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第二十二章 二次函數
小結與復習
一般地，形如　 　(a，b，c 是常數，　 　) 的函數，叫做二次函數．
y＝ax2＋bx＋c
a ≠ 0
[注意] (1)等號右邊必須是整式；
(2)自變量的最高次數是 2；
(3)當 b＝0，c＝0 時，y＝ax2 是特殊的二次函數．
1. 二次函數的概念
二次函數 y = a(x h)2 + k y = ax2 + bx + c
開口 方向 對稱軸
頂點坐標
最值 a＞0
a＜0
增減性 a＞0 a＜0 2. 二次函數的圖象與性質：
a＞0 時開口向上
a＜0 時開口向下
x = h
(h，k)
y最小 = k
y最大 = k
在對稱軸左邊 x↗y↗，在對稱軸右邊 x↗y↘
在對稱軸左邊 x↗y↘，在對稱軸右邊 x↗y↗
y最小=
y最大=
3. 二次函數圖象的平移
y＝ax2
左、右平移，自變量左加右減
上、下平移，常數項上加下減
y＝-ax2
寫成一般形式
沿 x 軸翻折
4. 二次函數解析式的求法
（1）一般式法：y＝ax2＋bx＋c ( a≠0 )
（2）頂點法：y＝a(x－h)2＋k ( a≠0 )
（3）交點法：y＝a(x－x1)(x－x2) ( a≠0 )
5. 二次函數與一元二次方程的關系
二次函數 y = ax2＋bx＋c 的圖象與 x 軸的公共點 一元二次方程 ax2＋bx＋c = 0的實數根 一元二次方程
ax2＋bx＋c = 0 根的判別式 (b2 - 4ac)
有兩個公共點
有兩個不同的實數根
b2 - 4ac ＞ 0
只有一個公共點
有兩個相等的實數根
b2 - 4ac = 0
沒有公共點
沒有實數根
b2 - 4ac ＜ 0
6. 二次函數的應用
（1）二次函數的應用包括以下兩個方面：
① 用二次函數表示實際問題變量之間的關系，解決最大化問題(即最值問題)；
② 利用二次函數的圖象求一元二次方程的近似解．
（2）一般步驟：① 找出問題中的變量和常量以及它們之間的函數關系；② 列出函數關系式，并確定自變量的取值范圍；③ 利用二次函數的圖象及性質解決實際問題；④ 檢驗結果的合理性，是否符合實際意義．
考點一 二次函數的概念、圖象與性質
例1 已知 y = (m + 2)x| m | + 2 是關于 x 的二次函數，那么 m 的值為 (　　)
A． 2 B．2 C．±2 D．0
B
針對訓練
1. 已知函數：① y = 2x 1；② y = 2x2 1；③ y = 3x3 2x2；④ y = 2x2 x 1；⑤ y = ax2 + bx + c. 其中二次函數的個數為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
B
例2 對于 y＝2(x－3)2＋2 的圖象下列敘述正確的是 ( )
A．頂點坐標為 (－3，2)
B．對稱軸為 y＝3
C．當 x＞3時，y 隨 x 的增大而增大
D．當 x＞3時，y 隨 x 的增大而減小
C
2. 關于拋物線 y = x2 + 2x 3 的判斷，下列說法正確的是 (　　)
A．拋物線的開口方向向上
B．拋物線的對稱軸是直線 x = -1
C．拋物線對稱軸左側部分從左往右是下降的
D．拋物線頂點到 x 軸的距離是 2
針對訓練
D
方法歸納：解決此類題目可以先把二次函數 y＝ax2＋bx＋c 配方為頂點式 y＝a(x - h)2＋k 的形式，得到其對稱軸是直線 x＝h，頂點坐標為 (h，k)，當自變量范圍沒有限制時，其最值為 y＝k；也可以直接利用公式求解.
y
x
例3 二次函數 y＝－x2＋bx＋c 的圖象如圖所示，若點 A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函數圖象上，且 x1＜x2＜1，則 y1 與 y2 的大小關系是 (　　)
A．y1≤y2 B．y1＜y2
C．y1≤y2 D．y1＞y2
【解析】由圖象看出，拋物線開口向下，對稱軸是 x＝1，當 x＜1時，y 隨 x 的增大而增大．∵x1＜x2＜1，∴ y1＜y2.
B
3. 已知點 ( 1，y1)，(1.5，y2)，(2，y3) 在函數 y = ax2 2ax + a 2 (a＞0) 的圖象上，則將 y1、y2、y3 按由大到小的順序排列是 (　　)
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2
C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y2＞y1
B
針對訓練
解析：∵二次項系數為－1＜0，
∴拋物線開口向下，對稱軸為
由題意知，當 x＞1 時，y 的值隨 x 值的增大而減小，∴拋物線的對稱軸應在直線 x = 1 的左側.
4. 已知二次函數 y =－x2＋2bx＋c，當 x＞1 時，y 的值隨 x 值的增大而減小，則實數 b 的取值范圍是 ( )
A. b≥－1 B. b≤－1 C. b≥1 D. b≤1
D
x
y
O
b
1
∴ b≤1. 如圖所示.
例4 將拋物線 y＝x2－6x＋5 向上平移 2 個單位長度，再向右平移 1 個單位長度后，得到的拋物線解析式是 ( )
A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－4)2－2
C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－1)2－3
【解析】因為 y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，所以向上平移 2 個單位長度，再向右平移 1 個單位長度后，得到的解析式為 y＝(x－3－1)2－4＋2，即 y＝(x－4)2－2.
B
5. 若拋物線 y =－7(x + 4)2－1 平移得到 y =－7x2，則可以（ ）
A. 先向左平移 4 個單位，再向下平移 1 個單位
B. 先向右平移 4 個單位，再向上平移 1 個單位
C. 先向左平移 1 個單位，再向下平移 4 個單位
D. 先向右平移 1 個單位，再向下平移 4 個單位
B
針對訓練
例5 (1) 已知關于 x 的二次函數，當 x = －1 時，函數值為 10；當 x = 1 時，函數值為 4；當 x = 2 時，函數值為 7.求這個二次函數的解析式.
待定系數法
解：設所求的解析式為 y＝ax2＋bx＋c， 由題意得
解得 a = 2，b = －3，c = 5.
∴ 所求的二次函數解析式為 y＝2x2－3x＋5.
(2) 已知關于 x 的二次函數，當 x = 2 或 4 時，y = 16，且函數的最大值為 2．求二次函數的解析式．
解：∵ 當 x = 2 或 4 時，y = 16，且函數的最大值為 2.
∴ 對稱軸為直線 .
∴ 頂點為 (1，2).
設二次函數解析式為 y = a(x 1)2 + 2，
把 ( 2， 16) 代入得 16 = 9a + 2，解得 a = 2.
∴ y = 2(x 1)2 + 2.
∴ 二次函數解析式為 y = 2x2 + 4x.
頂點式
針對訓練
6. 如圖，已知拋物線 y = ax2 + bx + c 經過 A ( 1，0)、
B (3，0) 兩點，與 y 軸交于點 C(0， 3)．
(1) 求二次函數的解析式；
解：設二次函數解析式為 y = a(x + 1)(x 3)，
將點(0， 3)代入，得
3 = a(0 + 1)(0 3).
解得 a = 1.
∴二次函數的解析式為 y = (x + 1)(x 3) = x2 2x 3.
交點式
x
y
O
C
A
B
(2) 點 Q 為拋物線上一點，若 S△QAB = 8，求出此時點 Q 的坐標．
解：設 Q (x，y)，
則 S△QAB = AB | y | = 2| y | = 8.
∴ y = ±4．
解得
則 Q 的坐標為
② 當 y = -4 時，即 x2 2x 3 = 4.
解得 x3 = x4 = 1.
則 Q 點的坐標為(1， 4).
① 當 y = 4 時，
即 x2 2x 3 = 4.
點 Q 的坐標為
或(1， 4).
x
y
O
C
A
B
綜上所述，
例6 已知二次函數 y = x2 2mx + m2 1(m為常數).
求證：不論 m 為何值，該函數的圖象與 x 軸總有兩個公共點.
考點二 二次函數與一元二次方程
解析：函數的圖象與 x 軸總有兩個公共點，即方程 x2 2mx + m2 1 = 0 有兩個不相等的實數根，根據根的判別式求解即可.
證明：( 2m)2 4(m2 1) = 4＞0，
故不論 m 為何值，該函數的圖象與 x 軸總有兩個公共點.
7. 二次函數 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 的圖象如圖所示，則方程 ax2 + bx + c 2 = 0 的根的情況是（　　）
A．有兩個相等的實數根
B．有兩個不相等的實數根
C．沒有實數根
D．以上都不正確
針對訓練
B
x
y
O
3
考點三 二次函數的應用
B 離地面 O 點的距離是 1 m，球落地點 A 到 O 點的距離是 4 m，那么這條拋物線的解析式是（ ）
例7 在比賽中，某次羽毛球的運動路線可以看作是拋
物線 的一部分（如圖），其中出球點
A
針對訓練
8. 如圖為一座拋物線型的拱橋，AB、CD 分別表示兩個不同位置的水面寬度，O 為拱橋頂部，水面 AB 寬為 10 米，AB 距橋頂 O 的高度為 12.5 米，水面上升 2.5 米到達警戒水位 CD 位置時，水面寬為 (　 )
C
方法歸納：解決此類題目需運用建模思想，建立合適的平面直角坐標系，抽象出函數模型，解決相關問題.
例8 某商場試銷一種成本為每件 60 元的服裝，規定試銷期間銷售單價不低于成本單價，且獲利不得高于 45%，經試銷發現，銷售量 y (件)與銷售單價 x (元)符合一次函數 y＝kx＋b，且 x＝65 時，y＝55；x＝75 時，y＝45.
(1) 求一次函數的解析式；
解：根據題意，得
故所求一次函數的解析式為 y = -x + 120.
解得 k = -1，b = 120.
(2) 若該商場獲得利潤為 W 元，試寫出利潤 W 與銷售單價 x 之間的關系式；銷售單價定為多少元時，商場可獲得最大利潤，最大利潤是多少元？
解：W = (x-60) (-x+120) = -x2+180x-7200 = -(x-90)2 +900，
∵拋物線的開口向下，
∴當 x＜90 時，W 隨 x 的增大而增大.
而 60≤x≤60×(1 + 45%)，即 60≤x≤87.
∴當 x = 87 時，W 有最大值，
此時 W = -(87- 90)2 + 900 = 891.
9.一家電腦公司推出一款新型電腦，投放市場以來 3 個月的利潤情況如圖所示，該圖可以近似看作為拋物線的一部分，請結合圖象，解答以下問題：
(1)求該拋物線對應的二次函數解析式；
針對訓練
解：(1)因圖象過原點，則設函數解析式為 y = ax2 + bx，由圖象的點的含義，得
故所求一次函數的解析式為 y = x2 + 14x.
解得 a = 1，b = 14.
(2)該公司在經營此款電腦過程中，第幾月的利潤最大？最大利潤是多少？
(3)若照此經營下去，請你結合所學的知識，對公司在此款電腦的經營狀況(是否虧損？何時虧損？)作預測分析.
(2) y = x2 +14x = (x 7)2 + 49.
即當 x = 7 時，利潤最大，y = 49.
(3) 沒有利潤，即 y = x2 +14x = 0.
解得 x1 = 0(舍去)，或 x2 = 14，
而這時利潤為滑坡狀態，所以第 15 個月，公司虧損.
例9　如圖，梯形 ABCD 中，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠A＝45°，AB＝30，BC＝x，其中 15＜x＜30.作 DE⊥AB 于點 E，將 △ADE 沿直線 DE 折疊，點 A 落在 F 處，DF 交 BC 于點 G.
(1)用含有 x 的代數式表示 BF 的長；
解：(1)由題意，得
EF = AE = DE = BC = x，AB = 30.
∴BF = 2x - 30.
(2)設四邊形 DEBG 的面積為 S，求 S 與 x 的函數關系式；
(3)當 x 為何值時，S 有最大值？并求出這個最大值．
(2)∵∠F =∠A = 45°，∠CBF =∠ABC = 90°，
∴∠BGF =∠F = 45°，BG = BF = 2x - 30.
所以 S△DEF - S△GBF = DE2 - BF2 = x2 - (2x - 30)2
= x2 + 60x - 450.
(3)S = x2 + 60x - 450 = (x - 20)2 + 150.
∵a = ＜0，15＜20＜30，
∴當 x = 20 時，S 有最大值，最大值為 150.
10.張大伯準備用 40 m 長的木欄圍一個矩形的羊圈，為了節約材料同時要使矩形的面積最大，他利用自家房屋一面長 25 m 的墻，設計了如圖一個矩形的羊圈.
(1)請你求出張大伯矩形羊圈的面積；
25 m
針對訓練
解：(1)由題意得羊圈的長為 25 m，
寬為(40 - 25)÷2 = 7.5 (m).
故羊圈的面積為 25×7.5 = 187.5 ( m2 )
(2)請你判斷他的設計方案是否合理？如果合理，直接答合理；如果不合理又該如何設計？并說明理由.
(2)設羊圈與墻垂直的一邊為 x m，則與墻相對的一邊長為(40 - 2x)m，羊圈的面積 S = x(40 - 2x) = -2x2 + 40x
= -2(x -10)2 + 200(7.5≤x＜20).
∵7.5≤10＜20，所以當 x = 10 時，
S 有最大值，此時 S = 200.
故張大伯的設計不合理.羊圈與墻垂直的兩邊長為 10 m，而與墻相對的一邊長為(40-2x) m = 20 m.
25 m
實際問題
歸納
抽象
二次函數
y = ax2 + bx + c
實際問題的答案
利用二次函數的圖象和性質求解
圖象
目標
性質

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