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2024-2025學年黑龍江省大慶五十七中八年級（下）期末數(shù)學試卷
一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A. x+5=0 B. x3-x=0 C. x2-x-1=0 D. xy=1
2.如圖，點E在 ABCD的邊BC延長線上，連AE，交邊CD于點F．在不添加輔助線的情況下，圖中相似三角形有（　　）
A. 1對 B. 2對 C. 3對 D. 4對
3.能判斷一個平行四邊形是矩形的條件是（　　）
A. 兩條對角線互相平分 B. 一組鄰邊相等
C. 兩條對角線互相垂直 D. 兩條對角線相等
4.關于x的一元二次方程x2-2kx+k2-k+1=0（k＞1），則該方程根的情況是（　　）
A. 方程無實根 B. 兩根之和為-2k
C. 有兩個負實數(shù)根 D. 若兩根之積為3，則k=2
5.李明去參加聚會，每兩人都互相贈送禮物，他發(fā)現(xiàn)共送禮物20件，經(jīng)計算得出有（　　）人參加聚會.
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
6.已知關于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a-c）=0，其中a、b、c分別為△ABC三邊的長．
①如果x=-1是方程的根，則△ABC是等腰三角形；
②如果方程有兩個相等的實數(shù)根，則△ABC是等邊三角形；
③如果△ABC是等邊三角形，則這個一元二次方程的根為-1和2．
其中正確的是（　　）
A. ① B. ①③ C. ①② D. ②③
7.在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點稱為格點，以格點為頂點的三角形叫做格點三角形．如圖，△ABC是格點三角形，在圖中的6×6正方形網(wǎng)格中作出格點三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格點三角形△ADE只算一個），這樣的格點三角形一共有（　　）
A. 4個 B. 5個 C. 6個 D. 7個
8.下列各組線段長度可組成成比例的是（　　）
A. 2cm,3cm,4cm,1cm B. 6.5cm,1.5cm,2.5cm,4.5cm
C. 1.1cm,2.2cm,3.3cm,4.4cm D. 2cm,2cm,1cm,4cm
9.如圖，給出下列條件：①AC2=ADAB；②∠ADC=∠ACB；③；④∠B=∠ACD.其中能夠單獨判定△ABC相似于△ACD的條件有（　　）
A. 1個
B. 2個
C. 3個
D. 4個
10.如圖，已知點P是Rt△ABC的斜邊BC上任意一點，若過點P作直線PD與直角邊AB或AC相交于點D，截得的小三角形與△ABC相似，那么D點的位置最多有（　　）
A. 2處 B. 3處 C. 4處 D. 5處
二、填空題：本題共10小題，每小題3分，共30分。
11.用配方法解方程x2-6x=2時，方程的兩邊同時加上______，使得方程左邊配成一個完全平方式．
12.如圖，直線AD，BC交于點O，AB∥EF∥CD，若AO=2，OF=1，F(xiàn)D=2，則的值為 .
13.已知菱形的一個內角為60°，其中較長的對角線為3，則另一條對角線的長為______．
14.若兩個相似多邊形的周長之比為1：3，則它們的面積之比為______.
15.已知點P是線段MN黃金分割點，且MP＜NP，若MN=4，則NP= ______.
16.在做重復試驗時，隨著試驗次數(shù)的增多，事件發(fā)生的頻率一般會穩(wěn)定到某個常數(shù)，我們可用這個常數(shù)來估計這個事件發(fā)生的______.
17.已知關于x的一元二次方程x2+cx+a=0的兩個整數(shù)根恰好比方程x2+ax+b=0的兩個根都大1，則a+b+c的值等于______.
18.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D、E分別在邊BC、AB上，CD=BD，.AD與CE交于點F，如果AB=6，那么CF的長等于______.
19.為了讓農民能種植高產、易發(fā)芽的種子，某農科實驗基地大力開展種子實驗.該實驗基地兩年前有150種種子，經(jīng)過兩年不斷地努力，現(xiàn)在已有216種種子.若培育的種子平均每年的增長率為x,則x的值為______.
20.若關于x的方程x2-2x+m-1=0有實數(shù)根，則m的取值范圍為______.
三、解答題：本題共7小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
21.(本小題16分)
解方程：
（1）3x（x-5）=4（x-5）.
（2）2x2+x=4.
（3）3（x-1）2=15.
（4）（3t-1）（t+1）=4.
22.(本小題6分)
已知，求k的值.
23.(本小題8分)
小明、小亮和小穎三人做“石頭、剪刀和布”的游戲.小穎說：你倆玩，我裁判，并制定了如下的游戲規(guī)則：如果你倆的手勢相同，我獲勝；如果你倆的手勢不同，按“石頭勝剪刀，剪刀勝布，布勝石頭”的規(guī)則決定獲勝者.假設小明與小亮每次出這三種手勢的可能性相同，通過列表或畫樹狀圖的方法，分析這個游戲規(guī)則是否公平.
24.(本小題8分)
某個體商戶購進某種電子產品的進價是50元/個，根據(jù)市場調研發(fā)現(xiàn)售價是80元/個時，每周可賣出150個．若銷售單價每個降低2元，則每周可多賣出20個．設銷售價格每個降低x元（x為偶數(shù)），每周銷售量為y個，但不能虧本銷售．
（1）直接寫出銷售量y個與降價x元之間的函數(shù)關系式；
（2）設商戶每周獲得的利潤為w元，求出w元與x元之間的函數(shù)關系式；
（3）若商戶想獲得5040元的利潤，他應該將銷售單價定為多少？
25.(本小題6分)
長安塔是西安世園會四大標志性建筑之一，該塔在設計上保持了隋唐時期方形古塔的神韻，同時增加了現(xiàn)代元素，既體現(xiàn)了中國建筑文化的內涵，又彰顯出時尚現(xiàn)代的都市風貌，是綠色建筑技術和建筑藝術的完美結合小亮同學想利用所學數(shù)學知識來測量長安塔的高度，如圖，小亮在湖對面P處放置一面平面鏡（平面鏡的大小忽略不計），他站在C處通過平面鏡恰好能看到塔的頂端A，此時測得小亮到平面鏡的距離CP為4米.已知平面鏡到塔底部中心的距離PB為247.5米，小亮眼睛到地面的距離DC為1.6米，C，P，B在同一水平直線上，且DC，AB均垂直于CB.請你幫小亮計算出長安塔的高度AB.
26.(本小題8分)
如圖所示，在矩形ABCD中，E為邊CD上一點，且AE⊥BD.
（1）求證：AD2=DE DC；
（2）F為線段AE延長線上一點，且滿足，求證：CE=AD.
27.(本小題8分)
如圖，一個梯子AB斜靠在一面墻上，梯子底端為A，梯子的頂端B距地面的垂直距離為BC的長．
（1）若梯子的長度是10m，梯子的頂端B距地面的垂直距離為8m．如果梯子的頂端下滑1m，那么梯子的底端A向外滑動多少米？
（2）設AB=c，BC=a，AC=b，且a＞b，請思考，梯子在滑動的過程中，是否一定存在頂端下滑的距離與底端向外滑動的距離相等的情況？若存在，請求出這個距離；若不存在，說明理由．
數(shù) 學 試 題 參 考 答 案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D D B A C D C B
11．
12．
13．3
14．
15．
16．概率
17．-3或29
18．
19．
20．
21．（1）解：，
∴，
∴，
∴或，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，；
（4）解：原方程化簡為，
∴，
解得，．
22．解：，
，，．
，
．
情況一:如果，那么；
情況二:如果，那么，則．
23．解：這個游戲規(guī)則是公平的。
小明（石頭） 小明（剪刀） 小明（布）
小亮（石頭） 小穎勝（石頭對石頭） 小亮勝（剪刀對石頭） 小明勝（布對石頭）
小亮（剪刀） 小明勝（石頭對剪刀） 小穎勝（剪刀對剪刀） 小亮勝（布對剪刀）
小亮（布） 小亮勝（石頭對布） 小明勝（剪刀對布） 小穎勝（布對布）
由表格可知一共有9種等可能性的結果，其中小亮、小明、小穎勝利的結果數(shù)都是3，
∴三人獲勝的概率都是，
∴這個游戲規(guī)則是公平的．
24．解：(1)y=10x+150；
(2)W=(80 50 x)(10x+150)=-10x2+150x+4500，
（3）當獲得5040元的利潤時，
-10x2+150x+4500=5040，
-10x2+150x-540=0,
-10（x2-15x+54）=0,
（x-6）（x-9）=0
x1=6，x2=9；
故當銷售單價定為80 6=74或80-9=71元時，獲得利潤是5040元.
25．解：由題意知，
又∵，
∴，
∴，即，
解得米，
∴長安塔的高度為99米．
26．（1）證明：在矩形中，，，，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
；
（2）證明：連接交于點，如圖所示：
在矩形中，，則，
，
，
，
，
，
在矩形中，，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
．
27．（1）在中，，，
.
設梯子的底端向外滑動米，由題意得，，
解得，（舍去）
即梯子的底端向外滑動米.
（2）設存在頂端下滑的距離與底端向外滑動的距離相等的情況，此時梯子的底端向外滑動米，由題意得，，
解得，（舍去），
，即梯子的底端向外滑動的距離是米．
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