資源簡介

(共33張PPT)
22.3 實際問題與二次函數
第二十二章 二次函數
第3課時 拋物線形實物及運動軌跡問題
情境引入
生活中我們可以看到很多拋物線形的物體或運動軌跡，比如拱橋、噴泉等．
如圖是二次函數的圖象，現在請你根據給出的坐標系的位置，說出這個二次函數的解析式類型.
(1) y = ax2
(2) y = ax2 + k
(3) y = a(x h)2 + k
或 y = ax2 + bx
x
y
O
x
y
O
x
y
O
圖(1)
圖(2)
圖(3)
問題引入
如圖是拋物線形拱橋，當拱頂離水面 2 m 時，水面寬 4 m. 水面下降 1 m，水面寬度增加多少？
利用二次函數解決拋物線形實物問題
這是什么樣的函數呢？
你能想出辦法來求嗎？
拱橋的縱截面是拋物線，所以應當是個二次函數
建立函數模型
合作探究
問題1 怎樣建立直角坐標系比較簡單呢？
以拱頂為原點，拋物線的對稱軸為y 軸，建立直角坐標系，如圖．
y
x
O
問題2 從圖看出，什么形式的二次函數，它的圖象是這條拋物線的位置呢？
由于頂點坐標是 (0，0)，因此這個二次函數的形式為
y
x
O
x
O
y
-2
2
1
-2
-1
-4
A
問題3 如何確定 a 的值是多少？
因此， ，其中｜x｜是水面寬度的一半，y 是拱頂離水面高度的相反數，這樣我們就可以了解到水面寬度變化時，拱頂離水面高度怎樣變化．
已知水面寬 4 m 時，拱頂離水面高 2 m，因此點 A (2，-2) 在拋物線上，由此得出
解得
這條拋物線表示的二次函數為
y =
x
O
y
2
4
2
1
2
1
B
問題 4 水面下降 1 m，水面寬度增加多少？
當水面下降 1 m 時，水面的縱坐標為 -3.
令 解得
即水面下降 1 m 時，水面寬度增加了
（0，0）
（4，0）
（2，2）
（-2，-2）
（2，-2）
（0，0）
（-2，0）
（2，0）
（0，2）
（-4，0）
（0，0）
（-2，2）
y
y
y
y
o
o
o
o
x
x
x
x
我們來比較下面這些建系的方法
誰最合適？為什么？
知識要點
建立二次函數模型解決實際問題的基本步驟是什么？
實際問題
建立二次函數模型
利用二次函數的圖象和性質求解
實際問題的解
將其代入
拋物線 y＝ x2 + 2x + c 中，得 c＝4，
典例精析
例1 如圖，隧道的截面由拋物線和長方形構成，長方形 OABC 的長是 12 m，寬是 4 m，按照圖中所示的平面直角坐標系，拋物線可以用 y＝ x2 + 2x + c 表示．
(1)請寫出該拋物線的函數解析式；
解：根據題意，得 C (0，4).
∴ 拋物線解析式為 y＝ x2 + 2x + 4.
(2) 一輛貨運汽車載一長方體集裝箱后高為 6 m，寬為 4 m，如果隧道內設雙向行車道，那么這輛貨車能否安全通過？
∴這輛貨車能安全通過.
解：拋物線解析式為 y＝ x2 + 2x + 4
(x﹣6)2 + 10，
∴ 對稱軸為 x＝6.
由題意得貨運汽車最外側與地面 OA 的交點坐標為 (2，0) 或 (10，0)，
當 x＝2 或 x＝10 時，y＝ ＞6，
6
2
10
(3)在拋物線形拱壁上需要安裝兩排燈，使它們離地面的高度相等．如果燈離地面的高度不超過 8 m，那么兩排燈的水平距離最小是多少米？
解：令 y＝8，則
(x﹣6)2 + 10＝8，
，x2＝6﹣2
解得 x1＝6 + 2
則 x1﹣x2＝4
所以兩排燈的水平距離最小是 4 m.
8
變式 如圖，施工隊要修建一個橫斷面為拋物線的隧道，OM 寬度為 16 米，其頂點 P 到 OM 的距離為 8 米．
(1) 請建立適當的平面直角坐標系，并求出這條拋物線的函數解析式；
設 y＝a(x﹣8)2 + 8，
x
y
解：如圖，以 O 為原點建立平面直角坐標系，易得拋物線的頂點坐標為 (8，8).
將點 (0，0) 代入上式，得 0＝64a + 8，
解得
故函數的解析式為 (0≤x≤16).
(2) 隧道下的公路是雙向行車道 (正中間是一條寬 1 米的隔離帶)，其中的一條行車道能否行駛寬 3.5 米、高5.8 米的特種車輛？請通過計算說明．
即允許的最大高度為 6 米，
解：由題意得車沿著隔離帶邊沿行駛時，車最左側與邊沿處的距離 x＝7.5 3.5＝4.
當 x＝4 時，y＝6，
而 5.8＜6，故該車輛能通行. 但是車頂與隧道間距很小，需小心行駛.
x
y
8
16
4
7.5
利用二次函數解決拋物線形運動軌跡問題
例2 某廣場噴泉的噴嘴安裝在平地上．有一噴嘴噴出的水流呈拋物線狀，噴出的水流高度 y (m)與噴出水流離噴嘴的水平距離 x (m) 之間滿足
(1) 噴嘴能噴出水流的最大高度是多少？
(2) 噴嘴噴出水流的最遠距離為多少？
解：
(1) 當 x = 2 時，有 y最大 = 2，故水流的最大高度是 2 m.
(2) 令 y = 0，即
解得 x1 = 0，x2 = 4.
即噴嘴噴出水流的最遠距離為 4 m．
變式 某公園要建造圓形噴水池，在水池中央垂直于水面處安裝一個柱子 OA，O 恰在水面中心，OA = 1.25 m，由柱子頂端 A 處的噴頭向外噴水，水流在各個方向沿形狀相同的拋物線落下，為使水流形狀較為漂亮，要求設計成水流在離 OA 距離為 1 m 處達到距水面最大高度 2.25 m.如果不計其它因素，那么水池的半徑至少要多少才能使噴出的水流不致落到池外？
解：建立如圖所示的坐標系，
根據題意，得 A 點坐標的為 (0，1.25)，
頂點 B 的坐標為 (1，2.25).
數學化
O
●
C
●
D
x
y
A
● B (1，2.25)
(0，1.25)
●
根據對稱性，如果不計其它因素，那么水池的半徑至少要 2.5 m，才能使噴出的水流不致落到池外.
當 y = 0 時，可求得點 C 的坐標為 (2.5，0)；
同理，可求得點 D 的坐標為 (-2.5，0).
設右邊拋物線的解析式為 y = a (x - 1)2 + 2.25，代入點 A 的坐標，可得 a = - 1，故 y = - (x - 1)2 + 2.25.
O
●
C
●
D
x
y
A
● B (1，2.25)
(0，1.25)
●
例3 如圖，一名運動員在距離籃球框中心 4 m (水平距離) 遠處跳起投籃，籃球準確落入籃框，已知籃球運行的路線為拋物線，當籃球運行的水平距離為 2.5 m 時，籃球達到最大高度，且最大高度為 3.5 m．如果籃框中心距離地面 3.05 m，那么籃球在該運動員出手時的高度是多少？
解：建立平面直角坐標系如圖.
則點 A 的坐標是 (1.5，3.05)，
籃球在最大高度時的位置為 B (0，3.5).
以點 C 表示運動員投籃球的出手處.
x
y
O
解得
a = －0.2，
k = 3.5.
設以 y 軸為對稱軸的拋物線的解析式為 y = ax2 + k. 而點 A，B 在這條拋物線上，所以有
所以該拋物線的解析式為 y =－0.2x2 + 3.5.
當 x = －2.5 時，y = 2.25 .
故該運動員出手時籃球的高度為 2.25 m.
2.25a + k = 3.05，
k = 3.5.
x
y
O
1. 足球被從地面上踢起，它距地面的高度 h (m) 可用公式 h = -4.9t2 + 19.6t 來表示，其中 t (s) 表示足球被踢出后經過的時間，則球在 s 后落地.
4
2. 如圖，小李推鉛球，如果鉛球運行時離地面的高度
y (米)關于水平距離 x (米)的函數解析式為 ，那么鉛球運動過程中最高點離地面
的距離為 米.
x
y
O
2
3. 某公園草坪的防護欄是由 100 段形狀相同的拋物線形組成的，為了牢固起見，每段護欄需要間距 0.4 m 加設一根不銹鋼的支柱，防護欄的最高點距底部 0.5 m (如圖)，則這條防護欄需要不銹鋼支柱的總長度至少為 ( )
A.50 m B.100 m
C.160 m D.200 m
C
解：設該拱橋形成的拋物線的解析式為 y = ax2.
∵ 該拋物線過點 (10， 4)，
∴ 4 = 100a，故 a = 0.04.
∴ y = 0.04x2.
4. 有一座拋物線形拱橋，正常水位時橋下水面寬度為 20 m，拱頂距離水面 4 m．建立如圖所示的直角坐標系，求出這條拋物線表示的函數的解析式.
O
A
B
y
x
20 m
h
5. 跳臺滑雪是冬季奧運會比賽項目之一，運動員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分．一名運動員起跳后，他的飛行路線如圖所示，當他的水平距離為 15 m時，達到飛行的最高點 C 處，此時的豎直高度為 45 m，他落地時的水平距離 (即 OA 的長) 為 60 m，求這名運動員起跳時的豎直高度 (即 OB 的長)．
解：設拋物線的解析式為 y＝a(x h)2 + k，
根據題意得拋物線的頂點坐標為(15，45)，
∴ y＝a(x 15)2 + 45.
∴ 0＝a(60 15)2 + 45.
∴ 這名運動員起跳時的豎直高度為 40 米．
解得 a＝ .
∴ 解析式為 y＝ (x 15)2 + 45.
令 x＝0 得 y＝ ×(0 15)2 + 45＝40，
∴ 點 B 的坐標為 (0，40).
∵ 拋物線與 x 軸交于點 A (60，0)，
能力提升 懸索橋兩端主塔塔頂之間的主懸鋼索，其形狀可近似地看作拋物線，水平橋面與主懸鋼索之間用垂直鋼索連接. 已知兩端主塔之間的水平距離為 900 m，兩主塔塔頂距橋面的高度為 81.5 m，主懸鋼索最低點離橋面的高度為 0.5 m.
解：根據題意，得拋物線的頂點坐標為 (0，0.5)，
故可設其對應的函數解析式為 y = ax2 + 0.5.
又拋物線經過點 (450，81.5)，代入上式，得
81.5 = a 4502 + 0.5. 解得
故所求函數解析式為
(1) 若以橋面所在直線為 x 軸，拋物線的對稱軸為 y 軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，求這條拋物線對應的函數解析式；
y
x
O
-450
450
81.5
(2) 計算距離橋兩端主塔分別為 100 m，50 m 處垂直鋼索的長.
解：當 x = 450－100 = 350 時，得
當 x = 450－50 = 400 時，得
即距離橋兩端主塔分別為 100 m，50 m 處垂直鋼索的長分別為 49.5 m、64.5 m.
y
x
O
-450
450
81.5
轉化
回歸
（二次函數的圖象和性質）
拱橋問題
拋物線形運動軌跡問題
（拋物線形實物與軌跡問題）
建立恰當的直角坐標系
能夠將實際距離準確的轉化為點的坐標；
選擇運算簡便的方法.
實際問題
數學模型
轉化的關鍵

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