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22.1.4 二次函數 y = ax2 + bx + c 的
圖象和性質
第二十二章 二次函數
第2課時 用待定系數法求二次函數的解析式
情景引入
給我幾個點的坐標，我就能求出對應的二次函數解析式，你會嗎？
那有什么難的？不就和求一次函數解析式一樣的嗎？
看到下面的對話，你還記得求一次函數解析式的方法嗎？
1. 一次函數 y = kx + b (k≠0) 有幾個待定系數？通常需要已知幾個點的坐標求出它的解析式？
2. 求一次函數解析式的方法是什么？它的一般步驟是什么？
2個
2個
待定系數法
(1) 設：解析式
(2) 代：坐標代入
(3) 解：方程(組)
(4) 還原：寫出解析式
用一般式法求二次函數的解析式
探究歸納
問題 (1) 由幾個點的坐標可以確定二次函數？這幾個點應滿足什么條件？
3個
由兩點 (連線不與坐標軸垂直) 的坐標，可以確定一次函數的解析式；類似地，由三點 (不在同一條直線上) 的坐標，可以確定二次函數的解析式.
(2) 如果一個二次函數的圖象經過 ( 1，10)，(1，4)，(2，7) 三點，能求出這個二次函數的解析式嗎？如果能，求出這個二次函數的解析式.
故所求二次函數解析式為 y = 2x2 3x + 5.
(2) 解：設所求二次函數的解析式為 y = ax2 + bx + c.
由函數圖象經過 ( 1，10 )，(1，4)，(2，7) 三點，得關于 a，b，c 的三元一次方程組
解得
想一想
確定二次函數的這三點應滿足什么條件？
任意三點不在同一直線上，其中兩點的連線可垂直于 y 軸，但不可以垂直于 x 軸.
例1 一個二次函數的圖象經過 (0，1)、(2，4)、(3，10) 三點，求這個二次函數的解析式.
解： 設這個二次函數的解析式是 y = ax2 + bx + c，由于這個函數經過點 (0，1)，可得 c = 1.
又由于其圖象經過 (2，4)、(3，10) 兩點，可得
4a + 2b + 1 = 4，
9a + 3b + 1 = 10.
∴ 所求的二次函數的解析式是
解得
這種已知三點求二次函數解析式的方法叫做一般式法.
其步驟是：
① 設函數解析式為 y = ax2 + bx + c；
② 代入已知的三點的坐標后得到一個三元一次方程組；
③ 解方程組得到 a，b，c 的值；
④ 把待定系數用所求得的值換掉，寫出函數解析式.
歸納總結
一般式法求二次函數解析式的方法
練一練：下面是我們用描點法畫二次函數的圖象時所列表格的一部分：
x 3 2 1 0 1 2
y 0 1 0 3 8 15
試求出這個二次函數的解析式.
① 選取 (-3，0)，(-1，0)，(0，-3) 三點，試求出這個二次函數的解析式.
解：設這個二次函數的解析式是
y = ax2 + bx + c，把 (-3，0)，(-1，0)，
(0，-3) 代入 y = ax2 + bx + c 得
9a - 3b + c = 0，
a - b + c = 0，
c = -3.
解得
a = -1，
b = -4，
c = -3.
∴所求的二次函數的解析式是 y = -x2 - 4x - 3.
待定系數法
步驟:
1.設：
解析式
2.代：
坐標代入
3.解：
方程(組)
4.還原：
寫出解析式
已知二次函數 y = a(x 1)2 + 4 的圖象經過點 ( 1，0)，求這個二次函數的解析式.
試一試
則函數解析式為 y = (x 1)2 + 4，
即 y = x2 + 2x + 3.
解：把 ( 1，0) 代入二次函數解析式得
4a + 4 = 0，
即 a = 1.
已知頂點坐標，只需知一個點的坐標便能求出該二次函數的解析式
用頂點法求二次函數的解析式
例2 一個二次函數的圖象經點 (0，1)，它的頂點坐標為 (8，9)，求這個二次函數的解析式.
解：∵ 這個二次函數的圖象的頂點坐標為 (8，9)，∴ 可設其解析式為 y = a(x - 8)2 + 9.
由其圖象經過點 (0，1)，可得 1 = a(0 - 8)2 + 9.
解得
∴ 所求的二次函數的解析式是
即
歸納總結
頂點法求二次函數的方法
這種知道拋物線的頂點坐標，求解析式的方法叫做頂點法. 其步驟是：
① 設函數解析式是 y = a(x - h)2 + k；
② 先代入頂點坐標，得到只含一個參數 a 的解析式；
③ 將另一點的坐標代入解析式求出 a 的值；
④ 將 a 用所求得的值換掉，寫出函數解析式.
練一練 已知一個二次函數有最大值 4，當 x＞5 時，y 隨 x 的增大而減小；當 x＜5 時，y 隨 x 的增大而增大，且該函數圖象經過點 (2，1)，求該函數的解析式．
解：由題意得該二次函數圖象的頂點坐標為 (5，4)，
設解析式為 y = a(x 5)2 + 4，把 (2，1) 代入，得 1 = 9a + 4，
解得
∴ 二次函數的解析式為
當題目中有最值、對稱軸等條件時，可由此得出頂點坐標，利用頂點式求解析式
即
解：∵ (-3，0)，(-1，0) 是拋物線 y = ax2 + bx + c
與 x 軸的交點，
∴ 可設這個拋物線解析式為 y = a(x + 3)(x + 1).
再把點 (0，-3) 代入上式得
∴ a(0 + 3)(0 + 1) = -3，
解得 a = -1.
∴ 二次函數的解析式是 y = -(x+3)(x+1)，即 y = -x2-4x-3.
問題 選取(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，試求出這個二次函數的解析式.
x
y
O
1
2
-1
-2
-3
-4
-2
-4
1
交點法求二次函數的解析式
歸納總結
交點法求二次函數解析式的方法
這種已知拋物線與 x 軸的交點，求解析式的方法叫做交點法. 其一般步驟是：
① 設函數解析式為 y = a(x - x1)(x - x2) (其中 x1，x2 分別是兩交點的橫坐標)；
② 將拋物線經過的第三點的坐標代入到解析式中，得到關于 a 的一元一次方程；
③ 解方程得出 a 值；
④ 將 a 用所求得的數值換掉，寫出函數解析式.
例3 分別求出滿足下列條件的二次函數的解析式．
(1) 圖象經過點 A(1，0)，B(0，-3)，對稱軸是直線 x = 2；
解：∵ 圖象經過點 A(1，0)，對稱軸是直線 x = 2，
∴ 圖象經過另一點 (3，0).
故可設該二次函數的解析式為 y = a(x 1)(x 3).
將點 (0， 3)代入，得
3 = a(0 1)(0 3)，
解得
a = 1.
∴ 該二次函數的解析式為
y = (x 1)(x 3) = x2 + 4x 3.
(2) 圖象頂點坐標是 ( 2，3)，且過點 (1， 3)；
解：∵ 圖象的頂點為 ( 2，3)，且經過點 (1， 3)，
∴ 可設拋物線的解析式為 y = a(x + 2)2 + 3.
把 (1， 3) 代入，得 a(1 + 2)2 + 3 = 3.
解得
∴ 拋物線的解析式為
即為
(3) 如圖，圖象經過 A，B，C 三點．
解：根據圖象可知拋物線 y = ax2 + bx + c
經過 A( 1，0)，B(0， 3)，C(4，5) 三點，
代入可得
解得
∴ 該二次函數的解析式為 y = x2 2x 3.
1. 如圖，平面直角坐標系中，函數圖象的解析式應是
y = ax2、y = ax2 +k、y = a(x -h)2 與 y = a(x -h)2 + k 一樣都是頂點式，只不過前三者是頂點式的特殊形式.
注意
x
y
O
1
2
-1
-2
-3
-4
2
1
-1
3
4
5
.
2. 若拋物線過點 (2，4)，且當 x = 1 時，y 有最值為 6，則其解析式為 .
頂點坐標是 (1，6)
y = -2x2 + 4x + 4
3. 已知二次函數的圖象經過點 (－1，－5)，(0，－4) 和 (1，1)．求這個二次函數的解析式．
解：設這個二次函數的解析式為 y＝ax2 ＋bx＋c.
依題意得
∴ 這個二次函數的解析式為 y＝2x2＋3x－4.
a＋b＋c＝1.
c＝－4，
a－b＋c＝－5，
解得
b＝3，
c＝－4.
a＝2，
4. 已知拋物線與 x 軸相交于點 A(－1，0)，B(1，0)，且過點 M(0，1)，求此函數的解析式．
解：∵ 點 A(－1，0)，B(1，0) 是拋物線與 x 軸的交點，∴ 可設此函數的解析式為 y＝ a(x＋1)(x－1)．
又∵拋物線過點 M(0，1)，
∴ 1＝ a(0＋1)(0－1)，解得 a＝ －1.
∴ 所求拋物線的解析式為 y＝ －(x＋1)(x－1)，
即 y＝－x2 ＋1.
5. 如圖，拋物線 y＝x2＋bx＋c 過點 A(－4，－3)，與 y 軸交于點 B，對稱軸是 x＝－3，請解答下列問題：
(1) 求拋物線的解析式；
解：把點 A (－4，－3) 代入 y＝x2＋bx＋c，
得 16－4b＋c ＝－3，即 c＝4b－19.
∵ 對稱軸是 x＝－3，∴ ＝－3，
即 b＝6. ∴ c＝5.
∴ 拋物線的解析式是 y ＝ x2＋6x＋5.
x
y
O
x = -3
A
B
(2) 若和 x 軸平行的直線與拋物線交于 C，D 兩點，點 C 在對稱軸左側，且 CD＝8，求△BCD 的面積．
解：∵ CD∥x 軸，∴ 點 C 與點 D 關于 x＝－3 對稱．
∵ 點 C 在對稱軸左側，且 CD＝8，
∴ 點 C 的橫坐標為－7.
∴ 點 C 的縱坐標為 (－7)2＋6×(－7)＋5＝12.
∵ 點 B 的坐標為 (0，5)，
∴ △BCD 中 CD 邊上的高為 12－5＝7.
∴ △BCD 的面積為 ×8×7＝28.
x
y
O
x = -3
A
B
①已知三點坐標
②已知頂點坐標或對稱軸或最值
③已知拋物線與 x軸的兩個交點
已知條件
選擇適當的方法
用一般式法：y = ax2+bx+c
用頂點法：y =a(x - h)2 +k
用交點法：y = a(x -x1)(x -x2)
(x1，x2為與x軸交點的橫坐標)
待定系數法
求二次函數解析式

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