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22.2 二次函數(shù)與一元二次方程
第二十二章 二次函數(shù)
情境引入
問題 如圖，以 40 m/s 的速度將小球沿與地面成 30° 角的方向擊出時(shí)，小球的飛行路線將是一條拋物線，如果不考慮空氣的阻力，小球的飛行高度 h(單位：m)與飛行時(shí)間 t(單位：s)之間具有函數(shù)關(guān)系
h = 20t - 5t2.
考慮以下問題：
（1）小球的飛行高度能否達(dá)到 15 m？如果能，需要多少飛行時(shí)間？
h = 20t - 5t2
二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系
O
h/m
t/s
15
1
3
故當(dāng)小球飛行 1 s 或 3 s 時(shí)，它的高度為 15 m.
解：令 15 = 20t - 5t2，
即 t2 - 4t + 3 = 0，
解得 t1 = 1，t2 = 3.
你能結(jié)合上圖，指出為什么在兩個(gè)時(shí)間小球的高度為 15 m 嗎？
(2) 小球的飛行高度能否達(dá)到 20 m？如果能，需要多少飛行時(shí)間？
你能結(jié)合圖形指出為什么只在一個(gè)時(shí)間小球的高度為 20 m 嗎？
O
h/m
t/s
20
2
解：令 20 = 20t - 5t2，
即 t2 - 4t + 4 = 0，
解得 t1 = t2 = 2.
故當(dāng)球飛行 2 s 時(shí)，它的高度為 20 m.
h = 20t - 5t2
解：令 20.5 = 20t - 5t2，
即 t2 - 4t + 4.1 = 0，
因?yàn)?(-4)2 - 4×4.1＜0，
所以方程無(wú)解.
即小球的飛行高度達(dá)不到 20.5 m.
(3)小球的飛行高度能否達(dá)到 20.5 m？為什么？
O
h/m
t/s
你能結(jié)合圖形指出為什么小球不能達(dá)到 20.5 m 的高度嗎
20.5
h = 20t - 5t2
(4) 小球從飛出到落地要用多少時(shí)間？
O
h/m
t/s
令 0 = 20t - 5t2，
即 t2 - 4t = 0，
解得 t1 = 0，t2 = 4.
故當(dāng)小球飛行 0 s 和 4 s 時(shí)，它的高度為 0 m.
∴ 小球從飛出到落地要用 4 s 時(shí)間.
h = 20t - 5t2
解：小球飛出時(shí)和落地時(shí)的高度都為 0 m，
從上面發(fā)現(xiàn)，二次函數(shù) y = ax2 + bx + c 何時(shí)為一元二次方程
一般地，當(dāng) y 取確定值且 a≠0 時(shí)，二次函數(shù)為一元二次方程.
為一個(gè)常數(shù)
（確定值）
如：y = 5 時(shí)，則 5 = ax2 + bx + c (a ≠ 0)就是一個(gè)一元二次方程.
所以二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系密切．
例如，已知二次函數(shù) y = －x2＋4x 的值為 3，求自變量 x 的值，可以看作解一元二次方程－x2＋4x = 3（即 x2－4x＋3 = 0）；
反過來(lái)，解方程 x2－4x＋3 = 0，又可以看作已知二次函數(shù) y = x2－4x＋3 的值為 0，求自變量 x 的值．
例1 如圖，小丁在某次扔鉛球時(shí)，鉛球沿拋物線 運(yùn)行，其中 x (單位：m) 是鉛球離初始位置的水平距離，y (單位：m)是鉛球離地面的高度.
（1）當(dāng)鉛球離地面的高度為 2.1 m 時(shí)，它離初始位置的水平距離是多少？
（2）鉛球離地面的高度能否達(dá)到 2.5 m？如果能，它離初始位置的水平距離是多少？
（3）鉛球離地面的高度能否達(dá)
到 3 m？為什么？
解：題意得
即
解得
即當(dāng)鉛球離地面的高度為 2.1 m 時(shí)，它離初始
位置的水平距離是 1 m 或 5 m.
（1）當(dāng)鉛球離地面的高度為 2.1 m 時(shí)，它離初始位置的水平距離是多少？
（2）鉛球離地面的高度能否達(dá)到 2.5 m？如果能，它離初始位置的水平距離是多少？
解：由題意得
即
解得
即當(dāng)鉛球離地面的高度為 2.5 m 時(shí)，它離初始位置
的水平距離是 3 m.
解：由題意得
即
因?yàn)? 所以方程無(wú)實(shí)根.
所以鉛球離地面的高度不能達(dá)到 3 m.
（3）鉛球離地面的高度能否達(dá)到 3 m？為什么？
二次函數(shù)與一元二次方程緊密地聯(lián)系起來(lái)了.
思考
觀察思考下列二次函數(shù)的圖象與 x 軸有公共點(diǎn)嗎？如果有，公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是多少？當(dāng) x 取公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)，函數(shù)的值是多少？由此你能得出相應(yīng)的一元二次方程的根嗎？
（1）y = x2 + x - 2；
（2）y = x2 - 6x + 9；
（3）y = x2 - x + 1.
利用二次函數(shù)深入討論一元二次方程
1
x
y
O
y = x2－6x＋9
y = x2－x＋1
y = x2＋x－2
觀察圖象，完成下表：
拋物線與x軸公共點(diǎn)個(gè)數(shù) 公共點(diǎn) 橫坐標(biāo) 相應(yīng)的一元二次
方程的根
y = x2-x+1
y = x2-6x+9
y = x2+x-2
0 個(gè)
1個(gè)
2 個(gè)
x2 - x + 1 = 0 無(wú)解
3
x2-6x+9=0,x1=x2=3
-2 和 1
x2+x-2=0,x1=-2,x2=1
二次函數(shù) y = ax2 + bx + c 的圖象與 x 軸公共點(diǎn) 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根 b2 - 4ac
有兩個(gè)公共點(diǎn)
有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
b2 - 4ac＞0
有一個(gè)公共點(diǎn)
有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
b2 - 4ac = 0
沒有公共點(diǎn)
沒有實(shí)數(shù)根
b2 - 4ac＜0
二次函數(shù) y = ax2 + bx + c 的圖象與 x 軸的
公共點(diǎn)與一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根的關(guān)系
知識(shí)要點(diǎn)
例2 已知關(guān)于 x 的二次函數(shù) y＝mx2－(m＋2)x＋2 (m ≠ 0).
(1) 求證：此拋物線與 x 軸總有公共點(diǎn)；
證明：對(duì)于一元二次方程 mx2－(m＋2)x＋2＝0(m ≠ 0)，
∵ Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2≥0，
∴ 一元二次方程 mx2－(m＋2)x＋2＝0 一定有兩個(gè)根.
∴ 拋物線 y＝mx2－(m＋2)x＋2 (m ≠ 0) 與 x 軸總有公共點(diǎn).
解：令 y＝0，則 (x－1)(mx－2)＝0，
∴ x－1＝0 或 mx－2＝0，
解得 x1＝1，x2＝ .
當(dāng)正整數(shù) m = 1 時(shí)，x2 為整數(shù)且 x1≠x2，即拋物線與 x 軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)，且它們的橫坐標(biāo)都是整數(shù).
∴ 正整數(shù) m 的值為 1.
例2 已知關(guān)于 x 的二次函數(shù) y＝mx2－(m＋2)x＋2 (m ≠ 0).
(2) 若此拋物線與 x 軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)，且它們的橫坐標(biāo)都是整數(shù)，求正整數(shù) m 的值．
變式 已知：拋物線 y＝x2＋ax＋a－2.
(1) 求證：不論 a 取何值時(shí)，拋物線 y＝x2＋ax＋a－2 與
x 軸都有兩個(gè)交點(diǎn)；
(2) 設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的圖象與 x 軸相交于 A (x1，0)，
B (x2，0)，且 x1、x2 的平方和為 3，求 a 的值．
(1) 證明：∵ a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，
∴ 不論 a 取何值時(shí)，拋物線 y＝x2＋ax＋a－2 與 x 軸
都有兩個(gè)交點(diǎn).
(2) 解：∵ x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2，
∴ x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3.
解得 a＝1.
分析：一元二次方程 x 2x 2 = 0 的根就是拋物線 y = x 2x 2 與 x 軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因此我們可以先畫出這條拋物線，然后從圖上找出它與 x 軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，這種解一元二次方程的方法叫做圖象法.
例3 利用函數(shù)圖象求方程 x2 2x 2 = 0 的實(shí)數(shù)根(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位).
利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解
解：畫出函數(shù) y = x 2x 2 的圖象（如下圖），由圖象可知，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，一個(gè)在 1 與 0 之間，另一個(gè)在 2 與 3 之間.
先求位于 1 到 0 之間的根，由圖象可估計(jì)這個(gè) 根是 0.8 或 0.7，利用計(jì)算器進(jìn)行探索，見下表：
x … 0.8 0.7 …
y … 0.24 0.11 …
觀察上表可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng) x 分別取 0.8 和 0.7 時(shí)，對(duì)應(yīng)的 y 由正變負(fù)，可見在 0.8 與 0.7 之間肯定有一個(gè) x 使 y = 0，即有 x2 2x 2 = 0 的一個(gè)根，題目只要求精確到 0.1，這時(shí)取 x = 0.8 或 x = 0.7 都符合要求.但當(dāng) x = 0.7 時(shí)函數(shù)值更為接近 0. 故取 x1≈ 0.7.
同理可得另一近似根為 x2≈2.7.
一元二次方程的圖象解法
利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似根：
(1) 用描點(diǎn)法作二次函數(shù)的圖象；
(2) 觀察估計(jì)二次函數(shù)的圖象與 x 軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
由圖象可知，圖象與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)即為方程的根，通過取平均數(shù)的方法不斷縮小根所在的范圍 (可將單位長(zhǎng)再十等分，借助計(jì)算器確定其近似值).
(3) 確定方程的近似解.
由此可知，使二次函數(shù)的函數(shù)值更接近 0 的數(shù)，即為方程的近似解.
方法歸納
解析：由圖象可得該拋物線的對(duì)稱軸為
x＝－1，而對(duì)稱軸右側(cè)圖象與 x 軸交點(diǎn)
到原點(diǎn)的距離約為 0.5，∴ x2≈0.5. 又
∵ 對(duì)稱軸為 x＝－1，∴ ＝－1.
∴ x1≈2×(－1)－0.5＝－2.5. 故 x1≈－2.5，x2≈0.5.
例4 已知二次函數(shù) y＝ax2＋bx＋c 的圖象如圖所示，則一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的近似根為 (　　)
A. x1≈－2.1，x2≈0.1 B. x1≈－2.5，x2≈0.5
C. x1≈－2.9，x2≈0.9 D. x1≈－3， x2≈1
B
解答本題首先需要根據(jù)圖象估計(jì)出一個(gè)根，再根據(jù)對(duì)稱性計(jì)算出另一個(gè)根，估計(jì)值的精確程度，直接關(guān)系到計(jì)算的準(zhǔn)確性，故估計(jì)盡量要準(zhǔn)確．
方法總結(jié)
二次函數(shù)與一元二次不等式的關(guān)系(拓展)
問題1：函數(shù) y = ax2 + bx+ c 的圖象如圖，
那么方程 ax2 + bx + c = 0 的根是______________；
不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集是______________；
不等式 ax2 + bx + c < 0 的解集是____________.
3
-1
O
x
y
x1 = 1，x2 = 3
x < 1 或 x > 3
1 < x < 3
合作探究
拓廣探索：
函數(shù) y = ax2 + bx + c 的圖象如圖，
那么方程 ax2 + bx + c = 2 的根是______________；
不等式 ax2 + bx + c > 2 的解集是______________；
不等式 ax2 + bx + c < 2 的解集是____________.
3
1
O
x
2
(4，2)
( 2，2)
x1 = 2，x2 = 4
x < 2 或 x > 4
2 < x < 4
y
2
4
問題2：如果不等式 ax2 + bx + c＞0 (a ≠ 0) 的解集是 x ≠ 2 的一切實(shí)數(shù)，那么函數(shù) y = ax2 + bx + c 的圖象與 x 軸有____ 個(gè)公共點(diǎn)，坐標(biāo)是 ；方程 ax2 + bx + c = 0 的根是 .
1
(2 ，0)
x1 = x2 = 2
2
O
x
y
問題3：如果方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0) 沒有實(shí)數(shù)根，那么函數(shù) y = ax2 + bx + c 的圖象與 x 軸有______個(gè)公共點(diǎn)；不等式 ax2 + bx + c ＜ 0 的解集是什么？
0
解：(1) 當(dāng) a＞0 時(shí)，ax2 + bx + c＜0 無(wú)解.
(2) 當(dāng) a＜0 時(shí)，ax2 + bx + c＜0的解集是全體實(shí)數(shù).
O
x
y
x
y
O
2
O
x
y
-1
2
x
y
O
y = -x2+x+2
試一試：利用函數(shù)圖象解下列方程和不等式：
(1)① -x2+x+2=0；
② -x2+x+2>0；
③ -x2+x+2<0.
(2)① x2-4x+4=0；
② x2-4x+4>0；
③ x2-4x+4<0.
(3)① -x2+x-2=0；
② -x2+x-2>0；
③ -x2+x-2<0.
y = x2-4x+4
y = - x2+x -2
①x1 = -1，x2 = 2
③x＜-1或 x＞2
① x1 = x2 = 2
② x ≠ 2
③ 無(wú)解
① 無(wú)解
② 無(wú)解
③ x 為全體實(shí)數(shù)
②-1＜x＜2
二次函數(shù) y = ax2+bx+c 的圖象與 x 軸公共點(diǎn) a＞0 a＜0
有兩個(gè)公共點(diǎn) (x1，0)，(x2，0) (x1＜x2)
有一個(gè)公共點(diǎn)(x0，0)
沒有公共點(diǎn)
二次函數(shù) y=ax2+bx+c 的圖象與 x 軸公共點(diǎn)的坐標(biāo)與一元二次不等式的關(guān)系
y＜0，x1＜x＜x2；
y＞0，x＜x1或x＞x2.
y＞0，x1＜x＜x2；
y＜0，x＜x1或x＞x2.
y＞0，x0之外的所有實(shí)數(shù)；y＜0，無(wú)解.
y＜0，x0之外的所有實(shí)數(shù)；y＞0，無(wú)解.
y＞0，所有實(shí)數(shù)；y＜0，無(wú)解.
y＜0，全體實(shí)數(shù)；y＞0，無(wú)解.
知識(shí)要點(diǎn)
可知方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，a，b，c 為常數(shù)) 的一個(gè)解 x1 的范圍是（ ）
A. 3 ＜ x1 ＜ 3.23 B. 3.23 ＜ x1 ＜ 3.24
C. 3.24 ＜ x1 ＜ 3.25 D. 3.25 ＜ x1 ＜ 3.26
x 3.23 3.24 3.25 3.26
y = ax2 + bx + c -0.06 -0.02 0.03 0.09
C
1. 根據(jù)下列表格的對(duì)應(yīng)值：
2. 若一元二次方程 無(wú)實(shí)根，則拋物線
圖象位于（ ）
A. x 軸上方 B. 第一、二、三象限
C. x 軸下方 D. 第二、三、四象限
A
3. 二次函數(shù) y＝kx2－6x＋3 的圖象與 x 軸有公共點(diǎn)，則 k 的取值范圍是 (　　)
A．k＜3 B．k＜3 且 k ≠ 0
C．k≤3 D．k≤3 且 k ≠ 0
D
4. 若二次函數(shù) y = -x2 + 2x + k 的部分圖象如圖所示，且關(guān)于 x 的一元二次方程 -x2 + 2x + k = 0 有一個(gè)解 x1 = 3，則另一個(gè)解 x2 = .
-1
y
O
x
1
3
5. 一元二次方程 3x2 + x -10 = 0 的兩個(gè)根是 x1 = -2，x2 = ，那么二次函數(shù) y = 3x2 + x - 10 與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是
(-2，0) 和 ( ，0)
.
6. 已知二次函數(shù) 的圖象，利用圖象回
答問題：
(1) 方程 的解是什么？
(2) x 取什么值時(shí)，y ＞ 0 ？
(3) x 取什么值時(shí)，y ＜ 0 ？
x
y
O
2
4
8
解：(1) x1 = 2，x2 = 4.
(2) x＜2 或 x＞4.
(3) 2＜x＜4.
7. 已知函數(shù) y＝(k－3)x2＋2x＋1 的圖象與 x 軸有公共點(diǎn)，求 k 的取值范圍．
解：當(dāng) k＝3 時(shí)，函數(shù) y＝2x＋1，是一次函數(shù)．
∵ 直線 y＝2x＋1 與 x 軸有一個(gè)交點(diǎn)，∴ k＝3 符合題意.
當(dāng) k ≠ 3 時(shí)，函數(shù) y＝(k－3)x2＋2x＋1，是二次函數(shù)．
∵ 二次函數(shù) y＝(k－3)x2＋2x＋1 的圖象與 x 軸有公共點(diǎn)，
∴ Δ＝22－4(k－3)＝－4k＋16≥0，
即 k≤4 且 k ≠ 3.
綜上所述，k 的取值范圍是 k≤4.
8. 某學(xué)校初三年級(jí)的一場(chǎng)籃球比賽中，如圖，隊(duì)員甲正在投籃，已知球出手時(shí)距地面 m，與籃框中心的水平距離為 7 m，當(dāng)球出手后水平距離為 4 m時(shí)到達(dá)最大高度 4 m，設(shè)籃球運(yùn)行軌跡為拋物線，籃框距地面 3 m．
(1) 建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，問此球能否準(zhǔn)確投中？
解：(1) 由題意可知，A(0， )，B(4，4)，C(7，3)，其中 B 是拋物線的頂點(diǎn).
設(shè)拋物線解析式為 y＝a(x－4)2＋4，將點(diǎn) A 的坐標(biāo)代入，可得 a＝－ ，故 y＝－ (x－4)2＋4.
當(dāng) x＝7 時(shí)，
y＝－ (7－4)2＋4＝3，
∴ 點(diǎn) C(7，3) 在該拋物線上．
∴ 此球一定能投中.
(2) 此時(shí)，如果對(duì)方隊(duì)員乙在甲面前 1 m 處跳起蓋帽攔截，已知乙的最大摸高為 3.1 m，那么他能否獲得成功？
解：將 x＝1 代入函數(shù)關(guān)系式，得 y＝3.
因?yàn)?3.1＞3，所以蓋帽攔截能獲得成功．
y＝－ (x－4)2＋4
Δ = b2-4ac
二次函數(shù) y = ax2+bx+c (a＞0) 的圖象
一元二次方程ax2+bx+c=0 (a ≠ 0) 的根
不等式 ax2+bx+c＞0 (a＞0)的解集
不等式 ax2+bx+c＜0 (a＞0)的解集
x2
x1
x
y
O
O
x1= x2
x
y
O
y
x
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
x1，x2
沒有實(shí)數(shù)根
x＜x1或x＞x2
x ≠ x1的一切實(shí)數(shù)
全體實(shí)數(shù)
x1＜x＜x2
無(wú)解
無(wú)解
x1 = x2 =

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