x = -2
0
(-2，-4)
直線 x = -2
-4
(4，3)
直線 x = 4
3






將一般式 y = ax2 + bx + c 化成頂點式 y = a(x h)2 + k
合作探究
問題 怎樣將 化成 y = a(x h)2 + k 的形式？
(1) x2 12x + 36 = (x____)2；
填一填
(2) x2 12x = (x____)2 ____.
6
36
6
(1)“提”：提出二次項系數；
(2)“配”：括號內配成完全平方；
(3)“化”：化成頂點式.
想一想：配方的方法及步驟是什么？
提示：配方后的解析式通常稱為頂點式.
我們如何用配方法將二次函數的一般式 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 化成頂點式 y = a(x - h)2 + k？
y = ax + bx + c
將下列二次函數的一般式用配方法化成頂點式 y = a(x - h)2 + k 的形式，并指出其頂點坐標．
(1) y = x2 - 2x + 1；
(2) y = 2x2 - 4x + 6．
練一練
解：(1) y = x2 2x + 1 = (x 1)2，頂點坐標為(1，0).
(2) y = 2x2 4x + 6 = 2(x 1)2 + 4，頂點坐標為(1，4).
合作探究
我們已經知道二次函數 y = a(x - h)2 + k 的圖象和性質，能否利用這些知識來研究 的圖象和性質？
將 配成頂點式，得
二次函數 y = ax2 + bx + c 的圖象和性質
問題1 你能說出 的對稱軸及頂點坐標嗎？
答：對稱軸是直線 x = 6，頂點坐標是 (6，3).
問題2 拋物線 可以看作是由 怎樣平移得到的？
答：平移方法1：
先向上平移 3 個單位，再向右平移 6 個單位得到；
平移方法2：
先向右平移 6 個單位，再向上平移 3 個單位得到.
問題3 如何用描點法畫二次函數 的圖象？
…
…
…
…
9
8
7
6
5
4
3
x
解：先利用圖形的對稱性列表；
7.5
5
3.5
3
3.5
5
7.5
5
10
x
y
5
10
然后描點畫圖，得到圖象
如右圖.
O
問題4 結合二次函數 的圖象，說出其增減性.
5
10
x
y
5
10
x = 6
當 x＜6 時，y 隨 x 的增大而減小；
當 x＞6 時，y 隨 x 的增大而增大.
O
因此，拋物線 y = ax2 + bx + c 的頂點坐標是
對稱軸是直線
，
.
要點歸納
二次函數 y = ax2 + bx + c 的圖象和性質
1.一般地，二次函數 y = ax2 + bx + c 可以通過配方化成 y = a(x - h)2 + k 的形式，即
.
如果 a＜0，當 x＜ 時，y 隨 x 的增大而增大；當
x＞ 時，y 隨 x 的增大而減小.
如果 a＞0，當 x＜ 時，y 隨 x 的增大而減小；當
x＞ 時，y 隨 x 的增大而增大.
(1)
(2)
x
y
O
x
y
O
x ··· 4 3 2 1 0 1 2 ···
y ··· ···
15
5
1
3
典例精析
1
5
15
例1 畫出函數 的圖象，并說明這個函數具有哪些性質.
解：將函數 配方，得
先列表：
2
x
y
-2
O
4
-2
-4
-4
-6
-8
然后描點、連線，得到圖象如下圖.
由圖象可知，這個函數具有如下性質：
當 x＜-1 時，函數值 y 隨x 的增大而增大；
當 x＞-1 時，函數值 y 隨x 的增大而減小；
當 x = -1 時，函數取得最大值，最大值為 3.
練一練 已知二次函數 y＝x2﹣6x + 5．
（1）將 y＝x2﹣6x + 5 化成 y＝a(x﹣h)2 + k 的形式；
（2）求該二次函數的圖象的對稱軸和頂點坐標；
（3）當 x 取何值時，y 隨 x 的增大而減小？
（3）∵ 拋物線的開口向上，對稱軸是 x＝3，
∴ 當 x≤3 時，y 隨 x 的增大而減小．
解：（1）y＝x2﹣6x + 5＝(x﹣3)2﹣4.
（2）二次函數的圖象的對稱軸是 x＝3，頂點坐標是 (3，-4).
b3 ___ 0
k3 ___ 0
問題1 一次函數 y = kx + b 的圖象如下圖所示，請根據一次函數圖象的性質填空：
合作探究
x
y
O
y = k1x + b1
x
y
O
y = k3x + b3
y = k2x + b2
k1 ___ 0
b1 ___ 0
k2 ___ 0
b2 ___ 0
＜
＞
＞
＜
＞
＞
二次函數的圖象與系數的關系
x
y
O
問題2 二次函數 的圖象如下圖所示，請根據二次函數的性質填空：
a1 ___0
b1 ___0
c1 ___0
a2 ___0
b2 ___0
c2 ___0
＞
＞
＞
＞
＜
＝
開口向上，a＞0
對稱軸在 y 軸左側，
對稱軸在 y 軸右側，
x = 0 時，y = c.
對稱軸在 y 軸右側，
x
y
O
a3 ___ 0
b3 ___ 0
c3 ___ 0
a4 ___ 0
b4 ___ 0
c4 ___ 0
＜
＝
＞
＜
＞
＜
開口向下，a＜0
對稱軸是 y 軸，
x = 0時，y = c.
二次函數 y = ax2 + bx + c 的圖象與 a、b、c 的關系
字母符號 圖象的特征
a＞0 開口___________
a＜0 開口___________
b = 0 對稱軸為_____軸
a、b 同號 對稱軸在 y 軸的____側
a、b 異號 對稱軸在 y 軸的____側
c = 0 經過原點
c ＞ 0 與 y 軸交于_____半軸
c ＜ 0 與 y 軸交于_____半軸
向上
向下
y
左
右
正
負
例2 已知二次函數 y＝ax2＋bx＋c 的圖象如圖所示，下列結論：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正確的個數是 (　　)
A．1　　　B．2　　　　C．3　　　D．4
【解析】由圖象開口向下可得 a＜0，
由對稱軸在 y 軸左側可得 b＜0，
由圖象與 y 軸交于正半軸可得 c＞0，
則 abc＞0，故①正確；
由對稱軸 x = >－1 可得 2a－b＜0，故②正確；
則 (a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，
即 (a＋c)2－b2＜0，所以 (a＋c)2＜b2，
故④正確．綜上所述，①②③④都正確. 故選 D.
由圖象上橫坐標為－2 的點在第三象限可得 4a－2b＋c＜0，故③正確；
由圖象上橫坐標為 1 的點在第四象限得 a＋b＋c＜0，
由圖象上橫坐標為－1 的點在第二象限得 a－b＋c＞0，
③ 4a－2b＋c＜0
④ (a＋c)2＜b2
1. 已知二次函數 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 中 x、y 的部分對應值如下表：
x -1 0 1 2 3
y 5 1 -1 -1 1
A. y 軸 B. 直線 x =
C. 直線 x = 2 D. 直線 x =
則該二次函數圖象的對稱軸為( )
D
由于當 x＞1 時，y 的值隨 x 值的增大而減小，∴ 拋物線的對稱軸應在直線 x = 1 處或其左側.
解析：∵ 二次項系數－1＜0，∴ 拋物線開口向下，對稱軸為
2. 已知二次函數 y =－x2＋2bx＋c，當 x＞1 時，y 的值隨 x 值的增大而減小，則實數 b 的取值范圍是 ( )
A. b≥－1 B. b≤－1 C. b≥1 D. b≤1
D
x
y
O
b
1
∴ b≤1. 如圖所示. 故選 D.
O
y
x
–1
–2
3
3. 已知二次函數 y = ax2 + bx + c (a≠0)的圖象如圖所示，則下列結論：
（1）a、b 同號；
（2）當 x = -1 和 x = 3 時，函數值相等；
（3）4a + b = 0；
（4）當 y = -2 時，x 的值只能取 0.
其中正確的是 .
x = 1
（2）
4. 已知拋物線 y = 2x2 - 12x + 13.
（1）當 x 為何值時，y 有最小值？最小值是多少？
（2）當 x 為何值時，y 隨 x 的增大而減小？
（3）將該拋物線向右平移 2 個單位長度，再向上平移 2 個單位長度，請直接寫出新拋物線的解析式.
解：∵ y = 2x2 12x + 13 = 2(x 3)2 5，
∴拋物線開口向上，頂點為(3， 5)，對稱軸為直線x = 3.
（1）當 x = 3 時，y 有最小值，最小值為 5.
（2）當 x＜3 時，y 隨 x 的增大而減小.
（3）新拋物線的解析式為 y = 2(x 5)2 3．
5. 已知二次函數 y = x2 4x 1．
(1) 將函數 y = x2 4x 1 的解析式化為 y = a(x + m)2 + k 的形式，并指出該函數圖象的頂點 B 的坐標；
解：y = x2 4x 1 = (x 2)2 5，
該函數圖象的頂點 B 的坐標為 (2， 5).
(2) 在平面直角坐標系 xOy 中，設拋物線 y = x2 4x 1與 y 軸交點為 C，拋物線的對稱軸與 x 軸交點為 A，求四邊形 OABC 的面積．
解：如圖，令 x = 0，則 y = 1，
∴ OC = 1.
∵ B (2， 5)，
∴ OA = 2，AB = 5.
∴ S四邊形OABC =
頂點：
對稱軸：
y = ax2+bx+c ( a ≠ 0 )
(一般式)
配方法
公式法
(頂點式)

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