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22.3 實際問題與二次函數
第二十二章 二次函數
第1課時 幾何圖形的最大面積
情景引入
將一個物體拋向空中，時間與高度將成二次函數關系，那么你想知道該物體最多可以拋多高嗎？
寫出下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標，并寫出其最值.
(1) y = x2 4x 5；(配方法) (2) y = x2 3x + 4. (公式法)
解：(1) 開口方向：向上；對稱軸：直線 x = 2；
頂點坐標：(2，-9)；最小值：-9.
(2) 開口方向：向下；對稱軸：直線 x = ；
頂點坐標：( ， )；最大值： .
求二次函數的最大（或最小）值
引例：從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度 h
(單位：m) 與小球的運動時間 t (單位：s)之間的關系式是 h = 30t - 5t 2 (0≤t≤6)．
小球的運動時間是多少時，小球最高？
小球運動中的最大高度是多少？
t/s
h/m
O
1
2
3
4
5
6
20
40
h = 30t - 5t2
合作探究
問題1 二次函數 的最值由什么決定？
x
y
O
x
y
O
最小值
最大值
二次函數 的最值由 a 的符號、對稱軸的位置及自變量的取值范圍決定.
問題2 當自變量 x 為全體實數時，二次函數 y = ax2 + bx + c 的最值是多少？
當 a＞0 時，有 ，此時 ；
當 a＜0 時，有 ，此時 .
問題3 當自變量 x 限定范圍時，二次函數 y = ax2 + bx + c 的最值如何確定？
先判斷 是否在限定范圍內，若在，則二次函數在 x = 時取得一個最值，另一個最值需考察限定范圍的端點處來決定；若不在，則根據二次函數的增減性確定其最值.
故小球運動的時間是 3s 時， 小球最高.小球運動中的最大高度是 45 m．
t/s
h/m
O
1
2
3
4
5
6
20
40
h= 30t 5t 2(0≤t≤6)
試一試 根據探究得出的結論，解決引例的問題：
∵0≤3≤6，
例1 求下列函數的最大值與最小值：
x
O
y
解：
-3
1
（1）
∴ 當 時，有
當 時，有
典例精析
解：
O
x
y
1
-3
（2）
∴ 當 x = -3 時，有
∴ 當 -3≤x≤1 時 y 隨著 x 的增大而減小.
當 x = 1 時，有
方法歸納
當自變量的范圍有限制時，二次函數 的最值可以根據以下步驟來確定：
1. 配方，求二次函數的頂點坐標及對稱軸；
2. 畫出函數圖象，標明對稱軸，并在橫坐標上標明 x 的取值范圍；
3. 判斷，判斷 x 的取值范圍與對稱軸的位置關系，根據二次函數的性質及圖象，確定當 x 取何值時函數有最大或最小值，然后根據 x 的值，求出函數的最值.
典例精析
例2 用總長為 60 m 的籬笆圍成矩形場地，矩形面積 S (m2) 隨矩形一邊長 l (m) 的變化而變化. 當 l 是多少米時，場地的面積 S 最大？
問題1 矩形面積公式是什么？
問題2 如何用 l 表示另一邊？
問題3 面積 S 的函數關系式是什么？
矩形面積 = 長×寬
另一邊長為 (30 l) m
S = (30 l)l = l2+30l
二次函數與幾何圖形面積的最值
問題4 當 l 是多少米時，場地的面積 S 最大？
解：根據題意得
S = l (30 - l)，
即 S = -l2 + 30l (0＜l＜30).
因此，當
時，有 S最大值 =
也就是說，當 l 是 15 m 時，場地的面積 S 最大.
5
10
15
20
25
30
100
200
l/m
S/m2
O
變式 如圖，用一段長為 60 m 的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園.
60 - 2x
x
x
(1) 當墻長 32 m 時，這個矩形的長、寬
各為多少時，菜園的面積最大？最大
面積是多少？
分析：設垂直于墻的一邊長為 x m，則平行于墻的邊長為__________m.
矩形菜園的面積 S =______________________.
想一想 如何求得自變量 x 的取值范圍？墻長 32 m 對此題有什么作用？
0＜60 2x≤32，即 14≤x＜30.
(60 2x)
x(60 2x)＝ 2x2＋60x
∴ 當 x = 15 m 時，S 取最大值，此時 S最大值 = 450 m2.
解：設垂直于墻的一邊長為 x m，則平行于墻的邊長為 (60 2x) m.
∴ S = x(60 2x) = 2x2＋60x.
∵ S = 2x2＋60x = 2(x 15)2 + 450，
設未知數，用含未知數的代數式表示相關量
由題意得 0＜60 2x≤32，即 14≤x＜30.
根據題意，求出自變量的取值范圍
寫出二次函數解析式，并化為頂點式
結合自變量的取值范圍可知，該二次函數在其頂點處取得最大值
(2) 當墻長 18 m 時，這個矩形的長、寬各為多少時，菜
園的面積最大？最大面積是多少？
解：設垂直于墻的一邊長為 x m，
由 (1) 知
S = 2x2＋60x = 2(x2 30x) = 2(x 15)2 + 450.
問題1 與(1)有什么區別？
試一試 在 (2) 中，求自變量的取值范圍.
21≤ x＜30.
是否依然在 x = 15 時，S 取得最大值？
可利用的墻的長度不一樣
問題2 當 21≤ x＜30 時，S 的值隨 x 的增大如何變化？當 x 取何值時，S 取得最大值？
當 21≤ x＜30 時，S 隨 x 的增大而減小，
故當 x = 21 時，S 取得最大值，
此時 S最大值 = 2×(21 15)2 + 450 = 378 (m2).
實際問題中求解二次函數最值問題時，需要結合自變量的取值范圍，不一定都是在頂點處取得最值.
注意
例3 用長為 6 米的鋁合金材料做一個形狀如圖所示的矩形窗框. 窗框的高與寬各為多少時，它的透光面積最大？最大透光面積是多少？（鋁合金型材寬度不計）
x
解：設矩形窗框的寬為 x m，
則高為 m. 由于
這里應有 x＞0，故 0＜x＜2.
矩形窗框的透光面積 y 與 x 之間的函數關系式是
即
配方得
所以，當 x = 1 時，函數取得最大值，y最大值 = 1.5.
這時
因此，所做矩形窗框的寬為 1 m、高為 1.5 m 時，它的透光面積最大，最大面積是 1.5 m2.
知識要點
二次函數解決幾何面積最值問題的方法
1. 求出函數解析式和自變量的取值范圍；
2. 當自變量的取值范圍沒有限制時，可直接利用公式
求它的最大值或最小值；
3. 當自變量的取值范圍有所限制時，可先配成頂點式，
然后畫出函數圖象的草圖，再結合圖象和自變量的
范圍求函數最值.
1. 二次函數 y = (x + 1)2 2 的最小值是（ ）
A． 2 B． 1 C．1 D．2
2. 二次函數 y = 2x2 4x + 3 (x≤ 2) 的最大值為____.
3
3. 已知直角三角形的兩直角邊之和為 8，則該三角形
的面積的最大值是______.
A
8
4. 某小區要在一塊空地上修建一個矩形綠化帶 ABCD，綠化帶一邊靠墻 (墻長 25 m)，另三邊用總長為 40 m 的柵欄圍住．設綠化帶的邊長 BC 為 x m，綠化帶的面積為 y m2．
(1) 求 y 與 x 之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍.
解：∵ BC = x m，
∴ AB =
∴ y =
(2) 當 x 為何值時，滿足條件的綠化帶的面積最大？
∵ 0＜x≤25，
∴ 當 x = 20 時，綠化帶的面積取得最大值，最大面積為 200 m2.
5. 某廣告公司設計一幅周長為 12 m 的矩形廣告牌，廣告設計費用每平方米 1000 元，設矩形的一邊長為 x (m)，面積為 S (m2).
(1)寫出 S 與 x 之間的關系式，并寫出自變量 x 的取值
范圍；
解：由于矩形周長為 12 m，一邊長為 x m，故另一邊長為 (6 - x) m.
∴ S = x(6 - x) = -x2 + 6x，其中 0＜x＜6.
解：S = -x2 + 6x = -(x - 3)2 + 9 (0＜x＜6).
∴當 x = 3，即矩形的一邊長為 3 m 時，其面積最大，為 9 m2.
這時設計費最多，為 9×1000 = 9000（元）.
(2) 請你設計一個方案，使獲得的設計費最多，并求出這個費用.
6. 如圖，在△ABC 中，∠B = 90°，AB = 12 cm，BC = 24 cm，動點 P 從點 A 開始沿 AB 向 B 以 2 cm/s 的速度移動 (不與點 B 重合)，動點 Q 從點 B 開始沿 BC 以 4 cm/s 的速度移動 (不與點 C 重合). 如果 P、Q 分別從 A、B 同時出發，那么經過 s，四邊形 APQC
的面積最小.
3
A
B
C
P
Q
能力提升
幾何面積最值問題
一個關鍵
一個注意
建立函數關系式
常見幾何圖形的面積公式
依 據
最值有時不在頂點處，要利用函數的增減性來確定

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