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23.1 圖形的旋轉(zhuǎn)
第二十三章 旋轉(zhuǎn)
第1課時(shí) 旋轉(zhuǎn)的概念與性質(zhì)
情境引入
這些運(yùn)動(dòng)有什么共同的特點(diǎn)？
旋轉(zhuǎn)的概念
B
O
A
45
°
問(wèn)題 觀察下面的現(xiàn)象，它有什么特點(diǎn)？
觀察與思考
鐘表的指針在不停地轉(zhuǎn)動(dòng)，從 12 時(shí)到 4 時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)了______度.
120
把時(shí)針當(dāng)成一個(gè)圖形，那么它可以繞著中心固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一定角度.
思考:怎樣來(lái)定義這種圖形變換？
風(fēng)車(chē)風(fēng)輪的每個(gè)葉片在風(fēng)的吹動(dòng)下轉(zhuǎn)動(dòng)到新的位置.
怎樣來(lái)定義這種圖形變換？
把葉片當(dāng)成一個(gè)平面圖形，那么它可以繞著平面內(nèi)中心固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一定角度.
把一個(gè)平面圖形繞平面內(nèi)某一點(diǎn) O 轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，叫做圖形的旋轉(zhuǎn).
O
P′
P
旋轉(zhuǎn)中心
旋轉(zhuǎn)角
對(duì)應(yīng)點(diǎn)
旋轉(zhuǎn)的定義
點(diǎn) O 叫做旋轉(zhuǎn)中心.
轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角.
轉(zhuǎn)動(dòng)的方向分為順時(shí)針與逆時(shí)針.
如果圖形上的點(diǎn) P 經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄c(diǎn) P'，那么這兩個(gè)點(diǎn)叫做這個(gè)旋轉(zhuǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn).
知識(shí)要點(diǎn)
例1 下列物體的運(yùn)動(dòng)是旋轉(zhuǎn)的有 .
①電梯的升降運(yùn)動(dòng)； ②行駛中的汽車(chē)車(chē)輪；
③方向盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)； ④騎自行車(chē)的人；
⑤坐在摩天輪里的小朋友.
典例精析
②③⑤
方法點(diǎn)撥：判斷一種運(yùn)動(dòng)是否屬于旋轉(zhuǎn)，先看圖形是否在同一平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，其次要看是否有旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、旋轉(zhuǎn)方向，還要注意判斷變化前后圖形大小是否發(fā)生了變化.
例2 若葉片 A 繞 O 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到葉片 B，則旋轉(zhuǎn)中心是_____，旋轉(zhuǎn)角是_________，
旋轉(zhuǎn)角等于____°，其中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)
有_______、_______、_______、
_______、_______、_______.
點(diǎn) O
∠AOB
60
F 與 A
A 與 B
B 與 C
C 與 D
D 與 E
E 與 F
A
C
D
E
F
B
O
練習(xí) 如圖，△ABD 經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)后到△ACE 的位置.
(1)旋轉(zhuǎn)中心是哪一點(diǎn)
(2)旋轉(zhuǎn)了多少度 順時(shí)針還是逆時(shí)針？
(3)如果 M 是 AB 的中點(diǎn)，經(jīng)過(guò)上述旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn) M 轉(zhuǎn)到什么位置
A
B
C
E
M
解：(1)旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn) A.
(2)旋轉(zhuǎn)了 60°，逆時(shí)針.
(3)點(diǎn) M 轉(zhuǎn)到了 AC 的中點(diǎn)上.
D
60°
.
旋轉(zhuǎn)中心
旋轉(zhuǎn)角
旋轉(zhuǎn)方向
必須明確
確定一次圖形的旋轉(zhuǎn)時(shí)：
溫馨提示：旋轉(zhuǎn)的范圍是“平面內(nèi)”，其中“旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)方向，旋轉(zhuǎn)角度”稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)的三要素；
歸納總結(jié)
A．30° B．45° C．90° D．135°
例 3 如圖，點(diǎn) A、B、C、D 都在方格紙的格點(diǎn)上，若△AOB 繞點(diǎn) O 按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到△COD 的位置，則旋轉(zhuǎn)的角度為 ( )
解析：對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線的夾角，就是旋轉(zhuǎn)角，由圖可知，OB、OD 是對(duì)應(yīng)邊，∠BOD 是旋轉(zhuǎn)角，所以旋轉(zhuǎn)角為 90°.
C
C
D
A
B
O
合作探究
A
B
B′
A′
C
．
M
．
．
．
．
45°
繞點(diǎn) C 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°
△ABC 如何運(yùn)動(dòng)到△A′B′C 的位置？
N'
N
M′
旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)
旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)_____；
圖中對(duì)應(yīng)點(diǎn)有___________________
_______________________________；
圖中對(duì)應(yīng)線段有_________________
_______________；
每對(duì)對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度關(guān)系是_____；
圖中旋轉(zhuǎn)角等于_____°.
C
點(diǎn) A 與點(diǎn) A′，點(diǎn) B 與
點(diǎn) B′，點(diǎn) M 與點(diǎn) M′，點(diǎn) N 與點(diǎn) N′
CA 與 CA′、CB 與
CB′、AB 與 A′B′
45
相等
根據(jù)右圖填空：
B'
A'
C'
A
B
C
O
AO = A'O，BO = B'O，CO = C'O
∠AOA' =∠BOB' =∠COC'
觀察下圖，你能找到相等的角和線段嗎？
雙擊打開(kāi)
2. 對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所
連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；
E
A
B
F
C
O
1. 對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的
距離相等；
3. 旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.
旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)
知識(shí)要點(diǎn)
D
想一想 如圖，將△ABC 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DEF，如何確定它們的旋轉(zhuǎn)中心位置？
D
E
B
F
C
A
答：如圖，兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線的交點(diǎn) O
即為旋轉(zhuǎn)中心.
O
練一練 如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知△ABC
的頂點(diǎn) A(1，2)、B(－2，2)、C(－1，0)．若將△ABC以某點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90° 得到△DEF，則旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)是(　　)
A.(0，0) B.(1，0)
C.(1，－1) D.(2.5，0.5)
方法點(diǎn)撥：旋轉(zhuǎn)中心在對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的 垂直平分線上，要找旋轉(zhuǎn)中心，只需 找到兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線的交點(diǎn)即可.
C
例4 如圖，將△ABC 繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 150°，得到△ADE，這時(shí)點(diǎn) B，C，D 恰好在同一直線上，求∠B 的度數(shù).
解：∵將△ABC 繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 150°，得到△ADE，
∴∠BAD = 150°，AB = AD.
∴∠B = (180°－150°) = 15°.
變式 如圖，△ABC 為鈍角三角形，將△ABC 繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 120°，得到△AB'C' ，連接 BB' . 若 AC'∥BB' ，則∠CAB' 的度數(shù)為多少？
解：∵將△ABC 繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到△AB'C'，
∴∠BAB' =∠CAC' = 120°，AB = AB' .
∴∠AB'B = (180°－120°) = 30°.
又∵AC'∥BB' ，
∴∠B'AC' =∠AB'B = 30°.
∴∠CAB' =∠CAC'－∠B'AC' = 120°－30° = 90°.
例5 如圖，四邊形 ABCD 是正方形，△ADF 按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度后得到△ABE. 已知 AF＝5，AB＝8，求 DE 的長(zhǎng)度．
解：∵△ADF 按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度后得到△ABE，
∴AE＝AF＝5，AD＝AB＝8.
∴DE＝AD－AE＝8－5＝3.
方法點(diǎn)撥：利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解決問(wèn)題時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：
(1)明確旋轉(zhuǎn)中的“變”與“不變”；
(2)找準(zhǔn)旋轉(zhuǎn)前后的“對(duì)應(yīng)關(guān)系”；
(3)充分挖掘旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的相等關(guān)系.
視頻來(lái)源：洋蔥數(shù)學(xué)
視頻：正 n 邊形的旋轉(zhuǎn)特性
點(diǎn)擊視頻開(kāi)始播放
1. 下列現(xiàn)象中屬于旋轉(zhuǎn)的有 ( )
①地下水位逐年下降；②傳送帶的移動(dòng)；③方向盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)；④水龍頭開(kāi)關(guān)的轉(zhuǎn)動(dòng)；⑤鐘擺的運(yùn)動(dòng)；⑥蕩秋千運(yùn)動(dòng).
A. 2 個(gè) B. 3 個(gè) C. 4 個(gè) D. 5 個(gè)
2. 下列說(shuō)法正確的是 ( )
A. 旋轉(zhuǎn)改變圖形的形狀和大小
B. 平移改變圖形的位置
C. 平移圖形可以向某方向旋轉(zhuǎn)一定距離得到
D. 由平移得到的圖形也一定可由旋轉(zhuǎn)得到
B
C
3. △ABC 繞點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn)一定角度后得到 △ADE，若 BC = 4，AC = 3，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. DE = 3
B. AE = 4
C. ∠CAB 是旋轉(zhuǎn)角
D. ∠CAE 是旋轉(zhuǎn)角
D
4. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有一個(gè) Rt△ABC，且A(－1，3)，B(－3，－1)，C(－3，3)，已知△A1AC1 是由△ABC 旋轉(zhuǎn)得到的，則旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)是 (　　)
A．(0，0)
B．(－1，0)
C．(1，0)
D．(0，－1)
A
D
A
B
C
E
E′
5. 如圖，點(diǎn) E 是正方形 ABCD 內(nèi)一點(diǎn)，連接 AE，BE，CE，將△ABE 繞點(diǎn) B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90° 到△CBE′ 處，若 AE＝1，BE＝2，CE＝3，則∠BE′C＝____度．
解析：連接 EE′.
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知 BE = BE′，∠EBE′ = 90°，
AE = CE′，∴∠BE'E = 45°，
EE′
在△EE′C 中，E′C = 1，CE = 3，
EE′
由勾股定理逆定理可知∠EE′C = 90°.
∴∠BE′C=∠BE′E＋∠EE′C = 135°.
135
拓展訓(xùn)練
如圖，已知正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 3，
E、F 分別是 AB、BC 邊上的點(diǎn)，且∠EDF = 45°，將△DAE 繞點(diǎn) D 按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 90°，得到△DCM．
(1) 求證：EF = MF；
證明：∵△DAE 繞點(diǎn) D 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90° 得到△DCM，
∴DE = DM，∠EDM = 90°.
∵∠EDF = 45°，∴∠FDM = 45°.
∴∠EDF =∠FDM．
又∵DF = DF，DE = DM，
∴△DEF≌△DMF. ∴EF = MF.
解：設(shè) EF = MF = x，
∵ AE = CM = 1，AB = BC = 3，
∴ EB = AB - AE = 3－1 = 2，
BM = BC + CM = 3 + 1 = 4.
∴ BF = BM－MF = 4－x.
在 Rt△EBF 中，由勾股定理得 EB2 + BF2 = EF2，
即 22 + (4－x)2 = x2，
解得 x =
故 EF 的長(zhǎng)為 .
(2) 當(dāng) AE = 1 時(shí)，求 EF 的長(zhǎng)．
旋轉(zhuǎn)
定義
三要素：旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度
性質(zhì)
1. 對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；
2. 對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的
夾角等于旋轉(zhuǎn)角；
3. 旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等

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