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23.2 中心對稱
第二十三章 旋轉
23.2.1 中心對稱
觀察下面每幅圖片中的兩個圖形，你有什么發現？它們具有怎樣的位置關系？
情境引入
經過調整后下面每幅圖片中的兩個圖形還成軸對稱嗎？
它們通過怎樣的變換能相互重合呢？
中心對稱及有關概念
重合
O
A
D
B
C
問題1 觀察下列圖形的運動，說一說它們有什么共同點.
旋轉角為180°
觀察與思考
O
知識要點
把一個圖形繞著某一點旋轉 180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心(簡稱中心). 這兩個圖形在旋轉后能夠重合的對應點叫做關于對稱中心的對稱點.
填一填：
如圖，△OCD 與△OAB 關于點 O 中心對稱，則____是對稱中心，點 A 與_____是對稱點， 點 B 與____是對稱點.
O
B
C
A
D
O
C
D
典例精析
例1 下列五組圖形中，左邊的圖形與右邊的圖形成中心對稱的有（　?。?br/>A．1 組 B．2 組 C．3 組 D．4 組
方法點撥：判斷兩個圖形是否成中心對稱，就是看其中一個圖形繞某一點旋轉 180° 后能否與另一個圖形重合.
B
1. 中心對稱是一種特殊的旋轉，其旋轉角是180°；
2. 中心對稱是兩個圖形之間一種特殊的位置關系；
要點歸納
3. 成中心對稱的兩個圖形只有一個對稱中心，對稱中心可能在圖形的外部、內部或圖形上，對稱點一定在對稱中心兩側或與對稱中心重合.
問題2 如圖，旋轉三角尺，
畫出△ABC 關于
點 O 中心對稱的
△A′B′C′.
A′
C
A
B
B′
C′
O
●
中心對稱的性質
(1)OA = OA′、OB = OB′、 OC = OC′
找一找
下圖中 △A′B′C′ 與 △ABC 關于點 O 是成中心對稱,你能從圖中找到哪些等量關系
A′
B′
C′
A
B
C
O
(2)△ABC≌△A′B′C′
1. 中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經過對稱中心，并且被對稱中心所平分（即每組對稱點與對稱中心三點共線）；
2. 中心對稱的兩個圖形是全等形.
知識要點
中心對稱的性質
例2 如圖，△ABC 與△A′B′C′ 關于點 O 成中心對稱，則下列結論不成立的是（　　）
A．點 A 與點 A′ 是對稱點
B．BO = B′O
C．AB = A′B′
D．∠ACB =∠C′A′B′
D
變式 如圖，已知 △AOB 與 △DOC 成中心對稱，△AOB 的面積是 12，AB＝6，則 △DOC 中 CD 邊上的高為_____.
解析：設 AB 邊上的高為 h，
∵ △AOB 的面積是 12，AB＝6，∴ h＝4.
又∵△AOB 與△DOC 成中心對稱，
∴△COD≌△AOB.
∴△DOC 中 CD 邊上的高是 4.
4
例3 如圖，已知 △ABC 與 △A′B′C′ 成中心對稱，找出它們的對稱中心 O.
A
B
C
A′
B′
C′
解法1：根據觀察，B、B′ 應是對稱點，連接 BB′，用刻度尺找出 BB′ 的中點 O，則點 O 即為所求（如圖）.
A
B
C
A′
B′
C′
O
解法2：根據觀察，B、B′ 及 C、C′ 應是兩組對稱點，連接 BB′、CC′ 相交于點 O，則點 O 即為所求（如圖）.
A
B
C
A′
B′
C′
O
注意：如果限定只用無刻度直尺作圖，我們用解法2.
歸納總結：
確定成中心對稱的兩個圖形的對稱中心的方法：
①連接任意一組對稱點，取這條線段的中點，這個中點就是對稱中心；
②連接任意兩組對稱點，兩條線段的交點就是對稱中心.
例4 (1)如圖1，選擇點 O 為對稱中心，畫出點 A 關于點 O 的對稱點 A'；
(2)如圖2，選擇點 O 為對稱中心，畫出與△ABC 關于點 O 對稱的△A'B'C'.
O
A
圖1
O
A
B
C
圖2
(1) 如圖 1，連接 AO 并延長到 A'，使 OA' = OA，即可得到點 A 的對稱點 A'；
作法：
(2) 如圖 2，作出 A，B，C 三點關于點 O 的對稱點 A'，B'，C'，順次連接 A'B'，B'C'，C'A'，則△A'B'C' 即為所作.
O
A
圖1
O
A
B
C
圖2
A'
A'
C'
B'
練一練 如圖，已知四邊形 ABCD 和點 O，試畫出四邊形 ABCD 關于點 O 成中心對稱的圖形 A'B'C'D'.
A
B
C
D
O
分析：要畫出四邊形 ABCD 關于點 O 成中心對稱的圖形，只要畫出 A，B，C，D 四點關于點 O 的對稱點，再順次連接各對稱點即可.
A
B
C
D
O
作法：
① 連接 AO 并延長到 A'，使 OA' = OA，得到點 A 的對稱點 A'；
A'
B'
C'
D'
② 同理，可作出點 B，C，D 的對稱點 B'，C'，D'；
③ 順次連接 A'，B'，C'，D'，則四邊形 A'B'C'D' 即為所作.
軸 對 稱
中心對稱
1
有一條對稱軸
——
直線
有一個對稱中心
——
點
2
圖形沿軸折疊(翻轉
180°
)
圖形繞中心旋轉
180°
3
折疊后兩個圖形重合
旋轉后兩個圖形重合
1
A
B
C
C
1
A
B
1
O
拓展提升
中心對稱與軸對稱的異同
1. 判斷正誤：
（1）軸對稱的兩個圖形一定是全等形，但全等的兩個圖形不一定是軸對稱的圖形.（ ）
（2）成中心對稱的兩個圖形一定是全等形，但全等的兩個圖形不一定是成中心對稱的圖形. （ ）
（3）全等的兩個圖形，不是成中心對稱的圖形，就是成軸對稱的圖形. （ ）
√
√
×
2. 如下所示的 4 組圖形中，左邊數字與右邊數字成中心對稱的有 （ ）
A. 1 組 B. 2 組 C. 3 組 D. 4 組
C
3. 如圖，已知 △AOB 與 △DOC 成中心對稱，△AOB 的周長是 8，AB＝3，則 OC + OD＝（　　）
A. 3　　　 B. 5　　　　　　
C. 6　　 D. 8
A
B
C
D
O
B
A′
B′
C′
O
A
B
C
4. 如圖，已知等邊△ABC 和點 O，畫△A′B′C′，使△A′B′C′ 和 △ABC 關于點 O 成中心對稱.
5. 如圖，△ABO 與△CDO 關于 O 點中心對稱，點 E，F在線段 AC 上，且 AF = CE．求證：DF = BE．
證明：∵△ABO 與△CDO 關于 O 點中心對稱，
∴BO = DO，AO = CO.
∵AF = CE，
∴AO－AF = CO－CE.
∴FO = EO.
在△FOD 和△EOB 中，
∴△FOD≌△EOB（SAS）.
∴ DF = BE.
概念
旋轉角是 180°
性質
對稱點的連線經過對稱中心，且被對稱中心平分
作圖
應用1：作圖形關于某點對稱的圖形；
應用2：找出對稱中心.
中心對稱

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