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22.3 實際問題與二次函數
第二十二章 二次函數
第2課時 商品利潤最大問題
情境引入
在日常生活中存在著許許多多的與數學知識有關的實際問題.商品買賣過程中，作為商家追求利潤最大化是永恒的追求.
如果你是商家，如何定價才能使商場獲得最大利潤呢？
利用二次函數解決商品利潤最大問題
某商品現在的售價為每件 60 元，每星期可賣出 300 件，已知商品的進價為每件 40 元，則每星期的銷售額是 元，銷售利潤是 元.
探究交流
18000
6000
數量關系
（1）銷售額 = 單價×銷售量；
（2）利潤 = 銷售額 - 總成本 = 單件利潤×銷售量；
（3）單件利潤 = 售價 - 進價.
例1 某商品現在的售價為每件 60 元，每星期可賣出 300 件，市場調查反映：每件每漲價 1 元，每星期少賣出 10 件；每降價 1 元，每星期可多賣出 20 件.已知商品的進價為每件 40 元，如何定價才能使利潤最大？
典例精析
漲價銷售
①設每件漲價 x 元，每星期售出商品的利潤 y 元，填空：
單件利潤(元) 銷售量(件) 每星期利潤(元)
正常銷售
漲價銷售
20
300
20 + x
300 - 10x
(20 + x)(300 - 10x)
所得利潤 y = (20 + x)(300 - 10x)
= -10x2 + 100x + 6000.
6000
②自變量 x 的取值范圍如何確定？
營銷規律是價格上漲，銷量下降，因此只要考慮銷售量就可以，故 300 - 10x≥0，且 x≥0，故自變量的取值范圍是 0≤x≤30.
③每件漲價多少元時，利潤最大？最大利潤是多少？
y = -10x2 + 100x + 6000 (0≤x≤30).
當 時，y = -10×52 +100×5+6000 = 6250.
即每件漲價 5 元時，利潤最大，最大利潤是 6250 元.
降價銷售
①設每件降價 x 元，每星期售出商品的利潤 y 元，填空：
單件利潤(元) 銷售量(件) 每星期利潤(元)
正常銷售
降價銷售
20
300
(20 x)
(300 + 20x)
(20 x)(300 + 20x)
所得利潤 y = (20 x)(300 + 20x)
= 20x2 + 100x + 6000.
6000
綜上可知，定價為 65 元時，才有最大利潤是 6250 元.
②自變量 x 的取值范圍如何確定？
營銷規律是價格下降，銷量上升，因此只要考慮單件利潤就可以，故 20 x≥0，且 x≥0，故自變量的取值范圍是 0≤x≤20.
③降價多少元時，利潤最大？最大利潤是多少？
當 時，
即每件降價 2.5 元時，利潤最大，最大利潤是 6125 元.
y = 20x2 + 100x + 6000 (0≤x≤20).
由 (1) (2) 的討論及現在的銷售情況，你知道應該如何定價能使利潤最大了嗎
變式 某電商在購物平臺上銷售一款小電器，其進價為45 元/件，每銷售一件需繳納平臺推廣費 5 元，該款小電器每天的銷售量 y (件)與每件的銷售價格 x (元)滿足函數關系：y = 2x+180．為保證市場穩定，供貨商規定銷售價格不得低于 75 元/件且不得高于 90 元/件．
(1) 寫出每天的銷售利潤 w (元) 與銷售價格 x (元) 的函
數關系式；
解：由題意可得 w=(x 50)( 2x+180)= 2x2+280x 9000.
∴ 當 x = 75 時，有最大利潤，最大利潤為 750 元.
(2) 每件小電器的銷售價格定為多少元時，才能使每天獲得的利潤最大？最大是多少元？
解：w = 2x2 + 280x 9000 = 2(x 70)2 + 800.
∵ 銷售價格不得低于 75 元/件且不得高于 90 元/件，
∴ 75≤x≤90.
根據題意，確定自變量的取值范圍
注意：需根據函數的增減性確定自變量的函數最值，而非在頂點處取最值
知識要點
求解最大利潤問題的一般步驟
(1) 建立利潤與價格之間的函數關系式：
運用“總利潤 = 總售價 - 總成本”或“總利潤 = 單件利潤×銷售量”；
(2) 結合實際意義，確定自變量的取值范圍；
(3) 在自變量的取值范圍內確定最大利潤：
可以利用配方法或公式求出最大利潤；也可以畫出函數的簡圖，利用簡圖和性質求出.
練一練
某網絡玩具店引進一批進價為 20 元/件的玩具，如果以單價 30 元出售，那么一個月內售出 180 件，根據銷售經驗，提高銷售單價會導致銷售量的下降，即銷售單價每上漲 1 元，月銷售量將相應減少 10 件. 當銷售單價為多少元時，該店能在一個月內獲得最大利潤？
①設該商品的銷售單價上漲 x 元，一個月內獲取的總利潤為 y 元，填空：
單件利潤（元） 銷售量（件） 每月利潤（元）
正常銷售
漲價銷售
10
180
10 + x
180 - 10x
(10 + x)(180 - 10x)
1800
建立函數關系式 y = (10 + x)(180 - 10x)
= -10x2 + 80x + 1800.
營銷規律是價格上漲，銷量下降，因此只要考慮銷售量就可以，故 180 - 10x≥0，且 x≥0，故自變量的取值范圍是 0≤x≤18.
③每件漲價多少元時，利潤最大？最大利潤是多少？
y = -10x2 + 80x + 1800 = -10(x - 4)2 + 1960 (0≤x≤18).
當 x = 4，即每件漲價 4 元 (銷售單價為 34 元) 時，有 y最大值 = 1960.
答：當銷售單價為 34 元時，該店在一個月內能獲得最
大利潤 1960 元.
②自變量 x 的取值范圍如何確定？
例2 某商店試銷一種新商品，新商品的進價為 30 元/件，經過一段時間的試銷發現，每月的銷售量會因售價的調整而不同.令每月銷售量為 y 件，售價為 x 元/件，每月的總利潤為 Q 元.
(1) 當售價在 40～50 元/件時，每月銷售量都為 60 件，
則此時每月的總利潤最多是多少元？
答：此時每月的總利潤最多是1200元.
解：由題意知，當 40≤x≤50 時，
Q = 60(x 30)
∵ y = 60 > 0，Q 隨 x 的增大而增大，
∴ 當 x最大 = 50 時，Q最大 = 1200.
= 60x 1800.
(2) 當售價在 50～70 元/件時，每月銷售量與售價的關系如圖所示，則此時當該商品售價 x 是多少元/件時，該商店每月獲利最大？最大利潤是多少元？
解：當 50＜x≤70 時，
設 y 與 x 函數關系式為 y = kx + b，
∵線段過 (50，60) 和 (70，20).
50k + b = 60，
70k + b = 20.
∴
∴y = 2x + 160 (50＜x≤70).
解得
k = 2，
b = 160.
y/件
O
∴ Q = (x 30)y
= (x 30)( 2x + 160)
= 2x2 + 220x 4800
= 2(x 55)2 +1250 (50＜x≤70).
∵ a = 2＜0，圖象開口向下，
∴ 當 x = 55 時，Q最大= 1250.
∴ 當售價在 50～70 元/件時，售價 x 是 55 元時，獲利
最大，最大利潤是 1250 元.
y/件
O
解：∵ 當 40≤x≤50 時， Q最大 = 1200＜1218，
當 50≤x≤70 時， Q最大 = 1250＞1218，
∴ 售價 x 應在 50～70 元/件之間.
∴ 令 2(x 55)2 +1250 = 1218. 解得 x1=51，x2=59.
當 x1 = 51 時，y1 = 2x + 160 = 2×51 + 160 = 58 (件)；
(3) 若 4 月份該商品銷售后的總利潤為 1218 元，則該商品售價與當月的銷售量各是多少？
∴ 此時，該商品售價為 51 元/件或 59 元/件，
當月的銷售量分別為 58 件或 42 件.
當 x2= 59 時，y2 = 2x + 160 = 2×59 + 160 = 42 (件).
由例2 可知：
若 40≤x≤50，則當 x = 50 時，Q最大 = 1200，
若 50＜x≤70，則當 x = 55 時，Q最大 = 1250.∵1200＜1250，
∴ 售價 x 是 55 元/件時，獲利最大，最大利潤是 1250 元.
變式1 若該商品售價在 40～70 元/件之間變化，根據例題的分析、解答，直接寫出每月總利潤 Q 元與售價 x 元/件的函數解析式；并說明，當該商品售價 x 是多少元/件時，該商店每月獲利最大？最大利潤是多少元？
解：Q 與 x 的函數解析式為
60x 1800 （40≤x≤50 ），
2(x 55)2 + 1250（50＜x≤70）.
Q =
變式2 若該商店銷售該商品所獲利潤不低于 1218 元，試確定該商品的售價 x 的取值范圍；
① 當 40≤x≤50 時，
∵ Q最大= 1200＜1218，
∴ 此情況不存在.
解：Q 與 x 的函數解析式為
60x 1800 （40≤x≤50 ），
2(x 55)2 + 1250 （50＜x≤70）.
Q =
②當 50＜x≤70 時，Q最大 = 1250>1218，
令 Q = 1218，得
2(x 55)2 +1250=1218.
解得 x1 = 51，x2 = 59.
由 Q = 2(x 55)2 + 1250 的
圖象和性質可知：
當 51≤ x ≤59 時，Q≥1218.
∴若該商品所獲利潤不低于1218元，
則售價 x 的取值范圍為 51≤x≤59.
x/元
Q/元
O
55
1250
1218
59
51
變式3 在變式2 的條件下，已知該商店采購這種新商品的進貨款不低于 1620 元，則售價 x 為多少元/件時，利潤最大？最大利潤是多少元？
解：由題意得
51≤x≤59，
30( 2x +160)≥1620.
解得 51≤x≤53.
又∵a = 2＜0，
∴當 51≤x≤53 時 ，
Q 隨 x 的增大而增大.
∴當 x = 53 時，Q最大 = 1242.
∴此時售價 x 應定為 53 元/件，
利潤最大，最大利潤是 1242 元.
x/元
Q/元
O
55
53
51
1242
1.某種商品每件的進價為 20 元，調查表明：在某段時間內若以每件 x 元 (20≤x≤30) 出售，可賣出 (600－20x) 件，為使利潤最大，則每件售價應定為 元.
25
2. 進價為 80 元/件的某襯衣定價為 100 元/件時，每月可賣出 2000 件；每件價格每上漲 1 元，銷售量便減少 5 件，那么每月售出該襯衣的總件數 y (件) 與襯衣售價 x (元/件) 之間的函數關系式為 ，每月利潤 w (元) 與襯衣售價 x (元/件) 之間的函數關系式為
(以上關系式只列式不化簡).
y = 2000 - 5(x - 100)
w =[2000 - 5(x - 100)](x - 80)
3. 一工藝師生產的某種產品按質量分為 9 個檔次. 第 1 檔次 (最低檔次) 的產品一天能生產 80 件，每件可獲利潤 12 元. 產品每提高一個檔次，每件產品的利潤增加 2 元，但一天產量減少 4 件. 如果只從生產利潤這一角度考慮，他生產哪個檔次的產品，可獲得最大利潤？
解：設生產 x 檔次的產品時，每天所獲得的利潤為 w 元，
則
w = [12 + 2(x－1)][80－4(x－1)]
= (10 + 2x)(84－4x)
= －8x2 + 128x + 840
= －8(x－8)2 + 1352.
因為 x ≤ 9，故當 x = 8 時，w 有最大值，且 w最大 = 1352.
答：該工藝師生產第 8 檔次產品，可使利潤最大，最大利潤為 1352 元.
4. 某種商品每天的銷售利潤 y (元)與銷售單價 x (元)之間滿足關系：y = ax2 + bx - 75. 其圖象如圖.
(1) 銷售單價為多少元時，該種商品每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？
解：由題中條件可求 y = -x2 + 20x - 75
∵-1 < 0，對稱軸 x = 10，
∴當 x = 10 時，y 值最大，最大值為 25.
即銷售單價定為 10 元時，銷售利潤最
大，為 25 元.
7
x/元
y/元
5
16
O
（2）銷售單價在什么范圍時，該種商品每天的銷售利潤不低于 16 元？
解：由對稱性知 y = 16 時，x = 7 或 13.
故銷售單價在 7≤x≤13 時，利潤不低于 16 元.
最大利潤問題
建立函數關系式
總利潤 = 單件利潤×銷售量或總銷量 = 總售價-總成本
確定自變量的取值范圍
漲價：要保證銷售量≥0；
降價：要保證單件利潤≥0
確定最大利潤
利用配方法或公式求最大值或利用函數簡圖和性質求出

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