資源簡介

2024-2025學年湖南省永州市冷水灘區京華中學七年級（下）第一次月考數學試卷
一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.化簡5a （2a2-ab），結果正確的是（　　）
A. B. C. D.
2.若3x=6，9y=2，則3x+2y的值為（　　）
A. 6 B. 8 C. 12 D. 24
3.已知a=255，b=344，c=433，d=522，則這四個數從大到小排列順序是（　　）
A. a＜b＜c＜d B. d＜a＜c＜b C. a＜d＜c＜b D. b＜c＜a＜d
4.下列各式不能用乘法公式進行計算的是（　　）
A. （-x+5y）（-x-5y） B. （-4x+y）（y+4x）
C. （5a+4x）（-5a-4x） D. （-4y-5x）（-5y+4x）
5.已知（-2x） （5-3x+mx2-nx3）的結果中不含x3項，則m的值為（　　）
A. 1 B. -1 C. - D. 0
6.如下為小亮的答卷，他的得分應是（　　）
姓名：小亮得分：
填空（每題20分，共100分）
①的平方根是±3
②1-的絕對值是-1
③=-3
④=-5
⑤的相反數是2
A. 100分 B. 80分 C. 60分 D. 40分
7.在實數、、-3.121221222、、3.14、中，無理數共有（　　）
A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個
8.若，則的值為（　　）
A. -5 B. 5 C. 15 D. 25
9.小明在利用完全平方公式計算一個二項整式的平方時，不小心用墨水把中間一項的系數染黑了，得到正確的結果為4a2■ab+9b2，則中間一項的系數是（）
A. 12 B. -12 C. 12或-12 D. 36
10.對于一個正實數m，我們規定：用符號表示不大于的最大整數，稱為m的根整數，如：，．如果我們對m連續求根整數，直到結果為1為止．例如：對11連續求根整數2次，，這時候結果為1．現有如下四種說法：①的值為4；②若，則滿足題意的m的整數值有2個，分別是2和3；③對110連續求根整數，第3次后結果為1；④只需進行3次連續求根整數運算后結果為1的所有正整數中，最大的是255．其中錯誤的說法有（　　）
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分。
11.通過估算比較大小， ______ .（填“＞”或“＜”或“=”）
12.如圖，正方形ABCD的頂點A在數軸上對應的數為2，以點A為圓心，AD長為半徑畫圓弧，交數軸于點E（點E位于點A的左側）.若正方形ABCD的面積為2，則點E表示的數為______.
13.已知=x-1，則x的值為______.
14.如圖，現有若干張卡片，分別是正方形卡片A、B和長方形卡片C，卡片大小如圖所示.如果要拼一個長為（3a+b），寬為（a+3b）的大長方形，則需要C類卡片______張.
15.一個長方體游泳池的長為（4a2+9b2）m,寬為（2a+3b）m,高為（2a-3b）m,則這個游泳池的容積是______m3.
16.若A=（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+1，則A-2022的末位數字是______.
17.利用計算器計算出的下表中各數的算術平方根如下：
… …
… 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 …
根據以上規律，若≈5.06，=1.60，則= ______.
18.觀察下列各式及其展開式：
（a-b）2=a2-2ab+b2
（a-b）3=a3-3a2b+3ab2-b3
（a-b）4=a4-4a3b+6a2b2-4ab3+b4
（a-b）5=a5-5a4b+10a3b2-10a2b3+5ab4-b5…
請你猜想（a-b）10的展開式第三項的系數是______．
三、解答題：本題共8小題，共66分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
19.(本小題6分)
求下列各式中x的值：
（1）25（x+1）2-36=0；
（2）（x-1）3+27=0.
20.(本小題6分)
計算：
（1）（x+3y）（x-3y）；
（2）.
21.(本小題8分)
先化簡，再求值：
（a-b）2-2a（a+3b）+（a+2b）（a-2b），其中a=1，b=-3．
22.(本小題8分)
已知x+4的平方根是±3，3x+y-1的立方根是3，求y2-x2的算術平方根．
23.(本小題9分)
愛動腦筋的小明在學習《冪的運算》時發現：若am=an（a＞0，且a≠1，m、n都是正整數），則m=n,例如：若5m=54，則m=4．小明將這個發現與老師分享，并得到老師確認是正確的，請您和小明一起用這個正確的發現解決下面的問題：
（1）如果2×4x×32x=236，求x的值；
（2）如果3x+2+3x+1=108，求x的值．
24.(本小題9分)
配方法是指將一個式子或一個式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和的方法.這種方法常常被用到恒等變形中，以挖掘題目中的隱含條件，是解題的有力手段之一.我們定義：一個整數能表示成a2+b2（a,b是整數）的形式，則稱這個數為“和美數”.例如，10是“和美數”.理由：因為10=32+12.再如，M=x2+2xy+2y2=（x+y）2+y2（y是整數），所以M也是“和美數”.
解決問題：
（1）請你再寫一個小于10的“和美數”______；并判斷40是否為“和美數”______；
（2）若二次三項式x2-4x+5（x是整數）是“和美數”，可配方成（x-m）2+n（m,n為常數），則mn的值為______；
探究問題：
已知S=x2+4y2+4x-12y+k（x,y是整數，k是常數），要使S為“和美數”，試求出符合條件的k值.
拓展結論：已知實數x,y滿足-x2+3x+y-5=0，求x+y的最小值是______.
25.(本小題10分)
把幾個圖形拼成一個新的圖形，通過圖形面積的計算，常常可以得到一些等式，這是研究數學問題的一種常用方法.我們在學習“從面積到乘法公式”時，曾用兩種不同的方法計算同一個圖形的面積，探索了完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2（如圖1）.
（1）觀察圖2，請你寫出（a+b）2、（a-b）2、ab之間的等量關系是______；
拓展應用：根據（1）中的等量關系及課本所學的完全平方公式知識，解決如下問題：
（2）若，且x＞y,求x-y的值；
（3）若（2025-m）2+（m-2024）2=7，求（2025-m）（m-2024）的值；
（4）如圖3，在△BCE中，∠BCE=90°，CE=8，點M在邊BC上，CM=3，在邊CE上取一點Q，使BM=EQ，分別以BC，CQ為邊在△BCE外部作正方形ABCD和正方形COPQ，連接BQ，若△BCQ的面積等于，設BM=x（x＞0），求正方形ABCD和正方形COPQ的面積和.
26.(本小題10分)
閱讀下列材料，解決相應問題：
“友好數對”
已知兩個兩位數，將它們各自的十位數字和個位數字交換位置后，得到兩個與原
兩個兩位數均不同的新數，若這兩個兩位數的乘積與交換位置后兩個新兩位數的乘積
相等，則稱這樣的兩個兩位數為“友好數對”.例如43×68=34×86=2924，所以
43和68與34和86都是“友好數對”.
（1）36和84 ______“友好數對”.（填“是”或“不是”）（2）為探究“友好數對”的本質，可設“友好數對”中一個數的十位數字為a,個位數字為b,且a≠b；另一個數的十位數字為c,個位數字為d,且c≠d,則a,b,c,d之間存在一個等量關系，其探究和說理過程如下，請你將其補充完整.
解：根據題意，“友好數對”中的兩個數分別表示為10a+b和10c+d,將它們各自的十位數字和個位數字交換位置后兩個數依次表示為______和______.
因為它們是友好數對，所以（10a+b）（10c+d）= ______.
并試求a,b,c,d的等量關系.
（3）若有一個兩位數，十位數字為x+2，個位數字為x,另一個兩位數，十位數字為x+2，個位數字為x+8.且這兩個數為“友好數對”，直接寫出這兩個兩位數.
參考答案
1.解：5a （2a2-ab）=10a3-5a2b.
故選B．
2.解：∵9y=2，
∴32y=2，
∵3x=6，
∴3x+2y=3x 32y=6×2=12．
故選：C．
3.解：∵a=255=（25）11=3211，b=344=（34）11=8111，c=433=（43）11=6411，d=522=（52）11=2511，
而2511＜3211＜6411＜8111，
∴d＜a＜c＜b．
故選：B．
4.解：A．（-x+5y）（-x-5y）=（-x）2-（5y）2，利用平方差公式，故A不符合題意；
B．（-4x+y）（y+4x）=y2-（4x）2，利用平方差公式，故B不符合題意；
C．（5a+4x）（-5a-4x）=-（5a+4x）2，利用完全平方公式，故C不符合題意；
D．（-4y-5x）（-5y+4x），不能利用乘法公式，故D符合題意；
故選：D．
5.解：（-2x） （5-3x+mx2-nx3）=-10x+6x2-2mx3+2nx4，
由（-2x） （5-3x+mx2-nx3）的結果中不含x3項，得
-2m=0，
解得m=0，
故選：D．
6.解：①∵=3，∴的平方根是±，故錯誤；
②1-的絕對值是，故正確；
③=-3，故正確；
④，故錯誤．
⑤∵=2，∴的相反數是-2，故錯誤．
20×2=40（分），
∴小亮的得分為40分，
7.解：無理數有：，，共2個．
故選A．
8.解：∵，
∴x-5=0，y+25=0，
解得：x=5，y=-25，
∴．
故選：A．
9.解：由（2a±3b）2=4a2±12ab+9b2，
∴染黑的部分為±12．
故選：C．
10.解：①∵[]=2，[]=2，
∴[]+[]=2+2=4，
因此①正確；
②若，則滿足題意的m的整數值有3個，分別是1、2、3，
因此②不正確；
③∵[]=10→[]=3→[]=1，
∴對110連續求根整數，第3次后結果為1，
因此③正確；
④∵[]=15→[]=3→[]=1，而[]=16→[]=4→[]=2→[]=1，
∴只需進行3次連續求根整數運算后結果為1的所有正整數中，最大的是255．
因此④正確；
綜上所述，錯誤的結論是：②，共1個，
故選：A．
11.解：∵1＜3＜4，
∴，
∴，
∴．
故答案為：＜．
12.解：∵正方形面積為2，
∴，
∵點A表示的數為2，
∵OA=2，
∵點E在點A的左邊，
∴，
∴點E表示的數為，
故答案為：．
13.解：∵（-1）3=-1，03=0，13=1，
∴=-1，=0，=-1，
∴x-1=-1，x-1=0或x-1=1，
解得x=0，x=1或x=2，
故答案為：0，1或2．
14.解：長為（3a+b），寬為（a+3b）的長方形的面積為：
（3a+b）（a+3b）=3a2+10ab+3b2，
∵A類卡片的面積為a2，B類卡片的面積為b2，C類卡片的面積為ab，
∴需要C類卡片10張；
故答案為：10．
15.解：（4a2+9b2）（2a+3b）（2a-3b）
=（4a2-9b2）（4a2+9b2）
=（16a4-81b4）m3，
故答案為：（16a4-81b4）．
16.解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+1
=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+1
=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+1
=（24-1）（24+1）（28+1）（216+1）+1
=（28-1）（28+1）（216+1）+1
=（216-1）（216+1）+1
=232-1+1
=232；
∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256……；
∴尾數是2，4，8，6，……四個一循環，
∵32÷4=8，
∴232的末位數字是6，
即A的末位數字是6，則A-2022的末位數字是4．
故答案為：4．
17.解：根據表格，可得如下規律：被開方數的小數點每移動兩位，對應的算術平方根的小數點同方向移動一位．
∵≈5.06，
∴=0.506．
故答案為：0.506．
18.解：根據題意得：第五個式子系數為1，6，15，20，15，6，1，
第六個式子系數為1，7，21，35，35，21，7，1，
第七個式子系數為1，8，28，56，70，56，28，8，1，
第八個式子系數為1，9，36，84，126，126，84，36，9，1，
第九個式子系數為1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1，
則（a-b）10的展開式第三項的系數是45，
故答案為：45．
19.解：
20.解：（1）原式=x2-（3y）2=x2-9y2；
（2）原式=-1+5-2+-2=．
21.解：
22.解：
23.解：
24.解：解決問題：（1）4（答案不唯一），理由：因為=22+02.40是“和美數”，理由：因為40=62+22．
故答案為：4（答案不唯一）；是．
（2）由題意，∵x2-4x+5=x2-4x+4+1=（x-2）2+12，
∴m=2，n=1，
∴mn=2，
故答案為：2．
探究問題：由題意得，S=x2+4y2+4x-12y+k=（x+2）2+（2y-3）2+k-13，
又∵S為“和美數”，
∴k-13=0，
∴k=13．
拓展結論：∵-x2+3x+y-5=0，
∴y=x2-3x+5．
∴x+y
=x2-2x+5
=（x-1）2+4≥4．
∴當x=1時，x+y最小，最小值為4．
故答案為：4．
25.解：（1）由圖可知：大正方形的面積等于4個長方形的面積加上陰影正方形的面積，
∴（a+b）2=（a-b）2+4ab；
故答案為：（a+b）2=（a-b）2+4ab；
（2）由（1）可得（x-y）2=（x+y）2-4xy,
∴（x-y）2=（x+y）2-4xy=，
∵x＞y,
∴x-y=3；
（3）由條件可知2ab=（a+b）2-（a2+b2），
∵（2025-m）2+（m-2024）2=7，
∴2（2025-m）（m-2024）
=（2025-m+m-2024）2-[（2025-m）2+（m-2024）2]
=1-7
=-6，
∴原式=-3；
（4）設BM=x,則BM=EQ=x,
∴CM=3，CE=8，
CQ=CE-EQ=8-x,BC=BM+CM=3+x,
∵，
∴（8-x）（3+x）=21，
令8-x=a,x+3=b,
∴a+b=11，ab=21，
∴正方形ABCD和正方形COPQ的面積和：
=a2+b2=（a+b）2-2ab=112-2×21=121-42=79．
26.解：（1）∵36×84=3024，63×48=3024，
∴36×84=63×48，
∴36和84是友好數對，
故答案為：是；
（2）∵一個數的十位數字為a,個位數字為b；另一個數的十位數字為c,個位數字為d,
∴交換后十位數字為b,個位數字為a,另一個的十位數字為d,個位數字為c,
∴兩個數依次表示為10b+a,10d+c,
∵這兩個數是友好數對，
∴（10a+b）（10c+d）=（10b+a）（10d+c），
化簡得：ac=bd.
故答案為：10b+a；10d+c；（10b+a）（10d+c）；ac=bd；
（3）由（2）得：（x+2）（x+2）=x（x+8），
解得：x=1，
∴兩個兩位數為：31和39．
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